Γειά χαρά. Νομίζω έχω απαντήσει σε αυτά που ρωτάτε.

Ενδιαφέρουσα η συζήτηση και με διαφορετικές γνώμες.Θα ήθελα να προσθέσω κάποιες απόψεις ακόμη. Θεωρώ ότι η υποβάθμιση της μαθηματικής επιστήμης δεν κρίνεται ούτε από τις βάσεις εισαγωγής ούτε από το επίπεδο γνώσεων που θα έχει ένας μελλοντικός μαθηματικός. Καθορίζεται σε πολύ μεγάλο βαθμό από τους ν...

Σας ευχαριστώ και τους δύο για τις απαντήσεις σας. Ακόμη μια ιδέα (με πολυώνυμο). Πράγματι, αν $x=\sqrt[3]{\sqrt{50}+7}-\sqrt[3]{\sqrt{50}-7}$, τότε με χρήση της ταυτότητας $(a-b)^3=a^3-b^2-3\,a\,b(a-b)$ βρίσκουμε για $a=\sqrt[3]{\sqrt{50}+7}\,,b=\sqrt[3]{\sqrt{50}-7}$ ότι $x^3=14-3\,x$ όποτε αναγόμ...

Να αποδειχθεί ότι

Ευχαριστούμε. Αρκετά ενδιαφέρον.

Καλημέρα. Μια ιδέα ακόμη. Παρατηρούμε ότι o $A$ έχει ιδιοτιμές $\lambda_1=3\,,\lambda_2=0\,,\lambda_3=-2$ με αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα τα $x_1=(1,1,1)^{T}\,,x_2=(1,1,0)^{T}\,,x_3=(1,0,-1)^{T}$. Επειδή το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του $A$ είναι τρίτου βαθμού και έχουμε ήδη βρει τρεις διακεκριμμένες ιδ...

Μια σκέψη για το ΘΕΜΑ Δ (Nέο σύστημα) Δ1. Η $f$ είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ ως άθροισμα τέτοιων συναρτήσεων με $f^{\prime}(x)=e^x+2\,x-e\,,x\in\mathbb{R}$. Με τη δέυτερη παράγωγο βρίσκουμε $f^{\prime \prime}(x)=e^x+2>0$ για κάθε $x\in\mathbb{R}$, γεγονός που αποδεικνύει ότι η $f^...

Γεια χαρά στην ωραία παρέα. Μια γενίκευση (δεν ξέρω πόσο ισχυρή) είναι η εξής ( για το άθροισμα). Γενίκευση για άθροισμα Αν οι συναρτήσεις $f\,,g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ παρουσιάζουν στο $x_0\in\mathbb{R}$ ίδιο είδος τοπικού ακροτάτου (και οι 2 μέγιστο ή και οι 2 ελάχιστο) τότε και η $f+g$ παρουσι...

Επειδή $1-\cos\,x>0\,,x\in\left(0,\pi\right]$ και $\sin\,x-x<0\,,x\in\left(0,\pi\right]$, πρόκυπτει $f(x)<0\,,x\in\left(0,\pi\right]$. Τώρα, για $x\in\left(0,\pi\right]$ έχουμε $\begin{aligned}f(x)>-x&\iff \dfrac{\sin\,x-x}{1-\cos\,x}>-x\\&\iff \sin\,x-x>-x+x\,\cos\,x\\&\iff \sin\,x-x\,\cos\,x>0\,\,...

Για $x>1$ γράφουμε $f(x)=e^{(x-1)\,\ln\,(x+1)}$ και $g(x)=e^{(x+1)\,\ln\,(x-1)$ Αναγόμαστε λοιπόν στην λύση της εξίσωσης $(x-1)\,\ln\,(x+1)=(x+1)\,\ln\,(x-1)$ ή ισοδύναμα, της $\dfrac{\ln\,(x+1)}{x+1}=\dfrac{\ln\,(x-1)}{x-1}\,(\ast)$ Η συνάρτηση $\phi(x)=\dfrac{\ln\,x}{x}\,,x>0$ έχει παράγωγο $\phi^...

Πολύ όμορφο. Έστω $J$ πρώτο ιδεώδες του $R$ ώστε $I\subseteq J$. Αρχικά, το $J/I\subseteq R/I$ είναι αμφίπλευρο ιδεώδες του $R/I$ διότι για κάθε $x+I\,,y+I\in J/I\,,r+I\in R/I$ έχουμε $(x+I)-(y+I)=(x-y)+I\in J/I$ (αυτό εξασφαλίζει ότι το $J/I$ είναι υποομάδα του $(R/I,+)$) και $(x+I)\,(r+I)=x\,r+I\i...

kfd έγραψε: ↑

Σάβ Μάιος 23, 2020 1:34 pm

Ευχαριστώ. Το διόρθωσα.

Καλημέρα. Μια ιδέα στο Γ Έχουμε $k=\dfrac{5}{4}$ και $f(x)=\ln\,\left(x^2+x+\dfrac{5}{4}\right)\,,x\in\mathbb{R}$. Το ζητούμενο είναι να βρεθεί η μέγιστη τιμή της $f^{\prime}$ όπου $f^{\prime}(x)=\dfrac{2\,x+1}{x^2+x+5/4}=\dfrac{4\,(2\,x+1)}{4\,x^2+4\,x+5}=\dfrac{4\,(2\,x+1)}{(2\,x+1)^2+4}\,,x\in\ma...

Για να ξεκαθαρίσει. Εστω $A\subseteq \mathbb{R},A\neq \O$ που κάθε σημείο του είναι εσωτερικό. Δηλαδή για κάθε $a\in A$ υπάρχει $\epsilon > 0$ ώστε $(a-\epsilon ,a+\epsilon )\subseteq A$ Αν $f:A\rightarrow R$ με $f(x)f'(x)=0$ για κάθε $x$ στο $A$ τότε $f'(x)=0$ για κάθε $x$ στο $A$ Έστω $a\in A$ ώσ...

Γεια χαρά. Έχεις $f^{\prime}(x)=e^{x-1}+1\,,x\in\mathbb{R}$, άρα η εξίσωση εφαπτομένης της $C_{f}$ στο $(\xi,f(\xi))$ είναι : $y-f(\xi)=f^{\prime}(\xi)(x-\xi)\iff y=f^{\prime}(\xi)(x-\xi)$. Τώρα, για $x=\dfrac{5}{2}\,,y=3$ προκύπτει $3=(e^{\xi-1}+1)\,\left(\dfrac{5}{2}-\xi\right)$ και σκέψου πώς μπο...

Άσκηση 95

Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα

Καλό μεσημέρι. Να υπενθυμίσω ότι έχει μείνει αναπάντητη η Άσκηση 88. Είναι το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\int \dfrac{x^2+2\,x+1+(3\,x+1)\,\sqrt{x+\ln\,x}}{x\,\sqrt{x+\ln\,x}\,(x+\sqrt{x+\ln\,x})}\,\mathrm{d}x}$ Ολοκληρώνουμε στο διάστημα $\left(\xi,+\infty\right)$, όπου $\xi$ η μοναδική θετική ρίζα ...

2η ιδέα : Λόγω παραγωγισιμότητας της $f$ στο σημείο $x=a$, αν θεωρήσουμε τη συνάρτηση $h(x)=\begin{cases} g(x)\,\,,x\neq a\\ f^{\prime}(a)\,\,,x=a\end{cases}$ τότε έχουμε ότι η $h$ είναι συνεχής σε όλο το $\mathbb{R}$. Με το Λήμμα πιο πάνω, έχουμε ότι $h^{\prime}(x)>0\,,\forall\,x\neq a$ και επιεδή ...

Καλημέρα. Λήμμα: Για κάθε $x\neq a$ ισχύει $f(x)-f(a)<(x-a)\,f^{\prime}(x)$ Απόδειξη Λήμματος Έστω $x<a$. Η $f$ ικανοποιεί τις υποθέσεις του Θεωρήματος Μέσης Τιμής στο διάστημα $\left[x,a\right]$ και κατά συνέπεια, υπάρχει $\xi\in\left(x,a\right)$ ώστε $f^{\prime}(\xi)=\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$. Έτσι,...

α) Η εξίσωση ορίζεται για όλους τους αριθμούς $x$ εκτός από $-a\,,-b\,,-\dfrac{a+b}{2}$. Ας δούμε πρώτα την περίπτωση, όπου $a=b$, οπότε η εξίσωση ορίζεται για $x\neq -a$ και είναι η $\displaystyle{\dfrac{2}{x+a}+\dfrac{2}{x+a}=\dfrac{8}{2\,x+2\,a}\iff \dfrac{4}{x+a}=\dfrac{4}{x+a}}$ αόριστη δηλαδή ...