Η αναζήτηση βρήκε 1202 εγγραφές

από silouan
Σάβ Μάιος 25, 2019 2:44 am
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 145

Re: ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ

Οι περιπτώσεις όπου τα $x,y$ είναι αρνητικά ή ένας εκ των δύο είναι αρνητικός, είναι τετριμμένες. Αν τώρα $x,y>0$ έχουμε $\mod 3$ ότι $y^2\equiv (-1)^y\pmod{3}$, άρα πρέπει $y$ άρτιος. Τότε όμως από την αρχική εξίσωση $3^x$ άρτιος, άτοπο. Αν τώρα $x=0$, έχουμε $1+y^2=2^y$, που για $y\geq 2$ είναι άτ...
από silouan
Τετ Μάιος 08, 2019 11:07 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Συνθήκη για διάμεσο
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 199

Συνθήκη για διάμεσο

Έστω ABCD ένα εγγράψιμο τετράπλευρο ώστε AD^2 + BC^2 = AB^2. Οι διαγώνιοί του τέμνονται στο E και P είναι σημείο της πλευράς \overline{AB} ώστε \angle APD = \angle BPC. Να αποδείξετε ότι η PE διχοτομεί το τμήμα \overline{CD}.
από silouan
Τετ Μάιος 08, 2019 11:02 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Υπολογισμός λόγου από καθετότητα
Απαντήσεις: 0
Προβολές: 198

Υπολογισμός λόγου από καθετότητα

Θεωρούμε ένα εγγεγραμμένο τετράπλευρο $ABCD$ και ονομάζουμε $E$ το σημείο τομής των διαγωνίων του και $K$ το σημείο τομής των $AD$ και $BC$. Έστω ότι η $KE$ τέμνει την $CD$ στο $L$ και $P$ είναι το ίχνος της καθέτου από το $L$ στην $AB$. Να υπολογίσετε (συναρτήσει των στοιχείων του $ABCD$) τον λόγο ...
από silouan
Τρί Μάιος 07, 2019 6:30 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: "Ολοκληρωτική" γενίκευση
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 314

Re: "Ολοκληρωτική" γενίκευση

Επαναφορά!
από silouan
Κυρ Μάιος 05, 2019 9:34 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: BMO 2019
Απαντήσεις: 31
Προβολές: 2372

Re: BMO 2019

Συγχαρητήρια στις ομάδες και στους αρχηγούς και υπαρχηγούς για την επίδοση και ξεχωριστά σε αυτούς που πήραν μετάλλιο! Να προσθέσω ότι το πρόβλημα 3 της γεωμετρίας προτάθηκε από την Ελλάδα και συγκεκριμένα τον Ολυμπιονίκη Ραφαήλ Τσιάμη! :coolspeak: Και ένα στατιστικό για τα προβλήματα γεωμετρίας στι...
από silouan
Κυρ Μάιος 05, 2019 9:14 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: BMO Shortlist 2018 - Γεωμετρία
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 565

Re: BMO Shortlist 2018 - Γεωμετρία

Να πω εδώ ότι το G2 είναι του περυσινού υπαρχηγού στην ΒΜΟ, Μιχάλη Σαράντη.
Το G5 είναι του Βαγγέλη Ψύχα και το G6 είναι του Θεόκλητου Παραγυιού από την Κύπρο.
από silouan
Κυρ Απρ 21, 2019 7:47 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Ἀνάγωγο πολυώνυμο
Απαντήσεις: 11
Προβολές: 859

Re: Ἀνάγωγο πολυώνυμο

Νομίζω έχω έναν γρήγορο τρόπο να αποφύγουμε την περίπτωση δευτέρου επί έκτου ως εξής. Λόγω μεγιστοβάθμιου και σταθερού όρου, το δευτεροβάθμιο είναι $x^2+ax-1$ ή $x^2+ax+1$. Στην πρώτη περίπτωση το $f(0)=-1$ συνεπάγεται πραγματική ρίζα, άτοπο. Στη δεύτερη περίπτωση από τις $f(1), f(-1)>0$ παίρνουμε $...
από silouan
Κυρ Απρ 21, 2019 3:44 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Ἀνάγωγο πολυώνυμο
Απαντήσεις: 11
Προβολές: 859

Re: Ἀνάγωγο πολυώνυμο

Γιώργο, βέβαια η πρώτη μάς ενδιαφέρει τετριμμένα μόνο για c=1, ενώ η δεύτερη καθόλου, γιατί ζητάμε τους θετικούς ακεραίους n.
Νομίζω επίσης ότι η διαδικασία αυτή με την εξίσωση των συντελεστών μας δίνει το αν και μόνο αν.
από silouan
Κυρ Απρ 21, 2019 1:32 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Ἀνάγωγο πολυώνυμο
Απαντήσεις: 11
Προβολές: 859

Re: Ἀνάγωγο πολυώνυμο

silouan έγραψε:
Κυρ Απρ 21, 2019 11:56 am
Δεν βλέπω τρόπο να γλιτώσουμε τις πράξεις.
Να πω εδώ ότι απορρίπτεται αμέσως η περίπτωση το πολυώνυμο να γράφεται σαν πρώτου επί εβδόβου, γιατί το πολυώνυμο δεν έχει ακέραια ρίζα. Απορρίπτεται και το τρίτου επί πέμπτου γιατί δεν έχει πραγματική ρίζα.
από silouan
Κυρ Απρ 21, 2019 11:56 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Ἀνάγωγο πολυώνυμο
Απαντήσεις: 11
Προβολές: 859

Re: Ἀνάγωγο πολυώνυμο

Μπορούμε να δουλέψουμε όπως εδώ
https://artofproblemsolving.com/communi ... 27p2069755

Δεν βλέπω τρόπο να γλιτώσουμε τις πράξεις.
από silouan
Παρ Απρ 19, 2019 9:40 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα
Θέμα: Ανάγωγο πολυώνυμο
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 128

Re: Ανάγωγο πολυώνυμο

Είναι γιατί είναι και το P(x+1)=(x+1)^8+1. Το τελευταίο είναι επειδή μπορούμε να εφαρμόσουμε το κριτήριο Eseinstein.
Πράγματι, όλοι οι συντελεστές είναι άρτιοι και ο σταθερός όρος δεν διαιρείται με το 4.
από silouan
Τετ Απρ 17, 2019 10:30 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Κριτήριο εγγραψιμότητας
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 268

Re: Κριτήριο εγγραψιμότητας

Το ζητούμενο προκύπτει αρκετά εύκολα και με αντιστροφή με κέντρο Α και ακτίνα AC.

Για το γενικό αποτέλεσμα δείτε εδώ: https://artofproblemsolving.com/communi ... ogram_abcd
από silouan
Κυρ Απρ 14, 2019 10:16 pm
Δ. Συζήτηση: Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών
Θέμα: Τριγωνομετρία και ελάχιστη τιμή παράστασης
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 732

Re: Τριγωνομετρία και ελάχιστη τιμή παράστασης

Ουσιαστικά θέλουμε να βρούμε την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης $f(a,b,c)=\cos a$ κάτω από τις συνθήκες $g(a,b,c)=1$ και $h(a,b,c)=1$, όπου $g(a,b,c)=\cos a+\cos b+\cos c$ και $h(a,b,c)=\sin a+\sin b+\sin c$. Δεν μπορούμε όμως να χρησιμοποιήσουμε την παραπάνω πρόταση γιατί η $f(a,b,c)$ δεν είναι κυκλι...
από silouan
Κυρ Απρ 14, 2019 2:11 am
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: "Ολοκληρωτική" γενίκευση
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 314

"Ολοκληρωτική" γενίκευση

Σαν γενίκευση των https://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=59&t=12418&p=67498&hilit=Loomis&fbclid=IwAR1Le9Jk3cRtRcB44D0qR848pCG3JDJAYp5Gr6isJ38XDl5b2ZnmOZBNE2Y#p67498 και https://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=59&t=26982&p=131809&hilit=Loomis&fbclid=IwAR15sEjL8XR_7LCVtblEZYaSgU7Uko...
από silouan
Τετ Απρ 10, 2019 4:31 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: EGMO 2019
Απαντήσεις: 16
Προβολές: 1178

Re: EGMO 2019

Πρόβλημα 4: Έστω $ABC$ τρίγωνο με έγκεντρο $I$. Ο κύκλος ο οποίος διέρχεται από το $B$ και εφάπτεται της $AI$ στο $I$ τέμνει ξανά την πλευρά $AB$ στο $P.$ Ο κύκλος ο οποίος διέρχεται από το $C$ και εφάπτεται της $AI$ στο $I$ τέμνει ξανά την πλευρά $AC$ στο $Q.$ Να αποδειχθεί ότι η $PQ$ εφάπτεται στ...
από silouan
Τετ Απρ 10, 2019 2:04 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: EGMO 2019
Απαντήσεις: 16
Προβολές: 1178

Re: EGMO 2019

Πρόβλημα 1 Να βρεθούν όλες οι τριάδες $\left(a,b,c\right)$ πραγματικών αριθμών τέτοιων ώστε $ab+bc+ca=1$ και $\displaystyle a^2b+c=b^2c+a=c^2a+b.$ Και μια λίγο διαφορετική σκέψη γι' αυτό. Αν κάποιος είναι μηδέν, ας πούμε $a=0$, τότε $bc=1$ από την πρώτη συνθήκη και $b=c$ από τη δεύτερη, άρα $b=c=1$...
από silouan
Κυρ Απρ 07, 2019 12:10 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: ΧΡΗΣΙΜΟ ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ- SL2005-G6
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 300

Re: ΧΡΗΣΙΜΟ ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ- SL2005-G6

Μία άλλη λύση βρίσκεται και στο Μαθηματικοί Διαγωνισμοί ΙΙ.
από silouan
Τετ Απρ 03, 2019 2:02 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'
Θέμα: ΄Ενα εξαιρετικό διαγώνισμα από τον Δημήτρη Ντρίζο.
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 2115

Re: ΄Ενα εξαιρετικό διαγώνισμα από τον Δημήτρη Ντρίζο.

Πολύ ωραίος ο τρόπος με τον οποίο είναι δομημένο το διαγώνισμα και τα θέματα. Το θέμα Γ βασίζεται σε ένα παλιό πρόβλημα από τις Πανενωσιακές. Εκεί η εκφώνηση του θέματος είναι να δίνονται οι δύο σχέσεις Γ4. Θεωρούμε τους πραγματικούς αριθμούς \alpha , \beta για τους οποίους ισχύουν: ${\alpha ^3} - 3...
από silouan
Δευ Απρ 01, 2019 10:42 pm
Δ. Συζήτηση: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
Θέμα: Όγκος ίδιος με τις προβολές
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 385

Re: Όγκος ίδιος με τις προβολές

Επαναφορά!
από silouan
Δευ Απρ 01, 2019 9:39 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Διπλάσιο τμήμα !
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 320

Re: Διπλάσιο τμήμα !

Το λήμμα αυτό χρησιμοποιείται και για να λύσει το ακόλουθο πρόβλημα από την Shortlist της ΙΜΟ του 2011. (βλέπε πόστ 12 για παράδειγμα)
https://artofproblemsolving.com/communi ... 29p2739327

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση