Χρονια πολλα στο Λευτερη Πρωτοπαπα και σε οσους γιορταζουν

Για κάποιο λόγο.png Έστω $O$ το περίκεντρο τριγώνου $ABC$ με $AB=5, AC=6, BC=9.$ Η μεσοκάθετος του $AC$ τέμνει τη διχοτόμο της $B\widehat AC$ στο $K$ και τον περίκυκλο του τριγώνου στο $L.$ Να υπολογίσετε το λόγο $\dfrac{OK}{KL}.$ Εστω $LK=x$, $\dfrac{OK}{KL}=\dfrac{R}{x}-1,(*),$ Απο το τύπο του Ηρ...

Καλημέρα Γιώργο $\dfrac{sina}{sinb}+\dfrac{cosa}{cosb}=-1\Leftrightarrow 2sin(a+b)=-sin2b,(1), A=sin^{2}.\dfrac{sinb}{sina}+cos^{2}b.\dfrac{cosb}{cosa},(2)$ Η δοθείσα σχέση στην υπόθεση γράφεται $\dfrac{sinb}{sina}=-\dfrac{cosb}{cosa+cosb},(*), \dfrac{cosb}{cosa}=-\dfrac{sinb}{sina+sinb},(**),$ $(2)...

Ύψος διχοτομεί διχοτόμο.pngΣτο ισοσκελές τρίγωνο $ABC , (AB=AC)$ , το ύψος $CD$ διέρχεται από το μέσο της διχοτόμου $BE$ . Βρείτε σχέση μεταξύ κάποιων από τα κύρια στοιχεία του τριγώνου , για την οποία αυτό πράγματι συμβαίνει . Καλημέρα $AB=AC=b,BC=a,\hat{ABE}=\hat{EBC}=\hat{\omega },$ Από το θεώρη...

Ακτινοδιάγνωση.pngΚύκλος με κέντρο πάνω στην μεσοκάθετο της πλευράς $BC$ , τετραγώνου $ABCD$ , διέρχεται από τις κορυφές του $A,D$ και τέμνει την μεσοκάθετο στο σημείο $S$ . Αν : $SC\perp CA$ , υπολογίστε την ακτίνα $r $ του κύκλου , συναρτήσει της πλευράς $a$ . Ειναι $OS=a,TS=OT=\dfrac{a}{2},KS=R,...

Γαλλική παραλληλία.png Σε ορθογώνιο τρίγωνο $ABC (\widehat A=90^\circ),$ εγγράφουμε (πώς;) τετράγωνο $KLMN$ όπως φαίνεται στο σχήμα. Αν $O$ είναι το κέντρο του τετραγώνου και οι $AO, BM$ τέμνουν τις $NM, NK$ στα $D, E$ αντίστοιχα, να δείξετε ότι $DE||AB.$ Πρώτα η κατασκευή $BI\perp BC,BI=BC=a$, H $...

Καλή Κυριακή σε όλους. Χαρταετός.PNG Το τετράγωνο $ABCD$ του σχήματος έχει πλευρά $a=20$.Παίρνουμε $DE=5$ , $CZ=9$ και $\widehat{ZEH}=\widehat{DAE}=\theta $. Να δειχθεί με διάφορους ( και έναν τουλάχιστον εντός φακέλου) τρόπους ότι το $AECH$ είναι χαρταετός δηλ. ότι η $AC$ είναι μεσοκάθετος του $EH...

Καλημέρα. Μια ακόμη σύνθεση, ως συνέχεια αυτού του θέματος. Η τριγωνομετρία συνοδός...PNG Στο σχήμα το $ABCD$ είναι τετράγωνο και το $DHIC$ ορθογώνιο . Το $E \in DC$ με $FZE \perp DC..Z \in HI$ και $EF=EC$. Αν ισχύει $\left ( DEZH \right )=\left ( ZIF \right )$ τότε να εξεταστεί αν είναι $\widehat{...

Στις κάθετες πλευρές $CA$ και $CB$ ενός ισοσκελούς ορθογωνίου τριγώνου $ABC$ επιλέγονται τα σημεία $D$ και $E$ , αντίστοιχα, έτσι ώστε $CD=CE$. Οι προεκτάσεις των καθέτων που άγονται από τα σημεία $D$ και $\textcolor{red}{C}$ στην ευθεία $AE$ τέμνουν την υποτείνουσα $AB$ στα σημεία $K$ και $L$. Να ...

Ώρα ωραίας εφαπτομένης.pngΤο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές . Στην πλευρά $AB$ υπάρχει σημείο $P$ , ώστε : $AP=1 , PB=7$ . Στην υποτείνουσα $BC$ επιλέγουμε σημείο $S$ , το οποίο ισαπέχει από το $P$ και την πλευρά $AC$ . Υπολογίστε την : $\tan \widehat{PST}$ . Το τετράπλευ...

1.png Στο παραπάνω σχήμα το σημείο $D$ είναι σημείο επαφής για τον ημίκυκλο διαμέτρου $AB$. Υπολογίστε το λόγο $\dfrac{(DEB)}{(DEC)}$. $\hat{EBC}=\hat{EAB}=\hat{ACD},\hat{CDE}=\hat{EBD}$, απο γωνίες χορδής και εφαπτομένης και $AB//DC$ Αρα τα τρίγωνα $DEC,DEB$, είναι όμοια και συνεπώς $\dfrac{DE}{EC...

Διπλάσιο και μέσο.pngΤο τρίγωνο $ \displaystyle ABC $ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές . Επί της $AC$ θεωρώ σημείο $S$ , ώστε : $AS<\dfrac{AC}{2}$ και επί της $BC$ σημείο $M$ , τέτοιο ώστε : $\widehat{MSB}=2\widehat{SBA}$ . Η κάθετη από το $M$ προς την $BS$ , τέμνει την $AB$ στο $T$ . α) Δείξτε ότι : ...

Ορθογώνια και ισοσκελή.pngΤα τρίγωνα $ADC,ACB , BDS$ είναι ορθογώνια και ισοσκελή . Υπολογίστε το τμήμα $SC$ . ( Επίπεδο διαγωνισμού "Θαλή" ) . $AD=DC=a,AC=CB=a\sqrt{2},SD=DB=a\sqrt{5},SB=a\sqrt{10}$ Στο ορθογώνιο τρίγωνο$ODB,DB^{2}=AB.(AB+OA)\Rightarrow OA=\dfrac{a}{2}$ Στα όμοια τρίγωνα $SDI,SOB,...

Τετράγωνα εν δράσει.png Στο σχήμα τα $A, B, C$ είναι συνευθειακά και τα $ABDE, BCFG$ είναι τετράγωνα α) Να υπολογίσετε το λόγο $\displaystyle \frac{{EF}}{{AG}}$ ................... β) Να υπολογίσετε το άθροισμα $\displaystyle B\widehat AG + E\widehat FG$ γ) Να δείξετε ότι η $AG$ διέρχεται από το ση...

1.png Καλημέρα . Βρείτε το μήκος του τμήματος $x=DE$. Καλησπέρα Εστω ότι $\hat{BAD}=\omega =\hat{BDA}$ τότε $\hat{AED}=\omega ,\hat{EDC}=90-\omega =\hat{BTD}=\hat{BDT},BD=a=BT=BA$ Από το θεώρημα του Μενελάου στο τρίγωνο $ABC$ με τέμνουσα $TDE,\dfrac{DC}{DB}=8\Leftrightarrow DC=8a,$ και με Πυθαγόρει...

ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ ΣΤΟΥΣ ΕΟΡΤΑΖΟΝΤΕΣ

Γεια σας. Ωρα Τριγωνομετρίας.PNG Το τρίγωνο $ABC$ έχει $AB=AC=1$ ενώ $BC=a>1$. Θεωρούμε το $E \in AB$ ώστε $\widehat{ACE}=30^{0}$ και φέρουμε $DE \parallel AC...D\in BC$. Αν είναι $CD=1$ τότε Να εξεταστεί αν το $BC=a$ είναι ρίζα της $x^{3}-3x+1=0$. Σας ευχαριστώ , Γιώργος. Τα τρίγωνα $BED,ABC$ είνα...

Ημιτετράγωνο.pngΔίπλα στο τετράγωνο $ABCD$ σχεδιάσαμε το ημιτετράγωνο $CBS$ και ονομάσαμε $M,N$ τα μέσα των $CD , CS$ αντίστοιχα . α) Δείξτε ότι $AM=MN$ β) Δείξτε ότι $AM \perp MN$ ... γ) Υπολογίστε την $\tan\theta , ( \theta=\widehat{MNC} )$ . * Χρησιμοποιώ τον όρο " ημιτετράγωνο " αντί του όρου "...

10.pngΣημείο $S$ κινείται στο τεταρτοκύκλιο $O\overset{\frown}{AB}$ , ακτίνας $6$ . Φέρω : $AA' , BB' \perp OS$. Πώς να επιλέξουμε το $S$ , ώστε να προκύψει : $AA'+A'B'+B'B=10$ ; Ειναι $BB'=B'K=x,AA'=A'P=z,A'B'=y,x+y+z=10$,Τα ορθογώνια τρίγωνα $OBB',OAA'$ είναι ίσα γιατί $\hat{BOB'}=\hat{OAA'},\hat...

Συνευθειακά 28.pngΠάνω σε ημικύκλιο διαμέτρου $BC$ θεωρούμε τυχόν σημείο $S$ . Στην προέκταση της $BS$ βρείτε σημείο $M$ , ώστε αν πάρουμε στην προέκταση της $CM$ , τμήμα $AM=MC$ , το μέσο $N$ του τμήματος $AB$ , να βρίσκεται στην ίδια ευθεία με τα $C , S$ . Εστω$BN=NA = x$ τότε απο το θεώρημα διαμ...