http://www.real.gr/DefaultArthro.aspx?page=arthro&id=420298&catID=3 "Το ίδρυμα Ωνάση με απόφαση του προέδρου του, κ. Παπαδημητρίου, αναλαμβάνει εξ ολοκλήρου το κόστος όλων των μαθητικών ολυμπιάδων αυτής της χρονιάς, όπως ανακοίνωσε ο Νίκος Χατζηνικολάου στην εκπομπή του στον realfm 97,8." Τι ακριβώς...

Γρηγόρη μόλις ετοιμαζόμουν να ποστάρω και γω σχετικά με το θέμα. Στο συνημμένο φαίνεται και η σχετική απόφαση. Προτείνω να κάνουμε ένα crowdfunding και να συγκεντρώσουμε τα απαιτούμενα χρήματα για να πάνε τα παιδιά στην Ολυμπιάδα, κάτι που είμαι σίγουρος πως πολλοί εντός και εκτός του χώρου θα στηρί...

Νομίζω πως πάνω στην ιδέα του κ. Μιχάλη μπορούμε να θεωρήσουμε την $g(x)=|f'(1+x)-f'(1-x)| - \sqrt{\frac{2}{3} \int_{0}^{2}(f''(t))^2 dt}$ η οποία είναι συνεχής στο $0$ και $g(0)<0$. Κοντά στο 0 η g διατηρεί το πρόσημο της, οπότε μπορούμε να βρούμε τα ζητούμενα $c_1,c_2$. Απ' ότι θυμάμαι η ιδιότητα ...

Αν $N, M$ μέσα των $AB,CD$ αντίστοιχα τότε αφού $AB//CD$ θα είναι $N,O,M$ συνευθειακά. Αφού το $ACDB$ είναι εγγεγραμμένο τραπέζιο, είναι ισοσκελές και άρα εύκολα, τα $SAB,SCD$ είναι ισοσκελή και ορθογώνια από την υπόθεση. Επομένως, $SN \perp AB, SM \perp CD$ οπότε $N,S,O,M$ : συνευθειακά. Τώρα εφαρμ...

Σας ευχαριστώ όλους από καρδιάς για τις ευχές. Εύχομαι καλή αρχή σε όλα τα παιδιά που ξεκινούν τις σπουδές τους.

Για την πρώτη: Έστω $(1)$ η αρχική σχέση. $(x \to 0),\ \ (1) \Rightarrow f(yf(0))=f(0)$. Αν $f(0) \neq 0$ τότε $f:$ σταθερή. Έστω $f(0)=0.$ $(y \to -x), \ \ (1) \Rightarrow f(-x^2)=-x^2 .$ Επομένως, $f(x)=x , \forall x \leq 0$. $(y \to 0), \ \ (1) \Rightarrow f(xf(x))=x^2$ από την οποία λαμβάνουμε ό...

Από τη δοσμένη προκύπτει ότι $f(-1)f(1)<0$ . Η $f$ είναι συνεχής στο $\mathbb{R}$ άρα και στο $[-1,1]$ οπότε απο Bolzano $\exists \ x_0 \in (-1,1) : f(x_0)=0.$ Όμως από τη δοσμένη και επειδή $(-1,0) \cup (0,1) \subset \mathbb{R^*}$ ισχύει ότι $f(x) \neq 0, \ \forall x \in (-1,0) \cup (0,1)$ άρα $x_0...

Καλησπέρα, έγραφα και εγώ σήμερα.Θα έλεγα υπό άλλες συνθήκες ότι τα θέματα ήταν μια χαρά. Οι μαθητές όμως όλοι προετοιμαζόμαστε με βάση τα θέματα των παλαιότερων χρόνων οπότε και με βάση τα περσινά , προπέρσινα. Κατά τη γνώμη μου ένας μαθητής που πέρσι θα έγραφε 18 η 18,5 και ένας μαθητής που πέρσι ...

Από τα φετινά θέματα του Οεφε έχω λύσει μονο το 4ο. Μου πήρε μία ώρα ακριβώς.Θεωρώ ότι ήταν ένα δύσκολο θέμα σε σχέση με ότι πέφτει τα τελευταία χρόνια στις πανελλήνιες.Όμως ήταν ένα θέμα με κομψές και αρκετά ενδιαφέρουσες ιδέες.Μακάρι να έπεφταν τέτοιου είδους θέματα στις πανελλαδικές.

Η $f$ ορίζεται στο $\mathbb{R}$ αν και μόνο αν: $\begin{Bmatrix} b^2-4ac<0 \\ a>0 \end{Bmatrix} (1)$ H f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη με :$\displaystyle{f'(x)=\frac{2ax+b}{2\sqrt{ax^2+bx+c}}}$ και $\displaystyle{f''(x)=\frac{4ac-b^2}{4(ax^2+bx+c)\sqrt{ax^2+bx+c}} , x \in \mathbb{R}}$ Από το θεώρημα ...

αφού

Έστω ότι το $60$ είναι η $k$-οστή τιμή με $k \leq n.$ Είναι: $\displaystyle{\sum_{i=1}^{k}\frac{x_in_i}{n}=56}$ και $\displaystyle{\sum_{i=1}^{k-1}\frac{x_in_i}{n-n_k}=55}$. Επομένως, $\displaystyle{x_kn_k=n+55n_k \Rightarrow n=5n_k}$ Όμως, $\displaystyle{30<n<40 \Rightarrow 6<n_k<8 \Rightarrow n_k=...

Λίγο διαφορετικά: $f(x^2-y^2)=xf(x)-yf(y)\ (1)$ $(x,y\rightarrow 0),(1) \Rightarrow f(0)=0$ $(y\rightarrow 0),(1) \Rightarrow f(x^2)=xf(x) \ (2)$ $(y\rightarrow -x),(1)\Rightarrow f(-x)=-f(x), \forall x \in \mathbb{R^*} \overset{f(0)=0}{\Rightarrow} f:$ περιττή. $(3)$ $(1),(2) \Rightarrow f(x^2-y^2)...

Για την πρώτη: Έστω $(1)$ η αρχική σχέση Υποθέτουμε ότι $\exists x_0 \in (0,+\infty) : f(x_0)>1$. Για $(y\rightarrow \frac{f(x_0)}{f(x_0)-1} , x\rightarrow x_0),(1) \Rightarrow f(x_0)=1.$ Άτοπο! Άρα $f(x)\leq 1, \forall x \in(0,+\infty)$ Έστω $x_1>1$ τότε θα είναι $x_1-f(x_1)>0.$ Για $(y \rightarrow...

Έστω $x_1,x_2 \in \mathbb{R^+} : f(x_1)=f(x_2).$ Έστω $a \in \mathbb{R^+} : x_1,x_2 > a$ Τότε: $x_1=a+b_1$ , $x_2=a+b_2$ για κάποια $b_1,b_2 \in \mathbb{R^+}$ Οπότε θα είναι: $a+f(a+b_1)=a+f(a+b_2) \overset{f}{\Rightarrow}$ $f(a+f(a+b_1))=f(a+f(a+b_2)) \Rightarrow$ $f(2a)+b_1=f(2a)+b_2 \Rightarrow$ ...

Χρησιμοποιώντας νόμο ημιτόνων:

Ήταν απλό τελικά ! Ευχαριστώ κ.Θάνο!

Αν , να δείξετε ότι:

(Δεν έχω λύση χωρίς χρήση της τριγωνομετρικής μορφής του )

Kαλησπέρα κ.Μπάμπη!