Ίσες δύο γωνίες .png Έστω $ABC\,\,$ ένα τρίγωνο με $\measuredangle \,B\,\,>90{}^\circ \,\,$ τέτοιο ώστε να υπάρχει σημείο $H\,\,$ στην πλευρά $AC\,\,$ με $AH=BH\,\,$ και $HB\bot BC\,\,$ στο $B\,\,$. Αν $D\,\,$ και $E\,\,$ είναι τα μέσα των $AB\,\,$ και $BC\,\,$ αντίστοιχα και η παράλληλη από το $H\...

Ισότητα λόγω παραλληλίας.pngΣτο τρίγωνο $ABC$ με : $AB<AC$ , φέραμε τη διχοτόμο $AD$ και πήραμε σημείο $T$ της $BC$ , ώστε : $TC=BD$ . Για σημείο $P$ της $AC$ , είναι : $PT \parallel AB$ . Σημείο $S$ κινείται στην $PT$ . Οι $BS , CS$ προεκτεινόμενες , τέμνουν τις $AC , AB$ στα σημεία $B' , C' $ αντ...

ΚΑΛΗ ΧΡΟΝΙΑ !!! Ίσα εμβαδά.png Έστω $ABCD\,\,$ ένα τραπέζιο με $AD||BC\,\,$. Σημείο $M\,\,$ επιλέγεται μέσα στο τραπέζιο και ένα άλλο σημείο $N\,\,$ επιλέγεται μέσα στο τρίγωνο $BMC\,\,$, ώστε $AM||CN\,\,$ και $BM||DN\,\,$. Δείξτε ότι τα τρίγωνα $ABN\,\,$ και $CDM\,\,$ έχουν ίσα εμβαδά. Ας δούμε κα...

ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ ΜΕ ΥΓΕΙΑ ! Τρία έγκεντρα .png Μας δίνουν ένα τρίγωνο $ABC$, τον περιγεγραμμένο του κύκλο $\left( O \right)\,\,$ και το έγκεντρο $I\,\,$. Μετά μας λένε: Φέρτε την $AI$ η οποία να τέμνει την $BC$ στο $D$ και τον $\left( O \right)$ στο $S\,\,\left( \,A\cancel{\equiv }\,S \right)$, κατόπιν...

Από το ισόπλευρο στο ορθογώνιο.png Στην πλευρά $BA$ του ισοπλεύρου τριγώνου $ABC$ επιλέξτε ένα σημείο $P$ και στην πλευρά $AC$ σημείο $S$ , ώστε να είναι : $AS=2BP$ και επιπλέον : $AT \perp CP$ . Έστω $a=1$ και $K\equiv AT\cap BC$ . Τότε προφανώς $AP=1-x,CS=1-2x,KC=1-y$ , όπου $BK=y$ Από το Θεώρημα...

Λόγος επαφών.png Από σημείο $S$ που κινείται στο εξωτερικό του κύκλου $(O , r )$ , σε απόσταση $OS =d , d>r$ , φέρουμε τα εφαπτόμενα τμήματα $SA , SB$ και έστω $M$ το μέσο του $SB$ . Η άλλη εφαπτόμενη από το $M$ προς τον κύκλο , τέμνει το $SA$ στο σημείο $T$ . α) Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{AT}{T...

Παραλληλόγραμμο και ίσες γωνίες.png Δίνεται ένα παραλληλόγραμμο$ABCD$ του οποίου οι διαγώνιες τέμνονται στο $M$, ώστε ο κύκλος $\left( A,B,M \right)$ να τέμνει την πλευρά $AD$ σε σημείο $E$ διαφορετικό του σημείου $A$ και ο περίκυκλος του $\vartriangle \,EMD$ να τέμνει το τμήμα $BE$ σ’ ένα σημείο $...

Τρίγωνο - αερόστατο .png Έστω $ABC$ ένα οξυγώνιο τρίγωνο με $AC>AB$ και $\left( O \right)$ ο περίκυκλός του με $O$ το περίκεντρο. Τον $\left( O \right)$ επανατέμνει στο $D$ η κάθετη από το $A$ προς την $BC$ ενώ οι εφαπτόμενές του στα $B,C$ τέμνονται στο $S$. Αν $\left\{ E \right\}=AS\cap \left( O \...

Οι προεκτάσεις των μη παράλληλων πλευρών $AB$, $CD$ ενός τραπεζίου $ABCD$ τέμνονται στο σημείο $Q$, και οι διαγώνιοί του στο σημείο $P$. Στη βάση $BC$ θεωρούμε σημείο $S$ τέτοιο, ώστε $AS=DS$. Να αποδείξετε ότι $\angle PSB= \angle QSB$. trapez.png Στο σχήμα του Γιάννη με ελάχιστη φαντασία Προφανώς ...

Παράξενη ισότητα.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο $ABC$ , φέραμε το ύψος $AD$ προς την υποτείνουσα $BC$ και την διχοτόμο $BE$ , τα οποία τέμνονται στο σημείο $S$ . Σχεδιάσαμε το τετράγωνο $AEHZ$ και (πώς ; ) ημικύκλιο με διάμετρο $TC$ επί της $AC$ , το οποίο διέρχεται από την κορυφή $H$ . Δείξτε ότι τα τμή...

Έστω ότι το ορθόκεντρο $H$ του τριγώνου $A_{1}BC$ είναι και το έγκεντρο του τριγώνου $A_{2}BC$. Το σημείο $O$ είναι το περίκεντρο του τριγώνου $A_{1}BC$. Να αποδείξετε ότι οι ευθείες $A_{1}A_{2}$, $OH$ και $BC$ διέρχονται από το ίδιο σημείο. orthoc_incent .png Καλησπέρα Γιάννη και Κώστα Ας δούμε κα...

Χαιρετώ. Για το θέμα που ακολουθεί έχω λύση , αλλά και την .. :) .. προσδοκία για κομψότερη λύση απ' αυτή που βρήκα.. Θεωρούμε τον ρόμβο $ABCD$ . Οι $BM ,DN$ τέμνονται στο $E$ , όπου $M \in AD$ και $ N \in AB$ 18-10 Ίσοι λόγοι σε ρόμβο.png Να εξεταστεί αν ισχύει: $ \dfrac{\left ( ENA \right )}{\lef...

Άθροισμα τμημάτων σε ισόπλευρο.png Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο $ABC$ πλευράς $a=6$ και έστω $P$ ένα εσωτερικό του σημείο. Αν $D, E, F$ είναι οι προβολές του $P$ στις πλευρές $BC, AC, AB$ αντίστοιχα, να υπολογίσετε το άθροισμα $BD+CE+AF.$ 48 ώρες μόνο για μαθητές! Αθροισμα τμημάτων σε ισόπλευρο.png Οι...

Τομή διχοτόμων.pngΑξιοποιώντας το συμπέρασμα ( ή αλλιώς ) , βρείτε της συντεταγμένες του σημείου $M$ , στο οποίο τέμνονται οι διχοτόμοι των γωνιών $\hat{O}$ και $\hat{B}$ . Με $C\equiv MB\cap Ox\Rightarrow C\left( {OB},0 \right)\Rightarrow C\left( 10,0 \right)\Rightarrow M\left( \dfrac{10+8}{2},\df...

Υποχρεωτικά μέσο.pngΣε ένα ορθογώνιο $ABCD$ , πήραμε σημεία $M , S$ στις πλευρές $BC , CD$ αντίστοιχα και παρατηρήσαμε ότι : $\widehat{BAM}=\widehat{SAM}$ και : $\widehat{AMS}=90^0$ . Δείξτε ότι το $M$ "υποχρεωτικά" είναι το μέσο της $BC$ :!: Αρκεί η παραλληλία $AB\parallel DC$ (δεν είναι αναγκαίο ...

Δίνεται κύκλος $(\Omega)$ και δύο σημεία του $A$ και $B$. Οι εφαπτομένες του κύκλου στα σημεία $A$ και $B$ τέμνονται στο σημείο $C$. Έστω επίσης τέμνουσα του κύκλου $(\Omega)$, και $D$, $E$ τα σημεία τομής της με τον κύκλο (το $D$ μεταξύ των $C$, $E$). Από το $B$ θεωρούμε ευθεία παράλληλη της $AD$,...

Fragkos_28_9_2023.png Σε ευθεία θεωρώ κατά σειρά από αριστερά προς δεξιά τα σημεία : $E,B,M,C$ με $EB = BM = MC$. Έστω $K$ το μέσο του $EC$ και σημείο $A$ για το οποίο $\widehat {CBA} < 90^\circ $. Γράφω τον κύκλο , $\left( {A,E,K} \right)$. Τον κύκλο αυτό τέμνουν ακόμα: η $AB$ στο $S$, η $CA$ στο ...

Κάθετες ευθείες .png Έστω $WY$ και $XZ$ δύο τεμνόμενες στο $O$ ευθείες. Τα σημεία ${{G}_{1}},\,\,{{G}_{2}}$ είναι τα κέντρα βάρους των τριγώνων $WXO,\,\,YZO$ αντίστοιχα, ενώ τα σημεία ${{H}_{1}},\,\,{{H}_{2}}$ είναι τα ορθόκεντρα των τριγώνων $XYO,\,\,ZWO$ αντίστοιχα. Δείξτε ότι ${{G}_{1}}{{G}_{2}}...

Σας ευχαριστώ όλους για τις θερμές ευχές σας και τα καλά σας λόγια ( λίγο υπερβολικά νομίζω για μένα )

Σας εύχομαι με τη σειρά μου να είστε υγειείς στο σώμα και στο μυαλό εσείς και οι δικοί σας άνθρωποι

Καλημέρα σε όλους! Προσπάθεια για μια γενίκευση 12-9 πρακτική καθετότητα ..γενίκευση.png Το $ABCD$ είναι ορθογώνιο όπου $E \in AB$ και $S \in AC$. Ας είναι $\dfrac{AD}{AB}=k$ , $\dfrac{AE}{AB}=l$ και $\dfrac{AS}{SC}=m$. Να εξεταστεί αν ισχύει : $DS \perp SE \Leftrightarrow m=\dfrac{k^{2}+l}{1-l}$ Σ...