Γωνία διαμέσου και πλευράς.png Στο σχήμα το $M$ είναι μέσο του $BC$. Βρείτε τη γωνία $\theta $. 24 ώρες για τους μαθητές . Εστω ότι $SMT\perp BC,MB=MC=MS,$ Τότε $\hat{TAC}=45^{0}=\hat{MSB}$ Συνεπώς το τετράπλευρο $ALSB$ είναι εγγράψιμο και $\hat{BAL}=\hat{BLS}=75^{0},AS=BS=SC$ Το τρίγωνο $ASC$είναι...

Σταθερότητα εμβαδού.pngΣημείο $S$ κινείται σε τεταρτοκύκλιο $O\overset{\frown}{AB}$ , ακτίνας $r$ και έστω $T$ η προβολή του στην $OA$ . Θεωρούμε σημεία $P ,Q $ των $OA , OB$ αντίστοιχα , ώστε : $OP=ST$ και $OQ=OT$ . Δείξτε ότι το εμβαδόν του τετραπλεύρου $OPSQ$ , είναι ανεξάρτητο από την θέση του ...

Ίσες γωνίες 52.png Οι κύκλοι $(O)$ και $(K)$ τέμνονται στα σημεία $A,B$ . Τμήμα $ST$ , με άκρα στους δύο κύκλους , διέρχεται από το $A$ . Δείξτε ότι : $\widehat{OSB}=\widehat{KTB}$ . Είναι $\hat{\theta }=\hat{KTB},\hat{BAT}=90-\theta ,\hat{\phi }=\hat{OBS},\hat{SPB}=90-\phi ,$ απο το εγγεγραμένο τε...

Ώρα εφαπτομένης 39.png Το ημικύκλιο έχει ακτίνα $OA=2$ και το τετράγωνο - του οποίου η βάση είναι στην προέκταση της διαμέτρου - έχει πλευρά $AB=6$ . Αν η $OC$ τέμνει το ημικύκλιο στο σημείο $S$ , υπολογίστε την $\tan\widehat{DSC}$ . Πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο $OCB,SC=8,$ και στο τρίγωνο $SDC,\...

Σε τρίγωνο $\displaystyle{\displaystyle ABC}$ είναι $\displaystyle \widehat B = 45^\circ $ και υπάρχει σημείο $D$ της πλευράς $BC$ ώστε $DC=CA$ και $\displaystyle \frac{{BD}}{{DC}} = \frac{{\sqrt 3 - 1}}{2}.$ Να βρείτε τις άλλες δύο γωνίες του τριγώνου. Το τρίγωνο $ABZ$ είναι ορθογώνιο και ισοσκελέ...

Ώρα εφαπτομένης 38.pngΤο $ABCDEZ$ είναι κανονικό εξάγωνο , το $AZPQ$ τετράγωνο και το $M$ , το μέσο της $DE$ . Να συγκριθούν οι γωνίες $ \phi , \theta$ , υπολογίζοντας την εφαπτομένη της καθεμιάς . Καλημέρα Στο τρίγωνο $ABC ,AC^{2}=2a^{2}(1+cos60^{0})\Leftrightarrow AC=a\sqrt{3}. tan\theta =\dfrac{...

Χρόνια πολλά στους εορτάζοντες και ιδιαίτερες ευχες στους Κωστα Βηττα , Κωστα Ρεκουμη ,Κωστα Δορτσιο

Παραλληλογραμμοσύνη.pngΑπό την κορυφή $B$ παραλληλογράμμου $ABCD$ , φέρουμε κάθετη προς την διαγώνιο $AC$ , η οποία τέμνει την προέκταση της $AD$ στο σημείο $T$ . Στην προέκταση της πλευράς $DC$ θεωρούμε σημείο $S$ , ώστε : $\widehat{BTS}=\widehat{BTA}$ .... α) Δείξτε ότι : $CS=DC$ ... β) Δείξτε ότ...

Ώρα εφαπτομένης 23.png Στο ορθογώνιο τρίγωνο του σχήματος , ισχύει : $AB=2AC$ , το $AD$ είναι το ύψος προς την υποτείνουσα και η $AS$ διχοτόμος της $\widehat{BAD}$ . Υπολογίστε την : $\tan(\widehat{ASC})$ Εστω $ST\perp AB,$ τότε το τετράπλευρο $ADST$ είναι εγράψιμο και τα τρίγωνα $DST,ADT$ είναι ισ...

Ζωή ποδήλατο.pngΣτο τρίγωνο $ABC$ , είναι : $AB=6 , AC=8 , BC=10$ . Με κέντρα τα $B , C$ γράψαμε δύο ίσους κύκλους και ονομάσαμε $T$ , την τομή του $(B)$ με την $AB$ . Το εφαπτόμενο τμήμα $BS$ στον κύκλο $(C)$ , εφάπτεται και του κύκλου $(A,AT)$ . Υπολογίστε την ακτίνα του κύκλου $(A)$ . $R=6-r$ Απ...

ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ σε όλους τους εορτάζοντες του mathematica

Και ιδιαίτερες ευχές στους

Γιώργο Βισβίκη

Γιώργο Ρίζο

Γιώργο Μήτσιο

Καλημέρα . Καθετότητα και ακεραιότητα.PNG Το τρίγωνο $ABC$ έχει $AB=AC$ και $O$ είναι το μέσο του ύψους $AM$. Το $E \in AC$ ώστε $OE=OA=OM$ ενώ η $BO$ τέμνει την $AC$ στο $N$. Αν $AE=5EC$ τότε Να δειχθεί ότι το $\triangle NEO$ είναι ορθογώνιο και να βρεθεί ο λόγος $\dfrac{\left ( BAC \right )}{\lef...

Περίεργη ισότητα.png $\bigstar$Δίπλα στο τετράγωνο $ABCD$ προσθέσαμε το ορθογώνιο $BEZC$ . Το $S$ είναι σημείο της $AC$ . Η ευθεία $DS$ τέμνει την $ZE$ στο σημείο $P$ και η $ES$ την $DC$ στο $T$ . Δείξτε ότι : $DT=EP$ . Λύση με ευκλείδεια γεωμετρία .. κάτι παραπάνω από ευπρόσδεκτη . Καλησπέρα ΚΑΛΗ ...

Γεωμετρική πρόοδος.pngΤο τρίγωνο $ABC$ είναι ισοσκελές και αμβλυγώνιο . Εντοπίστε σημείο $S$ στην βάση $BC$ , ώστε τα τμήματα : $SB , SA , SC$ , να αποτελούν διαδοχικούς όρους αύξουσας γεωμετρικής προόδου . Ειναι $SB.SC=SA.SN,(1), SA^{2}=SB.SC,(2), (1),(2)\Rightarrow SA=SN,OS\perp AN$ Αρα ο κυκλος ...

Δίνεται το ορθογώνιο τρίγωνο $AB\Gamma$ ($\hat{A}=90^\circ$) το ύψος $A\Delta$, το μέσο $E$ του $\Gamma\Delta$ και σημείο $Z$ στην προέκταση του $AB$, ώστε $BZ=BA$. Να αποδείξετε ότι $Z\Delta$, $AE$κάθετα. Καλησπέρα Θα αποδείξω ότι το σημείο $\Delta$ είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου $ASZ$ Το $A\Gam...

Καλημέρα λόγο ειδικών συνθηκών εγινε περικοπή της ύλης τώρα οι μαθητές θα πρέπει να δουλέψουν σε επαναληπτικά θέματα εντός ύλης βέβαια το πρόβλημα με DLH δεν είναι τόσο απλό γιατί ;; Η επιτροπή θα επιλέξει θέματα που θα λύνονται π.χ με όρια εντός ύλης αλλα πολλοι μαθητές που εμαθαν και νωρίς τον DLH...

Ορθογωνιακές παραδοξότητες.pngΣτο ορθογώνιο $ABCD$ , με $AB=2AD$ , τα σημεία $M , N$ είναι τα μέσα των $CD , AD$ αντίστοιχα , ενώ τα $K , L $ , είναι σημεία των $AB , BC$ , ώστε : $AK=3KB , BL=2LC$ . Η $AL$ , τέμνει τις $KN , KD$ στα σημεία $S , T$ . α) Υπολογίστε την γωνία $\widehat{MNK}$ .... β) ...

Μετρική σε τετράγωνο.2.png Τα σημεία $E, F$ βρίσκονται αντίστοιχα στις πλευρές $BC, CD$ τετραγώνου $ABCD$ ώστε $E\widehat AB = 20^\circ$ και $F\widehat AD = 25^\circ .$ Να δείξετε ότι $\displaystyle AB \cdot EF + DF \cdot BE = A{B^2}.$ Εστω ότι $FJ\perp AC,EK\perp AC,DF=x,EB=y$ Θα αποδειχθεί ότι $E...

βρείτε υις γωνίες του τριγώνου.png Στο $\vartriangle ABC$, η $AM$ είναι διάμεσος και $\widehat {{B_{}}} = \widehat {MAC}$. Να βρείτε τις γωνίες του $\vartriangle ABC$ Καλημέρα Εστω $AM=KM,AL\perp BC$ Τότε στο ορθογώνιο τρίγωνο $AML$ $\upsilon _{a}=\dfrac{\mu _{a}\sqrt{2}}{2},(1),$ Τα τρίγωνα $MKC,A...

Σύγκλιση καθέτων.png Σε κάθε δισορθογώνιο τραπέζιο $ABCD\left( \angle A=\angle B={{90}^{0}} \right)$ να δειχθεί ότι οι εκ των $A,M,B$ κάθετες στις $MD,DC,CM$ αντίστοιχα διέρχονται από το ίδιο σημείο (έστω $S$ στο σχήμα), όπου $M$ το μέσο της $AB$ Στάθης Υ.Σ. Ο Γιώργος (Μήτσιος) ξέρει ... Εστω ότι ο...