για μια συνάρτηση $f: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ αν ισχύει $f(f(x))=x, x\epsilon \mathbb{R}$ τότε η $f$ είναι επί Σωστό είναι αυτό και εύκολο να αποδειχθεί. Περιμένουμε εδώ να γράψεις απόδειξη. Παρατηρούμε ότι για κάθε $x_0 \epsilon \mathbb{R}$ υπάρχει τιμή της $f$ τέτοια ώστε $f(t)=x_0$ όπου...

Να αποδειχθεί ότι $\displaystyle{\rm \lim_{x\to +\infty}(e^{\sqrt{x^{2}+1}}-e^{x})=+\infty} $ Το θέμα αυτό μου τέθηκε την άνοιξη του 1997 από υποψήφιο της Α' Δέσμης. Τότε δούλευα σε ένα φροντιστήριο... Πιστεύω να μην έχει ξανατεθεί στο :logo: ... ...σίγουρα έχει ξανασυζητηθεί, άντε να βρεις τώρα......

Να εξετάσετε αν είναι αληθής η παρακάτω πρόταση: Αν $\displaystyle{\rm \lim_{x\to +\infty}(f^3(x)+g^3(x))=+\infty}$ τότε πάντα $\displaystyle{\rm \lim_{x\to +\infty}(f(x)+g(x))=+\infty}.$ ...χαιρετώ και πάλι... Όχι πάντα για παράδειγμα αν $\text{f}(\text{x})=\frac{1}{x}\text{+x}\text{,}\,\,\text{g}...

Δίνεται η συνάρτηση $f: \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$ με τύπο $f \left ( x \right) = \left ( x-1\right ) \ln \left ( x^2-2x+2\right ) -x+2$ των πανελλαδικών εξετάσεων. Για ποιά $c \geq 2$ έχει λύση το σύστημα $\left\{\begin{matrix} f^{\prime \prime } \left ( x\right ) +f^{\prime \prime } \left ( y...

Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle f$ με τύπο $\displaystyle f\left( x \right)=\left( x-1 \right)\ln \left( {{x}^{2}}-2x+2 \right)+\alpha x+\beta $ ,όπου $\displaystyle x,\,\alpha ,\beta \in R$ Δ1. Να αποδείξετε ότι για κάθε $\displaystyle \alpha ,\beta \in R$ παρουσιάζει μοναδικό σημείο καμπής και...

Έστω $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ παραγωγίσιμη συνάρτηση τέτοια ώστε $\displaystyle{f'(x)=\frac{1}{1+x^2} \quad , \quad x \in \mathbb{R}}$ Αν $f(1)=\frac{\pi}{4}$ και $f(0)=0$ τότε να δειχθεί ότι: $\displaystyle{\int_{0}^{\alpha} x^3 f \left ( x^2 \right ) \, \mathrm{d}x = \frac{1}{2} \int...

Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle f(x)={{e}^{x}},x\in R$ και το τυχαίο σημείο $\displaystyle A(a,f(a))$ της $\displaystyle {{C}_{f}}$ . Έστω $\displaystyle (\varepsilon )$ η εφαπτόμενη ευθεία της $\displaystyle {{C}_{f}}$ στο $\displaystyle \,A$ η οποία τέμνει τον άξονα $\displaystyle \,\,{x}'x\,\...

ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ στους εορτάζοντες του ... να χαίρονται τους δικούς ανθρώπους και ότι καλύτερο με υγεία πάνω απ όλα....
Στέλνω τις πλέον ιδιαίτερες ευχές μου στους:
Γιώργο Ρίζο,
Γιώργο Μπαλόγλου,
Γιώργο Βισβίκη,
Γιώργο Μήτσιο,
Γιώργη Καλαθάκη,
Γιώργο Ροδόπουλο

Καλή Ανάσταση σε όλους! Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=(x-1)^2(x-3)^2(x-a)^2,x\in R$ όπου $a$ πραγματικός αριθμός. 1. Για τις διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού $a$ να μελετήσετε την $f$ ως προς το πλήθος και το είδος των τοπικών ακρότατων. 2. Στο ερώτημα αυτό και μόνο αυτό θεωρήστε $a=2.$ i. Να δεί...

συγκεντρομενες τεχνικές για υπαρξιακά θέματα του διαφορικού λογισμού σε μια ασκηση. Εστω $\displaystyle{f}$ δυο φορες παραγωγίσιμη στo $\displaystyle{[0,2]}$ με $\displaystyle{f(0)=0,f(2)=4,f'(0)=0}$ 3.Αν $\displaystyle{f(1)=1}$ τότε υπάρχει $\displaystyle{\xi _2 \in (0,2):\xi _2^2f''(\xi _2)-2\xi_...

συγκεντρομενες τεχνικές για υπαρξιακά θέματα του διαφορικού λογισμού σε μια ασκηση. Εστω $\displaystyle{f}$ δυο φορες παραγωγίσιμη στo $\displaystyle{[0,2]}$ με $\displaystyle{f(0)=0,f(2)=4,f'(0)=0}$ 1.Aν υπαρχει $\displaystyle{x_0\in (0,2):f^2(x_0)>4f(x_0)}$τότε υπάρχει $\displaystyle{\xi \in (0,2...

Ας γράψουμε κι ένα θέμα Β . Θυμηθείτε ότι θέλουμε τα θέματά μας να "πατάνε" και σε ύλη που έχει διδαχθεί σε μικρότερες τάξεις .Θέμα Β.pdf ...μια προσπάθεια στο θέμα του Θανάση...μέχρι το και το (iii) ΛΥΣΗ I) Είναι η $f(x)=\ln \left( \frac{\alpha x}{{{x}^{2}}+1} \right)$ παραγωγίσιμη με ${f}'(x)={{\...

Δίνεται συνάρτηση με τύπο $f(x) = \left\{ \begin{gathered} \frac{x}{{{e^x} - 1}},x > 0 \hfill \\ 1,x = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ και $F$ μια παράγουσα της $f$ στο $\left[ {0, + \infty } \right)$. Να δείξετε ότι ισχύει $F(\ln x) - f(x) = F(x) - f(\ln x)$ για κάθε $x > 1$ ...μάλλον κάτι δεν...

Δίνεται η συνάρτηση : $f(x)=\left\{\begin{matrix} \dfrac{x}{x-1}-\dfrac{1}{lnx}& , x\in (0,1)\cup (1,+\infty)\\ a & , x=1 \end{matrix}\right.$ α) Υπάρχει τιμή του $a$ , η οποία καθιστά την $f$ συνεχή στο $x_{0}=1$ ; β) Δείξτε ότι η - συνεχής πλέον - $f$ , παίρνει μόνο θετικές τιμές . γ) Βρείτε τις ...

A) Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και την κυρτότητα τη συνάρτηση $f(x)=x\ln x$ και να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα $\displaystyle \int_1^e {\frac{{x + 1}}{{{x^2} + f(x)}}dx} $ ...για το Α... Α) Είναι ${f}'(x)=\ln x+1,\,\,{f}''(x)=\frac{1}{x}>0$ οπότε η συνάρτηση είναι κυρτή στο $A=(0,\,+\infty )$ ...

Έστω $f$ συνεχής στο $[a,b]$ και παραγωγίσιμη στο $(a,b)$. Αν για κάθε $x\in(a,b)$ ισχύει ${f}'(x)\leq\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$ να δείξετε ότι για κάθε $x\in(a,b)$ ισχύει ${f}'(x)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$. Η λύση ας είναι πάνω σε αυτά που διδάσκονται τα παιδιά. Πηγή μετά... ...για την ημέρα... Θεωρώντ...

Στο παρακάτω σχήμα το $OAB$ είναι ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς $6$ και στις πλευρές του $AO, AB$ θεωρούμε τα σημεία $P, Q$ αντίστοιχα ώστε $AP=BQ=4.$ Σημείο $M(x,0)$ κινείται στον άξονα $x'x$ έτσι ώστε $MQ\ge MP.$ Νέου τύπου...png A) Να εκφράσετε τη διαφορά $MQ-MP$ ως συνάρτηση του $x.$ Β) Έστω $f$ η ...

...συνεχίζοντας το κάψιμο μια αποψινή έμπνευση... Δίνεται συνάρτηση $f:(0,\,+\infty )\to R$ για την οποία ισχύει ότι $f(f(x))={{x}^{2}}f(x)$ για κάθε $x\in (0,\,+\infty )$. Αν γνωρίζουμε ότι είναι γνήσια φθίνουσα στο διάστημα $\Delta =(0,\,+\infty )$ τότε: Α. Να δειχτεί ότι η $f$ είναι συνεχής στο $...

Δίνεται ο πραγματικός αριθμός $\displaystyle a$ και η συνάρτηση $\displaystyle f:R\to R$ με $\displaystyle f(x)=\frac{{{x}^{2}}+ax+a}{{{e}^{x}}}$ α) Να βρείτε τις τιμές του $\displaystyle a$ ώστε να υπάρχουν $\displaystyle {{x}_{1}},{{x}_{2}}\in R$ με $\displaystyle {{x}_{1}}\ne {{x}_{2}}$ ώστε η $...

...Καλησπερίζω την παρέα και ευχαριστώ όλους που ασχολήθηκαν με το θέμα που τελικά είχε ενδιαφέρον.. και χάριν πλουραλισμού προσθέτω και την σκέψη μου που πάνω κάτω είναι του Σωτήρη;; Α. Είναι $\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,(f(x)-1+1)=\underset{x\to 2}{\m...