Λόγω του μεγάλου φόρτου εργασίας δεν μπαίνω πια τόσο συχνά στο φόρουμ, οπότε με κάποια καθυστέρηση θα πω συγχαρητήρια σε όλα τα παιδιά για την εξαιρετική τους επίδοση! Όσον αφορά τα προβλήματα τώρα: Πρόβλημα 1. Έστω $ABC$ ένα οξυγώνιο τρίγωνο τέτοιο, ώστε $CA \neq CB$ με περιγεγραμμένο κύκλο $\omega...

Σας ευχαριστώ όλους για τις ευχές. Αντεύχομαι τα καλύτερα σε όλους και εύχομαι επίσης χρόνια πολλά σε όλους τους συνονόματους!

Ένα σχόλιο για τα θέματα της Γ: το 1ο μου φάνηκε ζόρικο. Το 2ο μπορεί να θεωρηθεί και σχολικό μιας και το μόνο που απαιτείται είναι μερικές αντικαταστάσεις και καλή κατανόηση του τι σημαίνει 1-1 και επί συνάρτηση. Το 3ο μια Γεωμετρία δύσκολη για τα σχολικά δεδομένα, βατή όμως για όσους ασχολούνται μ...

Demetres έγραψε: ↑

Σάβ Ιούλ 24, 2021 10:50 am

Αν και για έναν έμπειρο φαίνεται σχετικά βατό πρόβλημα, τελικά αποδείχθηκε αρκετά δύσκολο για τους φοιτητές και είχε μεγάλη δόση αποτυχίας.

Δημήτρη, μήπως γνωρίζεις τα cut-offs του διαγωνισμού;

Νομίζω πως η παραπάνω απόδειξη δεν είναι πλήρης ως προς το α), εκτός αν έχω καταλάβει κάτι λάθος. Αυτό που αποδεικνύεται είναι μια ιδιότητα για τον $AB$ που την έχουν όλοι οι Ερμιτιανοί πίνακες, και δεν συνεπάγεται πως είναι projection. Ας δούμε μια άλλη προσέγγιση: Οι πίνακες $AA^*$ και $A^*A$ είνα...

Ναι Δημήτρη, οι σύνθετοι πίνακες γενικά βοηθάνε σε πολλές δύσκολες ασκήσεις. Βέβαια, δεν ξέρω τι προετοιμασία γίνεται τώρα, αλλά στη δική μου εποχή (2009 - 2011) δεν θυμάμαι να τους διδασκόμασταν. Πάντως τις προηγούμενες χρονιές είχα γράψει πως τον έχουν κάνει πολύ εύκολο το διαγωνισμό και είχα ακού...

Πρόβλημα 4. Έστω $\mathbb{N}$ το σύνολο των φυσικών αριθμών και $\mathbb{N}^*=\mathbb{N}-\{0\}$ το σύνολο των μη μηδενικών φυσικών αριθμών. Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{N}^*\to \mathbb{N}$ οι οποίες ικανοποιούν και τις τρεις συνθήκες: (α) $f(n)\ne 0$ για ένα τουλάχιστον $n\in \m...

Αν δεν υπάρχει πιο απλή λύση, τότε πρόκειται για πολύ καλό πρόβλημα που ανεβάζει πολύ το επίπεδο του διαγωνισμού: Οι μη πραγματικές ιδιοτιμές του $B$ εμφανίζονται σε ζεύγη συζυγών (αφού το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του $B$ έχει πραγματικούς συντελεστές), οπότε αρκεί κάθε πραγματική ιδιοτιμή του $B$ ν...

Πρόβλημα 3. Έστω $k$ ένας θετικός ακέραιος. Οι κορυφές ενός κυρτού $(4k+1)$-γωνου $P$ χρωματίζονται με δύο χρώματα, άσπρο και μαύρο και κάθε χρώμα χρησιμοποιείται τουλάχιστον $k$ φορές. Ένα κυρτό τετράπλευρο, που οι κορυφές του είναι και κορυφές του $P$, θα ονομάζεται καλό, εάν έχει τρεις κορυφές τ...

Ας θεωρήσουμε τον τελεστή $L: C^{\infty}\left(\mathbb{R}\right) \longrightarrow C^{\infty}\left(\mathbb{R}\right)$ τέτοιο ώστε: $L(f)(x) = xf'(x)$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$ και κάθε απείρως παραγωγίσιμη συνάρτηση $f$. Ισχυρισμός 1ος: Αν $P(\cdot)$ είναι πολυώνυμο με ρίζα πολλαπλότητας $k \geq 1$ τ...

Πολλά συγχαρητήρια σε όλους. Έκατσα κάποιες ώρες να ασχοληθώ με το 3, που απ' όσο βλέπω είναι της Κύπρου (Δημήτρη δικό σου να υποθέσω;). Ωραίο πρόβλημα, από αυτά όπου ακόμα και όταν δεις "τι παίζει" χοντρικά και πως αυτό προκύπτει, χρειάζεσαι αρκετή ώρα για να φτάσεις με ακρίβεια στο ζητούμενο, και ...

Θα παρακαλούσα επίσης να καρφιτσωθεί στην κορυφή, ώστε οι νέοι να μη χρειάζεται να ψάχνουν σε προηγούμενες σελίδες για να βρουν συμβουλές.

Ανοίγω αυτό το topic καθώς από μηνύματα που λαμβάνω, βλέπω πως υπάρχει έντονο ενδιαφέρον από νέους φοιτητές, και λόγω ερευνητικής δραστηριότητας δεν έχω πλέον χρόνο να απαντώ σε όλα τα μηνύματα. Καλό είναι λοιπόν όσοι έχουμε μια εμπειρία και θέλουμε να βοηθήσουμε τους νεότερους, να γράψουμε εδώ τι π...

Μάλιστα παραπάνω λες με μεγάλη σιγουριά ότι αυτή η άποψη που συχνά έχεις εκφράσει δεν είναι απλώς η δική σου γνώμη αλλά ένα αδιαμφισβήτητο γεγονός. Αν ήταν αδιαμφισβήτητο γεγονός μάλλον δε θα υπήρχαν οι απόψεις του Δημήτρη (αργυρό στην ΙΜΟ και πολλές διακρίσεις σε JBMO,BMO,SEEMOUS,IMC) και του Σωτή...

Η μειωμένη συμμετοχή στο διαγωνισμό είχε ρίξει πολύ τη γενικότερη δυσκολία των θεμάτων τα τελευταία χρόνια. Μέχρι που μια χρονιά έπαιρνες χάλκινο λύνοντας ένα θέμα Λυκείου και αργυρό αν έλυνες επιπλέον και ένα θέμα απλών πράξεων με 2χ2 πίνακες. Φέτος όμως, αν και απουσίαζε το εξαιρετικά δύσκολο πρό...

Καλημέρα! Είδα τα θέματα με καθυστέρηση μερικών ημερών, και μπορώ να πω πως μου άρεσαν. Αν και απουσίαζε το ιδιαίτερα δύσκολο πρόβλημα, που κατ' εμέ πρέπει να υπάρχει σε κάθε υψηλού επιπέδου διαγωνισμό, και τα 4 ήταν προβλήματα αξιοπρεπούς δυσκολίας για έναν διαγωνισμό που απευθύνεται σε ταλαντούχο...

Καλημέρα! Είδα τα θέματα με καθυστέρηση μερικών ημερών, και μπορώ να πω πως μου άρεσαν. Αν και απουσίαζε το ιδιαίτερα δύσκολο πρόβλημα, που κατ' εμέ πρέπει να υπάρχει σε κάθε υψηλού επιπέδου διαγωνισμό, και τα 4 ήταν προβλήματα αξιοπρεπούς δυσκολίας για έναν διαγωνισμό που απευθύνεται σε ταλαντούχου...

Πολλά συγχαρητήρια σε όλους τους μαθητές και καλή επιτυχία στον προκριματικό! Παραθέτω αρχικά μια λύση στο θέμα 4 των μεγάλων που βλέπω πως δεν έχει απαντηθεί, μαζί με τον τρόπο σκέψης: Σαν πρώτο βήμα, κοιτάμε να βρούμε θετικούς ακέραιους $k$ για τους οποίους το $A(k, a, b)$ μπορεί να είναι σύνθετος...

3, 5, 9 παραείναι εύκολα για τη θεση τους. 6, 7 παραείναι ευκολα για το διαγωνισμο γενικά (έπρεπε να μπει μονο 1 εκ των 2). Κατ' εμέ χρειάζεται να υπαρχει και στην Ευρωπη ένας φοιτιτικος διαγωνισμος υψηλού κύρους, οπως είναι ο πατναμ στην Αμερική, αλλά αυτο προϋποθέτει καλύτερο evaluatiοn στη δυσκολ...

Το πρώτο πρόβλημα είναι. Αν $\mathbb{Z}$ είναι το σύνολο των ακεραίων να βρείτε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}$ για τις οποίες ισχύει , $f(2x)+2f(y)=f(f(x+y))$ για όλα τα $x,y\in \mathbb{Z}$ Για $y=0$ έχουμε $f(2x) + 2f(0) = f(f(x)) \quad (1)$, ενώ για $y=0$ έχουμε $f(0) +...