Η αναζήτηση βρήκε 124 εγγραφές

από GVlachos
Σάβ Ιούλ 16, 2016 6:12 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: IMO 2016
Απαντήσεις: 48
Προβολές: 7072

Re: IMO 2016

(για μένα και το 5 είναι συνδυαστική) Γιώργο, όταν βρεις χρόνο βάλε την απόδειξή σου. Θα ήθελα να την δω διότι την δική μου δεν θα την έλεγα τόσο συνδυαστική. Περισσότερο άλγεβρα/ανάλυση θα την έλεγα Δημήτρη η λύση μου είναι ουσιαστικά η ίδια με αυτές που είδαμε από το Νίκο και το Σιλουανό. Το θέμα...
από GVlachos
Παρ Ιούλ 15, 2016 6:15 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: IMO 2016
Απαντήσεις: 48
Προβολές: 7072

Re: IMO 2016

Παιδιά πολλά συγχαρητήρια! Η φετινή ολυμπιάδα, με τα θέματα 2/5/6 στη συνδυαστική (για μένα και το 5 είναι συνδυαστική), ήταν αρκετά δύσκολη για έλληνες μαθητές. Παρά τη δυσκολία αυτή τα πήγατε και οι 6 πολύ καλά, μαζεύοντας αρκετά partial points και στα πιο δύσκολα προβλήματα 2/5. Αξίζει να σημειωθ...
από GVlachos
Δευ Ιουν 20, 2016 7:57 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΙΜΟ Μικρή Λίστα 2015
Απαντήσεις: 24
Προβολές: 5439

Re: ΙΜΟ Μικρή Λίστα 2015

Το πιο ωραίο για μένα πρόβλημα της λίστας. Ν8. Για κάθε θετικό ακέραιο $n=\prod_{i=1}^k p_i^{a_i}$ ορίζουμε $\displaystyle\mho(n)=\sum_{i: p_i>10^{100}}a_i$. Να βρεθούν όλες οι γνησίως αύξουσες συναρτήσεις $f:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}$ ώστε $\displaystyle\mho (f(a)-f(b))\leqslant\mho (a-b)$ Γι...
από GVlachos
Κυρ Ιουν 19, 2016 11:05 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΙΜΟ Μικρή Λίστα 2015
Απαντήσεις: 24
Προβολές: 5439

Re: ΙΜΟ Μικρή Λίστα 2015

Ας δούμε κι αυτό. Όμορφο θέμα, αλλά πολύ εύκολο για $N6$. Ν6. Έστω μία συνάρτηση $f:\mathbb{Z}_{>0}\rightarrow\mathbb{Z}_{>0}$ για την οποία ισχύουν τα ακόλουθα: α) Αν $m,n\in\mathbb{Z}_{>0}$ τότε o $\displaystyle\frac{f^{n}(m)-m}{n}$ είναι θετικός ακέραιος. β) το σύνολο $\mathbb{Z}_{>0}\setminus\{ ...
από GVlachos
Σάβ Ιουν 18, 2016 1:27 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΙΜΟ Μικρή Λίστα 2015
Απαντήσεις: 24
Προβολές: 5439

Re: ΙΜΟ Μικρή Λίστα 2015

Βάζω ένα διαφορετικό τελείωμα από εδώ και πέρα: (Μπορεί να το ελέγξει κάποιος; ) Είναι άμεσο ότι αν $s,t\in S$ με $t>s>K$ τότε η άρτια αναπαράσταση του $t$ περιέχει το $s$. Οπότε για κάθε $s_j>L$ θα έχουμε ότι γράφεται στη μορφή $s_j=s_{j-1}+\ldots+s_z+Y_j$ όπου το $Υ_j$ είναι το υπόλοιπο, δηλαδή ά...
από GVlachos
Σάβ Ιουν 18, 2016 11:19 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΙΜΟ Μικρή Λίστα 2015
Απαντήσεις: 24
Προβολές: 5439

Re: ΙΜΟ Μικρή Λίστα 2015

Ν7. Για κάθε θετικό ακέραιο $k$ μία συνάρτηση $f:\mathbb{Z}_{>0}\rightarrow\mathbb{Z}_{>0}$ θα λέγεται $k$-καλή αν $\displaystyle\gcd (f(m)+n, f(n)+m)\leqslant k$ για κάθε $m\neq n$. Να βρεθούν όλα τα $k$ για τα οποία υπάρχει $k$-καλή συνάρτηση. Θα δείξουμε ότι υπάρχει τέτοια συνάρτηση $k = 2$, οπό...
από GVlachos
Παρ Ιουν 17, 2016 6:17 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΙΜΟ Μικρή Λίστα 2015
Απαντήσεις: 24
Προβολές: 5439

