Είχα σκοπό να κλείσω το θέμα μέσα στο σαββατοκύριακο, αφού τελείωνα και με τη δημοσίευση ενός κειμένου για το διαγωνισμό Καγκουρό, μισοέτοιμου εδώ και 6 μήνες... Όμως η ανακοίνωση αποχώρησης του Αντώνη με αναγκάζει να τοποθετηθώ άμεσα. Μπήκα στο mathematica με μεγάλη χαρά, θεωρώντας ότι βρήκα έναν χ...

Ίσως σας κούρασα, αλλά κάπως πρέπει να βγάλω κι εγώ το ψωμί μου... Μια διαφορετική προσέγγιση, που κρύβει μέσα της μια νέα άσκηση: "Να βρείτε τους μη πραγματικούς μιγάδες z, για τους οποίους οι ${z^2} + z$ και ${z^3}$ είναι πραγματικοί" Από τους τύπους του Vieta, έχουμε για τις ρίζες της εξίσωσης ${...

Συμβολίζουμε όπως στον πρώτο τρόπο, με z τη μία ρίζα της εξίσωσης. Επειδή οι συντελεστές της εξίσωσης είναι πραγματικοί, οι ρίζες είναι συζυγείς. Έχουμε διαδοχικά: ${z^2} = \bar z$ (1) άρα και $\left| {{z^2}} \right| = \left| {\bar z} \right|$ δηλαδή ${\left| z \right|^2} = \left| z \right|$. Αφού ο...

Χρόνια πολλά σε όλους τους Δημήτρηδες - Δήμητρες του mathematica, ειδικά στον dement (Δ. Σκουτέρης) και στον demetres (Δ. Χριστοφίδης).

Η ποικιλία των ενδιαφερόντων τους, η παραγωγικότητα, η τόλμη των γενικεύσεων, και η οξύνοια της σκέψης τους κοσμούν το χώρο μας.

Λεωνίδας

Για το Ζήτημα 2, στο 2β) , έχουμε: $\left| {{z_1} + {z_2} + {z_3} - 3i} \right| = \left| {({z_1} - i) + ({z_2} - i) + ({z_3} - i)} \right|$$\le \left| {{z_1} - i} \right| + \left| {{z_2} - i} \right| + \left| {{z_3} - i} \right| = 3$ άρα $\left| {\frac{{{z_1} + {z_2} + {z_3}}}{3} - i} \right| \le 1$...

Ήταν κάπου στα τέλη του 1984 κι εγώ μαθητής τρίτης λυκείου. Ο φροντιστής μου – που είχε πάντα μια κακή κουβέντα για τους μαθηματικούς των σχολείων μας – είπε, δε θυμάμαι τώρα με ποια αφορμή, ότι «ο Καζαντζής είναι ο μεγαλύτερος αλγεβρίστας στην Ελλάδα». Πώς του ξέφυγαν τέτοια ενθουσιασμένα λόγια; αν...

Στο θέμα που άνοιξε ο Γιώργος, και ειδικότερα στο αρχείο Kazantzis-Thomaidis , θα βρείτη πλήρη ή σχεδόν πλήρη εργογραφία του Θόδωρου Καζαντζή. Ρώτα στο βιβλιοπωλείο Μαθηματική Βιβλιοθήκη της Θεσσαλονίκης. Ίσως έχουν και καλύτερες τιμές αφού αυτοί εκδίδουν τα βιβλία του Καζαντζή. Αχιλλέα, όπως θα δε...

Αχιλλέα, καλησπέρα. Την αρχική περίοδο δισταγμών του Χάρη για την έκδοση 6ου τεύχους, (μέχρι να καταλαγιάσει ο κουρνιαχτός των μεταρρυθμίσεων), διαδέχτηκε διάστημα απογοήτευσης για τις νέες αγοραστικές συνήθειες των μαθηματικών - οι οποίοι ακολουθούσαν, βέβαια, τα χνάρια του εξεταστικού συστήματος: ...

Τεύχος 5ο, Μάϊος 1998 . Εποχή του πολέμου του ΝΑΤΟ κατά της Σερβίας. Ανάλογο εξώφυλλο και πρόλογος. Δεν μας αφορούν εδώ. Αντιγράφω δύο από τα σχόλια: Δημιουργικές συνθετικές εργασίες Προτάθηκαν πριν μερικά χρόνια για το γυμνάσιο από τον κ. Κασσωτάκη όταν ήτανε στο Παιδαγωγικό Ινστιτούτο. Καλή ιδέα....

Τεύχος τέταρτο, Μάϊος 1998. Περιείχε μόνο τις εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων που είχαν προταθεί στα προηγούμενα τεύχη. Θυμίζω ότι το επόμενο σχολικό έτος 1998-1999 ήταν η πρώτη χρονιά εφαρμογής της "μεταρρύθμισης Αρσένη". Πρόλογος Σκέψεις και προβληματισμοί (για πρόκληση διαλόγου) • Η επετηρίδα...

Τεύχος τρίτο, Μάρτιος 1998: Αντί προλόγου Ερωτήματα και ερωτηματικά για την εκπαιδευτική απορρύθμιση Συμπληρώνονται δύο χρόνια που από το Υπουργείο Παιδείας εξαγγέλθηκε μια ανώριμη, επιπόλαια και τυχοδιωκτική μεταρρύθμιση… Από τότε «κύλησε πολύ νερό στο αυλάκι», η ηγεσία του Υπουργείου άλλαξε, οι τ...

Συνεχίζουμε με το δεύτερο τεύχος της Μαθηματικής Παιδείας (Νοέμβριος 1996) . Σχεδόν όλος ο πρόλογος και δύο σχόλια: Πρόλογος Δε θα ήτανε δυνατό να κυκλοφορήσει το δεύτερο τεύχος της Μαθηματικής Παιδείας και να αφήσει ασχολίαστα κάποια σημαντικά εκπαιδευτικά θέματα που μεσολάβησαν από την έκδοση του ...

Αντώνη, Σε Ευχαριστούμε που ακόμη μια φορά μας Διδσάσκεις εμάς τους Ταπεινούς να ξεχωρίζουμε την συνεπαγωγή από την ισοδυναμία. Αν κάποιοι από μας επιμένουμε να βάζουμε ισοδυναμία εκεί που θα αρκούσε η συνεπαγωγή, (παρά το ότι δεν υπάρχει κανένα μαθηματικό λάθος σε αυτή την ανόητη προσθήκη) συγχώρε...

Αγαπητέ Αντώνη γεια σου. Χαίρομαι που διάβασες τη λύση που έστειλα στην άσκηση του Γιώργου και ευχαριστώ για τις παρατηρήσεις σου. Θα πρέπει να πω ότι διάβασα την εργασία στην οποία παραπέμπεις όπου ασχολείσαι με ένα τόσο σοβαρό θέμα που άπτεται των μαθηματικών και μάλιστα του τρόπου διδαχής στα δη...

Κάθε φυσικός της μορφής όπου πρώτος έχει ακριβώς 2011 διαιρέτες. Ας περιμένουμε πλήρη απόδειξη από μαθητές.
Λεωνίδας

Αν, αντίθετα, η εξίσωση δεν είχε λύση, θα είχαμε $f(x)-g(x)\neq 0$ στο R. H f-g είναι συνεχής και δε μηδενίζεται οπότε διατηρεί πρόσημο στο R. Αν είναι πχ. $f(x)-g(x)> 0$ δηλαδή $f(x)>g(x)$, τότε θα έχουμε και $f(f(x))<f(g(x))$ αφού η f είναι γνησίως φθίνουσα. Η τελευταία γράφεται και $f(f(x))<g(f(x...

Γύρω στο '95, είχαν κυκλοφορήσει στην Ελλάδα δύο βιβλία με στερεογράμματα, το ένα με απλοϊκές εικόνες και το δεύτερο με εκπληκτικής ομορφιάς συνθέσεις. Τα δάνεισα σε κάποιον (ποιον άραγε;) και δε μου τα επέστρεψε (αν με διαβάζει τώρα, παρακαλείται να επανορθώσει!). Ψάχνοντας με μια μηχανή αναζήτησης...

Δείτε κι εδώ.

Λεωνίδας

Μία ακόμη λύση, χάριν πλουραλισμού:

Είναι και οπότε δηλαδή .

Συμπεραίνουμε ότι δηλαδή . Τελικά

Λεωνίδας Θαρραλίδης

Εξαιρετική σελίδα.

Βασίλη, ευχαριστούμε πολύ.

Λεωνίδας