Θα παρακαλούσα επίσης να καρφιτσωθεί στην κορυφή, ώστε οι νέοι να μη χρειάζεται να ψάχνουν σε προηγούμενες σελίδες για να βρουν συμβουλές.

Ανοίγω αυτό το topic καθώς από μηνύματα που λαμβάνω, βλέπω πως υπάρχει έντονο ενδιαφέρον από νέους φοιτητές, και λόγω ερευνητικής δραστηριότητας δεν έχω πλέον χρόνο να απαντώ σε όλα τα μηνύματα. Καλό είναι λοιπόν όσοι έχουμε μια εμπειρία και θέλουμε να βοηθήσουμε τους νεότερους, να γράψουμε εδώ τι π...

Μάλιστα παραπάνω λες με μεγάλη σιγουριά ότι αυτή η άποψη που συχνά έχεις εκφράσει δεν είναι απλώς η δική σου γνώμη αλλά ένα αδιαμφισβήτητο γεγονός. Αν ήταν αδιαμφισβήτητο γεγονός μάλλον δε θα υπήρχαν οι απόψεις του Δημήτρη (αργυρό στην ΙΜΟ και πολλές διακρίσεις σε JBMO,BMO,SEEMOUS,IMC) και του Σωτή...

Η μειωμένη συμμετοχή στο διαγωνισμό είχε ρίξει πολύ τη γενικότερη δυσκολία των θεμάτων τα τελευταία χρόνια. Μέχρι που μια χρονιά έπαιρνες χάλκινο λύνοντας ένα θέμα Λυκείου και αργυρό αν έλυνες επιπλέον και ένα θέμα απλών πράξεων με 2χ2 πίνακες. Φέτος όμως, αν και απουσίαζε το εξαιρετικά δύσκολο πρό...

Καλημέρα! Είδα τα θέματα με καθυστέρηση μερικών ημερών, και μπορώ να πω πως μου άρεσαν. Αν και απουσίαζε το ιδιαίτερα δύσκολο πρόβλημα, που κατ' εμέ πρέπει να υπάρχει σε κάθε υψηλού επιπέδου διαγωνισμό, και τα 4 ήταν προβλήματα αξιοπρεπούς δυσκολίας για έναν διαγωνισμό που απευθύνεται σε ταλαντούχο...

Καλημέρα! Είδα τα θέματα με καθυστέρηση μερικών ημερών, και μπορώ να πω πως μου άρεσαν. Αν και απουσίαζε το ιδιαίτερα δύσκολο πρόβλημα, που κατ' εμέ πρέπει να υπάρχει σε κάθε υψηλού επιπέδου διαγωνισμό, και τα 4 ήταν προβλήματα αξιοπρεπούς δυσκολίας για έναν διαγωνισμό που απευθύνεται σε ταλαντούχου...

Πολλά συγχαρητήρια σε όλους τους μαθητές και καλή επιτυχία στον προκριματικό! Παραθέτω αρχικά μια λύση στο θέμα 4 των μεγάλων που βλέπω πως δεν έχει απαντηθεί, μαζί με τον τρόπο σκέψης: Σαν πρώτο βήμα, κοιτάμε να βρούμε θετικούς ακέραιους $k$ για τους οποίους το $A(k, a, b)$ μπορεί να είναι σύνθετος...

3, 5, 9 παραείναι εύκολα για τη θεση τους. 6, 7 παραείναι ευκολα για το διαγωνισμο γενικά (έπρεπε να μπει μονο 1 εκ των 2). Κατ' εμέ χρειάζεται να υπαρχει και στην Ευρωπη ένας φοιτιτικος διαγωνισμος υψηλού κύρους, οπως είναι ο πατναμ στην Αμερική, αλλά αυτο προϋποθέτει καλύτερο evaluatiοn στη δυσκολ...

Το πρώτο πρόβλημα είναι. Αν $\mathbb{Z}$ είναι το σύνολο των ακεραίων να βρείτε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}$ για τις οποίες ισχύει , $f(2x)+2f(y)=f(f(x+y))$ για όλα τα $x,y\in \mathbb{Z}$ Για $y=0$ έχουμε $f(2x) + 2f(0) = f(f(x)) \quad (1)$, ενώ για $y=0$ έχουμε $f(0) +...

Πρόβλημα 3: Ας είναι $ABC$ σκαληνό, οξυγώνιο τρίγωνο. Ας είναι $X$ και $Y$ δύο διαφορετικά, εσωτερικά σημεία του ευθύγραμμου τμήματος $BC$, για τα οποία ισχύει $\angle CAX = \angle YAB$. Υποθέτουμε ότι: 1) $K$ και $S$ είναι τα ίχνη των καθέτων από το $B$ στις ευθείες $AX$ και $AY$ αντίστοιχα 2) $T$...

Λογω έλλειψης χρονου βάζω μονο το 3ο θέμα που μου άρεσε ιδιαίτερα. Θα περιμένω λίγο και μετά θα βάλω μια ενδιαφέρουσα λύση που έχω σκεφτεί. Έστω ένα θετικος ακέραιος $n \geq 2$ και $n \times n$ πίνακες $A, B$ με στοιχεία μιγαδικούς αριθμούς, έτσι ώστε $B^2 = B$. Να δείξετε οτι: $Rank(AB - BA) \leq R...

αν και μόνο αν ο [/b] $\displaystyle \left ( 1+\frac{b}{a} \right )^b $ είναι $a-$ οστή δύναμη ρητού δηλαδή $b=ka$ Βασικά δεν ισχύει αυτο διοτι μπορεί απλά η βάση να είναι $a$-οστή δύναμη ρητού, και αυτο συμβαίνει αν $a > 1$ αφού $a, b$ είναι σχετικά πρώτοι. Κοβοταν μισή με μια μονάδα για μη επαρκή...

Πρόβλημα 4: Για ποιά $p \in \mathbb{Q} $ υπάρχει $3 \times 3$ πίνακας $X$ με στοιχεία ρητούς έτσι ώστε: $X^{2}= \left({\begin{array}{ccc} p & 1 &1 \\\noalign{\vspace{0.3cm}} 1 & p & 1 \\\noalign{\vspace{0.3cm}} 1 & 1 & p \end{array}}\right )$ Αυτό είναι ζόρικο για 3ωρο διαγωνισμό, υπό την έννοια ότ...

Διαφορετικά η Γεωμετρία της Γ, μαζί με μια ανάλυση της σκέψης: Γενικά, όταν ζητείται τέτοια καθετότητα σε σχήμα αυτού του τύπου, η εμπειρία οδηγεί στο να εξετάσουμε μήπως υπάρχει ορθόκεντρο. Στο συγκεκριμένο σχήμα, όπως αναφέρθηκε σε προηγούμενη λύση, οι άλλες 2 καθετότητες που χρειάζονται ισοδυναμο...

Ας δούμε και αυτό: Αν έχουμε τα $k$ διανύσματα σε μια σειρά, τότε είτε στις άρτιες είτε στις περιττές θέσεις υπάρχουν $\lceil{\frac{k}{2}\rceil}$ από αυτά που θα είναι ανα 2 κάθετα, άρα γραμμικώς ανεξάρτητα, οπότε ο χώρος τους πρέπει να έχει διάσταση τουλάχιστον $\lceil{\frac{k}{2}\rceil}$. Ο $\math...

Αυτό μου άρεσε. Πρωτα απ' όλα παρατηρούμε ότι $a_{n+1} \geq -2$ για κάθε $n$, καθώς διαφορετικά θα είχαμε $a^2_n < 0$. Μετά, δείχνουμε πως η ακολουθία είναι μη θετική. Αν δεν είναι, τότε επειδή $a_1 = -2$, υπάρχει $m$ με $a_m \leq 0$ και $a_{m+1} > 0$, οπότε $a^2_{m} = a^3_{m+1} + 8 > 8$, άρα $a_{m}...

Υπάρχει σώμα του οποίου η πολλαπλασιαστική ομάδα να είναι ισόμορφη με την προσθετική του; Θα γράψω τη σκέψη που κρύβεται πίσω από τη λύση πρώτα: Προφανώς το σώμα θα είναι άπειρο διότι διαφορετικά οι 2 ομάδες δεν είναι ισοπληθικές, άρα ούτε ισόμορφες. Κοιτάμε τώρα να δούμε τι γίνεται σε ένα κλασικό ...

Η λύση μου στη Γεωμετρία των μεγάλων βασίζεται στην παρατήρηση του κ. Λουρίδα, το οποίο δεν ξέρω πόσο γνωστό θεωρείται, αλλά δοκίμασα να εξετάσω αν ισχύει όταν είδα πως αρκεί να αποδειχτεί αυτό. Η πρώτη σκέψη είναι πως τα σημεία είναι συνευθειακά όταν και μόνο όταν το $A$ ανήκει στο ριζικό άξονα των...

Εύκολα βλέπουμε πως αν ονομάσουμε $a,b,c$ τους 3 αριθμούς, ώστε $a \leq b \leq c$, τότε $a^3, b^3, c^3$ είναι ακέραιοι και $2b = a + c$ Νίκο, δεν λέει πουθενά "διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου". Ωχ πράγματι. Θα επανέλθω πιο μετά. Edit: Επανέρχομαι: Είναι $a = xn + y, b = xm + y, c = xk + y$ με $...

Για το 4ο της Γ: Εύκολα βλέπουμε πως αν ονομάσουμε $a,b,c$ τους 3 αριθμούς, ώστε $a \leq b \leq c$, τότε $a^3, b^3, c^3$ είναι ακέραιοι και $2b = a + c$ αν έχουμε αριθμητική πρόοδο. Άρα από Euler: $6\sqrt[3]{2018^2p^2q^2r^2} = 6abc = 8b^3 - a^3 - c^3$ είναι ακέραιος. Όμως εντός της τρίτης ρίζας, το ...