Έξοχη συνευθειακότητα.pngΤα ημικύκλια του σχήματος είναι ομοκεντρικά . Από τα άκρα μιας χορδής $SP$ του μεγάλου ημικυκλίου , φέραμε τα εφαπτόμενα προς το μικρό τμήματα $ST , PQ$ . Δείξτε ότι το μέσο της χορδής $M$ και τα σημεία επαφής $T , Q$ είναι συνευθειακά . Εστω ότι $\hat{MTS}=\kappa ,$ Τότε $...

Συμφωνώ με τα γραφόμενα του Γιώργου αλλά θέλω να συμπληρώσω κάποιες σκέψεις μου . Η γεωμετρική ερμηνεία εχει πολλές προεκτάσεις και σε άλλους κλάδους ,ας πάρουμε τη Φυσική .Οι Φυσικοί πολλές φορές λέγανε στο γραφείο καλά δεν διδάσκετε τα παιδιά γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων και να μπορούν να κατα...

Να πάρουμε ενα παράδειγμα με δυο γραπτά για το Θεώρημα Bolzano Πρώτο γραπτό Ο υποψήφιος κάνει το σχήμα και εξηγεί την γεωμετρική ερμηνεία και στη συνέχεια γράφει το υπολογιστικό μέρος ,χωρίς λάθος Δεύτερο γραπτό Ο υποψήφιος γράφει μόνο το υπολογιστικό μέρος Τα δυο γραπτά είναι ισοδύναμα βαθμολογικά ...

Καλησπέρα! Μπορεί κάποιος να πει αν οι γεωμετρικές ερμηνείες των θεωρημάτων (BOLZANO, ROLLE, ΘΜΤ, FERMAT) πρέπει ΥΠΟΧΡΕΩΤΙΚΑ να συνοδεύονται από το σχήμα του σχολικού ειδάλλως ο υποψήφιος στερείται μονάδων; Καλημέρα Τα σχήματα στα θεωρήματα που αναφέρετε αποτελούν ενα μέρος απο την απόδειξη των θεω...

Ανισόρροπη ισότητα.pngΣχεδιάστε ορθογώνιο τρίγωνο $ABC$ τέτοιο ώστε , αν $M$ είναι το μέσο της $AB$ , $CS$ η διχοτόμος της γωνίας $\hat{C}$ και $AT \perp CS$ , να προκύπτει : $TA=TM$ . Το τρίγωνο $ACL$ είναι ισοσκελές γιατί $\hat{ACT}=\hat{TCL},CT\perp AL$ Ακόμη $AT=TL=TM=\dfrac{a}{2},LM\perp AB$ Ο...

Έστω $a, b, c$ οι ρίζες της εξίσωσης $x^3-x-1=0$. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: $\frac{1-a}{1+a}+\frac{1-b}{1+b}+\frac{1-c}{1+c}$ Θέτουμε $1+a=t,1+b=w,1+c=u,$ ΄Αρα $a=t-1,(t-1)^{3}=t\Leftrightarrow t^{3}-3t^{2}+2t-1=0,(*)$ Οπότε η παράσταση γράφεται $\dfrac{2-t}{t}+\dfrac{2-w}{w}+\dfrac{2...

XΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ στο Μπάμπη με υγεία ,αισιοδοξία και δημιουργικότητα

Διπλάσιο τμήμα διπλάσια γωνία.png Έστω ισοσκελές τρίγωνο $ABC\,\left( {AB = AC} \right)$ και σημείο $D$ της πλευράς $BC$ τέτοιο ώστε: $BD = 2DC$. Στην $AD$ θεωρούμε σημείο $P$ για το οποίο $\widehat {BPD} = \widehat {BAC}$. Δείξετε ότι: $\widehat {BAC} = 2\widehat {DPC}$ Καλησπέρα Νίκο Γράφουμε του...

Το κέντρο του κύκλου του $\displaystyle {\rm{Euler}}$ τριγώνου $ABC$ είναι σημείο της $BC.$ Να βρείτε τη διαφορά $|\widehat B-\widehat C|.$ Καλησπέρα , Το σχήμα με παίδεψε ,αλλά με τις πολλές δοκιμές έβλεπα ότι η διαφορά είναι $90^{0}$ και μετά πήγα στην αποδεικτική διαδικασία . Έστω $AS\perp BS$ κ...

Έστω $M$ το σημείο επαφής της $AB$ και του κύκλου που είναι εγγεγραμμένος σε τρίγωνο $ABC$. Έστω $T$ τυχαίο σημείο της πλευράς $BC$ ,διάφορο από τα $B$ και $C$.Αποδείξτε ότι οι τρείς κύκλοι που είναι εγγεγραμμένοι στα τρίγωνα $BMT,MTA,ATC$ εφάπτονται μιας ευθείας Γιάννης Καλημέρα , Θεωρώ την κοινή ...

Καλημέρα Αλέξανδρε ευχαριστώ για τη λύση .Θα γράψω μερικά σχόλια και τη δική μου λύση μόλις βρώ λίγο χρόνο

Απίθανη διχοτόμος.png Έστω το τραπέζιο $ABCD\,\,\left( {AB//CD} \right)$ . Από το $A$ φέρνω παράλληλη στην $BC$ και πάνω σ αυτή, προς τη μεριά του $D$, θεωρώ σημείο $E$ έτσι ώστε: $AE = DC$. Αν η $EC$ διασταυρώνεται με την $AD$ στο $T$,δείξετε ότι η $BT$ διχοτομεί την $\widehat {ABC}$. Με το ισοδύν...

Να κατασκευαστεί, γεωμετρικά, τρίγωνο $ABC$ αν ξέρουμε τις : $AB\,\,,\,\,AC$ και τη εσωτερική διχοτόμο $AD$. Βρείτε τρίγωνο $ABC$ του οποίου έχουν ακέραια μήκη : Οι τρεις πλευρές του $AB,BC,CA$ η διχοτόμος του $AD$ και τα τμήματα $BD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DC$ Καλημέρα Νίκο Εστω $BE//AD,AD=\del...

Απίθανη χορδή.pngΗ πλευρά $BC$ του τριγώνου $ABC$ είναι η - μήκους $8$ - διάμετρος του μεγάλου κύκλου . Ο μικρός κύκλος , έχει ακτίνα $ r=3$ και εφάπτεται εσωτερικά του μεγάλου σε σημείο $S$ αλλά και των πλευρών $AB , AC$ . Υπολογίστε το μήκος της χορδής $AS$ . Το τετράπλευρο $ALKE$ είναι τετράγωνο...

Μπορεί να έχει συζητηθεί ξανά, αλλά ας συγκρατηθούν οι spoilers ! Σχέση σε τετράγωνο.png Τυχούσα ευθεία διέρχεται από την κορυφή $A$ τετραγώνου $ABCD$ και τέμνει την πλευρά $CD$ στο $P$ και την προέκταση της $BC$ στο $T.$ Να δείξετε ότι $\displaystyle \frac{1}{{A{P^2}}} + \frac{1}{{A{T^2}}} = \frac...

Ωραία πρόοδος.pngΣτις πλευρές $AB , BC , CA$ του ισοπλεύρου τριγώνου $ABC$ , θεωρούμε σημεία $S , P , T$ αντίστοιχα , ώστε : $AS=BP=CT$ . Αν τα δημιουργούμενα τμήματα : $SK , KN , NC$ , είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου , υπολογίστε το $\lambda$ , καθώς και τον λόγο : $m=\dfrac{AS}{AB}$ . Θ...

Τετράγωνο και ισοσκελές.png Το $ABCD$ είναι τετράγωνο πλευράς $a.$ Με βάση την σταθερή πλευρά $AB=a$ κατασκευάζω έξω από το τετράγωνο ισοσκελές τρίγωνο $EAB$ όπου οι ίσες πλευρές έχουν μεταβλητό μήκος $b$ και έστω $K$ το σημείο τομής των $AB, DE.$ α) Να δείξετε ότι το εμβαδόν του τριγώνου $EAD$ είν...

Καθετότητα με συνέχεια_καθετότητα.png Δίδεται ημικύκλιο διαμέτρου $AB$ και κέντρου $O$. Κύκλος διέρχεται από το $O$ και δύο διακεκριμένα σημεία $C\,\,\kappa \alpha \iota \,\,D$ εσωτερικά του τόξου του ημικυκλίου και τέμνει την $AB$ στο $E$. Ας είναι : $S$ το σημείο τομής των $AD\,\,\kappa \alpha \i...

Ώρα εφαπτομένης 86.pngΣτο σχήμα είναι $a>b$ και ο κυκλικός τομέας εφάπτεται της $OA$ . Αν : $\tan\theta =2$ , υπολογίστε την : $\tan\phi$ . $tan\phi =\dfrac{a}{b}=x$ $tan\theta =\dfrac{OE}{ED}=2,(1), OE=\dfrac{ba}{AB}\Rightarrow OE=\dfrac{ba}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}},(2), ED=EA-\dfrac{AB}{2}=\dfrac{2a^{...

Λόγος και διχοτόμος.pngΣτο διαστάσεων $a\times b , (a<b)$ , ορθογώνιο $OABC$ , ο κύκλος $(O , a )$ , τέμνει την $OC$ στο $T$ . Η κάθετη της $TB$ στο $B$ , τέμνει την προέκταση της $OA$ στο σημείο $S$ . Αν $OA=AS$ : α) Υπολογίστε τον λόγο $\dfrac{b}{a}$ ... β) Δείξτε ότι η $TB$ είναι η διχοτόμος της...