Ναι, για παράδειγμα η για , οποιαδήποτε γνησίως αύξουσα συνάρτηση στο διάστημα και ίση με οπουδήποτε αλλού.

Διορθωμένη λύση μετά από παρατήρηση του θεματοδότη, τον οποίο ευχαριστώ: Το γινόμενο $20!=2*3*4*...*20$ γράφεται με ανάλυση πρώτων παραγόντων ως $2^{18} * 3^8 * 5^4 *7^2 * 11 *13 *17 *19$ και το ζητούμενο είναι να μοιραστούν όλοι αυτοί οι παράγοντες μεταξύ του αριθμητή και του παρονομαστή έτσι ώστε ...

Διαφωνώ και εξηγούμαι: Κανονικά κάθε έτος έχει 365 μέρες με εξαίρεση όμως τα δίσεκτα έτη, στα οποία προστίθεται μία. Αν θέλουμε, λοιπόν, να μετρήσουμε την ηλικία σε μέρες, για να βρούμε πόσες ακριβώς μέρες είναι τα 20 χρόνια, θα πρέπει να ξέρουμε πόσα δίσεκτα έτη περιλαμβάνονται σε αυτά (αριθμός μη ...

Έστω ότι είναι συνεχής. Παρατηρούμε ότι η $f$ μηδενίζεται μόνο στο $0$ ειδάλλως η ανισότητα θα μας έδινε $0>|x|$. Επιπλέον η $g(x)=1-f(x)$ είναι συνεχής και βλέπουμε ότι ικανοποιεί την ίδια ανισότητα με την $f$ με τη διαφορά ότι $g(0)=1$ και $g(1)=0$. Συνεπώς ούτε η g μπορεί να μηδενιστεί πουθενά αλ...

Σε ένα παιχνίδι κάθε φορά κάποιος ποντάρει ένα ποσό και αν κερδίσει παίρνει πίσω το ποσό του εις διπλούν, αλλιώς το χάνει. Κάθε φορά που ποντάρει έχει πιθανότητα $p=\frac{1}{2}$ να κερδίσει. Ένας παίκτης με αρχική περιουσία 1023 € ποντάρει αρχικά 1 € και εν συνεχεία όσο χάνει διπλασιάζει το ποντάρισ...

Ένας προγραμματιστής φτιάχνει ένα πρόγραμμα για τον υπολογισμό δίδυμων πρώτων.
Κάποτε, το πρόγραμμα του λέει ότι οι

είναι δίδυμοι πρώτοι.

Είναι ο αλγόριθμος του σωστός;

Πρώτα από όλα, ΧΙΛΙΑ ΣΥΓΓΝΩΜΗ! Την άσκηση την είχα βρει κάπου πριν πολύ καιρό, μαζί με τη λύση της, αλλά αδυνάτω να την εντοπίσω και πάλι, παρά τις προσπάθειες μου. Θυμάμαι ότι είχε σχετικά εύκολη λύση, κάτι που με βάζει σε σκέψη για το αν την έχω γράψει σωστά. Υπάρχει κάποια πιθανότητα να ήταν $f(x...

Ας δούμε και κάτι πιο δύσκολο (ίσως όχι για αυτόν τον φάκελο). Να δείξετε ότι υπάρχουν $1000$ διαδοχικοί σύνθετοι αριθμοί όλοι μικρότεροι του $1000!$. Γενικά ο $p_1p_2... p_{\bar n}+k$ (όπου με $p_{\bar n}$ συμβολίζουμε τον μεγαλύτερο πρώτο, μικρότερο ή ίσο του $n$) είναι σύνθετος για κάθε $k \in [...

Ας δούμε και κάτι πιο δύσκολο (ίσως όχι για αυτόν τον φάκελο). Να δείξετε ότι υπάρχουν $1000$ διαδοχικοί σύνθετοι αριθμοί όλοι μικρότεροι του $1000!$. Γενικά ο $p_1p_2... p_{\bar n}+k$ (όπου με $p_{\bar n}$ συμβολίζουμε τον μεγαλύτερο πρώτο, μικρότερο ή ίσο του $n$) είναι σύνθετος για κάθε $k \in [...

Ομολογουμένως αφοπλιστικά σύντομη και γρήγορη απάντηση!
Είχα στο νου μου μία εντελώς διαφορετική και πολύ μακροσκελής αντιμετώπιση, που δικαιολογεί γιατί έβαλα την άσκηση εδώ.
Ευχαριστώ πολύ πάντως για την ενασχόληση!

(Ελπίζω να είναι κατάλληλος φάκελος.)


Να βρείτε πόσοι πρώτοι υπάρχουν μεταξύ του και του .

Ακριβώς

Έστω $p_n$ η ακολουθία των πρώτων αριθμών ($p_1=2, p_2=3, ...$) και $(a_n): \mathbb N^* \rightarrow \mathbb N^*$. Να δειχθεί ότι (με $k<n$) ίσχυει: Αν $\displaystyle{\left(p_1^{a_1}p_2^{a_2}...p_k^{a_k}+(p_{k+1})^{a_k+1}(p_{k+2})^{a_k+2}...p_n^{a_n}\right) <p_{n+1}^2}$ τότε ο $\displaystyle{\left(p_...

Να ελεγχθεί αν υπάρχει συνάρτηση , τέτοια ώστε

, για κάθε

και αν υπάρχει να δοθεί παράδειγμα.

Ακριβώς.
(Γενικότερα κάνοντας πράξεις, η προκύπτει ότι έχει περίοδο .)
Μπορεί επίσης να δουλέψει κάθε συνάρτηση που την παίρνουμε σε ένα διάστημα στο οποίο δεν παίρνει τις τιμές ή και την τιμή της στα υπόλοιπα διαστήματα την βρίσκουμε από την αρχική.

γ) Να δείξετε ότι υπάρχει τέτοια και δώστε μερικούς πιθανούς τύπους της.

Μόλις διάβασα το άρθρο και την παρούσα δημοσίευση και θα ήθελα και εγώ να εκφέρω ορισμένες απόψεις. Πρώτα από όλα θα ήθελα να κάνω κριτική στο ίδιο το άρθρο, το οποίο πρώτα-πρώτα συχνά υπεκφεύγει επιχειρηματολογίας, όπως π.χ. στην τρίτη παράγραφο όπου απορρίπτει τις απόψεις υπέρ των μαθηματικών, χωρ...

Ωραία!

Εντάξει, αλλά ζητείται κάποιος σταθερός κάθε φορά αριθμός, που να εξαρτάται μόνο από το .