Re: ΙΜΟ Μικρή Λίστα 2015

C6. Έστω $S$ ένα μη κενό σύνολο που αποτελείται από θετικούς ακεραίους. Θα λέμε ότι ένας θετικός ακέραιος $n$ είναι καθαρός, αν έχει μοναδική αναπαράσταση σαν άθροισμα από περιττό πλήθος διακεκριμένων στοιχείων του $S$. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν άπειροι θετικοί ακέραιοι που δεν είναι καθαροί. 'Εστ...
από GVlachos
Παρ Ιουν 17, 2016 4:21 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΙΜΟ Μικρή Λίστα 2015
Απαντήσεις: 24
Προβολές: 5439

Re: ΙΜΟ Μικρή Λίστα 2015

Σιλουανέ σε ευχαριστούμε, για άλλη μια χρονιά, για τα προβλήματα. Να συνεχίσουμε με τη συνδυαστική: C3. Σε ένα πεπερασμένο σύνολο $A$ με στοιχεία θετικούς ακέραιους, ονομάζουμε μία διαμέριση του $A$ σε δύο μη κενά ξένα μεταξύ τους υποσύνολά του $A_1, A_2$ καλή, αν το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των σ...
από GVlachos
Σάβ Ιούλ 11, 2015 7:04 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: IMO 2015
Απαντήσεις: 34
Προβολές: 4589

Re: IMO 2015

Κύριε Ψύχα, Σιλουανέ, πολλά συγχαρητήρια για το πρόβλημά σας. Πρέπει να είναι η πρώτη φορά που επιλέγεται ελληνικό πρόβλημα στην ΙΜΟ, και από όσο θυμάμαι επίσης σπάνιο να υπάρχει ελληνικό πρόβλημα στη shortlist. Είμαι βέβαιος πως θα υπάρξει και συνέχεια. Βάζω τη λύση μου για το 6 σε hide. Λόγω κούρα...
από GVlachos
Τετ Ιουν 10, 2015 5:17 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: IMO 2014 (Shortlisted Problems)
Απαντήσεις: 36
Προβολές: 5950

Re: IMO 2014 (Shortlisted Problems)

Combinatorics 7 Έστω $M$ ένα σύνολο από $n\geq 4$ σημεία στο επίπεδο, ανά τρία μη συνευθειακά. Αρχικά τα σημεία συνδέονται με $n$ τμήματα έτσι ώστε κάθε σημείο του $M$ να είναι άκρο από ακριβώς δύο τμήματα. Ύστερα, σε κάθε βήμα, μπορούμε να διαλέξουμε δύο τμήματα $AB,CD$ που να έχουν κοινό εσωτερικ...
από GVlachos
Σάβ Αύγ 02, 2014 2:54 am
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: IMC 2014/2/4
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 635

Re: IMC 2014/2/4

Πολλή συνδυαστική φέτος, αλλά αρκετά χαμηλό το επίπεδο. Το συγκεκριμένο θέμα μου άρεσε αρκετά, οπότε ανεβάζω τη λύση μου. Αρχικά, μας δίνεται μία αρκετά περίπλοκη εκφώνηση, οπότε βοηθάει πολύ να απλοποιήσουμε το ζητούμενο. Ισοδύναμα, ζητείται να: Βρείτε το μέγιστο $\delta(n,k)$, ώστε να υπάρχει σύνο...
από GVlachos
Κυρ Ιουν 30, 2013 8:29 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: BMO 2013 Ἀγρός
Απαντήσεις: 30
Προβολές: 2998

Re: BMO 2013 Ἀγρός

Και μία για το 3ο: $f(k^2x,k^2y,k^2z)=kf(k^2x,ky,z)=k\frac{z}{k^2x}f(z,ky,k^2x)=\frac{z}{x}f(z,y,x)=f(x,y,z)$ $f(x,y,z)=f(1,\frac{y}{x},\frac{z}{x})=f(1,ab,(a+1)b^2)=b(a+1)$, όπου : $ab=\frac{y}{x}$ $(a+1)*b^2=\frac{z}{x}$ Η λύση του συστήματος δίνει $b=\frac{-\frac{y}{x}+\sqrt{\frac{y^2}{x^2}+\frac...
από GVlachos
Κυρ Ιουν 30, 2013 8:11 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: BMO 2013 Ἀγρός
Απαντήσεις: 30
Προβολές: 2998

