Η αναζήτηση βρήκε 1907 εγγραφές

από STOPJOHN
Πέμ Οκτ 15, 2020 10:20 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Ορθή γωνία και κύκλος
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 150

Re: Ορθή γωνία και κύκλος

Καλημέρα σε όλους. Με αφορμή πρόσφατο θέμα. 12 GM.png Στο σχήμα η $\widehat{A}=90^o$ , τα $A,C,E$ είναι συνευθειακά ενώ $AB=CE=2$ και $AC=4$. Να υπολογιστεί το μήκος του κύκλου που ορίζουν τα σημεία $B,C, E$. Σας ευχαριστώ, Γιώργος. Απο τις τεμνόμενες χορδές $CE,DB,2(2+DB)=4.6\Leftrightarrow DB=10,...
από STOPJOHN
Τρί Οκτ 13, 2020 5:34 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: Τρισεφαπτόμενοι 2
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 90

Re: Τρισεφαπτόμενοι 2

Τρισεφαπτόμενοι.pngΣτην πλευρά $AD=a$ , τετραγώνου $ABCD$ κινείται σημείο $S$ . Γράφω τον έγκυκλο $(K,\rho)$ του τριγώνου $SAB$ και τον κύκλο $(O,R)$ , ο οποίος εφάπτεται των : $BC, CD$ και $BS$ . α) Για ποια θέση του $S$ , προκύπτει : $R=2\rho$ ; β) Στην περίπτωση αυτή υπολογίστε την απόσταση $TP$...
από STOPJOHN
Τρί Οκτ 13, 2020 1:06 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Απλό θέμα Μεγίστου_1
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 88

Re: Απλό θέμα Μεγίστου_1

Απλό μέγιστο 1.png Δίδονται δύο κύκλοι $\left( {O,R} \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( {K,r} \right)$ με το $K$ πάνω στον κύκλο , $\left( {O,R} \right)\,\,$ . Μεταβλητή χορδή, $AB$ του $\left( {O,R} \right)$ εφάπτεται του $\left( {K,r} \right)\,\,$. Να βρεθεί το μέγιστο του εμβαδού του τριγ...
από STOPJOHN
Δευ Οκτ 12, 2020 9:33 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Τετράγωνο-46.
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 118

Re: Τετράγωνο-46.

50.png Κύκλος εφάπτεται των πλευρών $CB, CD$ τετραγώνου $ABCD$ πλευράς $1$ και διέρχεται από την κορυφή $E$ του ισόπλευρου τριγώνου $DEC$. Να υπολογίσετε την ακτίνα του κύκλου. Είναι $DT=TC=\dfrac{1}{2},NC=R,DN=1-R,TN=GO=\dfrac{1-2R}{2},ET=\dfrac{\sqrt{3}}{2}, EG=\dfrac{\sqrt{3}}{2}-R,$ και στο τρί...
από STOPJOHN
Δευ Οκτ 12, 2020 3:50 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: 12 plus
Απαντήσεις: 31
Προβολές: 582

Re: 12 plus

shape.pngΜπορούμε να βρούμε τη γωνία ω του σχήματος με πάνω από 12 διαφορετικούς τρόπους; Όλες οι λύσεις, εντός ή εκτός φακέλου, δεκτές! Ο κόκκινος κύκλος είναι περιγγεγραμμένος στο τρίγωνο $ACD$ και $AT\perp AD,CT\perp CB$ $(ACD)=5,(ACD)=\dfrac{AC.AD.DC}{4R}\Rightarrow 2R=5\sqrt{2},AC=2\sqrt{10}, ...
από STOPJOHN
Δευ Οκτ 05, 2020 1:11 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Τριχοτομήσεις
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 108

Re: Τριχοτομήσεις

Τριχοτόμηση μήκους τριχοτόμηση γωνίας.png Έστω ισοσκελές τρίγωνο $ABC\,\,\left( {AB = AC} \right)$ και σημείο, $D$ της $BC$, ώστε : $DC = \dfrac{1}{3}BC$. Η μεσοκάθετος στο $BD$ τέμνει την $AB$ στο $T$ και ο κύκλος $\left( {T,B,D} \right)$ την $AD$ ακόμα στο $S$. Δείξετε ότι $\widehat {DSC} = \dfra...
από STOPJOHN
Παρ Οκτ 02, 2020 8:25 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2020 (1η φάση, 8η τάξη)
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 103

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2020 (1η φάση, 8η τάξη)

Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2019-20 Θέματα της 1ης φάσης για την 8η τάξη 1. Η Αλεξάνδρα, ο Αντρέας και η Ελένη διάλεξαν από έναν μη μηδενικό φυσικό αριθμό. Ο καθένας τους πολλαπλασίασε τους αριθμούς, που διάλεξαν τα άλλα δυο παιδιά, με τον δικό του αριθμό και αφαίρεσε το μικρότερο γινόμε...
από STOPJOHN
Πέμ Οκτ 01, 2020 2:36 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: Ίσοι λόγοι
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 230

Re: Ίσοι λόγοι

Ίσοι λόγοι..png Έστω $M, N$ τα μέσα των διαγωνίων $BD, AC$ τετραπλεύρου $ABCD.$ Η $MN$ τέμνει τις $AD, BC$ στα $K, L$ αντίστοιχα. Να δείξετε ότι $\displaystyle \frac{{AK}}{{KD}} = \frac{{CL}}{{LB}}.$ ΥΓ1. Οι παραπομπές ας περιμένουν να δοθεί η πρώτη σωστή λύση. ΥΓ2. Ο συνονόματος του απατημένου συζ...
από STOPJOHN
Τρί Σεπ 29, 2020 4:13 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: Διτετράγωνη 5
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 114

Re: Διτετράγωνη 5

Διτετράγωνη 5.pngΤο $ABCD$ είναι τετράγωνο , το $S$ , σημείο της $AD$ και το $BSQP$ επίσης τετράγωνο . α) Δείξτε ότι τα $D , C , P$ είναι συνευθειακά . β) Η $BQ$ τέμνει την $CD$ στο $T$ . Δείξτε ότι : $\widehat{QST}=\widehat{ABS}$ . α) Τα τρίγωνα $ASB,CBT$ είναι ίσα γιατί $\hat{\omega }=\hat{\phi}$...
από STOPJOHN
Δευ Σεπ 28, 2020 7:40 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ισότητα πλευρών
Απαντήσεις: 13
Προβολές: 447

Re: Ισότητα πλευρών

Χαιρετώ. Πολύ πιθανόν το ακόλουθο θέμα να έχει εμφανιστεί και παλαιότερα.. Ισότητα πλευρών.png Στο τρίγωνο $ABC$ του σχήματος είναι $\widehat{A}> \widehat{B}=2\widehat{C}$ και $EC=AB$ με $E \in BC$. Να εξεταστεί αν ισχύει $AE=AB$ . Σας ευχαριστώ, Γιώργος. Εστω $BN$ η διχοτόμος της γωνίας $B$ και $B...
από STOPJOHN
Κυρ Σεπ 27, 2020 8:08 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ώρα εφαπτομένης 49
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 217

Re: Ώρα εφαπτομένης 49

Ώρα εφαπτομένης 48.pngΤα σημεία $A,B,E$ είναι συνευθειακά , το $ABCD$ τετράγωνο πλευράς $4$ και το τόξο ημικύκλιο διαμέτρου $7$ .Φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα $CS$ . Υπολογίστε την : $\tan\theta$ . Εστω $BN\perp AS$ και $\hat{SBE}=\omega=\hat{BSE}=\hat{BCO}=\hat{OCS},BS\perp OC$ Από τις μετρικές σχέσ...
από STOPJOHN
Σάβ Σεπ 26, 2020 2:55 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Διπλή προσπάθεια
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 160

Re: Διπλή προσπάθεια

Διπλή προσπάθεια.pngΣτην προέκταση της διαμέτρου $AB=2r$ ενός κύκλου , θεωρούμε σημείο $S$ και φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα $ST$ . Αν $ST=2AT$ , υπολογίστε το τμήμα $BS=d$ . Για ευκολία στις πράξεις πάρτε : $r=1$ . Απο το θεώρημα χορδής εφαπτομένης $\hat{BTS}=\omega =\hat{ATO}=\hat{OAT},d(d+2)=4x^{2...
από STOPJOHN
Παρ Σεπ 25, 2020 8:27 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Motorola
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 274

Re: Motorola

shape.jpgΣτο ορθογώνιο $ABCD$, του παραπάνω σχήματος, δίνονται: $MA = MD = ME = MZ,\,\angle AMD = {90^0}$ και $DE = 10$ Να βρείτε το εμβαδόν της κυανής περιοχής. Καλησπέρα Εστω $AD=b,AB=a,$, ο Κύκλος $(M,MA)$ τέμνει το ορθογώνιο στα σημεία $E,Z$ Τότε το εμβαδόν της κυανής περιοχής είναι $E_{k}=\dfr...
από STOPJOHN
Τετ Σεπ 23, 2020 9:01 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία
Θέμα: Επώδυνη σταθερά
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 224

Re: Επώδυνη σταθερά

Επώδυνη σταθερά.pngΤο ορθογώνιο τρίγωνο $ABC$ έχει κάθετες πλευρές : $AB=3 , AC=4$ . Έστω : $0<k<1$ . Επί των πλευρών $AB ,AC , CB$ , θεωρούμε σημεία $P , S, T $ αντίστοιχα , ώστε : $BP=3k $ , $AS=4k , CT=5k$ . Δείξτε ότι υπάρχει τιμή του $k$ , για την οποία το τρίγωνο $PST$ είναι ορθογώνιο ( στο $...
από STOPJOHN
Τρί Σεπ 22, 2020 12:00 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Ευχές
Απαντήσεις: 16
Προβολές: 488

Re: Ευχές

Καλημέρα, με καθυστέρηση ,ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ στους εορτάζοντες και ιδιαίτερες ευχές στο ΣΤΑΘΗ ΚΟΥΤΡΑ
από STOPJOHN
Δευ Αύγ 31, 2020 1:51 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Αγγελικές ισότητες
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 226

Re: Αγγελικές ισότητες

Αγγελικές ισότητες.pngΟ έγκυκλος του τριγώνου $ABC$ , με $AB < AC$ , εφάπτεται των πλευρών $AB , AC$ στα σημεία $P,Q$ αντίστοιχα . Από το μέσο $M$ της $BC$ φέρω κάθετη της $PQ$ , η οποία τέμνει την $AC$ στο σημείο $T$ . Έστω ακόμη σημείο $S$ της $AC$ , ώστε : $SM \perp MT$ . Δείξτε ότι : $AT=SC$ κα...
από STOPJOHN
Δευ Αύγ 31, 2020 12:11 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ
Απαντήσεις: 13
Προβολές: 487

Re: ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ

ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ στους Αλέξανδρο Συγγελάκη και Αλέξανδρο Κουτσουρίδη
από STOPJOHN
Τρί Αύγ 18, 2020 7:18 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Το ορθόκεντρο μέσο ύψους
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 683

Re: Το ορθόκεντρο μέσο ύψους

Είδαμε πρόσφατα εδώ και εδώ και εδώ και εδώ αλλά και παλαιότερα εδώ και εδώ μία ιδιαίτερα δημοφιλή κατηγορία τριγώνων. Εκείνα όπου το ορθόκεντρο είναι μέσο ενός ύψους. Ας δούμε λοιπόν κάποιες ιδιότητες που παρουσιάζουν αυτά τα τρίγωνα. Ορθόκεντρο μέσο ύψους.png $AD, BE, CF$ είναι τα ύψη τριγώνου $A...
από STOPJOHN
Κυρ Αύγ 16, 2020 9:43 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: Τρία τρίγωνα μέσα σε άλλο
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 371

Re: Τρία τρίγωνα μέσα σε άλλο

Σε ένα τρίγωνο φέρνουμε δύο διατέμνουσες. Έστω $P,Q,R$ τα εμβαδά των τριών τριγώνων που σχηματίζονται, όπως στο σχήμα. Δείξτε ότι $Q^2\ge PR$ Σχόλιο: Πρόκειται για κατασκευή μου που βγήκε καθώς έψαχνα κάτι άλλο. Η απόδειξη που έχω είναι μεν προσιτή αλλά αρκετά έμμεση. Δεν ξέρω/δεν έψαξα/δεν κατάφερ...
από STOPJOHN
Κυρ Αύγ 16, 2020 7:51 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Κριτήριο εξωτερικών διχοτόμων
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 364

Re: Κριτήριο εξωτερικών διχοτόμων

Είναι γνωστό (έχει συζητηθεί αρκετές φορές στο :logo: ) ότι αν δύο εξωτερικές διχοτόμοι ενός τριγώνου είναι ίσες, τότε το τρίγωνο δεν είναι υποχρεωτικά ισοσκελές.Υπάρχει το αντιπαράδειγμα του τριγώνου με γωνίες $\displaystyle 36^\circ - 132^\circ - 12^\circ .$ Ας το δούμε όμως γενικότερα: Αν $BE, C...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση