Η αναζήτηση βρήκε 3863 εγγραφές

από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Πέμ Απρ 18, 2019 7:56 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ισόπλευρο χωρίς αιτία
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 73

Re: Ισόπλευρο χωρίς αιτία

Ισόπλευρο χωρίς αιτία.png Έστω ημικύκλιο διαμέτρου $AB$ . Σημείο $C$ του $AB$ είναι τέτοιο ώστε : $BC = 2CA$. Η κάθετη στο $C$ επί την $AB$ τέμνει το ημικύκλιο στο $D$. Σχηματίζω το ορθογώνιο $BCDE$ και έστω $K$ το σημείο τομής των $BD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AE$. Αν ο κύκλος $(K,KD)$ τέμνει την...
από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Πέμ Απρ 18, 2019 12:46 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Και οι τέσσερις συντρέχουν
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 238

Re: Και οι τέσσερις συντρέχουν

Να αποδείξετε ότι, σε ένα τρίγωνο $ABC$ οι τέσσερις ευθείες που περιέχουν $\bullet$ τα σημεία $B_{3}$, $C_{3}$ επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου με τις πλευρές του $AB$, $AC$ αντίστοιχα, $\bullet$ τα σημεία επαφής $B_{4}$, $C_{4}$ αυτών των πλευρών με τους αντίστοιχους παρεγγεγραμμένους ...
από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Δευ Απρ 15, 2019 1:29 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Σχέσεις σε ισόπλευρο
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 234

Re: Σχέσεις σε ισόπλευρο

GEOMETRIA221=FB2950.jpg Έστω ισόπλευρο τρίγωνο $ABC$ και $P$ σημείο της $BC$. Ο κύκλος που διέρχεται από το $A$ και εφάπτεται της $BC$ στο $P$ τέμνει τις $AB, AC$ στα $E, D$ αντίστοιχα. Αν η $AP$ συναντά τον περίκυκλο του $ABC$ στο $Q$, δείξτε ότι: ... c. $[AEQD]=3[QBC]$ Για να μην μείνει αναπάντητ...
από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Κυρ Απρ 14, 2019 12:21 am
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Καθετότητα από τον ..τμηματάρχη
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 264

Re: Καθετότητα από τον ..τμηματάρχη

Χαιρετώ. Η αφετηρία για την δημιουργία του παρόντος είναι το θέμα του KARKAR : Γίνε τμηματάρχης ! Καθετότητα , προσφορά του τμηματάρχη.PNG Το τρίγωνο $ABC$ του σχήματος είναι εγγεγραμμένο σε ημικύκλιο με κέντρο $O$ και έχει $\widehat{A}=90^{0}...tanB=\dfrac{4}{3}$ Το $M$ είναι το μέσον του τόξου $A...
από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Σάβ Απρ 13, 2019 10:42 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Καθετότητα από τον ..τμηματάρχη
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 264

Re: Καθετότητα από τον ..τμηματάρχη

Χαιρετώ. Η αφετηρία για την δημιουργία του παρόντος είναι το θέμα του KARKAR : Γίνε τμηματάρχης ! Καθετότητα , προσφορά του τμηματάρχη.PNG Το τρίγωνο $ABC$ του σχήματος είναι εγγεγραμμένο σε ημικύκλιο με κέντρο $O$ και έχει $\widehat{A}=90^{0}...tanB=\dfrac{4}{3}$. Το $M$ είναι το μέσον του τόξου $...
από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Σάβ Απρ 13, 2019 8:49 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ίσες διαφορές
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 138

Re: Ίσες διαφορές

Ίσες διαφορές.pngΟι "πάνω" εφαπτόμενες από σημεία $A , B $ , σε έναν κύκλο , τέμνονται στο $T$ , ενώ οι "κάτω" τέμνονται στο $S$ . Δείξτε ότι : $SB-SA=TB-TA$ . Έστω $D,E,F,Q$ τα σημεία επαφής των $TA,TB,AS,BS$ με τον κύκλο και ας είναι $K\equiv AS\cap TB,L\equiv BS\cap TA$ . Τότε $\left\{ \begin{ga...
από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Τρί Απρ 09, 2019 10:55 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Λήμμα;
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 358

Re: Λήμμα;

Λήμμα;.png $BE, CF$ είναι οι διχοτόμοι τριγώνου $ABC$ με $\widehat A=60^\circ.$ Η κάθετη από το $A$ στην $EF$ τέμνει την $BC$ στο $D$ και την $EF$ στο $M.$ Να δείξετε ότι $AM=MD.$ Το σημείο Miquel του πλήρους τετραπλεύρου $AFIEBC,I\equiv BE\cap CF$ με κορμό το προφανές (λόγω της 60άρας και των διχο...
από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Τρί Απρ 09, 2019 8:08 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Λήμμα;
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 358

Re: Λήμμα;

Λήμμα.png Γράφω τον κύκλο $A,E,B$ , ο οποίος τέμνει την $BC$ στο $D$ . Κόκκινη και πράσινη γωνίες , έχουν άθροισμα $60^0$ , άρα και ο κύκλος $(A,F,C)$ διέρχεται από το $D$ . Δείξτε τώρα , ότι η $FE$ είναι μεσοκάθετη στην κοινή χορδή $AD$ των δύο κύκλων . Πλάκα μας κάνεις Θανάση; Δεν τον βλέπεις τον...
από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Δευ Απρ 08, 2019 10:12 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Συντρέχουν
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 215

Re: Συντρέχουν

Συντρέχουν συμπλ..png Για τις ... ασχημάτιστες δύο λύσεις των παραπάνω . Μιας και ο Θανάσης μας έκανε δώρο το σχήμα (ευχαριστούμε) ας δούμε και μια ακόμα λύση κοιτάζοντάς το. Αν $S\equiv AB\cap QT,{S}'\equiv AB\cap DC$ τότε από το πλήρες τετράπλευρο $ABTQSL$ προκύπτει ότι η σειρά $\left( A,N,B,S \r...
από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Δευ Απρ 08, 2019 2:03 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Συντρέχουν
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 215

Re: Συντρέχουν

Συντρέχουν.pngΣτο ορθογώνιο τραπέζιο $ABCD$ , το ημικύκλιο διαμέτρου $AB$ τέμνει τις διαγωνίους $AC,BD$ στα σημεία $T,Q$ αντίστοιχα . Δείξτε ότι οι ευθείες $AB , DC , QT$ συντρέχουν ( σε σημείο $S$ ) . Προφανώς $K\equiv AC\cap BD$ είναι το ορθόκεντρο (λόγω ημικυκλίου) του τριγώνου $\vartriangle ALB...
από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Κυρ Απρ 07, 2019 1:32 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Από ισοσκελή σε ισοσκελές
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 486

Re: Από ισοσκελή σε ισοσκελές

Επαναφορά αφιερώνοντας την πιο πάνω πρόταση στη μνήμη του Droz - Farny ;)
από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Κυρ Απρ 07, 2019 1:29 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Ολυμπιάδα "Υψηλά Πρότυπα"
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 514

Re: Ολυμπιάδα "Υψηλά Πρότυπα"

Ολυμπιάδα «Υψηλά πρότυπα» 2019, 11η τάξη (*) ... 4. Από τις κορυφές του τριγώνου $ABC$ άγονται τρεις παράλληλες ευθείες $a,b,c$ αντίστοιχα, μη παράλληλες προς τις πλευρές του τριγώνου. Έστω $ A_{0}, B_{0}, C_{0}$ τα μέσα των πλευρών $BC, CA, AB$ και $A_{1}, B_{1}, C_{1}$ τα σημεία τομής του ζεύγους...
από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Σάβ Απρ 06, 2019 7:49 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: ΧΡΗΣΙΜΟ ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ- SL2005-G6
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 275

Re: ΧΡΗΣΙΜΟ ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ- SL2005-G6

Το θέμα $G6$ του 2005 δίνει αφορμή για ωραία συμπεράσματα και περιέχει εξαιρετικά λήμματα. Η σχετική συζήτηση έχει γίνει σε πολλά σημεία, κυρίως όμως στο : https://artofproblemsolving.com/community/c6h80872p463068 Από εκεί δανείζομαι ένα σχήμα και βάζω ως ερώτημα κάποια συμπεράσματα που είναι χρήσι...
από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Πέμ Απρ 04, 2019 9:03 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Από ισοσκελή σε ισοσκελές
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 486

Από ισοσκελή σε ισοσκελές

Από ισοσκελή σε ισοσκελές.png Έστω τμήμα $BC$ και τυχόν σημείο του $A$ διαφορετικό από τα άκρα του και ας είναι $\vartriangle DAB,\vartriangle EAC$ ισοσκελή (όχι όμοια) τρίγωνα , με $DB=DA,EC=EA$ προς το ίδιο ημιεπίπεδο της $BC$ . Αν $K,L$ είναι τα σημεία τομής των εκ του $A$ καθέτων επί τις $BD,CE...
από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Τετ Απρ 03, 2019 8:36 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Διχοτόμηση από κοινή χορδή
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 176

