Η αναζήτηση βρήκε 1451 εγγραφές

από Παύλος Μαραγκουδάκης
Τρί Ιούλ 09, 2019 1:54 am
Δ. Συζήτηση: Ανάλυση
Θέμα: Με παράμετρο
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 464

Re: Με παράμετρο

$f_a(x)=x\Leftrightarrow \dfrac{ln(1-x)}{lnx}=a$ Ορίζουμε $k(x)=\dfrac{ln(1-x)}{lnx},x\in\left ( 0,1 \right ).$ Η συνάρτηση αυτή είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα με $k(\left ( 0,1 \right ))=\left ( 0,+\infty \right ).$ Ορίζεται η αντίστροφή της και είναι συνεχής. Επομένως $\displaystyle{\lim_{a\rig...
από Παύλος Μαραγκουδάκης
Κυρ Ιούλ 07, 2019 8:48 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά
Θέμα: Με αφορμή το 2ο θέμα της JBMO 2019
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 565

Re: Με αφορμή το 2ο θέμα της JBMO 2019

Σταύρο, σε ευχαριστώ πολύ για τη λύση . Θα εξηγήσω πως προέκυψε το ερώτημα. Ας θυμίσω τη διατύπωση του προβλήματος. Πρόβλημα 2 (Σαουδική Αραβία) Έστω $a,b$ διαφορετικοί πραγματικοί αριθμοί και $c$ θετικός πραγματικός αριθμός. Αν ισχύει ότι $\displaystyle{a^4-2019a=b^4-2019b=c,}$ να αποδείξετε ότι $-...
από Παύλος Μαραγκουδάκης
Σάβ Ιούλ 06, 2019 2:31 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά
Θέμα: Άσκηση στα όρια (7)
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 364

Άσκηση στα όρια (7)

Να αποδείξετε ότι αν \displaystyle{\rm \lim_{x\to +\infty}(f(x)+g(x))=+\infty} τότε για κάθε φυσικό n\geq1 είναι

\displaystyle{\rm \lim_{x\to +\infty}(f^n(x)+g^n(x))=+\infty}.
από Παύλος Μαραγκουδάκης
Σάβ Ιούλ 06, 2019 12:07 am
Δ. Συζήτηση: Γενικά
Θέμα: Με αφορμή το 2ο θέμα της JBMO 2019
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 565

Με αφορμή το 2ο θέμα της JBMO 2019

Να αποδειχθεί ότι υπάρχουν ακολουθίες \rm (a_n),(b_n),(c_n) για τις οποίες να ισχύει για κάθε \rm n\geq 1:

\bullet \rm c_n>0

\bullet \rm a_n<b_n

\bullet \rm a^4_n-2019a_n=b^4_n-2019b_n=c_n

ώστε \displaystyle{\rm \lim_{n\to +\infty} \dfrac{\sqrt {c_n}}{a_nb_n}}=-1
από Παύλος Μαραγκουδάκης
Παρ Ιούλ 05, 2019 11:35 pm
Δ. Συζήτηση: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ
Θέμα: Άσκηση στα όρια (6)
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 476

Άσκηση στα όρια (6)

Να εξετάσετε αν είναι αληθής η παρακάτω πρόταση:

Αν \displaystyle{\rm \lim_{x\to +\infty}(f^3(x)+g^3(x))=+\infty} τότε πάντα \displaystyle{\rm \lim_{x\to +\infty}(f(x)+g(x))=+\infty}.
από Παύλος Μαραγκουδάκης
Παρ Ιούλ 05, 2019 11:35 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Άσκηση στα όρια (5)
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 343

Άσκηση στα όρια (5)

Να αποδείξετε ότι αν \displaystyle{\rm \lim_{x\to +\infty}(f(x)+g(x))=+\infty} τότε:

(1) \displaystyle{\rm \lim_{x\to +\infty}(f^2(x)+g^2(x))=+\infty}

(2) \displaystyle{\rm \lim_{x\to +\infty}(f^3(x)+g^3(x))=+\infty}

Μέχρι τη Δευτέρα
από Παύλος Μαραγκουδάκης
Παρ Ιουν 28, 2019 12:06 pm
Δ. Συζήτηση: B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Θέμα: Έξι ορθογώνια και δύο γωνίες
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 393

Έξι ορθογώνια και δύο γωνίες

Άλλη μια ωραία άσκηση από τον Σωκράτη Ρωμανίδη: Στο παρακάτω σχήμα όλα τα ορθογώνια είναι ίσα. Αν \tan \beta=3 να υπολογίσετε την \tan \alpha.
ΠΕΝΤΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΚΑΙ ΔΥΟ ΓΩΝΙΕΣ.png
ΠΕΝΤΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΚΑΙ ΔΥΟ ΓΩΝΙΕΣ.png (147.16 KiB) Προβλήθηκε 393 φορές
από Παύλος Μαραγκουδάκης
Τετ Ιουν 19, 2019 11:54 am
Δ. Συζήτηση: B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Θέμα: Τρία κανονικά εξάγωνα
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 339

Τρία κανονικά εξάγωνα

Το πρόβλημα που ακολουθεί, δημοσιεύτηκε πριν από 5 ημέρες από τον Σωκράτη Ρωμανίδη εδώ. Είναι ωραίο πρόβλημα!

Τα δύο κανονικά εξάγωνα είναι ίσα και το τρίτο έχει εμβαδόν 10. Να βρεθεί το εμβαδόν του κόκκινου τριγώνου.
κανονικα εξαγωνα.png
κανονικα εξαγωνα.png (160.01 KiB) Προβλήθηκε 339 φορές
από Παύλος Μαραγκουδάκης
Τετ Ιαν 09, 2019 1:17 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Τέλειος κύβος
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 648

Re: Τέλειος κύβος

Παρόμοια λύση: Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει λύση στους ακεραίους. Το πρώτο μέλος είναι της μορφής $3k+1$ άρα ο $m^3$ είναι της μορφής $3k+1$ οπότε και ο $m$ είναι της μορφής $3k+1.$ Αν $m=3k+1$ τότε $n^2+n+8=9k^3+9k^2+3k$ οπότε ο $n^2+n+8$ είναι πολλαπλάσιο του 3 καθώς και ο $4n^2+4n+32$ είναι πολλαπλά...
από Παύλος Μαραγκουδάκης
Σάβ Δεκ 22, 2018 10:16 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Εξισώσεις στους ακεραίους
Απαντήσεις: 102
Προβολές: 12494

Re: Εξισώσεις στους ακεραίους

12) $2(a + b)^2 + 3(a + b) + ab + 4 = 0, \ a,b \in \Bbb{Z}$ Μια ακόμα λύση, μετά τη λύση του Ορέστη, με λίγη καθυστέρηση :) Η εξίσωση είναι ισοδύναμη με τις ακόλουθες: $2a^2+5ab+2b^2+3a+3b+4=0$ $(a+2b)(2a+b)+(a+2b)+(2a+b)+1=-3$ $(a+2b+1)(2a+b+1)=-3$ $\bullet$ Αν $a+2b+1=1$ και $2a+b+1=-3$ ή το ανάπ...
από Παύλος Μαραγκουδάκης
Παρ Δεκ 21, 2018 1:12 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Β'
Θέμα: Τέλεια ... σχέση
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 591

Re: Τέλεια ... σχέση

Η διαίρεση αυτή δίνει πηλίκο x+2r και υπόλοιπο (a+3r^2)x+(b-2r^3).
Αν η διαίρεση είναι τέλεια τότε a=-3r^2 και b=2r^3 οπότε \displaystyle{\left ( \frac{\alpha}{3} \right )^3 + \left ( \frac{\beta}{2} \right )^2 =-r^6+r^6=0 }
από Παύλος Μαραγκουδάκης
Τρί Δεκ 18, 2018 1:03 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Παραλληλόγραμμο εντός παραλληλογράμμου
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 448

Re: Παραλληλόγραμμο εντός παραλληλογράμμου

Ονομάζουμε $\overrightarrow{AB}=\vec{a}$ και $\overrightarrow{AD}=\vec{b}.$ Υπάρχουν $k,m\in \mathbb R$ ώστε $\overrightarrow{SE}=k\overrightarrow{DE}$ και $\overrightarrow{SB}=m\overrightarrow{HB}.$ Εύκολα βρίσκουμε $\overrightarrow{SE}=\dfrac{4k}{9}\vec{a}-k\vec{b}$ $\overrightarrow{SB}=m\vec{a}-\...
από Παύλος Μαραγκουδάκης
Δευ Δεκ 17, 2018 12:54 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'
Θέμα: Τρίγωνο-112.
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 508

Re: Τρίγωνο-112.

τρίγωνο112.png Θεωρούμε σημείο $E$ στην $AB$ ώστε $B\hat{C}E=40^o$ και τη διχοτόμο $BF$ της $\hat{B}.$ Το τρίγωνο $BDF$ είναι ισοσκελές αφού $BD=AC=BF.$ Το τετράπλευρο $EFDB$ είναι εγγράψιμο αφού $F\hat{D}B=80^o$ και$B\hat{E}C=100^o.$ Άρα $F\hat{E}D=20^o.$ Θεωρούμε σημείο $G$ της $BC$ ώστε το τρίγω...
από Παύλος Μαραγκουδάκης
Κυρ Δεκ 16, 2018 10:37 am
Δ. Συζήτηση: Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών
Θέμα: Ελάχιστη τιμή
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 449

Re: Ελάχιστη τιμή

Θέτουμε $A=90^o-x,$ $B=90^o-y$ και $C=x+y.$ Τότε οι γωνίες $A,B,C$ είναι γωνίες τριγώνου οπότε θα ισχύει $\cot A\cot B+\cot B\cot C+\cot C\cot A=1.$ Τώρα $\displaystyle {P = {\tan ^2}x + {\tan ^2}y + {\cot ^2}(x + y)=\cot^2A+\cot^2B+\cot^2C\geq \cot A\cot B+\cot B\cot C+\cot C\cot A=1}$ Άρα η ελάχισ...
από Παύλος Μαραγκουδάκης
Σάβ Δεκ 15, 2018 10:48 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'
Θέμα: Πω πω τριαντάρες!
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 596

Re: Πω πω τριαντάρες!

30 Mοίρες.png
30 Mοίρες.png (52.98 KiB) Προβλήθηκε 547 φορές
Φέρνουμε το ύψος CD. Τότε το τρίγωνο DMC είναι ισόπλευρο. Ο κύκλος (D,DM) θα διέρχεται από το σημείο A αφού M\hat{D}C=2M\hat{A}C. Τότε A\hat{C}M=\dfrac{A\hat{D}M}{2}=15^o.
από Παύλος Μαραγκουδάκης
Κυρ Δεκ 09, 2018 3:15 pm
Δ. Συζήτηση: Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Θέμα: Σύγκριση αθροίσματος κλασμάτων με τη μονάδα
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 681

Re: Σύγκριση αθροίσματος κλασμάτων με τη μονάδα

Μια άλλη λύση, με κάποιες πράξεις, βασίζεται στο ότι από δύο ή περισσότερα κλάσματα με ίδιο αριθμητή μικρότερο είναι αυτό με τον μεγαλύτερο παρανομαστή. Έτσι $\dfrac{1}{34}+\dfrac{1}{35}+...+\dfrac{1}{40}>\dfrac{7}{40}=0,175$ $\dfrac{1}{41}+\dfrac{1}{42}+...+\dfrac{1}{50}>\dfrac{10}{50}=\dfrac{1}{5}...
από Παύλος Μαραγκουδάκης
Κυρ Δεκ 09, 2018 1:54 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'
Θέμα: Τρίγωνο-110.
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 538

Re: Τρίγωνο-110.

φανης.png Θεωρούμε το ισοσκελές τρίγωνο $ABK.$ Ας είναι $\{ O \}=AK\cap BC.$ Τότε $A\hat{D}B=70^o$ από το ισοσκελές τρίγωνο $ABD$ και επιπλέον $K\hat{A}D=10^o$ οπότε $D\hat{A}C=30^o.$ Από την παραλληλία της υπόθεσης $E\hat{B}C=40^o$ οπότε το $AODE$ είναι εγγράψιμο. Άρα $O\hat{E}A=70^o.$ Από το ισοσ...
από Παύλος Μαραγκουδάκης
Τετ Νοέμ 28, 2018 1:42 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'
Θέμα: Τρίγωνα-108.
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 482

Re: Τρίγωνα-108.

Φανης.png
Φανης.png (99.35 KiB) Προβλήθηκε 435 φορές
Θεωρούμε το ισόπλευρο τρίγωνο CDE. Τότε B\hat{C} E=10^o. Το σημείο A ανήκει στη διχοτόμο της γωνίας \hat{C} οπότε AD=AE και επομένως το τραπέζιο ABEC είναι ισοσκελές με AC=BE. Τα τρίγωνα BEC,ACD είναι ίσα αφού έχουν και τις τρεις πλευρές ίσες οπότε \theta =10^o.
από Παύλος Μαραγκουδάκης
Τρί Νοέμ 27, 2018 2:23 am
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Μήκος τμήματος.
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 500

Re: Μήκος τμήματος.

ΦΑΝΗΣ3.png Κατασκευάζουμε το ισόπλευρο τρίγωνο $\Gamma ZE.$ Από τα εγγράψιμα τετράπλευρα $\Gamma E\Delta A$ και $\Gamma BA\Delta$ προκύπτει ότι και το $BA\Delta E$ είναι εγγράψιμο οπότε το τρίγωνο $BE\Delta$ είναι ισόπλευρο. Τα τρίγωνα $ZBE$ και $\Gamma E\Delta $ είναι επομένως ίσα και έτσι $\Gamma...
από Παύλος Μαραγκουδάκης
Δευ Νοέμ 26, 2018 12:25 am
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Μήκος τμήματος-10.
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 460

Re: Μήκος τμήματος-10.

Fanis2.png Θεωρούμε το ορθογώνιο $ABGH$ όπως στο σχήμα. Τα τρίγωνα $ABE, EHD$ είναι όμοια οπότε αν $HD=x$ τότε $HE=2x.$ Τα τρίγωνα $HDE,DCG$ είναι ίσα, άρα $DG=2x$ και έτσι $x+2x=6$ δηλαδή $x=2.$ Επομένως $CG=2$ και $BC=5.$ Αν $L$ το μέσο του $AB$ τότε $OL=4$ ως διάμεσος του τραπεζίου $EABC.$ Απο τ...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση