Η αναζήτηση βρήκε 417 εγγραφές

από Ilias_Zad
Σάβ Αύγ 01, 2015 9:42 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: IMC 2015/2/3
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 1477

Re: IMC 2015/2/3

Πολύ ωραία λύση Δημήτρη! :coolspeak:
από Ilias_Zad
Σάβ Αύγ 01, 2015 6:51 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: IMC 2015/2/1
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 2041

Re: IMC 2015/2/1

Ωραίες λύσεις.

Διαφορετικά:


\sum_{n \geq 1} \frac{1}{\sqrt{n}(n+1)}=\sum_{n \geq 1} \sqrt{n}( \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}) = \sum_{n \geq 1} \sqrt{n} \int_{n}^{n+1} x^{-2}dx < \sum_{n \geq 1} \int_{n}^{n+1} \sqrt{x} x^{-2}dx=\int_{1}^{+\infty} x^{-\frac{3}{2}}dx=2
από Ilias_Zad
Δευ Μάιος 27, 2013 2:38 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: Εύρεση πολυωνύμων
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 796

Re: Εύρεση πολυωνύμων

Μπράβο ρε Νίκο, πολύ ωραίος. :coolspeak: Σαν σημείωση απλά να τονίσω ότι ο $d$ βγαίνει άρτιος μόνο αν υποτεθεί ότι $q>1$ και μάλιστα εκεί έγκειται το άτοπο. Μια ερώτηση που προκύπτει αρκετά φυσιολογικά είναι γύρω από το τι δομή μπορεί γενικά να έχει το $p(\mathbb{Z})$ με $p$ πολυώνυμο. Ο Νίκος απέδε...
από Ilias_Zad
Κυρ Απρ 07, 2013 2:20 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά
Θέμα: Συλλογή με προβλήματα
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 1491

Re: Συλλογή με προβλήματα

Μπράβο ρε Αλέξανδρε. Πολύ ωραία ιδέα. :coolspeak:
από Ilias_Zad
Δευ Μαρ 25, 2013 3:16 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: Seemous 2013 Αθήνα
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 1175

Re: Seemous 2013 Αθήνα

Πολλά συγχαρητήρια! :clap2:
από Ilias_Zad
Δευ Μαρ 25, 2013 2:38 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: SEEMOUS 2013/2
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 1410

Re: SEEMOUS 2013/2

Socrates δεν καταλαβαίνω τι ακριβώς κάνεις. Θες να το εξηγήσεις παραπάνω;
από Ilias_Zad
Δευ Μαρ 25, 2013 2:37 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: SEEMOUS 2013/3
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 696

Re: SEEMOUS 2013/3

Με Cauchy-Schwarz βλέπουμε ότι $|f(t)|=|\int_{0}^{t}f'(t)dt| \leq |\int_{0}^{t}f'(t)^2|^{\frac{1}{2}}|\sqrt{t}|$ . Άρα $\int_{0}^{1}|f'(t)|^2|f(t)|t^{-\frac{1}{2}}dt \leq \int_{0}^{1}|f'(t)|^2 (\int_{0}^{t}f'(t)^2)^{\frac{1}{2}}dt$$=\frac{2}{3}(\int_{0}^{1}f'(t)^2dt)^{\frac{3}{2}} \leq \frac{2}{3}$,...
από Ilias_Zad
Κυρ Μαρ 24, 2013 8:25 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: SEEMOUS 2013/4
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 856

Re: SEEMOUS 2013/4

To ελάχιστο πολυώνυμο $m$ είναι το πολύ δευτέρου βαθμού και διαιρεί το $x^n+1=\frac{x^{2n}-1}{x^n-1}$ που είναι το γινόμενο των ανάγωγων στο $Q[x]$ , $F_d(x)$ , με $d|2n , d \not | n$ ( $F_d$ κυκλοτομικό τάξης $d$). Άρα είναι κυκλοτομικό βαθμού το πολύ 2 και άρα ένα από τα $x+1,x^2-x+1,x^2+1,x^2+x+1...
από Ilias_Zad
Κυρ Μαρ 03, 2013 12:36 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: Aνοιχτό διάστημα ως ένωση κλειστών διαστημάτων
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 570

