Καλησπέρα.Μια άλλη ιδέα είναι η ακόλουθη 8) Έστω $S = \{f_n : n \in \mathbb{N}\}$ όπου $f_n: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}$, $f_n(x) = x^n$. Δείξτε ότι το $S$ είναι κλειστό και φραγμένο στον $C([0,1],\mathbb{R})$ όμως δεν είναι συμπαγές. Εδω παίρνουμε τη μετρική sup στον $C([0,1],\mathbb{R})$. Θεωρού...

Η συνάρτηση $f(x)=\dfrac{\ln\,x}{x}\,,x>0$ είναι συνεχής και παραγωγίσιμη με $f^{\prime}(x)=\dfrac{1-\ln\,x}{x^2}\,,x>0$, άρα συμπεραίνουμε ότι η $f$ γνησίως αύξουσα στο $\left(0,e\right]$ και γνησίως φθίνουσα στο $\left[e,+\infty\right)$. Έτσι, για $n\geq 3>e$ έχουμε και $n+1>e$ και συνεπώς $\displ...

Ευχαριστώ πολύ, το κατἀλαβα.

Λάθος.

8) Βρείτε την ομάδα Galois του πολυωνύμου $x^4+1$ επί του $\mathbb{Q}$. Οι ρίζες του πολυωνύμου $f(x)=x^4+1\in\mathbb{Q}[x]$ είναι οι $r_1=\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}\,i\,,r_2=\bar{r_1}\,,r_3=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}\,i\,,r_4=\bar{r_3}$ Επειδή $|r_i|=1\,,i=1,2,3,4$ και $...

4) Έστω $X$ ένα μη κενό σύνολο και δύο τοπολογίες $T_1,T_2$ στον $X$ με $T_1 \subset T_2$, έτσι ώστε ο $X$ με αυτές τις τοπολογίες είναι συμπαγής χώρος Haussdorf. Δείξτε ότι $T_1=T_2$. Έστω $K\in T_2$. Τότε το σύνολο $X\setminus K$ ως $T_2$- κλειστό, θα είναι και συμπαγές, εφ'όσον ο $(X,T_2)$ είναι...

Έστω τώρα $n\in\mathbb{N}\setminus \mathbb{P}$ με ανάλυση πρώτων παραγόντων $n=p_1^{a_1(n)}\cdot...\cdot p_{\lambda}^{a_{\lambda(n)}}$. Τότε, υπάρχει $\max(n)\in\left\{1,...,\lambda\right\}$ ώστε $n\,\mathrm{gpf}(n)=n\,p_m\geq p_{\max(n)}^{a_{\max(n)}+1}\geq 2^{a_\max(n)}+1}>2^{\max(n)}$ Θα χρησιμο...

Καλημέρα. Μια λύση με επιφύλαξη. Στο σύνολο $\mathbb{P}$ των φυσικών αριθμών, ισχύει $\mathrm{gpf}(p)=p$ για κάθε $p\in\mathbb{P}$, οπότε $p\,\mathrm{gpf}(p)=p^2\,,p\in\mathbb{P}$. Έστω τώρα $n\in\mathbb{N}\setminus \mathbb{P}$ με ανάλυση πρώτων παραγόντων $n=p_1^{a_1(n)}\cdot...\cdot p_{\lambda}^{a...

4) Έστω $X$ ένα μη κενό σύνολο και δύο τοπολογίες $T_1,T_2$ στον $X$ με $T_1 \subset T_2$, έτσι ώστε ο $X$ με αυτές τις τοπολογίες είναι συμπαγής χώρος Haussdorf. Δείξτε ότι $T_1=T_2$. Έστω $K\in T_2$. Τότε το σύνολο $X\setminus K$ ως $T_2$- κλειστό, θα είναι και συμπαγές, εφ'όσον ο $(X,T_2)$ είναι...

Παραθέτω κι εγώ μια άσκηση. Αν $R$ είναι προσεταιριστικός δακτύλιος με μονάδα, τότε συμβολίζουμε με $U(R)$ την ομάδα των αντιστρέψιμων στοιχείων του $R$. Να αποδείξετε ότι για οποιοδήποτε $x\in R$ τα ακόλουθα ισοδυναμούν : 1) $\,\,x\in U(R)$ 2) $\,\,x\notin M$ για κάθε αριστερό (και δεξιό) μέγιστο ι...

6) Έστω $R$ ένας μεταθετικός δακτύλιος με μονάδα, ώστε κάθε υποπρότυπο ενός ελεύθερου $R$- προτύπου είναι ελεύθερο $R$-πρότυπο. Δείξτε ότι o $R$ είναι περιοχή κυρίων ιδεωδών. Κάποια υπόδειξη ; Υπόδειξη: Ο $R$ είναι $R$-πρότυπο με εξωτερικό πολλαπλασιασμό το γινόμενο στον $R$. Ο $R$ είναι ελεύθερο $...

stranger έγραψε: ↑

Πέμ Νοέμ 12, 2020 4:44 pm

6) Έστω ένας μεταθετικός δακτύλιος με μονάδα, ώστε κάθε υποπρότυπο ενός ελεύθερου - προτύπου είναι ελεύθερο -πρότυπο.
Δείξτε ότι o είναι περιοχή κυρίων ιδεωδών.

Κάποια υπόδειξη ;

1) Βρείτε όλες τις ομάδες τάξης 35(ως προς ισομορφισμό). Έστω ομάδα $G$ με $|G|=35=5\cdot 7$. Για το πλήθος $n_5$ των $5$-Sylow υποομάδων της $G$ ισχύει $n_5 =1 mod 5$ και $n_5|7$, οπότε $n_5=1$, δηλαδή η $G$ έχει μοναδική υποομάδα τάξης $5$, έστω $H$. Με ίδιο σκεπτικό, υπάρχει μοναδική υποομάδα τη...

1) Βρείτε όλες τις ομάδες τάξης 35(ως προς ισομορφισμό). Έστω ομάδα $G$ με $|G|=35=5\cdot 7$. Για το πλήθος $n_5$ των $5$-Sylow υποομάδων της $G$ ισχύει $n_5 =1 mod 5$ και $n_5|7$, οπότε $n_5=1$, δηλαδή η $G$ έχει μοναδική υποομάδα τάξης $5$, έστω $H$. Με ίδιο σκεπτικό, υπάρχει μοναδική υποομάδα τη...

2) Έστω τα ιδεώδη $I$ και $J$ ενός δακτυλίου. Δείξτε $I \cdot J \subseteq I \cap J$. Ισχύει πάντα η ισότητα; Καλημέρα. Λογικά, εννοείς, αμφίπλευρα ιδεώδη, οπότε δουλεύω με αυτά. Έστω το τυχόν $\displaystyle{x=\sum_{i=1}^k x_i\,y_i\in I\cdot J}$, όπου $x_i\in I\,,y_i\in J\,,i=1,...,k$. Για κάθε $i=1...

Ισχύει,

Γεια χαρά. Το $C(\left[0,a\right])$ είναι ο γραμμικός χώρος όλων των συνεχών συναρτήσεων $f:\left[0,a\right]\to \mathbb{R}$. Η νὀρμα που γράφεις είναι η σωστή. Για να αποδείξεις ότι η $T$ είναι συστολή, πρέπει να αποδείξεις ότι $d(T(f),T(g))=||T(f)-T(g)||_{\infty}\leq ||f-g||_{\infty}=d(f,g)$ Στο ση...

Καλημέρα. Ήθελα να σχολιάσω ότι οι κοινοποιήσεις αρχείων που κάνεις με σημειώσεις ή ιστορίες για μαθηματικά, είναι φοβερές. Προσωπικά, σε ευχαριστώ. Καλό υπόλοιπο.

Γεια χαρά. Άλλη μια ιδέα. Η $f$ είναι παραγωγίσιμη στο $\left(0,8\right)$ με παράγωγο $f^\prime(x)=\dfrac{1}{3}\,\left(x^{-2/3}-(8-x)^{-2/3}\right)$ και με τη σειρά της η $f^\prime#$ παραγωγίζεται με $f^{\prime \prime}(x)=-\dfrac{2}{9}\,\left(x^{-5/3}+(8-x)^{-5/3}\right)<0\,,0<x<8$. Κατά συνέπεια, η...

Πολύ χρήσιμο. Σε ευχαριστούμε.