Η αναζήτηση βρήκε 525 εγγραφές

από Antonis_Z
Σάβ Απρ 06, 2019 8:16 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Γραμμικός τελεστής
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 411

Γραμμικός τελεστής

Καλησπέρα :logo: Συμβολίζουμε με $C([0,1])$ το σύνολο των συνεχών συναρτήσεων που ορίζονται στο διάστημα $[0,1]$ και παίρνουν τιμές στο $\mathbb R$. Να αποδείξετε ότι ο γραμμικός τελεστής $T:C([0,1]) \rightarrow C([0,1])$ με $T(f(t))(x)=f(x)-\int_{0}^{x}f(x-t)e^{-t^2}dt$ είναι 1-1, επί και αμφισυνεχ...
από Antonis_Z
Κυρ Ιούλ 02, 2017 3:50 am
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Αριθμοί στην περιφέρεια κύκλου
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 1075

Re: Αριθμοί στην περιφέρεια κύκλου

Καλημέρα. Θα εξετάσουμε το γενικότερο πρόβλημα για $n=2k+1$ σημεία στην περιφέρεια του κύκλου. Παρατηρούμε ότι δε γίνεται δύο διαδοχικοί αριθμοί(της περιφέρειας) να είναι και οι δύο περιττοί ή και οι δύο να αφήνουν το ίδιο υπόλοιπο διαιρούμενοι με το $3$. α)Βάζουμε τους αριθμούς $(2,3,2,3,...,2,3,4)...
από Antonis_Z
Τετ Ιαν 11, 2017 12:24 am
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Μέτρο μεγαλύτερο του 1
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 421

Μέτρο μεγαλύτερο του 1

Καλησπέρα. Δίνεται ακολουθία $A_1,A_2,...,A_n,...$ Lebesgue μετρήσιμων υποσυνόλων του $\mathbb{R}$ με τις εξής ιδιότητες: α) $\lambda(A_n)\geq \frac{1}{2}$ για κάθε $n$ φυσικό. β)Για κάθε $m\neq n$ φυσικούς ισχύει $\lambda(A_n\cap A_m)\leq \frac{1}{4}$. Να αποδείξετε ότι $\lambda(\cup_{n=1}^{+\infty...
από Antonis_Z
Σάβ Μάιος 28, 2016 7:12 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: BMO Shortlist 2015 (2/2)
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 1671

Re: BMO Shortlist 2015 (2/2)

G2. (Σαουδική Αραβία) Έστω $ABC$ τρίγωνο με περιγεγραμμένο κύκλο $\cal C$ . Το σημείο $D$ ανήκει στο $\wideparen{BC}$ του $\cal C$ και είναι διαφορετικό από τα $B,C$ και το μέσον του τόξου $\wideparen{BC}$. Η εφαπτομένη του $\cal C$ στο $D$ τέμνει τις ευθείες $BC,CA,AB$ στα $A',B',C'$, αντίστοιχα. ...
από Antonis_Z
Παρ Δεκ 04, 2015 2:26 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Από το GMB - 5/2015
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 735

Re: Από το GMB - 5/2015

Δίνω κι εγώ μια σκέψη-μετά από καιρό.Η ιδέα μου μοιάζει(στο τελείωμα) αρκετά με τις δύο προηγούμενες. Θεωρώ $A'$ το αντιδιαμετρικό του $A$,$T$ το μέσο της $BC$ και $P\equiv OT\cap AN$. Τα τρίγωνα $\vartriangle AKL,A'BC$ είναι όμοια κι έχουν τις αντίστοιχες πλευρές του παράλληλες,άρα οι διάμεσοι $AN,...
από Antonis_Z
Τετ Νοέμ 11, 2015 10:35 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Το πολύ n-ρουμάνικες-λύσεις
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 313

Το πολύ n-ρουμάνικες-λύσεις

Έστω P\in\mathbb{Z}[x] πολυώνυμο βαθμού n\geq 2.Να αποδείξετε ότι η εξίσωση P(P(x))=x έχει το πολύ n ακέραιες λύσεις.
από Antonis_Z
Τρί Σεπ 08, 2015 11:54 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Καθετότητα από το περίκεντρο
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 684

Re: Καθετότητα από το περίκεντρο

Ας βάλω κι εγώ μια λύση. Εύκολα από γωνίες προκύπτει ότι $AQPB,DQPC$ εγγράψιμα. Απ'αυτά, αφενός έχουμε $EQ\cdot EB=EA\cdot EP$ και αφετέρου $FP\cdot FD=FQ\cdot FC$. Επομένως, τα $E,F$ ανήκουν στο ριζικό άξονα των περιγεγραμμένων κύκλων των τριγώνων $\vartriangle ADP,QBC$, δηλαδή η $EF$ είναι η κοινή...
από Antonis_Z
Τρί Ιούλ 14, 2015 4:02 am
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Γινόμενο ημιτόνων
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 625

Re: Γινόμενο ημιτόνων

Μετά την ωραία(και διδακτική) λύση του κ.Μιχάλη,ας δούμε και τη δική μου σκέψη. Θέτω $z_{2n+1}=cos\frac{2\pi}{2n+1} +i\cdot sin\frac{2\pi}{2n+1}$. Παρατηρώ ότι $|1-z_{2n+1}^k|^2=2^2sin^2\frac{k\pi}{2n+1}$,για κάθε $k$ φυσικό. Πολλαπλασιάζοντας από $1$ έως $n$ λαμβάνω: $\prod_{k=1}^{n}|1-z_{2n+1}^k|^...
από Antonis_Z
Τρί Ιούλ 14, 2015 3:08 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Τρίγωνα με κοινό έγκυκλο και κοινό περίκυκλο
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 951

Re: Τρίγωνα με κοινό έγκυκλο και κοινό περίκυκλο

Υπάρχει και μια πολύ σύντομη λύση με αντιστροφή. Η αντιστροφή με πόλο το $I$(έγκεντρο) που στέλνει το εγγεγραμμένο κύκλο στον εαυτό του,απεικονίζει τον περιγεγραμμένο κύκλο στον κύκλο Euler του $KLM$ κι αντίστοιχα του $K'L'M'$.Όμως αφού τα δύο αρχικά τρίγωνα έχουν τον ίδιο περιγεγραμμένο κύκλο,άρα α...
από Antonis_Z
Σάβ Ιούλ 11, 2015 1:57 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: IMO 2015
Απαντήσεις: 34
Προβολές: 4648

Re: IMO 2015

$Problem 3$ Έστω $ABC$ oξυγώνιο σκαληνό τρίγωνο με $AB > AC$ .Έστω $\Gamma$ ο περίκυκλος και $H$ το ορθόκεντρο και $F$ το ίχνος του ύψους από το $A$.Ας είναι $M$ το μέσον της $BC$ και $Q$ σημείο στον $\Gamma$ ώστε $<HQA=90$ και $K$ στον $\Gamma$ ώστε $<HKQ=90$. Tα σημεία$A,B,C,K,Q$ είναι όλα διαφορ...
από Antonis_Z
Τρί Ιούλ 07, 2015 10:13 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Όμορφο εγγράψιμο
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 691

Re: Όμορφο εγγράψιμο

Πολύ ωραία! :coolspeak: Προσθέτω και το δεύτερο σκέλος της άσκησης. Έστω $A'$ το αντιδιαμετρικό του $A$.Η κάθετη απ'το $D$ στην $AA'$ τέμνει τον $(O)$ στα $K,L$.Αν $X,Y$ τα μέσα των $A'K,A'L$,δείξτε ότι στον περιγεγραμμένο κύκλο του $PQST$(όπως ορίστηκε στο 1ο σκέλος) ανήκουν και τα σημεία $X,Y$ κι ...
από Antonis_Z
Δευ Ιούλ 06, 2015 11:23 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Όμορφο εγγράψιμο
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 691

Όμορφο εγγράψιμο

Δίνεται τρίγωνο \vartriangle ABC εγγεγραμμένο σε κύκλο (O).Το ύψος AD(D\in BC) τέμνει τον (O) στο E.Αν P,Q είναι τα συμμετρικά του D ως προς τις AB,AC,αντίστοιχα,και S,T τα μέσα των EB,EC,να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο PQTS είναι εγγράψιμο.
από Antonis_Z
Τετ Ιούλ 01, 2015 1:16 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Μεταβλητές χορδές κύκλου τεμνόμενες επί της διαμέτρου.
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 1862

Re: Μεταβλητές χορδές κύκλου τεμνόμενες επί της διαμέτρου.

Καλησπέρα. Πολύ ωραία η λύση του κ. Στάθη! Δίνω και μια διαφορετική με αναλογίες. Χρησιμοποιώ το σχήμα λίγο πιο πάνω. Θα αποδείξω ότι οι χορδές $NM,\ EZ$ τέμνουν την $AB$ σε ίσους λόγους. Αρκεί, λοιπόν, να αποδείξω ότι $\displaystyle \frac{MA\cdot NA}{MB\cdot NB}=\frac{EA\cdot ZA}{EB\cdot ZB}$. Έστω...
από Antonis_Z
Τετ Ιουν 17, 2015 11:57 pm
Δ. Συζήτηση: Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών
Θέμα: Ολοκλήρωμα
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 1349

Re: Ολοκλήρωμα

Γεια.

Θα ήθελα να μου δώσεις μια υπόδειξη για το πώς μπορώ να αποδείξω τη 2η ιδιότητα που χρησιμποιήσες.
από Antonis_Z
Τετ Ιουν 17, 2015 2:04 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: IMO 2014 (Shortlisted Problems)
Απαντήσεις: 36
Προβολές: 6208

Re: IMO 2014 (Shortlisted Problems)

Geometry 7 Έστω $ABC$ ένα τρίγωνο με περίκυκλο $\Omega$ και έκκεντρο $I.$ Η κάθετη από το $I$ στην $CI$ τέμνει τέμνει το τμήμα $BC$ και το τόξο $BC$ (που δεν περιέχει το $A$) στα σημεία $U,V.$ Η παράλληλη από το $U$ στην $AI$ τέμνει την $AV$ στο $X$ και η από το $V$ παράλληλη στην $AI$ τέμνει την $...
από Antonis_Z
Τρί Ιουν 02, 2015 7:59 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Άλλο ένα παιγνίδι
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 626

Re: Άλλο ένα παιγνίδι

Ορίζω μια συνάρτηση $f:\{ 1,2,...,2014,2015 \}\rightarrow \{ 10,01,11 \}$. Ας υποθέσουμε ότι υπάρχουν $x$ νομίσματα στο τραπέζι κι αυτός που είναι η σειρά του να παίξει έχει μαζέψει ως τώρα άρτιο αριθμό νομισμάτων.Τότε αν έχει στρατηγική νίκης θα βάζω $1$ στο πρώτο ψηφίο του $f(x)$(μηδέν αλλιώς).Όμο...
από Antonis_Z
Πέμ Μάιος 28, 2015 12:53 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Μέγιστος πληθάριθμος
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 474

Re: Μέγιστος πληθάριθμος

Βάζω κι εγώ μια ιδέα-ελπίζω πλήρη. Αρχικά ορίζω για ένα σύνολο $X$ με στοιχεία $x_i$ ότι το $kX+l$ είναι το σύνολο με στοιχεία $kx_i+l$. Έστω $f(n)$ ο ζητούμενος πληθάριθμος αν $T_n=\{ 1,2,...,2^n \}$. Χωρίζω το $T$ σε $4$ σύνολα ανάλογα με το υπόλοιπο που αφήνει κάθε στοιχείο διαρούμενο με το $4$.Α...
από Antonis_Z
Τετ Μάιος 27, 2015 10:54 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Το μέσο διακέντρου, έγκεντρο τριγώνου...
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 495

Re: Το μέσο διακέντρου, έγκεντρο τριγώνου...

Γεια σας κύριε Στάθη.Ας δούμε μια λύση. α)Θα δείξω μόνο τη διχοτόμο της $\angle DAC$,διότι για την άλλη η πορεία σκέψης είναι ίδια. Έστω $T$ το σημείο επαφής του κύκλου $(L)$ με την $AD$.Προφανώς αρκεί να αποδείξω ότι $BA=BZ$.Κάνω αντιστροφή με πόλο το $B$ και δύναμη $BA^2=BC \cdot BD$.Ο κύκλος $(O)...
από Antonis_Z
Κυρ Μάιος 17, 2015 8:09 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Εμπνευσμένο από tst 2
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 386

Εμπνευσμένο από tst 2

Έστω τρίγωνο $\vartriangle ABC$. Θεωρούμε 2 σημεία $P,\ Q\in BC$ τέτοια ώστε $PB = CQ = x$, με $x<\frac{BC}{2}$. Η κάθετη από το $P$ στη $BC$ τέμνει την $AB$ στο $X$. Η κάθετη από το $Q$ στη $BC$ τέμνει την $AC$ στο $Y$. Να αποδείξετε ότι ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου $\vartriangle AXY$ διέρ...
από Antonis_Z
Πέμ Μάιος 14, 2015 1:04 am
Δ. Συζήτηση: ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ
Θέμα: Η όμορφη!
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 1366

Re: Η όμορφη!

Γεια σου Δημήτρη. Οι αριθμοί $x=5 ,y=8 , z=18 , w=57$ ικανοποιούν. Πράγματι,$x^2+1=26=2\cdot 13$ $y^2+1=65=5\cdot 13$ $z^2+1=325=5^2\cdot 13$ $w^2+1=3250=2\cdot 5^3\cdot 13$ Άρα,έχουν όλα μέγιστο πρώτο διαιρέτη το 13. Εξηγώ τη σκέψη μου. Αρχικά,βρήκα τους μέγιστους πρώτους διαιρέτες των πρώτων 20 πα...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση