Η αναζήτηση βρήκε 8067 εγγραφές

από Demetres
Τετ Ιουν 02, 2021 11:00 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Πολυώνυμο δύο μεταβλητών
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 219

Re: Πολυώνυμο δύο μεταβλητών

Δίνω κάποιες επιπλέον εξηγήσεις στην πιο πάνω λύση. Ουσιαστικά σε διάφορα σημεία χρησιμοποίησα την εξής πρόταση: Λήμμα: Έστω πολυώνυμο $f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ και έστω ότι υπάρχουν άπειρα σύνολα $A_1,\ldots,A_n$ ώστε $f(x_1,\ldots,x_n) = 0$ για κάθε $x_1 \in A_1,\ldots,x_n \in A_n$. Τότε $f(...
από Demetres
Τετ Ιουν 02, 2021 12:01 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Πολυώνυμο δύο μεταβλητών
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 219

Re: Πολυώνυμο δύο μεταβλητών

Για $a=b=c=0$ παίρνω $P(0,1)=0$. Για $a=b=0$ παίρνω $P(0,y) = 0$ για κάθε $y \geqslant 1$. Αφού αυτό ισχύει για άπειρες τιμές του $y$ τότε $P(x,y) = xQ(x,y)$ για κάποιο πολυώνυμο δύο μεταβλητών $Q(x,y)$. Τότε $abQ(ab,c^2+1) + bcQ(bc,a^2+1) + caQ(ca,b^2+1) = 0$ για κάθε $a,b,c \in \mathbb{R}$. Για $a...
από Demetres
Τετ Μάιος 26, 2021 10:40 am
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Σειρά με διωνυμικό
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 117

Re: Σειρά με διωνυμικό

Για $k > 1$ έχουμε $\displaystyle \begin{aligned} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{H_n}{\binom{n+k}{k}} &= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{k!H_n}{(n+1) \cdots (n+k)} \\ &= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{k!H_n}{k-1} \left(\frac{1}{(n+1)\cdots (n+k-1)} - \frac{1}{(n+2) \cdots (n+k)} \right) \\ &= \frac{k!}{k-1}\sum_{n=...
από Demetres
Δευ Μάιος 24, 2021 12:24 pm
Δ. Συζήτηση: Μαθηματική Λογική & Θεμέλια Μαθηματικών
Θέμα: Απαρίθμηση
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 323

Re: Απαρίθμηση

Εναλλακτικά μία δεύτερη λύση με συνδυαστική. Για το 1ο βιβλίο έχουμε $2$ επιλογές (να το πάρει ο Α ή να το πάρει ο Β, για το 2ο έχουμε $2$ επιλογές ,......., για το 14ο έχουμε $2$. Από τη βασική αρχή απαρίθμησης υπάρχουν $2^{14}$ τρόποι να δοθούν τα $14$ βιβλία και από την αρχή της διπλής μέτρησης ...
από Demetres
Κυρ Μάιος 23, 2021 9:34 pm
Δ. Συζήτηση: Μαθηματική Λογική & Θεμέλια Μαθηματικών
Θέμα: Απαρίθμηση
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 323

Re: Απαρίθμηση

Ναι αλλά είναι από το 0 ως το 14 όχι από το 1 ως το 14.

Επιπλέον ερώτηση: Με τι ισούται το \displaystyle  \sum_{n=0}^{14}  \binom{14}{n}
από Demetres
Κυρ Μάιος 23, 2021 8:22 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά
Θέμα: Μία εικασία
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 179

Re: Μία εικασία

Μπορεί να αποδειχθεί χρησιμοποιώντας το γεγονός ότι οι τέλειες δυνάμεις είναι «αραιές» στους φυσικούς αριθμούς. Ας δούμε τι εννοώ. Από το 1 ως το $N$ έχουμε το πολύ $\sqrt{N}$ τέλεια τετράγωνα, $\sqrt[3]{N} \leqslant \sqrt{N}$ τέλειους κύβους κ.ο.κ. Αν υπάρχει τέλεια $k$ δύναμη σε αυτό το σύνολο (εκ...
από Demetres
Κυρ Μάιος 23, 2021 8:07 pm
Δ. Συζήτηση: Μαθηματική Λογική & Θεμέλια Μαθηματικών
Θέμα: Απαρίθμηση
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 323

Re: Απαρίθμηση

Lymperis Karras έγραψε:
Κυρ Μάιος 23, 2021 7:53 pm
Οπότε εγώ θα έλεγα πως είναι \dbinom{21}{7}*\sum_{n=1}^{7}\dbinom{14}{n}
Λάθος και αυτό. Γιατί το άθροισμα να είναι από το 1 ως το 7;
από Demetres
Κυρ Μάιος 23, 2021 10:07 am
Δ. Συζήτηση: Συνδυαστική - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Χρωματισμός κύβου
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 272

Re: Χρωματισμός κύβου

Μου αρέσουν πολύ τέτοιες ασκήσεις που είναι δύσκολες μεν αλλά έχουν αρκετά σύντομη λύση δε. Γράφουμε $a_i,b_i,c_i$ για το πλήθος των οριζόντιων, κάθετων και εγκάρσιων γραμμών που περιέχουν το χρώμα $i$. Έχουμε $a_ib_ic_i \geqslant n$ για κάθε $i$. Άρα από Holder $\displaystyle (a_1 + \cdots + a_{n^2...
από Demetres
Παρ Μάιος 21, 2021 3:31 pm
Δ. Συζήτηση: Μαθηματική Λογική & Θεμέλια Μαθηματικών
Θέμα: Σύνολα
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 107

Re: Σύνολα

Έστω A_1 = \{x_1,\ldots,x_k\}. Έστω προς άτοπο ότι η τομή όλων των συνόλων είναι κενή. Αυτό σημαίνει ότι για κάθε i υπάρχει σύνολο f(i) ώστε x_i \notin A_{f(i)}.

Μένει τώρα μια γραμμή για να ολοκληρωθεί η απόδειξη.
από Demetres
Παρ Μάιος 21, 2021 9:48 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Γ' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO 2021
Απαντήσεις: 13
Προβολές: 888

Re: Γ' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO 2021

Δεδομένου ότι το θέμα είναι για μαθητές γυμνασίου είμαι περιέργος να δω τις επίσημες λύσεις και το πως δικαιολογούμε τις ενδιάμεσες τιμές του διαστήματος που έχουμε βρει. Η λύση που είχαμε ήταν πιο κοντά σε αυτήν που έδωσε ο giannis2006. (Συγχαρητήρια Γιάννη για τη λύση και καλωσόρισες στο :logo: )...
από Demetres
Τετ Μάιος 19, 2021 12:23 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Γ' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO 2021
Απαντήσεις: 13
Προβολές: 888

Γ' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO 2021

Πρόβλημα 1: Να βρείτε όλους τους θετικούς ακέραιους αριθμούς $n$, ώστε ο αριθμός $\displaystyle \frac{n^{2021}+101}{n^2+n+1}$ να είναι ακέραιος. Πρόβλημα 2: Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί $x,y$ με $x \geqslant \sqrt{2021}$ έτσι ώστε να ισχύει $\displaystyle \sqrt[3]{x+\sqrt{2021}}+\sqrt[3]{x-\sqrt...
από Demetres
Πέμ Μάιος 13, 2021 11:51 pm
Δ. Συζήτηση: Στατιστική-Πιθανότητες
Θέμα: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ-ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 328

Re: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ-ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ

Σωστά!
από Demetres
Πέμ Μάιος 13, 2021 12:19 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: Eλάχιστο άθροισμα 100 θετικών ακεραίων ίσο με το ΕΚΠ τους
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 240

Re: Eλάχιστο άθροισμα 100 θετικών ακεραίων ίσο με το ΕΚΠ τους

Σωστά, αλλά ας δούμε και μια απόδειξη: Σίγουρα πρέπει $S \geqslant 100$ Παρατηρώ ότι αν $p$ πρώτος και $p^k|S$ τότε ένας από τους αριθμούς πρέπει να είναι πολλαπλάσιος του $p^k$. Τότε όμως θα έχω $S \geqslant 99 + p^k$. Από αυτήν την παρατήρηση μπορούμε να απορρίψουμε τα εξής: Το $S = 100$ δεν γίνετ...
από Demetres
Πέμ Μάιος 13, 2021 12:00 pm
Δ. Συζήτηση: Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Θέμα: Πέντε εξάρια
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 233

Re: Πέντε εξάρια

Χωρίς «κολλητά» εξάρια: \displaystyle 6+6-\frac{6+6}{6}
από Demetres
Πέμ Μάιος 13, 2021 10:50 am
Δ. Συζήτηση: Στατιστική-Πιθανότητες
Θέμα: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ-ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 328

Re: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ-ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ

Καλημέρα. Παρακαλώ να γράφεις τις αναρτήσεις στο σε Latex όπως απαιτεί ο κανονισμός μας. Διόρθωσα την προηγούμενη ανάρτησή σου απλώς βάζοντας τους μαθηματικούς τύπους ανάμεσα σε δολλάρια. Επίσης αντί για το αστεράκι χρησιμοποιούμε τον κωδικό \cdot για να εμφανιστεί η τελεία του πολλαπλασιασμού. Α) Θ...
από Demetres
Δευ Μάιος 03, 2021 12:01 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: ΑΓΙΟΥ ΓΕΩΡΓΙΟΥ (ΜΕΤΑΦΕΡΜΕΝΗ ΕΟΡΤΗ)
Απαντήσεις: 15
Προβολές: 471

Re: ΑΓΙΟΥ ΓΕΩΡΓΙΟΥ (ΜΕΤΑΦΕΡΜΕΝΗ ΕΟΡΤΗ)

Χρόνια πολλά στους εορτάζοντές μας!
από Demetres
Δευ Μάιος 03, 2021 12:00 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Ευχές
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 289

Re: Ευχές

Χρόνια πολλά στους χθεσινούς εορτάζοντες!
από Demetres
Παρ Απρ 23, 2021 1:37 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ
Θέμα: Ύπαρξη ομάδων
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 321

Re: Ύπαρξη ομάδων

Ας δούμε μια απόδειξη ότι η $G$ δεν είναι απλή. Έστω $G$ μια ομάδα τάξης $p(p+1)$. Έστω $n_p$ το πλήθος των Sylow $p$-υποομάδων της $G$. Από τα θεωρήματα Sylow, $n_p \equiv 1 \bmod p$. Άρα $n_p = 1$ ή $n_p = p+1$. Δεν μπορούμε να έχουμε $n_p \geqslant 2p+1$ αφού τότε θα είχαμε $|G| \geqslant 1 + 2p^...
από Demetres
Πέμ Απρ 22, 2021 2:56 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Πρωταρχικές Πυθαγόρειες τριάδες
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 577

Re: Πρωταρχικές Πυθαγόρειες τριάδες

Η πιο απλή λύση στην οποία αναφέρεται ο Διονύσης είναι ουσιαστικά αυτή που δίνει σε παρόμοιο πρόβλημα ο Αλέξανδρος εδώ . Αν πούμε ότι ο Διονύσης το έλυσε χρησιμοποιώντας πύραυλο (Αλγεβρική Θεωρία Αριθμών) τότε στον πιο πάνω σύνδεσμο μπορείτε να δείτε και μια λύση με πυρηνικό οπλισμό. (Με Θεωρία Galo...
από Demetres
Τετ Απρ 21, 2021 11:48 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Ανισότητα
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 716

Re: Ανισότητα

Joaakim έγραψε:
Τετ Απρ 21, 2021 11:18 am
Έστω χωρίς βλάβη της γενικότητας ότι: d \ge c \ge b \ge a. Τότε παίρνουμε ότι:

- 4=a+b+c+d \ge 4d .
Υπάρχει λάθος εδώ.

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση