To είναι εγγράψιμο άρα

Είναι

λόγω ισότητας2.png $ABCD$ ρόμβος και έστω $P$ το συμμετρικό του $B$ ως προς το $C$. a) Τότε $AD =//CP \Rightarrow ADPC$ παρ/μο $\Rightarrow DP = AC = 6$. Είναι $BC = CP, CS = CD , \angle PCD = \angle SCB = 2x \Rightarrow \triangle SCB = \triangle DCP \Rightarrow BS = DP = 6$ b) $CS//TD \Rightarrow ...

γωνία τριγώνου.png Καλημέρα κ. Νίκο Εστω $\ E$ το μέσο της $AC$ τότε: $\displaystyle ME =// \dfrac{AB}{2} \Rightarrow \angle CME = 90-x \Rightarrow \angle EMA = x+y$ και $\angle BAC = \angle AEM$ Επίσης είναι $DE$ διάμεσος ορθογωνίου που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα άρα $AE = DE \Rightarrow \angle ...

υπεραιωνόβια.png Φέρνουμε $ \displaystyle ZE // BC$ τότε $\angle AZE = \angle AEZ = 50^0 \Rightarrow \triangle AZE$ ισοσκελές και επειδή $AT=AE$ θα είναι και $\displaystyle AZ =AT$ συνεπώς το τρίγωνο $\triangle AZT$ είναι ισόπλευρο αφού η γωνία κορυφής του είναι $60^0$. Αφού $\displaystyle AZ=AE$ κ...

Σχολική 2.png Αφού $\triangle ABC$ ισοσκελές με κορυφή το $A$ και $I$ το έγκεντρο του άρα $AI$ θα είναι διχοτόμος της $\angle BAC$ και μεσοκάθετος της $BC$. Εστω $\angle ABI =x$ τότε αφού $I$ έγκεντρο θα ισχύει $\angle ABI = \angle CBI = \angle ACI = \angle ICB =x$. Η γωνία $\angle CAD$ είναι ίση μ...

Για το α) αθροισμα1 45.png Φέρνουμε $\displaystyle CE \perp DP$ και έστω $C'$ το συμμετρικό του $C$ ως προς το $E$. Εστω ότι η γωνία $\angle PDC=\phi$. To τρίγωνο $DCC'$ είναι ισοσκελές αφού $DE$ είναι ύψος και διάμεσος, οπότε θα είναι και διχοτόμος. To τετράπλευρο $DCPC'$ είναι εγγράψιμο γιατί $\an...

ισότητα2.png Κατασκευάζουμε το ισόπλευρο τρίγωνο $\displaystyle \triangle ACE$. Γνωρίζουμε ότι $ AB = AC$ συνεπώς το τρίγωνο $\triangle ABE$ είναι ισοσκελές γιατί $\displaystyle AB =AE$. Ετσι εύκολα προκύπτει ότι η γωνία $\angle CEA = 10^0$ . Αρα από το κριτήριο Γ-Π- Γ τα τρίγωνα $\triangle ADB , \...

ραβανί.png $\displaystyle \angle BEA = \angle EAD = 2\theta$ ( εντός εναλλάξ) . Φέρνουμε την διχοτόμο της γωνίας $\angle BEA$ και έστω $L$ το σημείο τομής της με την$AB$. Από την ομοιότητα των τριγώνων $\triangle BLE, \triangle BAE : $ $\displaystyle \frac{x}{y} = \frac{4}{6-y}=\frac{6}{4} \Rightar...

μήκος.png Καλησπέρα. Μία τριγωνομετρική απόπειρα. $\displaystyle \triangle BAD : \tan(180-2a) = AB \Rightarrow -\tan2a = AB \Rightarrow \frac{2\tan a}{\tan^2a -1} = AB$ $\displaystyle \triangle ABC : \tan \frac{a}{2} = \frac{2}{AB} $ και επειδή η γωνία $\angle ABC = \dfrac{a}{2}$ είναι οξεία θα έχο...

Αν φέρουμε την ΒΓ, τότε το ΑΓ υπολογίζεται επίσης πάρα πολύ απλά, αφού ΑΓΒ είναι τρίγωνο ορθογώνιο στο Γ, οπότε

κ.τ.λ.π

Το ίδιο βρήκα με περισσόοοοτερη ταλαιπωρία...... :roll: Συγκεκριμένα απο το σχήμα του KARKAR αφού $AA'//BB' \Rightarrow \dfrac{AS}{SB'} = \dfrac{A'S}{SB} \Rightarrow (AS) (SB) = (A'S) (SB' ) \Rightarrow (SAB) = (A'SB')$ (αφού και οι περιεχόμενες γωνίες ανάμεσα στις πλευρές είναι ίσες) Τα τρίγωνα $AA...

τρίγωνο σε ορθογώνιο.png Αν $B'$ συμμετρικό του $B$ ως προς το $S$ τότε $B'$ μέσο του $MB$. Θέτω $A(0,0) , B(a,0)$ και $D(0,b) , a>0,b>0,a>b$ . Τότε $\displaystyle M(0,\frac{b}{2})$ και συνεπώς $B'(\dfrac{a}{2},\dfrac{b}{4})$. Επομένως $S(\dfrac{3a}{4}, \dfrac{b}{8}) \Rightarrow TS = \dfrac{7b}{8}$...

λήμμα3.png Καλημέρα. Οι διχοτόμοι δύο εφεξής και παραπληρωματικών γωνιών τέμνονται κάθετα άρα $\theta+\phi=90^0$. Γράφω τον περίκυκλο του τριγώνου $ADB$ και έστω $L$ το σημείο τομής του με την διχοτόμο της γωνίας $\angle DAC$. Αφού η γωνία $\angle LAB = 90^0$, η $BL$ είναι διάμετρος, άρα τα σημεία ...

στερεομετρικό εμβαδόν 2.png Καλησπέρα. Απ' το σχήμα του κ.Δόρτσιου. 'Εστω $ L$ το συμμετρικό του $T$ με κέντρο το $M$. Το τετράπλευρο $TALB$ είναι ρόμβος γιατί οι διαγώνιες του διχοτομούνται και οι πλευρές του είναι ίσες. Επίσης έχει σταθερή περίμετρο ίση με $4 TA = 4\sqrt{52}}$. Γνωρίζουμε ότι απ'...

Εστω μέσο του και μέσο . Είναι

και από Π.Θ στα τρίγωνα είναι . Συνεπώς .

Ισότητα γωνιών.png Παρόμοια λύση με του κ.Μήτσιου. Είναι $\tan x = \dfrac{AE}{AD}=\dfrac{(1/3)AC}{(2/3)AB}=\dfrac{1}{2}$ Εστω $N$ το συμμετρικό του $B$ με κέντρο το $A$.Το τρίγωνο $NCB$ ορθογώνιο και ισοσκελές αφού η διάμεσος του $CA=\dfrac{BN}{2}$ είναι και ύψος. To $E$ είναι τότε το βαρύκεντρο το...

στον πόντο.png Φέρνω ευθεία $(e) \perp ZB$ και έστω $ C \equiv (e) \cap ES$.To $ZBCS$ είναι εγγράψιμο και επειδή $\angle CSZ=90^0$ το κέντρο του εγγεγραμένου του κύκλου θα είναι το μέσο της $CZ$ , έστω $M$. To τρίγωνο $EZC$ είναι ισοσκελές ($\angle ZCS=\angle ZBS \Rightarrow \angle SZC=23^0 \Righta...

Προβολική Γεωμετρία.png Εστω $K$ το κέντρο του ημικυκλίου και έστω $\angle KAS=a$.Τότε $AK=KS$ ως ακτίνες άρα το τρίγωνο $ASK$ ισοσκελές, οπότε $\angle KAS=\angle ASK=a$. Ακόμα είναι $KS \perp A'S$ γιατί είναι η ακτίνα που καταλήγει στο σημείο επαφής , 'αρα $\angle A'SA=90-a$. Επίσης είναι $AA'||KS...

Απο Π.Θ στο ΑΟΒ : $\displaystyle AB = \sqrt{a^2+ln^2 a}$ Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α=90) ισχύει : $\displaystyle \beta \gamma = \alpha \upsilon_{\alpha}$ άρα στο ΑΟΒ : $\displaystyle OD = \dfrac{OA OB}{AB} \Rightarrow $ $\boxed {OD = \dfrac{a lna}{\sqrt{a^2+ln^2 a}}}$ Απο Π.Θ στο ΟDM : $\displa...

Είναι : άρα τα σημεία είναι συνευθειακά.

Αρα στο τρίγωνο η είναι μεσοκάθετος συνεπώς