Εὐχαριστῶ πολὺ γιὰ τὴν ὑπόδειξη! Δὲν τὸ εἶχα ὑπ'' ὄψη μου. Ἡ δική μου λύση ταυτίζεται μὲ τὴν 7 ἀπόδειξη τοῦ συγγράμματος. Ἀλλὰ θὰ σᾶς παρακαλοῦσα νὰ σκανάρετε καὶ τὴν παράγραφο 84 ποὺ ἀναφέρει στὴν ἀπόδειξή του ὅτι ἂν δύο πλευρὲς εἶναι ἄνισες τότε οἱ διχοτόμοι τους θὰ εἶναι ἀνομοίως ἄνισες, ὅπως τὸ ...

Εἶναι γνωστὰ τὰ προβλήματα γιὰ τὰ ὁποῖα ἂν σὲ ἕνα τρίγωνο ἔχουμε δύο διαμέσους ἢ ὕψη ποὺ εἶναι ἴσα τότε τὸ τρίγωνο εἶναι ἰσοσκελές. Ἰσχύει ὅμως τὸ ἴδιο καὶ γιὰ τὶς διχοτόμους;

Στὴν προσπάθειά μου νὰ τὸ ἀποδείξω ἀναγκάστηκα νὰ ἀποδείξω τελικὰ κάτι ἰσχυρότερο τὸ ὁποῖο δὲν ξέρω ποὺ μπορεῖ νὰ βρίσκεται ...

Ὄχι ὅτι τὸ θέμα δὲν ἔχει λυθεῖ, ἀλλὰ θὰ παρουσιάσω ἐδῶ κάποιους συλλογισμοὺς σχετικὰ μὲ τὸ μηχανισμὸ παραγωγῆς Π.Τ. (Πυθαγόρειων Τριάδων)

Οἱ πιὸ πολλὲς προτάσεις - συλλογισμοὶ θὰ εἶναι ἀναπόδεικτοι καὶ ἀφήνονται ὡς ἄσκηση:

1) Ἂν $a, b, c$, Π.Τ. Μὲ $\displaystyle{{a^{2}=b^{2}+c^{2}}}$ τότε ἢ ὅλοι ...

Μετὰ ἀπὸ ...τρία χρόνια :oops: καὶ ἐνῷ ἡ μικρὴ ἔχει σίγουρα μεγαλώσει.... νὰ κάνω καὶ μία προσθήκη: Τὸ κόλπο της γιὰ νὰ βρίσκει ἂν ἕνας ἀριθμὸς διαιρεῖται ἢ ὄχι μὲ τὸ 11 "πιάνει" βέβαια ἀλλὰ σὲ περίπτωση ποὺ δὲν διαιρεῖται δὲ μᾶς δηλώνει τὸ ὑπόλοιπό του!!!!!!! :( :( :( :(

Κι αὐτὸ γιατὶ ἂν ἕνας ...

Καλησπέρα. Προσωπικά, χρησιμοποιώ αυτή την ιστοσελίδα: http://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php . Είναι αρκετά εύχρηστη και θεωρώ πως περιέχει περισσότερες λειτουργίες και σύμβολα από το editor του :logo: .

Ἔστω καὶ μετὰ ἀπὸ ...2 χρόνια :oops: ...εὐχαριστῶ πολὺ!!!!!

Δυστυχῶς δὲν φροντισαα νὰ ...

Συμφωνώ με την παραπάνω ανακοίνωση και επαυξάνω. Αν το δούμε πιο μακροσκοπικά τα τελευταία τριάντα χρόνια μόνο μείωση της μαθηματικής παιδείας γίνεται στη χώρα μας και πολύ φοβούμαι και παγκοσμίως... Αρκεί να αναλογιστεί κανείς ότι στην εποχή που ήμουν μαθητής τρίτης λυκείου κάναμε, εκτός από ...

Μπορεῖ κάποιος νὰ μοῦ πεῖ ἂν μπορῶ κι ἐγὼ γιὰ προσωπικὴ χρήση νὰ κατεβάσω τὸν latex editor ποὺ ὑπάρχει στὸ παρὸν ἰστολόγιο; 'Υπάρχει κάποιος τόπος νὰ τὸν κατεβάσει κανεὶς ἐλεύθερα ἢ ἀγοράζεται; Μήπως ὑπάρχει καὶ ἐδῶ κάπου νὰ τὸν κατεβάσουμε;

Μιχάλης Μακρίδης

Θα επιχειρήσω να μιλήσω γιατί ισχύει η πρόταση της μικρής.

Επειδή, όπως αναφέρθηκε, $10\equiv -1mod11$ είναι $10^{\nu }\equiv \left(-1 \right)^{\nu }mod11$.

Οπότε αν $\bar{a_{1}a_{2}a_{3}...a_{k}}$ ο αριθμός που θέλουμε να διαιρέσουμε με το 11 θα είναι
$\bar{a_{1}a_{2}a_{3}...a_{k}}\equiv a_{1}10 ...

Demetres έγραψε:Το αφήνω σαν άσκηση ότι ο greedy algorithm πάντοτε τερματίζει.

Ερώτηση: Σε ποιούς αναφέρεται η άσκηση;

Στέργιο συγχαρητήρια!!! Νομίζω μπορούμε να συνεχίσουμε τη σκέψη σου ώστε να βγάλουμε ένα τύπο ανεξάρτητο από το βαθμό της Ελένης αλλά και την αύξηση ή τη μείωση του Μ.Ο.!!!!

Έστω ότι τοποθετούμε τις βαθμολογίες των γραπτών σε μια σειρά οπότε έχουμε μια ακολουθία τιμών που τη συμβολίζουμε με $a_{n ...

Νομίζω αυτό είναι και γενικότερο συμπέρασμα ότι αν μια συνάρτηση $\displaystyle{f}$ δύο φορές παραγωγίσιμη παρουσιάζει καμπή στο $\displaystyle{x_{0}}$ τότε υπάρχει διάστημα γύρω από αυτό που η $\displaystyle{f}$ είναι γνησίως μονότονη. Ή κάνω λάθος; Από όσο το σκέφτηκα ισχύει ακόμα και για την ...

Λοιπόν ...ψέμματα είπα, παρασύρθηκα και τον ...βρήκα το χρόνο. Η άσκηση από ό,τι φαίνεται δεν είναι σωστή και η απόδειξη πρέπει να έχει ως:

Αν ισχύει η δοθείσα ανισότητα τότε ισοδύναμα θα πρέπει να ισχύει:

Πολλαπλασιάζω και τα δύο μέλη με $\displaystyle{\left(x-1 \right)\left(y-x \right)}$ που ...

$\Leftrightarrow\ln\frac{4}{3}<\ln\sqrt[3]{e}\Leftrightarrow\frac{4}{3}<\sqrt[3]{e}\Leftrightarrow\frac{64}{\color{red}{9}}<e$

Εδώ έχεις κάνει λάθος Διομήδη... ο παρονομαστής είναι 27 και όχι 9 άρα το κλάσμα 64/27 είναι όντως μικρότερο του e και το αντιπαράδειγμα δεν ισχύει.

Μπορεί επί της ...

Ευχαριστώ πολύ τον Παρμενίδη για τα λίνκς με τις λύσεις που παρέθεσε μερικές από τις οποίες ήταν όντως εκπληκτικές!!!!!

Θα προσπαθήσω να δώσω κι εγώ μια δική μου επίλυση η οποία δεν απαιτεί τόσο μεγάλη "λεπτότητα" παρατηρήσεων και μοιάζει πιο "χονδροκομμένη" αλλά ίσως να είναι πιο κατανοητή για ...

Μια και βλέπω ακινησία ας δώσω μια πρώτη υπόδειξη. Το όλο σκεπτικό θα πρέπει να επικεντρωθεί στον υπολογισμό του μέρους του τετραγώνου που δεν καλύπτεται από κανένα από τα δύο φύλλα καθώς ο υπολογισμός του ενός μόνο φύλλου είναι σχετικά προσιτός.

Ας δώσω κι εγώ το δικό μου σχήμα με τη βοήθεια του αγαπητού Ηλία...

Μια χαρά είναι! Ευχαριστώ πολύ!!

Αν θες σε π.μ. στείλε μου τι έκανες...

Μιχάλης

Πάλαιψα πολύ και δεν κατάφερα να φτιάξω ένα σχήμα μολονότι για όσους ξέρουν να φτιάχνουν σχήματα είναι πολύ εύκολο (φαντάζομαι). Το πρόβλημα έχει ως εξής:

Έστω ένα τετράγωνο πλευράς 8. Με κέντρο κάθε κορυφή του και ακτίνα την πλευρά του κατασκευάζουμε τεταρτοκύκλια εντός του τετραγώνου ...

Μα είναι εξαιρετικό !!!

Ο προβληματισμός θα μπορούσε να είναι και ένα μέρος ευρύτερου θέματος για Project σχετικά με την επιστήμη στον αρχαίο κόσμο :
- Πώς μετρούσαν τον χρόνο την εποχή εκείνη;
- Πώς ήταν σίγουρος ο Ερατοσθένης ότι μέτρησε ακριβώς μεσημέρι το μήκος της σκιάς και τη γωνία ...