Ισχύει : αν $ x < y \; : \; x,y \in [0,1] $ ισχύει $ \lim_{n} \int_{x}^{y} f_n(t)dt=0 $ Έστω $ g $ ολοκληρώσιμη στο $ [0,1] $ Έστω $ \epsilon > 0 $ βρίσκω κλιμακωτή $ h $ τέτοια ώστε $ \left \| g-h \right \|_{1} < \frac{\epsilon}{10(M^2+2M)} $ Είναι : $ g(x)=\sum_{i=1}^{N} a_{i} x_{(c_i,d_i)} $ με $...

1) Εύκολα βλέπει κανείς ότι $ f'(1)>0 $ 2) Αν $ c \in (0,1) $ τότε $ \int^{1-c}_{0} n(f(x))^ndx \stackrel{ n \rightarrow \infty} \rightarrow 0 $ Γιατί $ m=max_{x \in [0,1-c]} f(x) < 1 $ και $ 0 \leq \int_{0}^{1-c} n(f(x))^n dx \leq nm^n $ Όμως $ nm^n \stackrel{ n \rightarrow \infty} \rightarrow 0 $ ...

Έχετε δίκιο ευχαριστώ .

$\sqrt{2+\sqrt{2+{\sqrt{2+{\sqrt{2+ ... +\sqrt{2} }} } } } }$ αυτό έχει $n$ ριζικά απο την υπόθεση με άλλα λόγια έχω την ακολουθία $x_{n+1}=\sqrt{2+x_n} , \quad x_1=\sqrt{2}$ Βγάζω $0 < x_n \leq 2$ και κάνω τον μετασχηματισμό $y_n=\frac{x_n}{2}$ και μετά $y_n=cos(z_n)$ για κάποιους $z_n$ στο $[0,\fr...

Χωρίς βλάβη $\lim_{n \to \infty}( 3x_{n+1}-2x_{n}) =0$ αν όχι κοιτάω την $x_{n}-L$ όπου $L=\lim_{}( 3x_{n+1}-2x_{n})$ Έστω $\varepsilon >0 , \quad \exists n_0 : \quad \forall n \geq n_0 : \quad | x_{n+1}-\frac{2}{3}x_n| < \varepsilon$ επαγωγικά $\forall p \in \mathbb{N}$ έχω $(\frac{2}{3})^p x_{n_0}...

έστω μια $f$ που ικανοποιεί την δοσμένη συναρτησιακή τότε : Βάζω όπου $x$ το $tanx$ και έτσι έχω $f(tanx)-2013f(tan(2x))=89$΄ εδώ θέτω $h(x)=f(tanx)$ $h(x)-2013h(2x)=89$ (1) έστω λοιπόν ένα σταθερό $x_{0} \in \mathbb{R}$ τότε έχω $h(\frac{x_{0}}{2})-h(x_{0})=89$ διαδοχικά βάζω στην (1) όπου $x$ το $...

Έστω $x , y \in R$ Αν $x^2=1$ και $y^2=1$ $xy=x^{-1}y^{-1}$ Εδώ να πούμε ότι $yxx^{-1}y^{-1}=x^{-1}y^{-1}yx=1$ άρα $xy=(yx)^{-1}=yx$ Άν $x,y \in R$ Με $x^2=1$ και $y^n=0$ Τότε το $y+1$ αντιστρέφεται . $\Rightarrow \exists z \in R \quad : z(y+1)=(y+1)z=1 \Rightarrow y=z^{-1}-1$ και $z=z^{-1}$ $xz=zx ...

1) Για την πρώτη βλέπω πως η
Ικανοποιέι .

Θέτω

Να συμπληρώσω οτι άν




άτοπο άρα

Προφάνης λύσεις



Για





Για


Για



άρα μοναδικές λύσεις οι

(1)
(2)




(1)

Μπορώ να πάρω και τα διανύσματα



Και να φτάσω στο ίδιο .

....

Η αλλαγή νομίζω πως λύνει το πρόβλημα .

Παιδια εγω για το τρίτο είδα το εξής :












Και απο δω και πέρα κατα τα γνωστά με ανάλυση σε απλά .

Εδιτ : Ρε θηρίο που το έγραψες αυτο το πράμα τοσο γρήγορα ;

Να πω οτι το ερωτημα με το εμβδαδόν δεν μου φαινεται σωστό .

με ορισμο $f(a)=f(b)$ δειχνω πολυ απλα οτι $a=b$ αρα η f 1-1 . Aρα αφου ειναι και συνεχης ειναι γνησίως μονοτονη . Προφανως ισχυει $f(x) \geq f(x_{0})=0$ (1) ( προφανώς υπαρχει $x_{0} \in [a,+\infty)$ που να ειναι $f(x_{0})=0$ ) Αν ηταν γνησίως φθίνουσα για $x > x_{0}$ η (1) δεν ισχύει . αρα η συνάρ...

Πολύ εθιστικό !