Γεία χαρά στο :logo: .'Εχω μια όμορφη άσκηση και σας την παρουσιάζω
Αν υπάρχουν τα όρια $\lim_{x\rightarrow+\infty }f(x)$, $\lim_{x\rightarrow+\infty }f^'(x)$ και $\lim_{x\rightarrow+\infty}(f(x)+f^'(x))=2009$ τότε να βρεθούν τα
$\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)$ και $\lim_{x\rightarrow+\infty}f^'(x ...

Γεία χάρα στο :logo: .Θα ηθέλα να ρωτήσω αν υπάρχει ειδική κατηγορία συναρτήσεων στις οποίες το $\xi$ του Θεωρήματος μέσης τιμής του Ολοκληρωτικού Λογισμού ταυτίζετε με αυτό του Διαφορικού.Πιο συγκεκριμένα έχω $f(x)=e^x$ στο [0,1].Απ'ο το θεώρημα του Ολοκληρωτικού Λογισμού στο $[0,1]$ $f(\xi )=\frac ...

Κύριε Λευτέρη,η λύση δεν είναι πλήρης.Ζητάω την πραγματική τιμή του αριθμού α ώστε η συνάρτηση να έχει ως πεδίο ορισμού το ευρύτερο υποσύνολο του

Να βρείτε την τιμή του πραγματικού αριθμού α ώστε, η συνάρτηση με τύπο
να έχει ως πεδίο ορισμού το ευρύτερο υποσύνολο του , το οποίο να βρείτε.

Φιλικά, Χάρης
Από τον Γ. Τσικαλουδάκη

Η πηγή,είναι από το βιβλίο Γ.Δαμβακάκις-Ν.Κτιστάκης-Μ.Λάμπρου-Ν.Κ.Σπανουδάκης
O Μ.Λάμπρου είναι ο Μιχάλης Λάμπρου εδώ στο site ?

Με άρεσε το παρακάτω ολοκλήρωμα

Την πηγή αφότου λυθεί
Φιλικά,Χάρης

Ευχαρίστω κύριε Λάμπρου για την υποδόχη,είμαι πρώην μαθητής και μέλλον φοιτητης στο τμήμα των Μηχανολόγων Μηχανικών(η πόλη ακόμα παίζετε)

Μία λύση για το σύνολο τιμών της f.
Έστω οτι η έχει άνω φράγμα $f(x)\leq M (1) \Rightarrow f^3(x)\leq M^3 (2)$ Προσθέτοντας την 1 και 2$f(x)+f^3(x)\leq M^3+M$ και λόγο της αρχικής σχεσης $27x^3\leq M^3+M\Rightarrow x^3<=(M^3+M)/27\Rightarrow x<=\sqrt[3]{M^3+M}/3$ 'Ατοπο δίοτι x E R, Ομοίως για το ...

Κύριε Χρήστο,θα μας πείτε ακριβώς την πορεία σκέψης σας σε αυτήν την άσκηση,με ποία λογική κάνατε αυτές τις αντικαταστάσεις?

δ)Με x>0 η $f^3(x)+f(x)=27x^3\Rightarrow f(x)(f^2(x)+1)=27x^3>0$ Άρα f(x)>0
H$f^3(x)+f(x)=3x^3$ μας δίνει ότι 1)0<f(x)<$27x^3$ και$$
$0<f^3(x)<27x^3\Rightarrow0<(f(x)/x)<3$
και τελικά
$0<g(x)<3$
$0<g(x)/x^2<3/x^2$
$g^3(x)+g(x)/(x^2)=27\Rightarrow 0<27-g^3(x)<27/x^2\Rightarrow 27-27/x^2<g^3(x ...

Τότε ΟΧΙ όπου L E R,Αυτό εννούσα παραπάνω.Θα διαβάσω τις παραπομπές του Κύριου Χρήστου για να δώ εαν είναι ελλειπης η απάντηση.

ιγ)$\lim_{x->0^+}lnx/f(x)$ Είναι απροσδιοριστία -00/0 $\lim_{x->0^+}(1/f(x))lnx=-oo$
Για το γ,έχω την παρακάτω σκέψη αλλά δεν προχωράει
Αφού$\lim_{x->-oo}g(x)=k$ και η $g(x)=f(x)/x$. Για να ισούται ένα όριο με κλάσμα (που τείνη στο -00) με έναν πραγματικό αριθμό πρέπει ο αριθμητής και ο παρανομαστής ...

ιβ)$f^3(x)+f(x)=x^3$ (1) Θέτω όπου χ το χο $f^3(xo)+f(xo)=(xo)^3$(2) Αφαιρόντας κατά μέλη $f^3(x)-f^3(xo)+f(x)-f(xo)=27(x^3-xo^3)\Rightarrow (f(x)-f(xo)(f^2(x)+f(x)f(xo)+f^2(xo))+f(x)-f(xo))+f(x)-f(xo)=27(x^3-xo^3)\Rightarrow (f(x)-f(xo))(f^2(x)+f(x)f(xo)+f^2(xo)+1)=27(x^3-xo^3)\Rightarrow f(x)-f(xo ...

Και πέρνοντας τα όρια στο +00 προκύπτει από γνωστή ιδιότητα ότι το ζητούμενο οριο ειναι +00
Και ναι έμαθα να γράφω με LATEX
Φιλικα Χάρης

Μετά απο πολύωρη σκέψη βρήκα λύση,Το λάθος έγκειτε ότι δεν ισχύει το αντίστροφο του del Hospital,Δεν γνωρίζω τον κώδικα LASTEX για να γράψω τα όρια.
Ελπίζω να έγινα κατανοητός
Φιλικα Χαρης

Δέν μπορούμε να εφαρμόσουμε τον κανόνα Τυροπιταλ,δίοτι η f δεν ειναι παραγωγίσιμη σε μια περιοχή του χο αλλά στο χο

Ευχαριστώ τον κύριο Χρήστο