Σύγκλιση καθέτων.png Σε κάθε δισορθογώνιο τραπέζιο $ABCD\left( \angle A=\angle B={{90}^{0}} \right)$ να δειχθεί ότι οι εκ των $A,M,B$ κάθετες στις $MD,DC,CM$ αντίστοιχα διέρχονται από το ίδιο σημείο (έστω $S$ στο σχήμα), όπου $M$ το μέσο της $AB$ Στάθης Υ.Σ. Ο Γιώργος (Μήτσιος) ξέρει ... Εστω ότι ο...

Πράσινα άλογα.png $\widehat {CAB} = 90^\circ $ $AB = AT = AS$ $TS = 3\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,TC = 4$ Στο σχήμα να υπολογίσετε το πράσινο άλογο :lol: ( εμβαδόν) του τριγώνου $TSC$ Καλημέρα Νίκο Είναι $\hat{B}=\hat{BTA}=\omega ,\hat{ATS}=\hat{AST}=\phi$ και απο το τετράπλευρο $ABTS,\hat{BTS}=...

Σημείο σε πλευρά τριγώνου.png Σε σκαληνό και μη ορθογώνιο τρίγωνο $ABC$ να βρεθεί σημείο $D$ στη πλευρά $BC$ έτσι ώστε το τμήμα $AD$ να είναι μέσο ανάλογο των $DB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DC$. Διερεύνηση Εφαρμογή : $a = 13\,\,\,,\,\,\,b = 2\sqrt {43} \,\,,\,\,c = 5$ Είναι $BD.DC=AD.AE,(1), AD^{2}...

4πλάσια υποτείνουσα - 2πλάσια γωνία.pngΗ υποτείνουσα $BC$ , του ορθογωνίου τριγώνου $ABC$ είναι τετραπλάσια της πλευράς $AB$ . Έστω $M$ το μέσο της $BC$ και $S$ σημείο της πλευράς $AC$ , ώστε : $AS=\dfrac{2}{5}AC$ . Δείξτε ότι : $\widehat{AMS}=\dfrac{\hat{B}}{2}$ . Ειναι $\dfrac{AL}{c}=\dfrac{LC}{4...

Δίνεται τρίγωνο , με $ A \Gamma=3 AB}$. Τα σημεία $\Delta$ και $E$ βρίσκονται στην πλευρά $A\Gamma$ έτσι, ώστε $A\Delta= \Delta E=E\Gamma$. Αν $M$ είναι το μέσο του $B\Gamma$ , να αποδειχθεί ότι τα ευθύγραμμα τμήματα $M\Delta$, $ME$ είναι κάθετα. Καλημέρα , Ειναι $ME//B\Delta$,αρκείνα δειχθεί οτι $...

Το πιο μικρό.pngΣτο ισοσκελές τρίγωνο $ABC$ , είναι : βάση $BC=4$ και ύψος $AD=6$ , ( δεν φαίνεται στο σχήμα ) . Επί των σκελών $AB, AC$ , θεωρούμε σημεία $S , T$ , ώστε : $CT=2BS$ . Υπολογίστε το : $ST_{min}$ Με Θ. Μενελάου στο τρίγωνο $ABC$ και τέμνουσα $LST,\dfrac{AS}{SB}.\dfrac{LB}{LB+4}. \dfra...

Χαιρετώ. Τελευταία σύνθεση. Παραλληλία, μέσα και λόγοι.PNG Το τρίγωνο $ABC$ με $AB=4$ και $AC=6$ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο .Θεωρούμε τα σημεία $P \in AB$ , $F \in AC$ και τα μέσα $M$ και $N$ των $BC,PF$. Η χορδή $AEI$ είναι παράλληλη της $MN$ με $E \in BC$. Αν είναι $AE\cdot AI=24$ και ισχύει $\l...

Σταθερή ποσότητα.pngΟνομάζουμε $B' , C'$ τις προβολές των κορυφών $B , C$ ισοπλεύρου τριγώνου $ABC$ , πλευράς $a$ , προς ευθεία διερχόμενη από την κορυφή $A$ και εσωτερική της γωνίας $\hat{A}$ . Υπολογίστε την παράσταση : $BB'^2+CC'^2+BB'\cdot CC'$ Είναι $BB'//CC',AK\perp BC,AD\perp CC',\hat{DBB'}=...

Ώρα συνημιτόνου.pngΚατασκευάστε παραλληλόγραμμο $ABCD$ , με $AB=8 , AD=5$ και τέτοιο ώστε η κάθετη από το $B$ προς την $AC$ , να διέρχεται από το μέσο $M$ της $DC$ . Γι αυτό το παραλληλόγραμμο , υπολογίστε το : $\cos\widehat{BAD}$ . $MC//AB\Rightarrow \dfrac{NC}{AN}=\dfrac{MN}{NB}=\dfrac{1}{2}\Left...

Καλο παραδεισο στον αξιόλογο φίλο και συναδελφο Μανώλη .Συλληπητηρια και στην οικογένεια του .

$O\Pi //TS,2.O\Pi =TS,SC=AC-x=\sqrt{a^{2}+b^{2}}-x,$ Μέγιστο ισοσκελούς.pngΣημείο $S$ κινείται στην διαγώνιο $AC$ του διατάσεων $a\times b$ , ορθογωνίου $ABCD$ . Ονομάζω $O$ το κέντρο του κύκλου $(A , S , D)$ . Υπολογίστε το μέγιστο του $(AOS)$ . $(OAS)=\dfrac{1}{2}.x.(O\Pi ),(1), x=AS,$ Απο τα όμοι...

Τεθλασμένη και κλειστή.png Να βρείτε το μήκος του $AB$ Δεκτές όλες οι λύσεις ( και πιο χαμηλού και πιο υψηλού φακέλου ) Απο το Π.Θ στο τρίγωνο $KLM,LM=5,$ και $\dfrac{5}{AB}=\dfrac{LS}{LS+4},(1),BT\perp LM,BT=4,MT=3, \dfrac{SL}{4}=\dfrac{5}{3},(2), (1),(2)\Rightarrow SL=\dfrac{20}{3}, \dfrac{5}{AB}...

shape.pngΔιπλώνουμε το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο $ABCD$, του παραπάνω σχήματος, κατά την ευθεία $EZ$. Η πλευρά $A'B'$ τέμνει την $BC$ στο $K$. Να βρείτε το μήκος του τμήματος $CK = x$ Απο τα όμοια τρίγωνα $EB'K,ZA'S$, είναι $A'S=2KB',2EK=ZS$ Εστω ότι $EK=y,KB'=t,$, Ακόμη $\dfrac{BE}{AZ}=\dfrac{OB}{...

Ώρα εφαπτομένης 34.pngΣτο ορθογώνιο $ABCD$ , φέραμε $BS\perp AC$ . Αν : $(BSC)=(DSC)$ , υπολογίστε την : $\tan\widehat{ASD}$ . Εστω $AB=a,BC=b,\hat{DSJ}=\sigma ,\hat{JSA}=\omega ,\hat{\theta }=\hat{\sigma }+ \hat{\omega } ,LJ//AB, IK//BC,SL=\upsilon _{1},SI=\upsilon _{2}$ .$(BSC)=(DSC) \Rightarrow ...

Καθετότητα για όσκαρ.pngΟι κύκλοι $(O,R) , (K,r)$ τέμνονται στα σημεία $A,B$ . Από τυχόν σημείο $S$ του $(O)$ φέρω τις $SA , SB$ , οι οποίες ξανατέμνουν τον $(K)$ στα σημεία $A' , B' $ αντίστοιχα . Δείξτε ότι : $SO \perp A'B'$ . Ερώτημα για έρευνα : Αν $OK=d$ , υπολογίστε το μέγιστο του τμήματος $S...

Αστρική καθετότητα.pngΑπό το ίχνος $D$ της διχοτόμου $AD$ τριγώνου $ABC$ , με $AC<AB$ , φέρουμε παράλληλη προς την $BA$ , η οποία τέμνει τη διάμεσο $AM$ στο σημείο $E$ . Δείξτε ότι : $BE \perp AD$ . Απο το θεώρημα της διχοτόμου στο τρίγωνο $ABC,BD=\dfrac{ac}{b+c},DC=\dfrac{ab}{b+c},$ $DE//AB\Leftri...

ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ στο Μπάμπη Στεργίου με υγεία και δημιουργικότητα

Μεγάλες κατασκευές 33.pngΔίνεται το ορθογώνιο $DMOH$ , με $DM=2$ και $DH=3$ . Στην προέκταση της $DH$ θεωρήστε σημείο $A$ και στις προεκτάσεις των $MD , DM$ σημεία $B , C$ αντίστοιχα , έτσι ώστε το μεν $H$ να είναι το ορθόκεντρο , το δε $O$ το περίκεντρο , του τριγώνου $\displaystyle ABC$ . Είναι τ...

Κατασκευή τετραπλεύρου..png Να κατασκευάσετε κυρτό τετράπλευρο $ABCD$ αν γνωρίζετε τα μήκη των πλευρών του $AB=25,$ $BC=5,CD=17, DA=7$ και ότι $\widehat D=270^\circ-\widehat C.$ Το τετράπλευρο είναι μοναδικό; Εστω το παραλληλογραμμο $APCD$, Τότε $\hat{PCB}=270-\omega -(180-\omega )=90^{0}.PB^{2}=PC...

Σφηνοειδές ορθογώνιο.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , είναι : $AB=30 , AC=8$ . Από το μέσο $M$ της $AB$ φέρουμε κάθετο τμήμα $MS$ , προς την υποτείνουσα $BC$ . Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{MS}{AS}$ Το $ASBL$ είναι παραληλόγραμμο και $AS=BL=y$,$MS=ML=x,$, Από το εγγράψιμο τετράπλευρο ...