ΛΗΜΜΑ. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο $\vartriangle ABC$ με $\angle A = 90^{o}$ και έστω $CD,\ CM,$ η διχοτόμος και η διάμεσός του αντιστοίχως. Η δια του σημείου $A$ κάθετη ευθεία επί την $CD$ τέμνει την $CM$ στο σημείο έστω $E.$ Αποδείξτε 'οτι $DE\perp AB.$ Κώστας Βήττας. Για την καλημέρα μου στον αδελ...

Ισεμβαδικά.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο $ABC$ , η $CD$ είναι διχοτόμος και $AM$ διάμεσος . Ο κύκλος $(C , D , M )$ τέμνει την υποτείνουσα $BC$ στο σημείο $S$ . Δείξτε ότι : $(CDM)=(SDB)$ . Έστω $ST$ το ύψος του τριγώνου $\vartriangle SDB$ . Τότε $2\left( CDM \right)=DM\cdot b:\left( 1 \right)$ και $DM=...

Έστω τρίγωνο $ABC$ και το ύψος του $AD$. Από το $D$ φέρνουμε παραλλήλους προς τις πλευρές $AB$, $AC$ οι οποίες τις τέμνουν την $AB$ στο $P$, την $AC$ στο $S$ και τις ευθείες των υψών που αντιστοιχούν στις $AB$ και $AC$, στα $K$ και $O$ αντίστοιχα. Να αποδείξετε πως $BC \parallel KO$. Σημείωση: Η άσ...

Το σαλιγκάρι.pngΣτο ημικύκλιο διαμέτρου $AB=2r$ , το τμήμα $PT$ , που είναι κάθετο στην $AB$ , με : $TB=x<r$ , έχει μέσο το σημείο $M$ και το ημικύκλιο διαμέτρου $PT$ , τέμνει την $AP$ στο σημείο $Q$ . Η ευθεία $QM$ τέμνει την προέκταση της $AB$ στο σημείο $S$ . Υπολογίστε το τμήμα $BS$ , συναρτήσε...

ΕΠΑΝΑΦΟΡΑ

Τμήμα τμήματος.pngΟ έγκυκλος του τριγώνου $ABC$ , εφάπτεται των πλευρών $BC , CA$ , στα σημεία $S , P $ αντίστοιχα . Από το $A$ διέρχεται ευθεία παράλληλη προς την $BC$ , την οποία η $SP$ τέμνει στο σημείο $T$ .Υπολογίστε το τμήμα $PT$ συναρτήσει των $a , b , c$ . Εφαρμογή για : $a=9 , b=7 , c=5$ ....

Έστω $ABC$ ένα οξυγώνιο τρίγωνο και $D, E, Z$ οι ορθές προβολές των κορυφών του στις απέναντι πλευρές. Αν $L$ η ορθή προβολή του σημείου $D$ στην ευθεία $EZ$, να δείξετε ότι η ευθεία $LD$ είναι διχοτόμος της γωνίας $BLC$. Αν $P\equiv FE\cap BC$ τότε ως γνωστό η σειρά $\left( P,B,D,C \right)$ είναι ...

Δίνεται τρίγωνο $ABC$ με ορθοκεντρο $H$ και περικεντρο $O$ και $D,E,F$ τα ίχνη των υψών του στις $BC,CA,AB$ αντίστοιχα. Πάνω στην ευθεία $EF$ υπάρχει σημείο $X$, για το οποίο $BC\parallel HX.$ Να δείξετε ότι $\angle XDO=90^\circ.$ Για του λόγου το αληθές :D Χριστουγιενιάτικη καθετότητα!!..png Από τ...

Μια όμορφη ομοιότητα τριγώνων.png Έστω οξυγώνιο τρίγωνο $\vartriangle ABC$ και ο περιγεγραμμένος του κύκλος $\left( O \right)$ , κέντρου $O$. Έστω $AD,BE,CF$ τα ύψη του και $H$ το ορθόκεντρό του. Να δειχθεί ότι τα τρίγωνα $\vartriangle AOD,\vartriangle DHK$ είναι όμοια με $K$ την ορθή προβολή του $...

KARKAR έγραψε: ↑

Κυρ Δεκ 21, 2025 6:36 pm

Στάθη , καλές γιορτές . Εκφράζω την απορία , πως αφού βρήκες την εύκολη λύση της σημείωσης ,δημοσίευσες εν τέλει την δυσκολότερη

Καλές γιορτές Θανάση.
Την ευκολότερη την άφησα για σένα γιατί την δυσκολότερη δεν θα την έγραφες από ότι "φαίνεται"

Οριζοντίως.pngΤο άκρο $N$ της χορδής $NS$ είναι ο βόρειος πόλος κύκλου $(O)$ . Τυχόντος σημείου $P$ του κύκλου , ονομάζουμε $P'$ το συμμετρικό ως προς $NS$ και $T$ την τομή του κύκλου με την $P'S$ . Δείξτε ότι το τμήμα $PT$ είναι "οριζόντιο " . οριζοντίως.png Έστω $Q$ ο Νότιος Πόλος του κύκλου. Τότ...

Κάντε σχέδια.pngΤο σημείο $A$ κινείται στον οριζόντιο άξονα . Στον ημιάξονα $Oy$ θεωρούμε σημείο $B$ , τέτοιο ώστε : $OA+OB=12$. Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο της προβολής $T$ του σημείου $S(0,-1)$ στην $AB$ . Επιτρέπεται χρήση λογισμικού . Στο ίδιο σύστημα αξόνων σχεδιάστε την γραφική παράσταση της σ...

Απαιτητική παραλληλία.pngΓια το εξωτερικό σημείο $T$ του κύκλου $(O,3)$ είναι : $OT=10$ . Το σημείο $M$ είναι το μέσο του $OT$ . Θεωρώ ένα σημείο $A$ του κύκλου και φέρω $AS\perp AT$ και $AQ \perp AM$ . Βρείτε την θέση του $A$ , για την οποία : $QM \parallel ST$ . Θεωρούμε ορθοκανονικό σύστημα στο ...

Θέλω να μοιάσω.pngΗ ευθεία $y=-1$ τέμνει τον κύκλο $x^2+y^2=9$ στα σημεία $B , C$ και η ευθεία $y=\dfrac{23}{9}$ σε δύο άλλα σημεία , από τα οποία το "αριστερότερο" ονομάζουμε $A$ . Η χορδή που συνδέει το $A$ με τον νότιο πόλο $S$ τέμνει την $BC$ στο $P$ . Ο κύκλος $(A,B,P)$ τέμνει την $AC$ στο $T$...

Συντρέχεια!!.png $\bullet$ Ας είναι $Q \equiv BC \cap AE.$ Έστω ότι ο κύκλος $(D,DC)$ επανατέμνει την ευθεία $DE$ στο $W.$ Είναι $\displaystyle \angle EDC\overset{ADEB \epsilon \gamma \gamma \varrho \alpha \psi \iota \mu o}=\angle EBA$ και $\displaystyle \angle CDF\overset{DF \perp BC}=\angle CBA,$...

Πολυάσκηση.pngΤου ορθογωνίου τριγώνου $ABC$ , η κορυφή της ορθής γωνίας είναι το σημείο $A(0,5)$ , η $B$ είναι σημείο της ευθείας $y=-1$ και η $C$ σημείο της $y=1$ . Φέρουμε το ύψος $AD$ . α) Υπολογίστε το τμήμα $OD$ ... β) Εξετάστε αν : $\omega=2\theta$ . γ) Πότε το τρίγωνο είναι και ισοσκελές ; ....

Λασπόνερα.pngΣτο - τύπου "$ 3-4-5 $" - ορθογώνιο τρίγωνο $ABC$ , "εγγράφω" το τετράγωνο $SPQT$ , με κέντρο $O$ και τις κορυφές $P,Q$ στην υποτείνουσα $BC$ . α) Υπολογίστε την πλευρά του τετραγώνου . β) Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{\tan\theta}{\tan\phi}$ . Προαιρετικό : Μπορούμε να γενικεύσουμε ; Θ...

Σχιζοφρενική ελαχιστοποίηση.pngΣτο παραλληλόγραμμο $ABCD$ , η πλευρά $AB=d$ είναι η διάμετρος ημικυκλίου και το $D$ σημείο του . Έστω $S$ η προβολή του $C$ στην εφαπτομένη του τόξου στο $D$ και $T$ η τομή της $DC$ με το ημικύκλιο .Υπολογίστε το ελάχιστο του $ST$ . Χωρίς βλάβη της γενικότητας θεωρού...

Τμήμα από μέσα.pngΤο ορθογώνιο τρίγωνο $OAB$ του σχήματος , έχει την εξής ιδιότητα : Για κάποιο σημείο $S$ του κύκλου $(O,5)$ , είναι : $SA^2+SB^2=169$ . Υπολογίστε το τμήμα $MN$ που συνδέει τα μέσα της ακτίνας $OS$ και της υποτείνουσας $AB$. $169=S{{A}^{2}}+S{{B}^{2}}\overset{1o\,\,\Theta .\Delta ...

KARKAR έγραψε: ↑

Τετ Δεκ 10, 2025 10:58 pm

, η αφάγωτη ουρά του βοδιού