Re: Διχοτόμηση από κοινή χορδή

Διχοτόμηση από κοινή χορδή.png Από το έγκεντρο $I$ τριγώνου $ABC$ φέρνουμε κάθετη στην $AI$ που τέμνει τον περίκυκλο του τριγώνου στα $P, Q.$ Οι κύκλοι $(P, I, B)$ και $(Q, I, C)$ επανατέμνονται στο $S.$ Να δείξετε ότι η $SI$ διχοτομεί τη γωνία $P\widehat SQ.$ Γνωστή και εύκολη :D Ας δοκιμάσουν οι ...
από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Δευ Απρ 01, 2019 5:04 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Συντρέχουσες ευθείες και συνευθειακά σημεία 2.
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 650

Re: Συντρέχουσες ευθείες και συνευθειακά σημεία 2.

5 συνευθειακά.png Δίνεται τυχόν τρίγωνο $\vartriangle ABC$ και από τυχόντα σημεία των προεκτάσεων των διαμέσων του $AM,BN,CL$ φέρνουμε παράλληλες προς τις πλευρές του $BC,CA,AB$ που τέμνονται στα σημεία ${{A}_{1}},{{B}_{1}},{{C}_{1}}$ αντίστοιχα. Να δειχθεί ότι τα κέντρα ομοιοθεσίας $X,G,Y$ των ζευ...
από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Δευ Απρ 01, 2019 4:15 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Συντρέχουσες ευθείες και συνευθειακά σημεία 2.
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 650

Re: Συντρέχουσες ευθείες και συνευθειακά σημεία 2.

...Όσο για το λήμμα έχω τις αμφιβολίες μου για το κατά πόσο μεταφέρεται στη γενική περίπτωση,κυρίως γιατί έχει μεσοκαθέτους που δεν "βλέπονται" τόσο προβολικά.Πιθανότατα να κάνω λάθος.... Μίνο Η απόδειξη του Λήμματος που αναφέρω πιο πάνω στηρίζεται στην παραλληλία της $XY$ με την $BC$ (απαραίτητη π...
από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Δευ Απρ 01, 2019 1:33 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Συντρέχουσες ευθείες και συνευθειακά σημεία 2.
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 650

Re: Συντρέχουσες ευθείες και συνευθειακά σημεία 2.

Αν δεν κάνω σοβαρό λάθος ,δηλαδή το συμπέρασμα ισχύει και για τυχαίο τρίγωνο/σημεία στις διαμέσους,έτσι; Μίνο , Έχεις απόλυτα δίκιο ότι η πρόταση ισχύει και για οποιαδήποτε σημεία των διαμέσων (εξωτερικά του τριγώνου) και η απόδειξη είναι προφανώς παρόμοια με αυτό που έχω κάνει. Απλά το περίκεντρο ...
από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Δευ Απρ 01, 2019 12:26 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Συντρέχουσες ευθείες και συνευθειακά σημεία 2.
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 650

Re: Συντρέχουσες ευθείες και συνευθειακά σημεία 2.

Λήμμα : Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο $\vartriangle ABC\left( AB=AC \right)$ και επί των μεσοκαθέτων των πλευρών του $BC,CA,AB$ (με μέσα τα $M,N,L$ αντίστοιχα) και προς το εξωτερικό μέρος του τριγώνου $\vartriangle ABC$ θεωρούμε τα σημεία ${A}',{B}',{C}'$ αντίστοιχα. Αν $F\equiv C{A}'\cap A{B}',K\equiv...
από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Δευ Απρ 01, 2019 10:40 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Συντρέχουσες ευθείες και συνευθειακά σημεία 2.
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 650

Re: Συντρέχουσες ευθείες και συνευθειακά σημεία 2.

Αν δεν κάνω σοβαρό λάθος ,δηλαδή το συμπέρασμα ισχύει και για τυχαίο τρίγωνο/σημεία στις διαμέσους,έτσι; Μίνο , αν θέλεις δώσε κάποιες διευκρινήσεις για το τι ακριβώς εννοείς και αν αυτό ισχύει για την αρχική πρόταση του Κώστα ή για το Λήμμα που έγραψα και θα αναρτήσω την απόδειξη το μεσημεράκι για...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση