Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση $\displaystyle{f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ που έχει την ακόλουθη ιδιότητα. Για κάθε $\displaystyle{a\,,b\in\mathbb{R}$ με $\displaystyle{a<b}$ η εφαπτόμενη της γραφικής παράστασης της $\displaystyle{f}$ στο σημείο της $\displaystyle{A(a,f(a))}$ διέρχεται από το σημείο ...

1. Έστω μια γνησίως αύξουσα συνάρτηση (άρα και 1-1) $\displaystyle{f:A\to \mathbb{R}$. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση $\displaystyle{f(x)=f^{-1}(x)\,,x\in A\cap f(A)}$ είναι ισοδύναμη με την $\displaystyle{f(x)=x\,,x\in A$. Με τη βοήθεια του 1. να αποδείξετε το ακόλουθο. 2. Έστω $\displaystyle{a>0}$ κ...

Γεια χαρά. Με $\displaystyle{S}$ θα συμβολίζουμε το σύνολο των απλών συναρτήσεων του $\displaystyle{\left[a,b\right]}$ . Έστω $\displaystyle{s\in S}$ τέτοια, ώστε $\displaystyle{0\leq s\leq M}$. Tότε, $\displaystyle{\int s\,\mathrm{d}\lambda\leq \int M\,\mathrm{d}\lambda=M\,\lambda([a,b])=M\,(b-a)<\...

Αλλιώς : $\displaystyle{\begin{aligned}P(x)&=(x^2+2\,x-2)^2-9\,x^2-8\,x+16\\&=[(x^2+2\,x-2)-3\,x]\,[(x^2+2\,x-2)+3\,x]-8\,(x-2)\\&=(x^2-x-2)\,(x^2+5\,x-2)-8\,(x-2)\\&=(x-2)(x+1)(x^2+5\,x-2)-8\,(x-2)\\&=(x-2)\,\left[(x+1)(x^2+5\,x-2)-8\right]\\&=(x-2)\,\left[(x+1)((x+1)^2+3\,(x-1)-8)\right]\\&=(x-2)\...

Γεια σου Μυρτώ και γεια σου Γρηγόρη. Μυρτώ, αρχικά, νομίζω ότι ήθελες να γράψεις $\displaystyle{R=\left\{0,1,...,r-1\right\}}$ και όχι $\displaystyle{\left\{1,...,r-1\right\}}$ . Με τις συνήθεις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού modulo $\displaystyle{r}$ το παραπάνω σύνολο είναι μεταθετικός δακτ...

Καλημέρα. Μια απάντηση για το πρώτο ερώτημα. 1. Έστω $\displaystyle{x\geq 0}$ . Η συνάρτηση $\displaystyle{F_{x}(t)=t^5+x\,t+x^2\,,t\in\mathbb{R}}$ είναι συνεχής, γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle{\mathbb{R}}$ με $\displaystyle{\lim_{t\to -\infty}F_{x}(t)=-\infty\,\,,\lim_{t\to +\infty}F_{x}(t)=+\i...

Άλλη μια ιδέα για πεπερασμένο όριο. Γράφουμε, $\displaystyle{\int_{0}^{1}f(n\,x)\,\mathrm{d}x=\dfrac{1}{n}\,\int_{0}^{n}f(x)\,\mathrm{d}x=\dfrac{1}{n}\,\int_{0}^{n}(f(x)-L)\,\mathrm{d}x+L\,\,,n\in\mathbb{N}}$ Θα δείξουμε ότι $\displaystyle{\dfrac{1}{n}\,\int_{0}^{n}g(x)\,\mathrm{d}x\to 0}$ , όπου η ...

viewtopic.php?f=136&t=54829#p265793

Έχει δοθεί παρόμοια απάντηση για συγκεκριμμένο ιδέωδες στο ΘΕΜΑ 3 του παραπάνω συνδέσμου.

Η απόδειξη είναι ίδια απλά έχεις γενικό ιδεώδες, όχι κύριο.

Μπορούμε να γενικεύσουμε το αρχικό πρόβλημα. Έστω $\displaystyle{\left(R,+,\cdot\right)}$ πεπερασμένος μεταθετικός δακτύλιος του Boole ( $\displaystyle{\,\,\,x^2=x\,,\forall\,x\in R}$) με μονάδα και $\displaystyle{S\subseteq R}$ με την ιδιότητα $\displaystyle{x\in S\,\,\land\,\,y\in S\implies x\,y\n...

Γεια χαρά. Συμβολίζουμε $\displaystyle{1_{X}$ τη σταθερή και ίση με $\displaystyle{1}$ συνάρτηση, που είναι στοιχείο του $\displaystyle{X}$ . Έστω $\displaystyle{a\in\mathbb{R}}$ . Τότε, θεωρούμε τη συνεχή συνάρτηση $\displaystyle{c_a:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\,,c_a(x)=a}$ Ισχύει, ότι $\displaystyle{...

Γεια χαρά. Δεν χρειάζεται να δίνεται αυτό που λες.

Για κάθε έχουμε



οπότε η είναι 1-1 στο .

Γεια σας κύριε Βασίλη. Μια ακόμη που ικανοποιεί είναι η $\displaystyle{g(x)=\begin{cases} \,\,\,\,\,0\,\,\,\,,x\leq 0\\ \,\,\, \dfrac{1}{\pi}\,\,x\,\,,0<x\leq \pi\\ \,\,\,\,1\,\,\,\,,x>\pi \end{cases}}$ Αυτό το ερώτημα προέκυψε ως εξής : Οι συνεχείς στον κύκλο είναι πυκνές ως προς τη νόρμα 1 στον $\...

ΘΕΜΑ 3ο Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f:\left[-\pi,\pi\right]\to \mathbb{R}$ από τη σχέση $\displaystyle{f(x)=\begin{cases} 1\,\,\,\,\,,0\leq x\leq \pi\\ 0\,\,\,\,\,,-\pi\leq x<0 \end{cases}}$ Α. Να ορίσετε συνεχή συνάρτηση $\displaystyle{g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}}$ ώστε $\displaystyle{\int_{...

Γεια σου Γρηγόρη, γεια σου Τόλη, γεια σου :logo: Μετά από δοκιμές και αντικαταστάσεις, υπολόγισα το ολοκλήρωμα με πραγματικές μεθόδους. Έστω $\displaystyle{F(a,b)=\int_{0}^{\infty}\dfrac{\ln\,x}{(x+a)\,(x+b)}\,\mathrm{d}x\,\,,0<a<b}$ . Θέτουμε $\displaystyle{x=\dfrac{1}{t}}$ , οπότε έχουμε $\display...

Καλημέρα. Μια ιδέα. Το $\displaystyle{\left[0,1\right]}$ με την τοπολογία του, είναι συμπαγής μετρικός χώρος. Όπως έδειξε ο Γρηγόρης, η $\displaystyle{f}$ είναι 1-1 στο $\displaystyle{\left[0,1\right]}$ , άρα ορίζεται η αντίστροφη απεικόνιση $\displaystyle{f^{-1}: f([0,1])\to \left[0,1\right]}$ η οπ...

Νομίζω το έλυσα. Έστω $\displaystyle{f\in L^{\infty}(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}),\mu)}$ . Είναι, $\displaystyle{\int_{\mathbb{R}}f\circ T\mathrm{d}\mu=\int_{-\infty}^{0}f\circ T\mathrm{d}\mu+\int_{0}^{\infty}f\circ T\mathrm{d}\mu$ . Ας δούμε πρώτα το $\displaystyle{\int_{0}^{\infty}f\circ T\m...

Ευχαριστώ για την απάντηση κύριε Στάυρο. Σας χρωστάω και κάτι άλλο, θα το γράψω όταν βρω χρόνο. Νομίζω ότι δεν υπάρχει θέμα με το $\displaystyle{f\in L^{\infty}}$ γιατί παρατηρούμε ότι το μέτρο είναι μέτρο πιθανότητας. Εκεί υπάρχει το πρόβλημα, αφού κάνω την αλλαγή μεταβλητής, πώς θα γίνει το $\disp...

Γεια σας. Δυσκολεύομαι σε μια αντικατάσταση για τον υπολογισμό ολοκληρώματος. Ας είναι $\displaystyle{\maathcal{B}(\mathbb{R})}$ η Borel σ-άλγεβρα στο $\displaystyle{\mathbb{R}}$ . Θεωρούμε το μέτρο $\displaystyle{\mu}$ με $\displaystyle{\mathrm{d}\mu(x):=\dfrac{1}{\pi\,(1+x^2)}\,\mathrm{d}x$ και το...

Θεωρούμε τη μεταθετική μιγαδική άλγεβρα Banach $\displaystyle{\left(c_0(\mathbb{N}),||\cdot||_{\infty}\right)}$ (με τις πράξεις κατά σημείο) χωρίς μονάδα. Το $\displaystyle{c_{00}(\mathbb{N})=\left\{x=(x_n)_{n\in\mathbb{N}}\,,\exists\,k\in\mathbb{N}\,,x_n=0\,,\forall\,n\geq k\right\}}$ είναι ιδεώδες...

Μια ακόμη βοήθεια (δεν ξέρω πόσο χρήσιμη είναι)

Αν ορίσουμε , τότε αυτή είναι γνησίως φθίνουσα με

και .