Αν $p$ πρώτος αριθμός και $\frac{\alpha }{\beta }=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...\frac{1}{p-1}$ να δείξετε ότι $p/\alpha$ Το άθροισμα γράφεται: $S=\displaystyle{\sum_{i=1}^{\frac{p-1}{2}}{(\frac{1}{i}+\frac{1}{p-i})}=p \sum_{i=1}^{\frac{p-1}{2}}{\frac{1}{i(p-i)}} ,}$ οπότε από Wilson, $\displaystyle{...

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f,g:\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $g(0) = 0$ και $mf(m) + 2f(mn) + nf(n) = (m + n)g(m + n), \ \forall m,n \in\mathbb{Z}.$ Για $m,n=0$ είναι $f(0)=0$. Για $n=0$ είναι $mf(m)=mg(m)$, και επειδή $f(0)=0=g(0)$ έχουμε $f(m)=g(m)$. Για $n=1$, $mf(m...

Το 3ο πρόβλημα έλεγε: Για θετικούς $a,b,c$ με $a+b+c=3$ να δείξετε οτι $\frac{a^2}{(b+c)^3}+\frac{b^2}{(c+a)^3}+\frac{c^2}{(a+b)^3}\geq\frac{3}{8}$ Πότε έχουμε ισότητα; Σήμερα έδινα στον προκριματικό και έλυσα 3 θέματα(δεν είμαι σίγουρος αν είναι ολόσωστα). Κατευθείαν καταπιάστηκα με το τρίτο πρόβλη...

Να υπολογιστεί το όριο:

Nα προσδιορίσετε ότα τα πολυώνυμα $P(x)$ με πραγματικούς συντελεστές ώστε : $sinP(x)=P(sinx)$ *Ευχαριστώ parmenides!! Αν και έχω αρκετές αμφιβολίες για τη λύση, τη βάζω. Για $x=0$ έχουμε $sinP(0)=P(0)\Rightarrow P(0)=0$, αφού ισχύει $sinx\geq x$, με ισότητα για $x=0$. Για $x=k\pi$, είναι $sin(P(k\p...

H πρέπει να είναι αντιπαράδειγμα. Μήπως η φορά της τελειταίας ανισότητας είναι ανάποδη;

Κατόπιν παράκλησης του κ. Μπάμπη Στεργίου, θα ήθελα να παρουσιάσω τη λύση μου λίγο πιο αναλυτικά, για να γίνει κατανοητή από όλους. Έχουμε λοιπόν, $x:y=2\Rightarrow x-2y=0(1)$. Τώρα θα εξετάσουμε ποια είναι τα δυνατά υπόλοιπα των $x,y$. Αυτά γενικά μπορεί να είναι (0,1),(0,2),(1,0),(2,0),(1,1),(2,2)...

Δεν μπορεί!
Αν οι δυο αριθμοί, τότε ή , δηλαδή ή το διαιρεί το άθροισμα των 16 ψηφίων, που εύκολα βλέπουμε οτι δεν ισχύει.

Μία ερώτηση, μήπως βγαίνουν τα μηδενικά και όχι ; Το λέω γιατι π.χ. στη δεύτερη απόδειξη, . Ή μήπως δεν βλέπω κάτι καλά (το πιο πιθανό γιατί και οι δυο λύσεις βγάζουν το ίδιο αποτέλεσμα).

Έστω $P(x,y)$ η δοθείσα. Αν υπάρχει ρητός $a$ με $f(a)=0$. Τότε $P(x,a)\Rightarrow f(x)=0$ Έστω οτι $f(x)\neq0$ για κάθε ρητό $x$. Τότε $P(-f(0),0)\Rightarrow f(0)=f(-f(0))f(0)\Rightarrow f(-f(0))=1$. Άρα $P(x,-f(0))\Rightarrow f(x+1)=f(x)$, οπότε $f(x+k)=f(x)(1)$. $P(x+f(y),y) \Rightarrow f(x+2f(y)...

Το 4ο ΘΕΜΑ των "ΜΕΓΑΛΩΝ " Το ισοσκελές τραπέζιο του σχήματος αποτελείται από ίσα μεταξύ τους ισόπλευρα τρίγωνα που οι πλευρές τους έχουν μήκος 1 . Η πλευρά $A_{1}E$ έχει μήκος $3$ και η μεγάλη βάση του $A_{1}A_{\nu }$ έχει μήκος $\nu -1$ . Ξεκινάμε από το σημείο $A_{1}$ και κινούμαστε κατά μήκος τω...