Re: BMO 2013 Ἀγρός

Ωραία τα θέματα φέτος Μια προσπάθεια για το 2ο πρόβλημα: Καταρχάς, $2013=3*11*61$ Από Μικρό Θεώρημα Fermat, $x^{10}=1(mod 11)\Righarrow x^5=+1,-1 (mod 11)$ Οπότε εύκολα βρίσκουμε με δοκιμές στον εκθέτη $y$ ότι $y=5*k$ Έχουμε λοιπόν ισοδύναμα τη νέα εξίσωση $x^5+4^{5*k}=2013^z \Leftrightarrow (x+4^k)...
από GVlachos
Κυρ Ιούλ 15, 2012 8:13 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: IMO 2012
Απαντήσεις: 93
Προβολές: 8061

Re: IMO 2012

Πολλά συγχαρητήρια στο φίλο μου Παναγιώτη Λώλα για το Χρυσό! :winner_first_h4h: Πρώτο Χρυσό για μαθητή της δευτέρας Λυκείου! Πάντα τέτοια Παναγιώτη! Ιδιαίτερα συγχαρητήρια αξίζουν και στον άλλο Παναγιώτη (Δημάκη) για το Αργυρό μετάλλιο :winner_second_h4h: με πολύ καλή σειρά, αν και πρώτη Λυκείου! Επ...
από GVlachos
Σάβ Ιούλ 14, 2012 5:01 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: IMO 2012
Απαντήσεις: 93
Προβολές: 8061

Re: IMO 2012

Και μια διαφορετική προσέγγιση για το 4ο. Θεωρώ ότι έχει αποδειχτεί ότι η $f$ είναι άρτια και ότι $f(0)=0$ και ότι ισχύει $f(2a)(f(2a)-4a)=0$(προκύπτει για $a=b,c=-2a$) Αν η $f$ δεν μηδενίζεται στους θετικούς τότε παίρνουμε εύκολα με επαγωγή (για $a=n,b=n+1,c=-2n$, έχοντας ως βάση ότι $f(2)=4f(1))$ ...
από GVlachos
Σάβ Ιούλ 14, 2012 4:30 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: IMO 2012
Απαντήσεις: 93
Προβολές: 8061

Re: IMO 2012

Για το 6ο: Αρχικά παρατηρούμε, αν πολλαπλασιάσουμε τη δεύτερη σχέση με $3^n$, ότι το πλήθος των περιττών αριθμών στο σύνολο $[1,n]$ πρέπει να είναι άρτιος, επομένως ο $n$ είναι της μορφής $4k+1$ ή $4k+2$. Θα αποδείξουμε με επαγωγή ότι για κάθε $n$ της μορφής αυτής υπάρχει μία ακολουθία που ικανοποιε...
από GVlachos
Δευ Ιούλ 09, 2012 12:49 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: IMO 2012
Απαντήσεις: 93
Προβολές: 8061

Re: IMO 2012

Καλή επιτυχία παιδιά!
Να επιστρέψετε με πολλά και καλά μετάλλια! :first:

Επίσης να προτείνω μεταφορά του τόπικ στα θέματα διαγωνισμών της ΕΜΕ.
από GVlachos
Τετ Ιουν 06, 2012 1:09 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Συναρτησιακή
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 1085

Re: Συναρτησιακή

Προφανώς η f είναι 1-1 και επί, άρα υπάρχει c με f(c)=0
Για x=0,y=c παίρνουμε c=0,f(0)=0
Για x=0, f(2f(y))=2y
Για x=0, y=2f(z), f(4f(z))=4f(z)
Για y=0,f(2x)=x+f(x) και για x=2f(z),f(4f(z))=2f(z)+2z \Leftrightarrow 4f(z)=2f(z)+2z \Leftrightarrow f(z)=z που ικανοποιεί τη σχέση.
από GVlachos
Δευ Απρ 09, 2012 9:04 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: Περιοδική συνάρτηση
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 339

Re: Περιοδική συνάρτηση

Ευχαριστώ Νίκο, δεν το είχα προσέξει.
από GVlachos
Δευ Απρ 09, 2012 7:03 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: Περιοδική συνάρτηση
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 339

Re: Περιοδική συνάρτηση

Αν η συνάρτηση $f\colon [0,\infty)\to\mathbb{R}$ είναι συνεχής και τέτοια ώστε $\displaystyle \int_{0}^{n}f(x)f(n-x)\ \text{d}x=\int_{0}^{n}f^{2}(x)\ \text{d}x ,$ για κάθε ακέραιο $n\ge 1 ,$ να δείξετε ότι είναι περιοδική. $\displaystyle \int_{0}^{n}f(x)f(n-x)\ \text{d}x=\int_{0}^{n}f^{2}(x)\ \text...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση