$23)$ Να δείξετε ότι η άπειρη κυκλική ομάδα δεν μπορεί να προκύψει ως ομάδα αυτομορφισμών κάποιας ομάδας. Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει ομάδα $G$ τέτοια, ώστε $(\rm{Aut}(G),\circ)\sim (\mathbb{Z},+)$. Άρα η ομάδα αυτομορφισμών της $G$ είναι κυκλική, κατά συνέπεια και η ομάδα εσωτερικών αυτομορφισμών $\...

Άσκηση 21: Μπορεί μια πεπερασμένη αβελιανή ομάδα να αποκτήσει δομή - προτύπου ;

20. Ορισμός : Ένας προσεταιριστικός δακτύλιος με μονάδα $R$ λέγεται πεπερασμένος κατά Dedekind αν ισχύει: $\forall\,x\,,y\in R: (x\,y=1\implies y\,x=1)$ Κλασικά παραδείγματα τέτοιων δακτυλίων είναι οι μεταθετικοί δακτύλιοι καθώς και οι $\mathbb{M}_{n}(\mathbb{K})$ όπου $\mathbb{K}$ σώμα. Άσκηση : Έ...

Ωραία! 19) Έστω $R$ ένας μεταθετικός δακτύλιος με μονάδα. Το Jacobson radical είναι η τομή όλων των μέγιστων ιδεωδών του $R$. Δείξτε ότι αν κάποιο $x$ ανήκει στο Jacobson radical τότε το στοιχείο $1+x$ είναι αντιστρέψιμο. Λύση Έστω $x\in J(R)$. Αν υποθέσουμε ότι το κύριο ιδεώδες $I=\langle{1+x\rangl...

18) Έστω $R$ ένας μεταθετικός δακτύλιος με μονάδα. Ένα στοιχείο του $r$ λέγεται μηδενοδύναμο αν $r^n=0$ για κάποιο φυσικό αριθμό $n$. Έστω επίσης $nil(R)$ να είναι η τομή όλων των πρώτων ιδεωδών του $R$. Να δείξετε ότι το $nil(R)$ είναι το σύνολο των μηδενοδύναμων στοιχείων του $R$. Καλησπέρα και χ...

Καλημέρα. Ας δούμε τι γίνεται με την εξίσωση $h(x)=f(x)-g(x)=a^x-\dfrac{\ln\,x}{\ln\,a}\,,x>0\,\,(\ast)$. Όπως γνωρίζουμε η $f$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\mathbb{R}$ με σύνολο τιμών $\left(0,+\infty\right)$. Επομένως, ορίζεται η $f^{-1}:\left(0,+\infty\right)\to \mathbb{R}$ και έχουμε ότι για δοθέν...

Σε ρωτάω γιατί γράφεις ότι τα είναι ταυτόχρονα ανοικτά και κλειστά. Αυτό δεν είναι σωστό σε οποιονδήποτε μετρικό χώρο.

Στο β), μήπως εννοείς σε διακριτό μετρικό χώρο ; To α) είναι σωστό. Το γ), θα το ξαναδω, δεν το πολυκατάλαβα.

Γενικά αν $T:X\to Z$ και $S:Y\to W$ είναι $\mathbb{K}$ γραμμικές απεικονίσεις τότε ορίζεται η γραμμική απεικόνιση $T\otimes S:X\otimes Y\to Z\otimes W$ μοναδική ως προς την ιδιότητα $(T\otimes S)(x\otimes y)=T(x)\otimes S(y)\,,\forall\,x\in X\,,y\in Y$. Έχουμε διαδοχικά $\beta_1\otimes \beta_2:W_1\o...

Γεια σου Τόλη. Καλοτάξιδο, περιμένουμε και το επόμενο.

Η άσκηση μπάζει από παντού. Αρχικά, ο δεν μπορεί να είναι οποιοσδήπτε μετρικός χώρος. Πρέπει να είναι υποχωρος του

χωρίς να μας εξασφαλίζει κανείς ότι . Δεν έχει κανένα νόημα. Ισως του Τόλη οι συνθήκες φτιάχνουν κάτι.

Βγαίνει το συγκεκριμμένο και με παραγοντική (αν και του Χρήστου η αντικατάσταση (γενικά) είναι πιο safe) Θα ολοκληρώσουμε είτε στο $\left(-2,0\right)$ ή στο $\left(0,2\right)$ οπότε έχουμε $\begin{aligned} \int \dfrac{\sqrt{4-x^2}}{x^2}\,\mathrm{d}x&=-\dfrac{1}{x}\,\sqrt{4-x^2}-\int \dfrac{1}{\sqrt{...

Φαντάζομαι σαν τετράγωνο θα εννοεί όλο το αλλά κυρίως αυτό που θέλει να τονίσει είναι η σχέση

για κάθε .

Αν γίνεται, θα με ευχαριστούσε να μου παρουσιάζετε αυτό που έχετε σαν αντιπαράδειγμα στο προβληματισμό μου. Η συνάρτηση $\displaystyle{f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}}$ με τύπο $\displaystyle{f(x) = - \cos{\Big( \frac{1}{x} \Big)} + 2 \cdot x \cdot \sin{\Big( \frac{1}{x} \Big)} , x \neq 0}$ κ...

Καλημέρα. Προσπάθησε το ξανά με Rolle.

Έλα Τόλη Καλημέρα. Για $x\neq 1$ μπορούμε να γράψουμε $\displaystyle{\dfrac{x}{x^3-1}=\dfrac{1}{3}\,\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{3}\,\dfrac{x-1}{x^2+x+1}}$ οπότε σε ένα διάστημα $\Delta$ που δεν περιέχει το $1$ ολοκληρώνουμε και έχουμε $\begin{aligned} \int \dfrac{x}{x^3-1}\,\mathrm{d}x&=\dfrac{1}{3}\in...

Καλημέρα. Για $x\in\left[0,4\right]$ έχουμε $x\,(4-x)-a=4\,x-x^2-4+(4-a)=4-a-(x-2)^2$. Αν $a\geq 4$ τότε $x\,(4-x)-a\leq 0$ και κατα συνέπεια το ολοκλήρωμα ισούται με $\displaystyle{\int_{0}^{4}\left((x-2)^2+a-4\right)\,\mathrm{d}x=4\,(a-4)+\left[\dfrac{(x-2)^3}{3}\right]_{0}^{4}=4\,(a-4)+\dfrac{16}...

ποιος απαγορεύει να είναι $c<0$; Ας υποθέσουμε ότι $c\neq 0$. Έστω $t>0$. Τότε ο αριθμός $f(t)>0$ είναι ρίζα του τριωνύμου $c\,x^2-t\,x+E=0$, οπότε $\displaystyle{\Delta\geq 0\iff t^2-4\,c\,E>0\iff t^2>4\,c\,E}$ Άρα, $c=0$ και έπεται ότι $t\,f(t)=E\,,t>0\iff f(t)=\dfrac{E}{t}\,,t>0$ Στην περίπτωση ό...

Στο τυχόν $(t,f(t))\in C_{f}\,,t>0$, η εξίσωση της εφαπτομένης είναι η $y-f(t)=f^{\prime}(t)(x-t)$, οπότε για την τετμημένη του $S$ έχουμε $-f(t)=f^{\prime}(t)(x-t)$. Αν $f^{\prime}(t)=0$, τότε $f(t)=0$, άτοπο, οπότε $f^{\prime}(t)\neq 0$ (και μάλιστα $f^{\prime}(t)<0$) και $x-t=-\dfrac{f(t)}{f^{\pr...

Προσπάθησε να κάνεις τέλεια τετράγωνα ώστε να βρεις τα κέντρα των κύκλων και τις ακτίνες τους.