Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2024 Θέματα της 1ης φάσης για την 8η τάξη, 18 Νοεμβρίου 2023 5. Από ένα λευκό πίνακα διαστάσεων $100 \times 100$ αποκόπηκαν τα κελιά, που βρίσκονται στην τομή γραμμών με άρτιο αριθμό και στηλών με περιττό. Με μια κίνηση η Κατερίνα χρωματίζει δυο γειτονικά κατά...

Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2024 Θέματα της 1ης φάσης για την 8η τάξη, 18 Νοεμβρίου 2023 3. Ο Φώτης μελετάει έναν φυσικό αριθμό $N$. Ισχυρίζεται, ότι για οποιαδήποτε διαμέριση του αριθμού $4000$ σε άθροισμα δυο διαφορετικών φυσικών αριθμών (μη μηδενικών) ο αριθμός $N$ διαιρείτε με ακριβώ...

Μπορούμε επίσης να χρησιμοποιήσουμε τον τύπο



που δίνει .

Άρα αρκεί να δείξουμε μόνο τη γραμμική ανεξαρτησία ή μονο ότι το δοθέν σύνολο παράγει το .

Ο Μάνος έχει $\displaystyle{a}$ ευρώ και ο Δημήτρης $\displaystyle{b}$ ευρώ, με $\displaystyle{a<b}$ και $\displaystyle{a}$ θετικός ακέραιος Αποφάσισαν να παίξουν ένα παιχνίδι, ρίχνοντας εναλλάξ ένα ζάρι, με την συμφωνία να δίνει ο ένας στον άλλο τόσα ευρώ, όσα δείχνει το ζάρι που έριξε. (Π.χ αν το...

Δίνω την κατασκευή που έχει υπόψη ο Μιχάλης αλλά χωρίς να αναφερθώ στη γεωμετρία. Ονομάζω τους μαθητής $x_0,x_1,x_2,\ldots,x_{99}$. Την ημέρα $k$, όπου $k = 1,2,\ldots,99$ ο μαθητής $x_0$ κάθεται με τον μαθητή $x_k$, ενώ οι μαθητές $x_i,x_j$ (με $i,j \neq 0,k$) κάθονται μαζί αν και μόνο αν $i+j \equ...

Ας γράψουμε $s(m)$ για το άθροισμα των ψηφίων του $m$. Αν $n \equi 1 \bmod 3$, τότε $n^2 \equiv n^3 \equiv 1 \bmod 3$, άρα $s(n^2) + s(n^3) \equiv 2 \bmod 3$, άτοπο αφού $s(n) + s(n^2) = 45$. Ομοίως απορρίπτονται οι $n \equiv 2,5 \bmod 9$. Απορίπτοντας επίσης τους λήγοντες σε $0,1,5,6$ μένει να ελέγ...

Μιχάλη σίγουρα είναι έτσι; Βρίσκω απάντηση μόνο με την επιπλέον προϋπόθεση ότι από την πρώτη ερώτηση της Άννας συμπεραίνουμε ότι ο αριθμός της ανήκει στο $\{1,2,\ldots,15\}$. Σε διαφορετική περίπτωση θα γνώριζε την απάντηση και άρα δεν θα έκανε την ερώτηση. Δεν είμαι όμως σίγουρος αν δικαιούμαστε να...

Ισχύει για κάθε $k$. Παίρνω $n = 8k$ και ορίζω $\pi(m) = m$ εκτός από τους αριθμούς που βρίσκονται στα ζεύγη $(1,2),(3,6), \ldots,(4k-1,8k-2)$ όπου ορίζω την $\pi$ να αντιμεταθέτει τους αριθμούς των ζευγών. Σε κάθε ένα από τα $2k$ ζεύγη της μορφής $(m,2m)$ όπου η $\pi$ δεν είναι ταυτοτική, έχω $\dis...

Θα δείξουμε ότι οι μόνες λύσεις είναι οι $f(x) = 0$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$ και $f(x) = x$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$ οι οποίες προφανώς ικανοποιούν τη σχέση. Μπορούμε να υποθέσουμε ότι δεν είμαστε στην πρώτη περίπτωση και άρα υπάρχει $a \in \mathbb{R}$ με $f(a) \neq 0$. Για $x = y = 1$ έχουμε ...

Δεν έχω κάποια «όμορφη» λύση. Ο πιο κάτω πίνακας δείχνει ότι μπορούμε να πετύχουμε τουλάχιστον $8$ διαφορετικούς αριθμούς. $\displaystyle \begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline 6 & 2 & -2 & 6 \\ \hline 3 & -1/6 & -1/6 & -3 \\ \hline -3 & 1/6 & 1/6 & 3 \\ \hline -6 & 2 & -2 & -6 \\ \hline \end{tabular}$ Θ...

Μπορούμε για παράδειγμα να πάρουμε τις $\displaystyle g(x) = \begin{cases} -x+\frac{1}{x} & x < 0 \\ f(0) & x=0 \\ f(x) + x - \frac{1}{x} & x > 0 \end{cases}$ και $\displaystyle h(x) = \begin{cases} f(x)+x-\frac{1}{x} & x < 0 \\ 0 & x=0 \\ -x + \frac{1}{x} & x > 0 \end{cases}$ Επειδή $g$ συνεχής στο...

Αν κάποιο τριώνυμο έχεις ρίζες $x_i,x_j$ τότε η διακρίνουσά του ισούται με $\displaystyle b^2 - 4ac = (x_i+x_j)^2 - 4x_ix_j = (x_i-x_j)^2$ Από τις ρίζες $1,11,12,23$, δύο ανήκουν στο ίδιο τριώνυμο. Αν είναι οι $1,11$, τότε $\Delta = 10^2$ και οι άλλες ρίζες πρέπει να είναι οι $22 = 12+10$ και $13 = ...

Θα το βάλω στο κέντρο. Αν το βάλω οπουδήποτε αλλού, ο Γιώργος το βάζει στο αντιδιαμετρικό του και η πιθανότητα να κερδίσω είναι το πολύ $50\%$. (Μπορεί να είναι και μικρότερη αν ο Γιώργος βρει ακόμη καλύτερη στρατηγική. Π.χ. αν το βάλει στο κέντρο.) Αν το βάλω στο κέντρο, τότε μεταξύ κάθε δύο αντιδι...

Ναι μπορεί να γίνει και απευθείας. Απλά μιας και έφτασα και έγραψα τα υπόλοιπα είπα αντί να αλλάζω τα προηγούμενα να προσθέσω και την έξτρα περίπτωση.

Ονομάζω τις κορυφές τις πρώτης από πάνω σειράς $A,B,C,D,E$, της επόμενης $F,G,H,I$ και της τελεταίας $J,K$. Όπως δηλαδή φαίνεται παρακάτω αλλά χωρίς τις συνδέσεις. $\displaystyle \begin{tabular}{ccccc} A & B & C & D & E \\ F & G & H & I & \\ & & & J & K \end{tabular} $ Ο αστυνομικός κάνει αρχικά τα ...

Τώρα που το βλέπω ξανά θέλει λίγη περισσότερη προσοχή για το τι συμβαίνει αν . Τότε η εξίσωση της ευθείας είναι η οπότε έχουμε και . Όμως τότε πάλι το είναι ρίζα της .

Αλλιώς. Έστω $(p,q)$ το σημείο τομής. Κάθε ευθεία που περνά από αυτό έχει εξίσωση $y-q = \lambda(x-p)$. Αν περνά κάθετα στην παραβολή από το σημείο $(t,t^2)$, τότε η κλίση της είναι $\lambda = -\dfrac{1}{2t}$. Τότε $\displaystyle t^2 - q = \frac{p-t}{2t}$ που δίνει $\displaystyle 2t^3 + (1-2q)t - p ...

Μπορούμε να βρούμε τιμή του $x$ ώστε $\displaystyle \sin{x} = -\frac{1}{\sqrt{b^2+1}}$ και $\displaystyle \cos{x} = \frac{b}{\sqrt{b^2+1}}$. Για αυτό το $x$ παίρνουμε $\displaystyle -\sqrt{b^2+1} \geqslant -\sin{a}$ που είναι άτοπο εκτός και αν $b=0$ και $\sin{a} = 1$. Δηλαδή $b=0$ και $a = 2k\pi + ...

Όποιος ακέραιος ικανοποιεί την πρώτη συνθήκη ικανοποιεί ταυτόχρονο και τη δεύτερη. Πράγματι αν τότε .

Δεν χρειάζεται λοιπόν κανένας κόπος για να βρούμε τέτοιους ακεραίους.

Γιώργο, δεν έχω διαβάσει τα προηγούμενα για να ξέρω τι είναι η διαφορά των δύο μεγίστων και γιατί είναι ανεπίτρεπτη. Αλλά ο wolfram μια χαρά σχεδιάζει τη γραφική παράσταση. Απλά η αλλαγή κλίμακας την κάνει να φαίνεται παραμορφωμένη. Βάζω δυο γραφικές που έκανα με άλλο πρόγραμμα. Η καμπύλη είναι και ...