Για το Γ2ii) προφανώς χρησιμοποιείται η μονοτονία και τα ακρότατα του προηγούμενου ερωτήματος αλλά θα γράψω μια καθαρά αλγεβρική λύση.

Είναι $\displaystyle{f(x)=\frac{x}{x^2+1},\,x\in\mathbb{R}}$ και για κάθε $x\in\mathbb{R}$ ισχύει $\displaystyle{|f(x)|=\frac{|x|}{x^2+1}=\frac{|x|}{|x|^2+1}\leq ...

Μια διευκρίνιση θα ήθελα : Το κινείται επί της , άρα εννοείται ότι κάθε φορά φέρνω κάθετη από το που τέμνει το ημικύκλιο στο και μετά από το φέρνεις παράλληλη στην ;

Μπορεί χαζή ερώτηση αλλά whatever.

Ας πούμε ότι έχουμε μια γραμμική ισομετρία $T\colon \mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2$. Τότε υπάρχει $\theta\in\left[0,2\,\pi\right)$ ώστε $\displaystyle{T=\begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta\\
\sin \theta & \cos \theta
\end{pmatrix}.}$

Αυτό χρονικά σε τι ...

Αποσύρω λόγω λάθους.

Άσκηση 145

Να αποδειχθεί ότι $ \displaystyle{\int _0^ {\pi/4} \tan ^{4N} x \, dx = \dfrac {\pi}{4} -\left (1- \dfrac {1}{3} +\dfrac {1}{5} -\dfrac {1}{7} +... - \dfrac {1}{4N-1} \right ) $

(για οικονομία μπορείτε να το κάνετε μόνο για $N=2$)


Η ολοκληρωτέα συνάρτηση είναι συνεχής στο ...

Δείξτε ότι το σύνολο $\displaystyle{\mathcal L:=\Big\{f(x)=\sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{m}a_{i,j}x^i\ln^j x:a_{i,j}\in\mathbb R,\,\,n,m\in\mathbb N\Big\}}$ είναι κλειστό ως προς τις αρχικές.


H άσκηση αναρτήθηκε πριν από $14$ χρόνια, οπότε μάλλον δεν θα πάρω απάντηση στις δύο ερωτήσεις μου:

α ...

Στο έχουμε και συνεπώς με την ισότητα μόνο στα άκρα Άρα,

Πολύ ωραία, μια μικρή μικρή παρατήρηση στο ΘΕΜΑ Γ. Η παραγωγίζεται στο μιας και

και

Καλημέρα Γρηγόρη,

Θα κρατήσω-συμφωνήσω με αυτό που έγραψες ότι μέσα στο ZFC, η θεμελίωση αυτή είναι ό,τι καλύτερο έχουμε.

Στο mathematica είδα μια δημοσίευση για τη λύση πολυωνυμικών εξισώσεων με χρήση των Catalan's numbers από τον Wildberger, αλλά δε τη βρίσκω.

Έψαξα το περιοδικό που δημοσιεύτηκε (American Mathematical Monthly) καθώς και τον ίδιο και είδα αρκετά βιντεάκια του.

Σε ένα από αυτά, μου έκαναν τρομερή ...

Μπορούμε να υποθέσουμε ότι ο $R$ έχει και μονάδα που βοηθάει στην απόδειξη.

Αν όχι, περνάμε στη μοναδοποίηση $R\oplus \mathbb{Z}$ με πρόσθεση κατά σημείο και πολλαπλασιασμό

$\displaystyle{(r,n)\,(s,m):=(r s+m r+n s,\,n m),\,\,\,r,\,s\in R,\,\,n,\,m\in\mathbb{Z}.}$

Το στοιχείο $(0_{R},\,1)$ είναι ...

Έστω σημεία $B(x_1,\,y_1)$ και $B'(x_2,\,y_2)$ σημεία του επιπέδου με $0\neq x_1<x_2$ και $y_1\neq y_2$.

1) Να αποδείξετε ότι υπάρχει παραβολική $f(x)=a\,x^2+b\,x+c,\,\,x\in\mathbb{R}$ που διέρχεται από τα σημεία $B,\,B'$ και την αρχή των αξόνων.

2) Να αποδείξετε ότι υπάρχει σημείο $M(\xi,\,\rho ...

Τόληηηη, γράφω τα βασικά βήματα μετά από την υπόδειξη σου. Έχουμε για $x\geq 0$ ότι

$\displaystyle{\frac{|\cos x|}{x^2+1}=\frac{2}{\pi(x^2+1)}+\frac{4}{\pi}\,\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}\,\cos(2 n x)}{(4\,n^2-1)(x^2+1)}}$

όπου $\displaystyle{\int_{0}^{\infty}\frac{2}{\pi(x^2+1)}dx=\left ...

Tolaso J Kos έγραψε: Σάβ Μαρ 15, 2025 9:11 pm Ισχυρή υπόδειξη:

Wow, που το βρήκες αυτό ;

Τέλεια. Να τονίσω ότι αυτή η ανισότητα χρησιμοποιείται στην απόδειξη της ανισότητας Holder στους χώρους

Δεν έχω ακόμα απάντηση, αλλά μου άρεσε το σχόλιο στην παρένθεση και παραθέτω ένα παράδειγμα:

με ( πρώτο) αλλά από την άλλη όπου και ο και ο είναι στη μορφή που θέλουμε.

Υ.Γ.: Καλημέρα

Έστω $f\colon \left(0,\infty\right)\to \mathbb{R}$ μια δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση στο $\left(0,\infty\right)$ με $f^{\prime \prime}(x)<0,\,\,\forall\,x>0.$

Έστω τυχαία, αλλά σταθερά, $\lambda\in\left(0,1\right)$ και $y>0.$ Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{f(\lambda\,x+(1-\lambda)\,y)\geq ...

Μιχάλη η συνάρτηση που έθεσε ο Βαγγέλης είναι καλή και δίνει απάντηση.

Αλλά υπάρχει μια καλύτερη συνάρτηση που κάνει πολύ ευκολότερη την επίλυση της εξίσωσης.

Είναι η $f(x)=xe^{-x}, \ \ x\in (-\infty,1]$. Αυτή είναι γνησίως αύξουσα και, εφόσον $sinx, \ \ cosx \in (-\infty, 1]$, θα είναι

$e ...

Και άλλη μια ιδέα.

Μελετώντας τη μονοτονία της απεικόνισης $\displaystyle{g(x)=\frac{e^x}{x},\,x\neq 0}$ βλέπουμε ότι η $g$ είναι γνησίως μονότονη και άρα $1-1$ σε κάθε ένα από τα

διαστήματα $\left(-\infty,0\right), \left(0,1\right]$ και $\left[1,+\infty\right).$

Με τους γνωστούς περιορισμούς, η ...

Καλησπέρα Γρηγόρη,

έριξα μια γρήγορη ματιά, πολύ όμορφη ιδέα.

Οι συντελεστές παίζουν κάποιο ρόλο ή θα μπορούσαμε να βάλουμε κάποιες άλλες μη-μηδενικές σταθερές στις συναρτήσεις που φτιάχνεις ;