Νομίζω ότι έχω βρεί γιατί το $\displaystyle{f(0)=0}$ Άμα βάλλω $\displaystyle{x=y=0}$ τότε $\displaystyle{f(f^{2}(0))=0}$. Άμα υποθέσω ότι $\displaystyle{f(0)\neq 0}$ τότε επειδή ο Κώστας πριν έχει αποδείξει ότι $\displaystyle{f(x)=x}$ για κάθε $\displaystyle{x\neq 0}$ καταλαβαίνουμε ότι πρέπει $\d...

Κώστα, αυτά που γράφεις στην τελευταία πρόταση ισχύουν για $x\ne 0.$ Για να είμαστε πλήρεις, έχουμε να δείξουμε ακόμα ότι $f(0)=0$ (δεν είναι δύσκολο.) Ναι, Θανάση έχεις απόλυτο δίκιο. Νομίζω ότι έχω βρεί γιατί το $\displaystyle{f(0)=0}$ Άμα βάλλω $\displaystyle{x=y=0}$ τότε $\displaystyle{f(f^{2}(...

Είναι στην έκτη σελίδα http://www.artofproblemsolving.com/Reso ... rs/LTE.pdf, αν και χρησιμοποιεί θεωρήματα από τις προηγούμενες σελίδες (συγκεκριμένα το θεώρημα 2 στη σελίδα 4)

ΑΣΚΗΣΗ 32 Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\Bbb{R}\to \Bbb{R}$ τέτοιες ώστε $f(f(x+y)f(x-y))=x^{2}-yf(y) ,$ για κάθε $x,y\in \Bbb{R}.$ Για $y=0, f(f^2(x))=x^2$. Για $x=0$ $f(f(y)f(-y))=-yf(y))$ Για $x=0, y=-y,$$f(f(y)f(-y))=yf(-y))$ Απ`τις δυο τελευταίες $f(-y)=-f(y)$, οπότε η δεύτερη $f(-f...

58. Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle f(m + f(f(n))) = -f(f(m + 1))-n ,$ για κάθε $m,n \in \mathbb{Z}.$ Ίσως υπάρχει πιο σύντομη, αλλά νομίζω είναι σωστή. Έστω $P(m,n)$ η σχέση που δίνεται. Τότε $P(0,n)\Rightarrow f(f(f(n)))=-f(f...

ΑΣΚΗΣΗ 17(Γ ΛΥΚΕΙΟΥ) : Θεωρούμε την συνάρτηση $\displaystyle{f}$ με πεδίο ορισμού το $\displaystyle{R}$ για την οποία υποθέτουμε ότι $\displaystyle{999f(\pi -x)+998f(x-\pi )=1996.\sigma \upsilon \nu x}$ για κάθε $\displaystyle{x\epsilon R}$. Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{f^{2}(\pi +x)+f^{2}(\fra...

86. Θεωρούμε την ακολουθία που ορίζεται ως $a_{n+2}a_{n}=(a_{n+1})^2+2$ με $a_{1}=a_{2}=1$. Να δείξετε ότι η ακολουθία αποτελείται από περιττούς ακεραίους και ότι οι αριθμοί $a_{n},a_{n+1},a_{n+2}$ είναι ανά δύο πρώτοι μεταξύ τους για κάθε $n.$ Ένας άλλος τρόπος για να αποφύγουμε επαγωγή είναι να π...

Η πιο απλά από την ανισότητα που αποδείξαμε

Άσκηση 3 Τετραπλεύρου $ABCD$ , εμβαδού $E$ , οι διαγώνιοι τέμνονται στο $S$ , σχηματίζοντας $4$ τρίγωνα $ASB , BSC ,$ $CSD, DSA$ , με εμβαδά : $E_{1} , E_{2} , E_{3} , E_{4}$ αντίστοιχα. Δείξτε ότι : $\sqrt{E_{1}}+\sqrt{E_{2}}+\sqrt{E_{3}}+\sqrt{E_{4}}\leq 2\sqrt{E}$ Έστω $b,d$ αντίστοιχα οι αποστά...