Re: Aνοιχτό διάστημα ως ένωση κλειστών διαστημάτων

Νομίζω στο blog του Tao είχα διαβάσει την εξής απλή απόδειξη που πιστεύω αξίζει να μοιραστώ μαζί σας: Έστω ότι τα ξένα $[a_n,b_n] , n \in \mathbb{N}$ έχουν σαν ένωση το $(0,1)$. Θεωρούμε το αριθμήσιμο $S = \{ a_n,b_n| n \in \mathbb{N} \}$. Τώρα ας πάρουμε ένα $n_0$ φυσικό και ας σταθεροποιήσουμε το ...
από Ilias_Zad
Κυρ Φεβ 24, 2013 3:44 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Cesaro Stolz 0/0 ισχυρή μορφή
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 991

Re: Cesaro Stolz 0/0 ισχυρή μορφή

Δεν ξέρω τι αποδείξεις έχουν μέσα τα παραπάνω βιβλία αλλά μπορούμε να το δούμε ως εξής: Για $l$ πραγματικό, Έστω $e>0$. Tότε υπάρχει $n_0$ τέτοιο ώστε για κάθε $n\geq n_0$ να ισχύει : $l-e<\frac{a_n-a_{n-1}}{b_n-b_{n-1}}< l+e$ και άρα $(l+e )(b_n-b_{n-1})< a_n-a_{n-1} <(l-e)(b_n-b_{n-1})$ αν $n\geq ...
από Ilias_Zad
Κυρ Φεβ 24, 2013 3:16 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2012 - ΛΥΚΕΙΟ
Απαντήσεις: 31
Προβολές: 5922

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2012 - ΛΥΚΕΙΟ

Συγχαρητήρια και από μένα σε όλα τα παιδιά που διακρίθηκαν. Iδιαίτερα στους Παναγιώτη Λώλα και Σαράντη Μιχάλη που τους γνωρίζω καλά και άξιζαν την διάκριση τους με το παραπάνω. Για τα θέματα πιστεύω πως τα πρώτα 2 ήταν αρκετά απλά , το 4 μέτριο και το 3 απαιτητικό. Η βασική παρατήρηση στο 3 είναι ου...
από Ilias_Zad
Δευ Ιαν 21, 2013 11:43 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: Ανισότητα για συντελεστές πολυωνύμου
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 837

Re: Ανισότητα για συντελεστές πολυωνύμου

Ωραία, πολύ καλή η επιλογή αυτού του πολυωνύμου. :coolspeak:
από Ilias_Zad
Δευ Ιαν 07, 2013 9:09 pm
Δ. Συζήτηση: Χρήσιμες Μαθηματικές Ιστοσελίδες
Θέμα: mathimatikoi.org
Απαντήσεις: 29
Προβολές: 6465

Re: mathimatikoi.org

Πολύ ωραίο, καλή αρχή! :coolspeak:
από Ilias_Zad
Σάβ Ιαν 05, 2013 3:50 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: Putnam 2012 - Θέμα A6
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 723

Re: Putnam 2012 - Θέμα A6

Noμίζω πως έχω μια απόδειξη, αρκετά τεχνική βέβαια, που χρησιμοποιεί μάλιστα μόνο ορθογώνια με πλευρές παράλληλες στους άξονες. Αν πάρουμε το $R=[0,a] x [0,\frac{1}{a}]$ για ορθογώνιο με $a>0$, ισχύει $\int_{0}^{a} \int_{0}^{\frac{1}{a}}f(x,y)dydx=0$ . Παραγωγίζοντας την σχέση ως προς $a$ παίρνουμε ...
από Ilias_Zad
Δευ Δεκ 31, 2012 5:25 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: Ανισότητα για συντελεστές πολυωνύμου
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 837

Re: Ανισότητα για συντελεστές πολυωνύμου

Ενδιαφέρον πρόβλημα. Δίνω μια κατεύθυνση που πιστεύω μπορεί να οδηγήσει σε λύση και ένα φράγμα κοντά στο ζητούμενο σε hide. Η ιδέα έχει ως εξής: Iσοδύναμα με την υπόθεση ισχύει $x^{k+1}|p(x+1) \leftrightarrow \sum_{i=0}^{n}a_i\binom{i}{m}=0$ για $m=0,1,..,k$. Τώρα οι συναρτήσεις $\binom{x}{m},m=0,1,...
από Ilias_Zad
Πέμ Σεπ 27, 2012 6:31 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Προσέγγιση...
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 417

Re: Προσέγγιση...

Όχι αναγκαστικά. Πχ θεωρούμε μια αρίθμηση των πολυωνύμων με ρητούς συντελεστές $p_n(x)$. Τότε ορίζουμε μια $f$ τέτοια ώστε στο $[2n,2n+1]$ να είναι ίση με $p_n(x-2n)$ και ενδιάμεσα συνεχώς για όλα τα $n$ στο $N$ (στους αρνητικούς ας την κρατήσουμε $p_0(0)$) Τότε αν $\epsilon>0$, $g$ συνεχή υπάρχει $...
από Ilias_Zad
Τρί Σεπ 25, 2012 2:34 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ
Θέμα: Δύο(;) ωραία αποτελέσματα
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 893

Re: Δύο(;) ωραία αποτελέσματα

Ωραία Παναγιώτη, πολύ σωστές οι απαντήσεις σου! Την ίδια λύση είχα και εγώ υπόψιν. Για την γενίκευση που λες αρκεί να δειχτεί ότι αυτό συνεπάγεται ότι τα $P(n)$ είναι k-οστές δυνάμεις για n φυσικό. Ύστερα τα πράγματα είναι απλα: Είναι $P(n+p) \equiv \sum_{i=0}^{k-1}\frac{P^{(i)}(n)}{i!}p^i modp^k$ κ...
από Ilias_Zad
Κυρ Σεπ 23, 2012 4:06 pm
Δ. Συζήτηση: ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ
Θέμα: Προσθετική θεωρία αριθμών
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 731

Re: Προσθετική θεωρία αριθμών

Ωραίο το link. Κάλυψε όλες τις αποδείξεις που γνώριζα με το παραπάνω ;)

ΥΓ. Δημήτρη στο άλλο θέμα έχεις λύση απευθείας από το Nullstellensatz χωρίς να περάσεις ενδιάμεσα από το Cauchy-Davenport;
από Ilias_Zad
Κυρ Σεπ 23, 2012 3:41 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Μιγαδική
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 762

Re: Μιγαδική

Χαίρομαι που δημιούργησε ενδιαφέρον. Είχε μπει σε qualifyings στο phd του stanford στην μιγαδική ανάλυση αλλά και σε εξετάσεις στο Μαθηματικό Αθήνας. Η παραπάνω λύση είναι δικιά μου. Δίνω τώρα μια ακόμα λύση η οποία ανήκει σε καθηγητή του μαθηματικού: Λήμμα: Αν $f : [0,2\pi] \rightarrow C$ και ισχύε...
από Ilias_Zad
Σάβ Σεπ 22, 2012 9:20 pm
Δ. Συζήτηση: ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ
Θέμα: Προσθετική θεωρία αριθμών
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 731

Προσθετική θεωρία αριθμών

Πρόκειται για πολύ καλό αποτέλεσμα. Θα ήταν ωραίο να δούμε διάφορες αποδείξεις:
Έστω n \geq 1. Aν a_0,a_1,..,a_{2n-2} είναι μια ακολουθία 2n-1 ακεραίων τότε υπάρχει μια υπακολουθία της: a_{i_1},..,a_{i_n} ώστε το άθροισμα των όρων της να διαιρείται από n.

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση