Έστω $X_n$ τα χρήματά μας μετά την $n$-οστή ρίψη του νομίσματος. Το αρχικό μας κεφάλαιο είναι $X_0 = 100$.

Παρατηρούμε ότι $\displaystyle{ \mathbb{P}(X_{n+1} = 2.5X_n) = \frac{1}{2} }$ και $\displaystyle{ \mathbb{P}(X_{n+1} = 0.25X_n) = \frac{1}{2} }$ για κάθε $0\leq n \leq 99$.

Η κατανομή της $X ...

Παρατηρούμε ότι $\displaystyle{ \angle MKN = 90^o }$, άρα $\displaystyle{ MCNK}$ εγγράψιμο. Όμως $\displaystyle{ KM = KN }$, άρα $\displaystyle{ \angle MCK = 45^o =\angle MCA}$.

Επομένως $\displaystyle{ A,K,C }$ συνευθειακά. Έπειτα από το Θ. Πτολεμαίου λαμβάνουμε $\displaystyle{ KM \cdot CN + KN ...

Καλησπέρα κ. Θανάση.

Έστω το συμμετρικό του ως προς το . Τότε .

Άρα . Όμως , άρα .

Καλησπέρα κ. Θανάση.

Από Δ. Σημείου ισχύει $\displaystyle{ MA^2 = MN\cdot MB = \frac{MB^2}{2}}$, άρα $\displaystyle{ SA^2 = 2MB^2}$.

Από Θ. Διαμέσων ισχύει $\displaystyle{ BA^2 + BS^2 = 2BM^2 + \frac{SA^2}{2} \implies BA^2 = SA^2 + \frac{SA^2}{2} - BS^2 = \frac{SA^2}{2}}$.

Από Ν. Συνημιτόνων ...

Παρατηρούμε ότι υπάρχει μοναδικό εσωτερικό σημείο $P$ με τη δοθείσα ιδιότητα.

Έστω $P'$ επί της διχοτόμου της $\angle B$ τέτοιο ώστε $BP' = AB$ και $A'$ το συμμετρικό του $A$ ως προς την $BC$.

Ισχύει $\angle P'BA' = 60^o$ και $BP' = BA'$, άρα το $\triangle BA'P'$ είναι ισόπλευρο.

Επομένως $A'B ...

KARKAR έγραψε:Γρηγόρη καλώς επανεμφανίστηκες ! Στο forum υπάρχουν πολλοί θαυμαστές σου

κι εγώ είμαι ένας απ' αυτούς . Νάσαι καλά και πάντα να προοδεύεις

Κ. Θανάση, σας ευχαριστώ πολύ για τα καλά σας λόγια.

Μια λύση με αρκετούς υπολογισμούς:

Έστω $O$ το κέντρο του δοθέντος κύκλου και $E, Z$ τα σημεία επαφής του με τις $\displaystyle{ A\Delta, \Gamma \Delta }$ αντίστοιχα.

Επίσης έστω $a$ το μήκος της κάθε πλευράς του τετραγώνου.

Καταρχάς είναι φανερό ότι το $\displaystyle{ O }$ ανήκει στην διχοτόμο ...

Καλησπέρα κ. Θανάση.

Έστω $O$ το κέντρο του ημικυκλίου. Παρατηρούμε ότι $\displaystyle{ \angle PST = 90^o - \angle OMT = 90^o - (45^o + \angle BMT) = 45^o - \angle BTP =}$

$\displaystyle{= 180^o - 135^o - \angle BTP = 180^o - \angle BTM - \angle BTP = \angle PTS}$, άρα $\triangle TPS$ ισοσκελές ...

Έστω $B'$ το συμμετρικό του $B$ ως προς την $A\Gamma$. Τα $A,\Delta, B'$ είναι συνευθειακά και το $\triangle B\Gamma B'$ ισόπλευρο.

Ισχύει $\displaystyle{\angle B' \Delta \Gamma = 30^o = \frac{\angle B' B\Gamma}{2}}$, άρα $D\in c(B,B\Gamma)$. Επομένως $\displaystyle{ B\Delta = B\Gamma \implies ...

Καλησπέρα κ. Θανάση.

Παρατηρούμε ότι $\angle PAO = \angle QAO\implies \tau o \xi. PO =\tau o \xi. OQ$ και $OA = OT \implies \tau o \xi. OA = \tau o \xi. OT$.

Άρα $\tau o \xi. AP = \tau o \xi. TQ \implies \angle PQA = \angle TAQ$. Επίσης λόγω εφαπτομένης ισχύει $\angle TAQ = \angle CTS$

άρα ...

Καλησπέρα κ. Κώστα. Δίνω μία ιδέα "λερωμένη" με λίγη τριγωνομετρία:

Με γενικευμένο Πυθαγόρειο προκύπτει ότι $\displaystyle{ ST^2 = SD^2 + TD^2 + TD\cdot DA = SD^2 + TD\cdot TA }$ και

$\displaystyle{ PT^2 = CP^2 + TC^2 + TC \cdot CB = CP^2 + TC\cdot TB}$. Από τον Ν. Συνημιτόνων λαμβάνουμε ...

Χρόνια Πολλά σε όλους τους Γρηγόρηδες και τις Μαργαρίτες της κοινότητας του mathematica!

Σας ευχαριστώ από καρδιάς όλους για τις ευχές και εύχομαι ό,τι το καλύτερο για εσάς και τους δικού σας ανθρώπους!

Καλημέρα κ. Θανάση. Δύο προσεγγίσεις:

1η: Αν $M$ το μέσο της $BC$, τότε $AD\parallel OM \parallel ES$. Όμως το $O$ είναι το μέσο της $AS$,

άρα το $M$ είναι το μέσο της $DE$. Επομένως $BD = CE$.

2η: Παρατηρούμε ότι $\displaystyle{\triangle ADB \sim \triangle ACS \implies \frac{BD}{CS} = \frac ...

Καλησπέρα κ. Θανάση!

Φέρουμε $ST \perp CA$, όπου το $T$ ανήκει στην προέκταση του $CA$. Παρατηρούμε ότι $\displaystyle{ \frac{BS}{CP} = \frac{ST}{CP} }$.

Επίσης $\displaystyle{ \frac{ST}{AD} = \frac{CT}{AC} = \frac{BC}{AC}$ και $\displaystyle{ \frac{CP}{AD}} = \frac{BC}{AB}$, άρα διαιρώντας κατά ...

Σήμερα κλείνεις τα 30 και οι φίλοι σου αγόρασαν μια τούρτα με 30 κεριά. Κάνεις μια ευχή και προσπαθείς να τα σβήσεις. Κάθε φορά που φυσάς, σβήνεις τυχαίο πλήθος κεριών μεταξύ του ενός και του αριθμού των κεριών που
απομένουν (συμπεριλαμβανομένων των άκρων). Πόσες φορές, κατά μέσο όρο, πρέπει να ...

Καλησπέρα κ. Στάθη. Δίνω μια ιδέα ώστε επί της ευκαιρίας να σας συγχαρώ για το Stathis Koutras' Theorem!

Καταρχάς, αν $Z, R$ είναι τα μέσα των $AC,BD$ αντίστοιχα, το $ZMRN$ είναι ρόμβος.

Επομένως στο $\triangle ZMR$ για το οποίο ισχύει $MZ \parallel KA$ και $MR \parallel KB$, η $MN$ διχοτομεί ...

Το άθροισμα των αποστάσεων ενός εσωτερικού σημείου του από τις πλευρές του είναι ανεξάρτητο από την θέση του σημείου.
Να αποδειχθεί ότι το είναι ισόπλευρο.

Καλησπέρα κ. Μπάμπη. Δίνω μια ιδέα:

Έστω $P,Q$ τα σημεία τομής των $AL,AK$ με τον κύκλο $(O)$. Οι διάμετροι $PC, BQ$ τέμνονται στο $O$. Επίσης ισχύει $\displaystyle{ \angle PAB = \angle QAC }$

άρα το $\displaystyle{ PBCQ }$ είναι ισοσκελές τραπέζιο. Άρα η $\displaystyle{ AN }$ τέμνει την ...

Άσκηση 96: Δίνεται ακολουθία $\displaystyle{(a_n) }$ για την οποία ισχύει $\displaystyle{ a_{n+1} -a_n \to 0 }$. Αν η $\displaystyle{ (a_n) }$ έχει 2 οριακούς αριθμούς $\displaystyle{ a,b }$ με $\displaystyle{ a<b}$,
να αποδειχθεί ότι κάθε αριθμός του διαστήματος $\displaystyle{ [a,b] }$ είναι ...

Καλησπέρα κ. Θανάση!

Έστω τα μέσα των αντίστοιχα. Τα τρίγωνα και είναι φανερά ίσα από .