Σας ευχαριστώ πολύ! Πήρα πολλή χαρά από τις ευχές σας.
Με τη σειρά μου εύχομαι σε όλους καλές διακοπές, υγεία και δημιουργική διάθεση.
Η αναζήτηση βρήκε 1498 εγγραφές
Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση
- Παρ Ιουν 30, 2023 5:09 pm
- Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
- Θέμα: Ευχές παιδιά
- Απαντήσεις: 7
- Προβολές: 571
- Πέμ Δεκ 29, 2022 2:40 pm
- Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Α'
- Θέμα: Εξίσωση με ριζικά
- Απαντήσεις: 6
- Προβολές: 602
Re: Εξίσωση με ριζικά
Η εξ Να λυθεί η εξίσωση $ \sqrt {2+x} + \sqrt {2-x} = x$ Αν θέλετε να υψώσετε τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στο τετράγωνο, μπορείτε να το κάνετε μόνο μία φορά. Χρόνια Πολλά! !Η εξίσωση γράφεται $ \sqrt {2+x} + \sqrt {2-x} = \dfrac{(\sqrt {2+x} + \sqrt {2-x})(\sqrt {2+x} - \sqrt {2-x} ) }{2}$ Απλοποιώντα...
- Δευ Δεκ 05, 2022 9:48 am
- Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Α'
- Θέμα: Ποσοστό στις βολές, στο ακέραιο
- Απαντήσεις: 2
- Προβολές: 428
Re: Ποσοστό στις βολές, στο ακέραιο
α) Ένας παίκτης του μπάσκετ είχε κάποια στιγμή ποσοστό επιτυχίας στις βολές, κάτω από $75$%. Αργότερα είχε ποσοστό επιτυχίας πάνω από $75$%. Να αποδείξετε ότι κάποια στιγμή είχε ποσοστό επιτυχίας ακριβώς $75$%. β) Να δώσετε παράδειγμα κλάσματος $\dfrac {p}{q} $ από το $1$% μέχρι το $99$% από όπου ν...
- Παρ Σεπ 30, 2022 12:50 pm
- Δ. Συζήτηση: B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
- Θέμα: Διατάξτε τα κομμάτια της διαγωνίου
- Απαντήσεις: 3
- Προβολές: 753
Διατάξτε τα κομμάτια της διαγωνίου
Διατάξτε τα κομμάτια της διαγωνίου.png Το παραπάνω σχήμα είναι ένα τετράγωνο με εμβαδόν $30$ $cm^2.$ Χωρίστηκε στα δύο από μία διαγώνιό του και κατόπιν σε τρίγωνα όπως φαίνεται στο σχήμα. Τα εμβαδά κάποιων τριγώνων δίνονται στο σχήμα. Να βάλετε στη σειρά από το μικρότερο στο μεγαλύτερο τα τμήματα $...
- Παρ Ιουν 10, 2022 10:46 am
- Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
- Θέμα: Άθροισμα τεσσάρων τελείων κύβων
- Απαντήσεις: 5
- Προβολές: 533
Re: Άθροισμα τεσσάρων τελείων κύβων
Είναι
Επομένως
Επομένως
- Τετ Ιουν 08, 2022 9:21 am
- Δ. Συζήτηση: ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'
- Θέμα: Απόνερα πανελλαδικών
- Απαντήσεις: 5
- Προβολές: 1515
Re: Απόνερα πανελλαδικών
Καλημέρα σας!
Η μέγιστη τιμή της συνάρτηση στο είναι η Άρα
οπότε
Απλοποιώντας προκύπτει το ζητούμενο.
Πρόσθεσα ένα απόλυτο.
Η μέγιστη τιμή της συνάρτηση στο είναι η Άρα
οπότε
Απλοποιώντας προκύπτει το ζητούμενο.
Πρόσθεσα ένα απόλυτο.
- Τρί Δεκ 21, 2021 10:25 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2021 (τάξη 8)
- Απαντήσεις: 5
- Προβολές: 673
Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2021 (τάξη 8)
1. Υπάρχει άραγε μια συλλογή $2021$ διαφορετικών θετικών ακέραιων, που έχουν την παρακάτω ιδιότητα: αν διαλέξουμε από αυτή οποιοδήποτε αριθμό $a$, οι υπόλοιποι $2020$ αριθμοί μπορούν να χωρισθούν σε ζεύγη έτσι, ώστε ο $a$ να διαιρείται με την διαφορά των αριθμών κάθε ζεύγους; Οι αριθμοί $1,2,3,...,...
- Δευ Δεκ 20, 2021 6:52 pm
- Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα
- Θέμα: Αδύνατο σύστημα ανισώσεων
- Απαντήσεις: 7
- Προβολές: 1326
Re: Αδύνατο σύστημα ανισώσεων
Γεια σας φίλοι! Χρόνια Πολλά!
Για και ισχύει το ίσον και στις δύο ανισώσεις.
Για και ισχύει το ίσον και στις δύο ανισώσεις.
- Σάβ Δεκ 18, 2021 12:42 pm
- Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα
- Θέμα: Αδύνατο σύστημα ανισώσεων
- Απαντήσεις: 7
- Προβολές: 1326
Re: Αδύνατο σύστημα ανισώσεων
Αγαπητέ Νίκο, Χρόνια Πολλά με υγεία και δημιουργική διάθεση! Ας υποθέσουμε ότι υπάρχουν τέτοιοι φυσικοί αριθμοί $x,y.$. Η πρώτη ανίσωση δίνει $x^2-\sqrt{5}xy+y^2\le 0$ ή $\left(\dfrac{y}{x}\right)^2-\sqrt{5}\dfrac{y}{x}+1\le 0.$ Λύνουμε την ανίσωση και βρίσκουμε $\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}\le \dfrac{y}{x...
- Παρ Νοέμ 12, 2021 11:01 pm
- Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
- Θέμα: Άρρητη με απόλυτο
- Απαντήσεις: 1
- Προβολές: 392
Re: Άρρητη με απόλυτο
Η εξίσωση γράφεται ισοδύναμα $\dfrac{1+\sqrt{2+\dfrac{1}{x^2}}}{1+\sqrt{(x+1)^2+2}}=x(x+1)$ Προφανώς $x(x+1)>0.$ Έστω $a$ μια λύση της εξίσωσης. $\bullet$ Αν $a(a+1)>1$ τότε $\dfrac{1+\sqrt{2+\dfrac{1}{a^2}}}{1+\sqrt{(a+1)^2+2}}>1$ οπότε $\dfrac{1}{a^2}>(a+1)^2$ ή $[a(a+1)]^2<1,$ άτοπο. $\bullet$ Αν...
- Σάβ Νοέμ 06, 2021 10:17 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: ΘΑΛΗΣ 2021
- Απαντήσεις: 77
- Προβολές: 13801
Re: ΘΑΛΗΣ 2021
1o Θέμα Γ΄Λυκείου Έστω οι θετικοί ακέραιοι $a,b,c$ ώστε $4a^2=6b^2+5c^2+25$ και $13a=3b+2c+34.$ Η πρώτη ισότητα δίνει $4a^2>6b^2>4b^2$ οπότε $a>b.$ Ομοίως $4a^2>5c^2>4c^2$ οπότε $a>c.$ Επομένως $b,c\leq a-1.$ Τώρα η δεύτερη ισότητα δίνει $13a\leq 5(a-1)+34$ οπότε $8a\leq 29$ και άρα $a\leq 3.$ Αφού...
- Δευ Αύγ 09, 2021 10:57 am
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: Ανοιχτή Ολυμπιάδα ΦΜΛ 239 (8-9η τάξη, 2021)
- Απαντήσεις: 6
- Προβολές: 1021
Re: Ανοιχτή Ολυμπιάδα ΦΜΛ 239 (8-9η τάξη, 2021)
Ανοιχτή Ολυμπιάδα ΦΜΛ 239 Θέματα τάξεων 8-9, 4 Απριλίου 2021 4. Οι διαφορετικοί θετικοί αριθμοί $a,b,c$ είναι τέτοιοι, ώστε $a^{239}=ac-1$ και $b^{239}=bc-1$. Να αποδείξετε, ότι $238^{2}(ab)^{239} < 1$. Aπό υπόθεση, $c=a^{238}+\dfrac{1}{a}=b^{238}+\dfrac{1}{b}$ οπότε $a^{238}-b^{238}=\dfrac{1}{b}-\...
- Σάβ Μάιος 08, 2021 8:47 pm
- Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
- Θέμα: Eλάχιστο άθροισμα 100 θετικών ακεραίων ίσο με το ΕΚΠ τους
- Απαντήσεις: 4
- Προβολές: 751
Eλάχιστο άθροισμα 100 θετικών ακεραίων ίσο με το ΕΚΠ τους
Αν θετικοί ακέραιοι έχουν άθροισμα και ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο να βρεθεί η ελάχιστη τιμή του
- Σάβ Μάιος 08, 2021 8:10 pm
- Δ. Συζήτηση: B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
- Θέμα: Το άθροισμά τους να είναι ίσο με το ΕΚΠ τους!
- Απαντήσεις: 7
- Προβολές: 1045
Re: Το άθροισμά τους να είναι ίσο με το ΕΚΠ τους!
β) Να βρείτε 100 θετικούς ακέραιους αριθμούς με την ιδιότητα το άθροισμά τους να είναι ίσο με το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιό τους. Θα προσπαθήσουμε να βρούμε $100$ αριθμούς με ΕΚΠ το $210$ και άθροισμα το $210$. (Γιατί διαλέξαμε το $210$; Γιατί ξεπερνάνει το 100 και στην ανάλυσή του σε γινόμενο πρώτω...
- Πέμ Μάιος 06, 2021 10:23 pm
- Δ. Συζήτηση: B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
- Θέμα: Το άθροισμά τους να είναι ίσο με το ΕΚΠ τους!
- Απαντήσεις: 7
- Προβολές: 1045
Το άθροισμά τους να είναι ίσο με το ΕΚΠ τους!
α) Να βρείτε τρεις θετικούς ακέραιους αριθμούς με την ιδιότητα το άθροισμά τους να είναι ίσο με το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιό τους. β) Να βρείτε 100 θετικούς ακέραιους αριθμούς με την ιδιότητα το άθροισμά τους να είναι ίσο με το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιό τους. γ) Να βρείτε 2020 θετικούς ακέραιους α...
- Πέμ Μάιος 06, 2021 9:44 pm
- Δ. Συζήτηση: B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
- Θέμα: Μήκος τμήματος που ενώνει τις βάσεις τραπεζίου
- Απαντήσεις: 5
- Προβολές: 828
Μήκος τμήματος που ενώνει τις βάσεις τραπεζίου
Οι βάσεις ενός τραπεζίου έχουν μήκη και Οι προσκείμενες γωνίες της μεγάλης βάσης είναι και
Να υπολογίσετε το μήκος του τμήματος που ενώνει τα μέσα των βάσεών του.
Να υπολογίσετε το μήκος του τμήματος που ενώνει τα μέσα των βάσεών του.
- Πέμ Μάιος 06, 2021 2:54 pm
- Δ. Συζήτηση: B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
- Θέμα: Τρεις ομόκεντροι κύκλοι
- Απαντήσεις: 4
- Προβολές: 1070
Τρεις ομόκεντροι κύκλοι
Τρεις ομόκεντροι κύκλοι έχουν εμβαδά $2\pi, 3\pi, 4\pi.$ Από ένα σημείο Α του μεγαλύτερου κύκλου σχεδιάζουμε μία εφαπτομένη προς τον μεσαίο κύκλο με σημείο επαφής το $B$ και μια εφαπτομένη προς το μικρό κύκλο με σημείο επαφής το $C$, όπως το σχήμα. Πόσων μοιρών είναι η γωνία $\hat{BAC}$; Τρεις ομόκε...
- Πέμ Μάιος 06, 2021 2:46 pm
- Δ. Συζήτηση: B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
- Θέμα: Πόσοι ακέραιοι αριθμοί;
- Απαντήσεις: 1
- Προβολές: 486
Πόσοι ακέραιοι αριθμοί;
Πόσοι ακέραιοι αριθμοί υπάρχουν τέτοιοι ώστε
- Τρί Φεβ 16, 2021 4:11 pm
- Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
- Θέμα: Ελάχιστη τιμή σε απόλυτα
- Απαντήσεις: 3
- Προβολές: 800
Re: Ελάχιστη τιμή σε απόλυτα
.
H ισότητα πιάνεται μόνο όταν δηλαδή όταν
H ισότητα πιάνεται μόνο όταν δηλαδή όταν
- Τρί Δεκ 15, 2020 1:21 am
- Δ. Συζήτηση: Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών
- Θέμα: Μία εξίσωση, τρείς αγνωστοι.
- Απαντήσεις: 11
- Προβολές: 1433
Re: Μία εξίσωση, τρείς αγνωστοι.
Καλησπέρα σας! Είδα καλή παρέα και μπήκα! Αισθάνθηκα σαν να περπατούσα στην παλιά μου γειτονιά και να είδα φίλους καλούς που με κάλεσαν στο τραπέζι τους! Θέτω $a=1-x,$ $b=x-y,$ $c=y-w,$ $d=w.$ Τότε $a+b+c+d=1.$ Άρα $4(a^2+b^2+c^2+d^2)=(a+b+c+d)^2$ οπότε $3(a^2+b^2+c^2+d^2)=2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd$ $...