Μπορεί να είναι περιττός ο αριθμός $\sqrt{1+\left(2\frac{p}{q}\right)^2 d}$, όπου $d = m(m+1)$, $m \in \mathbb{N}$ και $2\frac{p}{q} \in \mathbb{Q}\setminus \mathbb{Z}$ ?
Βρήκα (με τη βοήθεια υπολογιστή) κάποια παραδείγματα που δείχνουν ότι μπορεί, π.χ.
1) $m = 8$ και $2\frac{p}{q} = 2\frac{35}{6 ...

Ευχαριστώ πολύ! Μήπως γίνεται καμια απλοποίηση? Η σχέση αυτή φένεται σημετρική ως προς

'Εχω να λύσω τις παρακάτω δυο σειρές

$\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n \cos[(2n+1)\theta]}{2n+1} \hspace{0.03cm},\hspace{0.6cm}\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n \sin[(2n+1)\theta]}{2n+1}$

όπου $0\leq \theta \leq \pi/2$, ή γενικά πραγματικος αριθμός. Καμιά ιδέα πως?

Υ.Γ. για την ...

Ευχαριστώ! Επίσης το ορισμένο ολοκλήρωμα με από αποκλίνει...

'Οχι, είναι απλές παρενθέσεις. Το όρισμα του ημιτόνου είναι το . Στην ουσία έχουμε να λύσουμε το:



καθώς το ολοκλήρωμα του είναι τετριμμένο. Συγνώμη που δεν ήμουν ξεκάθαρος στην αρχή.

Γειά σας! 'Εχω το εξής ολοκλήρωμα που δεν μπορώ να λύσω (ούτε το πρόγραμμα Mathematica απ' ότι φαίνεται):



Μπορεί να βοηθήσει κανείς?

Ευχαριστώ πολύ!

Το $Res_{z=i}\frac{1-z^2}{(z^2+1)^2}e^{iz}$ είναι μηδέν?

Γιατί σκέφτηκα να κάνω το εξής:

Να ολοκληρώσω κατά παράγωντες:
$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x \sin (x)}{x^2+1}dx=-\left.\frac{x \cos(x)}{x^2+1}\right|_{-\infty}^{\infty}+\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}\cos (x) dx=\int ...

Tolaso J Kos έγραψε:δείξε με τη βοήθεια της ανισότητας πως το επικαμπύλιο πάνω στο τόξο πάει στο καθώς το .

Αν δεν κάνω λάθος, από την ανισότητα έχουμε ότι

το οποίο τείνει στο για .

Γεια σας. Χρειάζομαι τη βοήθεια σας στον υπολογισμό του παρακάτω ολοκληρώματος:



Στο mathematica δίνει , αλλα με ενδιαφερει η διαδικασία του υπολογισμού και όχι τόσο το τελικό αποτέλεσμα

Ευχαριστω!

Το μονάδικο που μπορώ να σκεφώ είναι η χρήση των πολλαπάστών Lagrange αλλά ξεφεύγει πολύ.

Είναι άσκηση λυκειακού επιπέδου. Οι πολλαπλασιαστές Lagrange δεν βοηθάνε, αντιθέτως νομίζω ότι κάνουν χειρότερα τα πράγματα.
Αν θες όμως δοκιμασέ το. Αλλά το να λες απλά κάποια γενικά πράγματα που εχούν ήδη ...

Βασικα τωρα που το ξαναβλεπω εκανα λαθος στον υπολογισμο της ελαχιστης τιμης. Δεν ισχυουν αυτα που γραφω...
Οποτε ας προσπαθησουμε τουλαχιστον να βρουμε την ελαχιστη τιμη της παραστασης.

Η άσκηση μάλλον δεν λύνεται αναλυτικά, μόνο με αριθμιτικές μεθόδους.

Η ελάχιστη τιμή είναι αυτή που έγραψα, απλά στην τελευταία ισότητα, για να είναι πιο ξεκάθαρο, θέλει .

Μια προσέγγιση είναι να τη δεις ως τριώνυμο ως προς κάποια μεταβλητή. Μια άλλη είναι να αντικαταστήσεις το y και μια τρίτη είναι με πολλαπλασιαστές Lagrange (υπο συνθήκη ακρότατα με συνθήκη ισότητα εν προκειμένω) που ανήκει στα πανεπιστημιακά. Οι ιδέες αυτές έχουν αρκετές πράξεις, μάλλον κάποια ...

Μήπως ζητάει να βρούμε το ελάχιστο?
Αυτό βγαίνει πολύ εύκολα.



Για y=0:

@Ch.Chortis που την βρήκες την άσκηση?

Demetres, ευχαριστώ πολύ που βοηθάς!

Έκανα στοιχειώδεις πράξεις με τις στήλες και βρήκα τελικά ότι οι δυο βάσεις είναι: $u_1=(-1,1,1)$, $u_2=(2,-1,-1)$, $u_3=(3,-2,-1)$ και η κανονική του $\mathbb{R}^3$.

Κάνοντας πράξεις με γραμμές του πίνακα πως αλλάζει η βάση?

Πάντως τελικά είναι πιο εύκολο να ...

Δεν ισχυει ομως οτι σε καθε γρμμικο μετασχηματισμο αντιστοιχει μονοσημαντα ενας πινακας και αντιστροφως?
Οποτε υποθετω οτι και οι βασεις στις οποιες ειναι εκφρασμενος ο πινακας πρεπει να ειναι μοναδικες.

Εχω τον εξης γραμμικο μετασχηματισμο: $T:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3$, $T(x,y,z)=(x+y+z,x+2y-z ...

Ξέρουμε ότι οι στήλες του πίνακα $A=[a_{ij]$ της $T$, είναι τα διανύσματα στήλες $Tu_i=a_{ij}v_j$. Τα $a_{ij}$ είναι γνωστά. Επίσης από τον τύπο της $T$ μπορούμε να βρούμε τα $Te_i$, όπου τα $e_i$ είναι τα διανύσματα της κανονικής βάσης. Μετά τι κάνουμε?
Προσπάθησα να γράψω τα διανύσματα $u$ στην ...

Όταν είναι γνωστός ο τύπος ενός γραμμικού μετασχηματισμού και ο πίνακας του ως προς κάποιες βάσεις του , χωρίς να γνωρίζουμε τα , πως βρίσκουμε τα διανύσματα αυτά?