mathematica.gr

Μια λύση που κάναμε μαζί με τον Μιχάλη Σαράντη(Mikesar). Eλπίζω να μην μας έχει ξεφύγει κάτι!! $x^n+y^n=2^m$ (*) Έστω $(x,y)=d$ τοτε $x=da$ , $y=bd$ με $(a,b)=1$ και$a,b$ περιττοί. Η (*) γίνεται : $d^n(a^n+b^n)=2^m$ άρα $d^n=2^k$ και $a^n+b^n=2^l$ με $k$ , $l$ ακεραίους και $k+l=m$ 1) Αν n άρτιος $a...

Ίσως θα μπορούσα να ολοκληρώσω την λύση και με τον εξης τρόπο: Αν τα σημεια $A_{1},A_{2},B_{1},B_{2},C_{1},C_{2}$ δεν ηταν ομοκυκλικά θα υπήρχαν τρείς κύκλοι οι οποίοι θα είχαν ριζικό κέντρο ομως τα$AB,BC$, $AC$ δεν συντρεχουν επομενως τα σημεια ειναι ομοκυκλικα Bars έγραψε: If $(A_1,A_2,B_1,B_2,C_1...

Μια λύση για την γεωμετρία με επιφύλαξη αν ειναι σωστη... Θα αποδείξω ότι Α,Κ,Ι είναι συνευθειακά. $C\hat{A}E=E\hat{B}C=B/2$ $A\hat{E}F=A\hat{C}E=C/2$( Τα F, K, E είναι συνευθειακά καθώς $I\hat{K}E=F\hat{K}I=90$ βαίνουν σε διάμετρο.) στο ΚΑΕ τρίγωνο έχω ότι $K\hat{A}E=\hat{A}/2+\hat{B}/2$ και $AEF=\...

Και μία άλλη λύση Έστω $x$, $z$ λύσεις δευτεροβάθμιας εξίσωσης. Η εξίσωση θα έχει τη μορφή $t^2-St+P$ όπου $S=x+z$ και $P=xz$ $P(y)=y^2-y(x+z)+xz$ Ισχύει ότι $x\leq y\leq z$ άρα το $y$ ανήκει ανάμεσα στις ρίζες της εξίσωσης, επομένως $P(y)\prec 0$ Άρα $y^2-y(x+z)+xz\prec 0\Rightarrow$ $y^2-yx-yz-xz+...

2. Σε ένα κύκλο $\displaystyle{(O,R)}$ να εγγραφεί κανονικό τρίγωνο (ισόπλευρο) και να υπολογιστεί η πλευρά και το απόστημά του από την ακτίνα του κύκλου. Επειδή $AK$, $BL$ διάμεσοι ισχύει ότι: $OK=\frac{R}{2}$ Επομενως $AK=R+\frac{R}{2}=\frac{3R}{2}$ Aρα στο τρίγωνο$ABK$ έχω ότι ημ60=$\frac{AK}{AB...

Το είναι ισοσκελες καθως ως ακτινες του ιδιου κυκλου.
Αρα και ως κατακορυφην και .
Επομενως στο τριγωνο εχω ότι , ως συμπληρωματικες στο τριγωνο

Διαγράφω την λύση γιατι ήταν λάθος
Ευχαριστώ πολυ τον κύριο Αλέξανδρο για τη διόρθωση.

Μια ακομά λύση για την άσκηση 2:



προσθέτω κατά μέλη

ΑΣΚΗΣΗ 335 : Έστω $S_{n}=1-2+3-4+5-6+...+(-1)^{n-1}n, (n\epsilon N^{*}).$ Να βρείτε τον αριθμό $S_{2011}+S_{2012}$ $\displaystyle{S_{2011}=1-2+3-4+5-6+.....+(-1)^{2011-1} \cdot 2011=1-2+3-4+5-6+.....+2011=1+\frac{2010 \cdot 1}{2}=1006}$ $S_{2012}=1-2+3-4+5-6+.....+(-1)^{2012-1} \cdot 2012=$$1-2+3-4...

ΑΣΚΗΣΗ 174 : Έστω ορθογώνιο τρίγωνο $ABC$ $\left( {\angle A = \frac{\pi } {2}} \right).$ Αν ο εγγεγραμμένος κύκλος στο τρίγωνο $ABC$, εφάπτεται στην υποτείνουσα $BC$ στο σημείο$E$ και δίνονται τα μήκη $EB = a,EC = b,$ υπολογίστε το εμβαδό του τριγώνου $ABC$. Τα τρίγωνα $DFB$ και $DEB$ επειδή είναι ...

ΑΣΚΗΣΗ 168 : Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρές ΑΒ=6, ΒΓ=8 και έστω ΑΜ διάμεσος αυτού. Η μεσοκάθετη της διαμέσου ΑΜ τέμνει την πλευρά ΑΓ στο σημείο Ε. Αν οι πλευρές ΑΒ,ΑΓ και ΒΓ είναι ανάλογες προς τις πλευρές ΕΜ, ΜΓ και ΕΓ του τριγών ου ΕΜΓ αντίστοιχα, να βρεθεί το μήκος της πλευράς ΑΓ. Έχω ότι : $\fr...

Και μια διαφορετική προσπάθεια για την 162 ΑΣΚΗΣΗ 162 : Οι πραγματικοί αριθμοί $x,y$ είναι τέτοιοι ώστε $x>0,y>1~~ \kappa \alpha \iota ~~ xy+1=y^{2}+y+x$ Να βρείτε την ελάχιστη δυνατή τιμή του$~~ x$ Έχω ότι : $xy+1=y^2+y+x\Rightarrow y^2+y+x-xy-1=0 \Rightarrow y^2+y(1-x)+x-1=0$ για να έχει πραγματι...

ΑΣΚΗΣΗ 161 : Αν $a\epsilon R,a\neq \pm 1$ και αν οι πραγματικοί αριθμοί$x,y$, είναι τέτοιοι ώστε $\frac{x+y}{1+a^{2}}=\frac{1-a^{2}+a^{4}}{x^{2}-xy+y^{2}}$ $\frac{x-y}{1-a^{2}}=\frac{1+a^{2}+a^{4}}{x^{2}+xy+y^{2}},$ να προσδιορίσετε την τιμή του $x$. Αναλύω τους όρους των δυο κλασμάτων οπότε προκύπ...

ΑΣΚΗΣΗ 159 : Δίνεται ο αριθμός 1!+2!+3!+...+2004! (α) Να βρείτε ποιο είναι το ψηφίο των μονάδων του (β) Να αποδείξετε ότι ο αριθμός αυτός διαιρείται με το 3. (Υπενθυμίζουμε ότι συμβολίζουμε: ν!=1.2.3.....ν) α) Έχω ότι: $A=1!+2!+3!+4!+5!+...........+2004!=1+1\cdot 2+1\cdot 2\cdot 3+1\cdot 2 \cdot 3\...

Άσκηση 154: Να βρεθούν όλες οι ακέραιες λύσεις τις εξίσωσης $x^2 = y^2 + 15$. Από το πρόβλημα έχω ότι: $x^2=y^2+15\Rightarrow x^2-y^2=15\Rightarrow (x+y)(x-y)=3\cdot 5=1\cdot 15$ 1η περίπτωση $x+y=3$ $x-y=5$ κάνοντας αφαίρεση κατά μέλη έχω ότι: $x+y-x+y=-2\Rightarrow y=-1$ $x=4$ 2η περίπτωση $x+y=5...

ΑΣΚΗΣΗ 152 : Αν $\displaystyle{\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c} , a+b+c=1 , a^{2}+b^{2}+c^{2}=1}$ και αν $a,b,c\neq 0,$ να δείξετε ότι $xy+yz+zx=0$ Από το πρόβλημα γνωρίζω ότι : $a+b+c=1$ άρα, $b+c=1-a$ $a+c=1-b$ $a+b=1-c$ και έστω $\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}=k$ άρα $x=ak$ , $y=bk$ , $z...

ΑΣΚΗΣΗ 147 : Τα ψηφία ενός διψήφιου αριθμού έχουν άθροισμα 11. Αν μεταξύ των ψηφίων του παρεμβληθεί το 5, τότε βρίσκεται τριψήφιος αριθμός, ο οποίος με τον αρχικό διψήφιο έχουν άθροισμα 396. Ποιος είναι ο διψήφιος αριθμός; Έστω $\overline{ab}$ ο αριθμός που ψάχνω, άρα $a+b=11$ (1) και $\overline{ab...

Άσκηση 129 - ΛΥΣΗ Άσκηση 129 Να βρείτε τον ακέραιο αριθμό $x$ από την παρακάτω σχέση : $\displaystyle \frac { 2008x+2009}{2010x+2011}= \frac { 2009x+2010}{2011x+2012}$ Μπάμπης Κάνω χιαστή: $(2008x+2009)(2011x+2012)=(2010x+2011)(2009x+2010)\Leftrightarrow$ $(2008x+2009)(2009x+2x+2010+2)=(2008x+2x+20...

Και μια ακόμα λύση για την άσκηση 123: Έχουμε: $5(x^{2}+y^{2}+2xy)=2x+4y+5xy+9\Leftrightarrow 5y^{2}+(5x-4)y+5x^{2}-2x-9=0 \Delta =(5x-4)^{2}-20(5x^{2}-2x-9)=-75x^{2}+196 \Delta \geq 0\Rightarrow \left|x \right|\leq \frac{14\sqrt{3}}{15}\Rightarrow -\sqrt{3}\leq \frac{-14\sqrt{3}}{15}\leq x\leq \fr...

ΑΣΚΗΣΗ 122 : Οι αριθμοί $x,y,z,w$έχουν την ιδιότητα: Αν προσθέσουμε τρεις οποιουσδήποτε από αυτούς και από το άθροισμα που θα προκύψει αφαιρέσουμε τον αριθμό 5, προκύπτει πάντα ο αριθμός 2002. Να υπολογίσετε το άθροισμα $x+y+z+w$ Υπάρχουν 4 περιπτώσεις : $x+y+z-5=2002\Rightarrow x+y+z=2007$ $x+y+w-...