Edit: βρέθηκε λάθος και έσβησα.

edit: Αβλεψία. Ευχαριστώ τον κ.Λάμπρου για την επισήμανση.

Όριο αλλά η σύγκλιση όχι ομοιόμορφη.

edit: Γρηγόρη από ό,τι είδα στη βιβλιογραφία, οι συγκεκριμμένες συναρτήσεις συμβολίζονται ως Si.

Η ανίσωση ορίζεται στο $\mathbb{R}^*$ και γράφεται $\displaystyle{x-\frac{1}{x^2}<-\frac{3\,\sqrt[3]{2}}{2}.}$ Αμα θεωρήσουμε $f(x)=x-\frac{1}{x^2},\,\,x\neq 0$ τότε παίρνει τη μορφή $f(x)<f(-\sqrt[3]{2}),\,\,x\neq 0.$ Η $f$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\left(-\infty,-\sqrt[3]{2}\right]$, είναι γνησίω...

A μάλιστα, κατανοητό. Ευχαριστώ πολύ.

Ωραία γραφή, μου άρεσε.%

Αλλα μέσω αυτής, πώς δικαιολογούμε την ύπαρξη ριζών για ;

Η συνάρτηση ορίζεται στο $\mathbb{R}$ και έχουμε $\displaystyle{f(x)=(2x^2-x)^2+8x^2-8x+3=f_1(x)+f_2(x),\,\,x\in\mathbb{R},}$ όπου $\displaystyle{f_1(x)=(2x^2-x)^2,\,\,\,f_2(x)=8x^2-8x+3,\,\,x\in\mathbb{R}.}$ H $f_2$ σαν τριώνυμο του $x$ με αρνητική διακρίνουσα έχει ελάχιστη τιμή στο $x=1/2$ το $f_2...

Καλημέρα Τόλη, αρχικά γράφω κάτι εκτός ύλης, για να τονιστεί το πρόσημο της βάσης. Έστω $f(x_0)>0$ (αλλιώς δουλεύουμε με την $-f$). Λόγω συνέχειας της $f$ στο σημείο $x_0,$ για $\epsilon=f(x_0)>0$ υπάρχει $\delta>0$ ώστε $|f(x)-f(x_0)|<f(x_0)$ για όλα τα $x\in\left(x_0-\delta,x_0+\delta\right),$ δηλ...

Νομίζω θα απαντούσα ως εξής : H εξίσωση $a(x) [B(x)]^2+d(x) B(x)+c(x)=0\,\,\,(I)\,$ ορίζεται στην τομή των πεδίων ορισμού, έστω $D\neq \varnothing$ (αν $D=\varnothing$ δεν ασχολούμαστε), των συναρτήσεων $a,\,B,\,d,\,c.$ Aς υποθέσουμε κιόλας (μιας και έχουμε το νου μας στο τριώνυμο) ότι $a(x)\neq 0$ ...

Αρχικά το σύνολο $\left\{u_1,...,u_n,v_1,...,v_m\right\}$ παράγει το $U+V.$ Πράγματι, το τυπικό στοιχείο $x\in U+V$ είναι της μορφής $x=u+v$ με $u\in U,\,\,v\in V.$ Όμως, $u=a_1 u_1+...+a_n u_n$ και $v=b_1 v_1+...+b_m v_m$ για κάποια $a_i,\,b_j\in\mathbb{F},\,\,i=1,...,n,\,j=1,...,m.$ Τότε $\display...

plus: ο μόνος πίνακας που είναι ταυτόχρονα συμμετρικός και αντισυμμετρικός είναι ο μηδενικός (για να δικαιολογηθεί το "ευθύ").

Έστω μια ιδιοτιμή (πραγματική ή μιγαδική, ανάλογα ποιο σώμα έχεις).

Το σύνολο είναι ένας υπόχωρος του .

Μπορείς τώρα να απαντήσεις αν γίνεται να υπάρχει μοναδική λύση ;

Καλημέρα. (α) Η συνέχεια της $f^{\prime \prime}$ και το γεγονός ότι δεν μηδενίζεται πουθενά στο $\mathbb{R}$ μας δίνει ότι διατηρεί πρόσημο. Άρα η $f$ είναι είτε κυρτή ή κοίλη. Ας υποθέσουμε, προς άτοπο, ότι η $f$ είναι κυρτή. Τότε η γραφική της παράσταση θα είναι πάνω από την εφαπτομένη της στο $A(...

Από το γνωστό $\displaystyle{-\ln\,2=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}}$ η αρχική δυναμοσειρά, έστω $f(x),$ γράφεται $\displaystyle{f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}(b-b_n)x^n}$ όπου $\displaystyle{b=-\ln\,2,\,\,\,b_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^k}{k},\,\,n\in\mathbb{N}.}$ Γράφω $\displaystyle{f(x)=b\,\sum_{n...

Η $f^{-1}$ ορίζεται ως συνάρτηση από το $f(\mathbb{R})=\mathbb{R}$ στο $\mathbb{R}$ διότι η $f$ είναι 1-1. Η εξίσωση $f(x)=f^{-1}(x)$ έχει σύνολο ορισμού το $\mathbb{R}$ και για κάθε $x\in\mathbb{R}$ έχουμε $\displaystyle{\begin{aligned}f(x)=f^{-1}(x)&\iff f(f(x))=x\\&\iff x^9-3\,x^6+3\,x^3-2=x\\&\i...

Καλησπέρα. Αν απλώς σου ζητάει ύπαρξη και μονοτονία μπορείς εύκολα κατασκευαστικά να αποδείξεις ότι η $f$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\left(0,+\infty\right).$ Συνεπώς θα είναι και 1-1, άρα υπάρχει σαν συνάρτηση η αντίστροφη $f^{-1}\colon f(\left(0,+\infty\right))\to \left(0,+\infty\right)$ η οποία έχ...

I3. Αφού η $f^{\prime \prime}$ είναι συνεχής με μοναδική ρίζα, έστω $x_0\in\left(s-a,s+a\right),$ διατηρεί σταθερό πρόσημο στα $\left(s-a,x_0\right)$ και $\left(x_0,s+a\right).$ Άρα στο $x_0$ έχει καμπή. Δε μπορεί να έχει σε άλλο σημείο $x_1\neq x_0$ διότι από γνωστό θεώρημα $\,f^{\prime \prime}(x_1...

Η συνάρτηση $f$ είναι ορισμένη και συνεχής στο $\mathbb{R}.$ Διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις : i) Αν $a=b$ τότε γίνεται $f(x)=(x+1)|x-a|=\begin{cases} (x+1)(x-a),\,\,\,x\geq a\\ (x+1)(a-x),\,\,\,x<a\end{cases}$ Είναι $f(a)=0$ και $\displaystyle{\frac{f(x)}{x-a}=x+1,\,\,x>a,\,\,\,\frac{f(x)}{x-a}=-(...

Κάνω την αρχή με τα δύο πρώτα (γενικά παίζει πολύ γράψιμο για αυτή την άσκηση, οπότε ας μοιραστεί κάπως). Ι1. Η συνάρτηση $g$ ορίζεται στο συμμετρικό περί του $0$ διάστημα $\left[-a,a\right]$ και έχουμε $\displaystyle{g(-x)=f(s-x)-f(s)\stackrel{(1)}{=}f(s)-f(s+x)=-g(x),\,\,\forall\,x\in\left[-a,a\ri...

Καλημέρα, νόμιζω η (1) πρέπει να δοθεί στο

Σου προτείνω αυτήν την pdfάρα, ψάξε εκεί.

http://users.uoi.gr/abeligia/AlgebraBook.pdf