Η αναζήτηση βρήκε 139 εγγραφές

από Mikesar
Σάβ Ιούλ 29, 2017 6:09 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: Vojtech Jarnik 2017/3 Category I
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 875

Re: Vojtech Jarnik 2017/3 Category I

Τελικά πρόκειται για γνωστό πρόβλημα. Βάζω ένα hint-γενίκευση σε hide. Υπάρχει στο Problems from the Book στο κεφάλαιο με την extremal graph theory το ίδιο πρόβλημα για τυχαίο γράφημα $G$. Η απάντηση είναι ότι αν $k$ είναι ο μέγιστος αριθμός ώστε το $G$ να έχει ως υπογράφημα το πλήρες γράφημα με $k$...
από Mikesar
Πέμ Ιούλ 27, 2017 3:29 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: IMC 2015/2/3
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 1510

Re: IMC 2015/2/3

Ας βάλω μία άλλη σχετικά σύντομη αλλά πιο τεχνική λύση (αν και μετά τη λύση του κύριου Δημήτρη περιττεύει). Για ένα αλφάβητο $n$ γραμμάτων, το άθροισμα των βαρών των λέξεων μήκους $n$ είναι $A=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac{S(n,k)\binom{n}{k}k!}{n-k+1}$ Ας εξηγήσω. Οι λέξεις που χρησιμοποιούνται α...
από Mikesar
Δευ Ιούλ 24, 2017 9:49 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: MIPT 2013/2/5
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 528

MIPT 2013/2/5

Δίνονται δύο διαφορετικές ακολουθίες με 0 και 1 μήκους n. Δείξτε ότι υπάρχουν φυσικοί αριθμοί m\leq5\sqrt{n} και a τέτοιοι ώστε οι ακολουθίες να διαφέρουν στο πλήθος των άσσων που υπάρχουν στις θέσεις που οι αριθμοί τους είναι ισοϋπόλοιποι με a\ (mod \ m).
από Mikesar
Δευ Ιούλ 24, 2017 9:37 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: MIPT 2013/2/4
Απαντήσεις: 0
Προβολές: 391

MIPT 2013/2/4

Να αποδειχθεί ότι αν p>1,p\neq2 τότε η καμπύλη |x|^p+|y|^p=1 έχει το πολύ 8 κοινά σημεία με οποιαδήποτε έλλειψη έχει κέντρο την αρχή των αξόνων.
από Mikesar
Δευ Ιούλ 24, 2017 9:34 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: MIPT 2013/2/3
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 388

MIPT 2013/2/3

Θεωρούμε μοναδιαίους κύβους στον $\mathbb{R}^n$ με πλευρές παράλληλες στους άξονες, τους οποίους θα ονομάζουμε απλώς κύβους. Δίνονται $2^{n-1}+1$ κύβοι οι οποίοι ανά δύο δεν τέμνονται. Να αποδειχθεί ότι είτε δεν υπάρχει κανένας κύβος που να τέμνει όλους τους δοθέντες κύβους, είτε όλοι οι κύβοι που τ...
από Mikesar
Δευ Ιούλ 24, 2017 9:25 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: MIPT 2013/2/2
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 469

MIPT 2013/2/2

Έστω ακολουθία πραγματικών αριθμών (x_n) ώστε η ακολουθία (3x_{n+1}-2x_n) να συγκλίνει. Να αποδειχθεί ότι η ακολουθία (x_n) συγκλίνει.

(Πρόκειται για αρκετά γνωστό θέμα αλλά το ανεβάζω για λόγους πληρότητας)
από Mikesar
Δευ Ιούλ 24, 2017 9:02 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: MIPT 2013 2/1
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 515

MIPT 2013 2/1

Έστω ορθογώνιος πίνακας A και δύο συμπληρωματικοί τετραγωνικοί υποπίνακές του B,C, δηλαδή A=\begin{pmatrix} B & \ast \\ \ast & C\end{pmatrix} . Δείξτε ότι \det{B}=0 αν και μόνο αν \det{C}=0.
από Mikesar
Δευ Ιούλ 24, 2017 4:58 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: Προκριματικοί Αγίας Πετρούπολης
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 528

Re: Προκριματικοί Αγίας Πετρούπολης

Δεν ήξερα ότι υπήρχε τέτοιο πρόγραμμα! Με αυτό γίνεται εύκολη η δουλειά απ'ότι βλέπω. Θα ξεκινήσω κι εγώ σιγά σιγά να τα ανεβάζω.
από Mikesar
Δευ Ιούλ 24, 2017 4:02 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: Προκριματικοί Αγίας Πετρούπολης
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 528

Προκριματικοί Αγίας Πετρούπολης

Καλησπέρα :logo: Κατάφερα μετά από πολύ ψάξιμο να βρω κάποιους από τους προκριματικούς του πανεπιστημίου της Αγίας Πετρούπολης για τον IMC. Δυστυχώς είναι μόνο στα ρώσικα και είναι σε μορφή pdf, οπότε δεν μπορώ να κάνω copy-paste στο translate για να τα καταλάβω και να τα ανεβάσω στα ελληνικά. Τα πε...
από Mikesar
Παρ Ιούλ 21, 2017 1:51 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: IMC 2002/2/3
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 662

Re: IMC 2002/2/3

Συγγνώμη που αναβιώνω ένα παλιό θέμα αλλά νομίζω βρήκα κάτι σύντομο. Θεωρώ την $\displaystyle f(x_1,...,x_n)=e^{x_1...x_n}$. Εύκολα με επαγωγή στο $n$ βλέπει κανείς ότι $\displaystyle \frac{\partial^n}{\partial x_1 \partial x_2...\partial x_n}e^{x_1...x_n}=p_n(x_1,...,x_n)e^{x_1...x_n}$ για ένα πολυ...
από Mikesar
Τετ Μαρ 22, 2017 1:35 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: Euler 2014-4
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 900

Re: Euler 2014-4

Ας κάνω μια προσπάθεια... Δημιουργούμε το προφανές γράφημα και έστω $A$ ο πίνακας γειτνίασής του. Τότε, θεωρώντας ως πρώτες $n$ κορυφές τα αγόρια, ο $A$ είναι της μορφής $\left( {\begin{array}{cc} O & C \\ C^t & O \\ \end{array} } \right)$ για κάποιον $n\times n$ πίνακα $C$. Έτσι $A^2= \left( {\begi...
από Mikesar
Σάβ Μαρ 18, 2017 3:19 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: Putnam 2015/A5
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 736

Re: Putnam 2015/A5

Ας κάνω μια προσπάθεια. Η βασική ιδέα της απόδειξης είναι ίδια με την απόδειξη για τον τύπο της $\phi(n)$. Έστω $\displaystyle q=p_{1}^{a_1}\cdot...\cdot p_{n}^{a_n}$ και $A_i$ το σύνολο των ακεραίων από $0$ έως $q/4$ που διαιρούνται από $p_i$. Από την αρχή εγκλεισμού αποκλεισμού: $N_q=\displaystyle...
από Mikesar
Σάβ Ιούλ 16, 2016 10:41 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: IMC 2013/1/4
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 867

Re: IMC 2013/1/4

Νομίζω ότι έχω κάτι σύντομο... Έστω $\displaystyle s_1=\sum_{k=0}^n x_k,s_2=\sum_{i<j}x_ix_j,s_3=\sum_{i<j<k}x_ix_jx_k$ Τότε $A=s_1, B=s_{1}^{2}-2s_2,C=s_{1}^{3}-3s_1s_2+3s_3$ είναι γνωστές ταυτότητες. Αντικαθιστώντας και κάνοντας τις πράξεις (2 γραμμές) αρκεί $\displaystyle 4(n-2)s_2^2\geq 6(n-1)s_...
από Mikesar
Τρί Ιούλ 12, 2016 1:42 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: Γνωριμίες
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 651

Γνωριμίες

Έστω μια παρέα $n$ ατόμων. Αν δύο άτομα γνωρίζονται τότε δεν έχουν κανένα κοινό γνωστό, ενώ αν δεν γνωρίζονται έχουν ακριβώς δύο κοινούς γνωστούς. Να βρεθούν όλα τα $n$ για τα οποία υπάρχει μια τέτοια παρέα. Σημείωση: Το πρόβλημα 827 του Putnam and Beyond ζητά να αποδειχθεί ότι όλα τα άτομα έχουν ίδ...
από Mikesar
Σάβ Αύγ 22, 2015 5:12 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Με Lipschitz
Απαντήσεις: 0
Προβολές: 291

Με Lipschitz

Έστω $\displaystyle f:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}$ θετική συνάρτηση για την οποία ισχύει $\displaystyle |f(x)-f(y)|\leq\frac{1}{2}||x-y||$ για κάθε $\displaystyle x,y\in\mathbb{R}^2$. Για δύο σημεία $x,y\in\mathbb{R}^2$ λέμε ότι το $y$ είναι προσβάσιμο από το $x$ αν $f(x)=||x-y||$. Να αποδειχ...
από Mikesar
Παρ Μαρ 20, 2015 1:58 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Συντρέχουσες από παραλληλία
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 1115

Re: Συντρέχουσες από παραλληλία

Έχει ξανασυζητηθεί και εδώ
από Mikesar
Πέμ Φεβ 19, 2015 10:03 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ
Θέμα: Τάξη πίνακα
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 1120

Τάξη πίνακα

Καλησπέρα :logo: . Ζητώ συγγνώμη αν έχει ξαναπροταθεί. Ασχολούμενος με ένα πρόβλημα προέκυψε το ακόλουθο: Δίνεται πίνακας $A$ διάστασης $(2n+1)\times (2n+1)$ με τις εξής ιδιότητες: 1) Τα στοιχεία της διαγωνίου ισούνται με $0$ 2) Όλα τα υπόλοιπα στοιχεία είναι $1$ ή $-1$ 3) Το άθροισμα των στοιχείων ...
από Mikesar
Σάβ Φεβ 14, 2015 7:25 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: SEEMOUS 2011/1
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 950

Re: SEEMOUS 2011/1

Καλησπέρα. Συγγνώμη που αναβιώνω το θέμα, αλλά θέλω πιο πολύ όχι να παραθέσω την λύση μου αλλά να ρωτήσω κάποιες απορίες που μου γεννήθηκαν μέσω αυτής. Θα είμαι πραγματικά ευγνώμων σε όποιον κάτσει να διαβάσει τα παρακάτω και μου απαντήσει. Η $x^n$ είναι επίσης μη φθίνουσα άρα εφαρμόζοντας την ανισό...
από Mikesar
Παρ Αύγ 22, 2014 4:32 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Τεμνόμενες διαγώνιοι
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 328

Re: Τεμνόμενες διαγώνιοι

Διαγραφή. Είχα διαβάσει λάθος την εκφώνηση. Ευχαριστώ τον κύριο Δημήτρη για την επισήμανση και ζητώ συγγνώμη απ'όσους ταλαιπώρησα.
από Mikesar
Πέμ Αύγ 21, 2014 6:01 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Ευθεία τομών εξ επαφής
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 313

Re: Ευθεία τομών εξ επαφής

BMO 2003 2ο θέμα δεν είναι για μικρούς.

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση