Ώρα εφαπτομένης 131.pngΣτο ορθογώνιο $ABCD$ του σχήματος , έγιναν κάποιες προσθήκες . Υπολογίστε την $\tan\theta$ . Μία προσπάθεια για γεωμετρική λύση ,χωρίς Τριγωνομετρία. Πρώτο βήμα Απόδειξη για τη γωνία $CSD=15^{0}=\omega $. Προφανώς είναι $\hat{CDS}=\hat{CSD}=\hat{DSB}=\omega ,\hat{TCS}=2\omega...

Τρεις διχοτόμοι.pngΣτο τρίγωνο $ABC$ φέραμε τις διχοτόμους $AD $ και $BE$ . Βρείτε μια ιδιότητα την οποία πρέπει να έχει το τρίγωνο , ώστε η διχοτόμος της $\widehat{ADC}$ , να διέρχεται από το σημείο $E$ . Εστω $DK\perp DL,DK=DL,EN\perp AB,EP\perp BD,NE=EP,E\Pi \perp AD, EN=E\Pi =EP,\hat{BAD}=\hat{...

ορθ σε ημικ.png . Σε ημικύκλιο διαμέτρου $DE$ είναι εγγεγραμμένο ένα ορθογώνιο τρίγωνο $ABC$ με κάθετες πλευρές $AB=16, \, AC=21$. H κορυφή $C$ απέχει από το $D$ απόσταση $CD=7$. Πόση είναι η ακτίνα του ημικυκλίου; $DC=TE=7,CK=KT=R-7,AC//KN//TB,TB=2OK,$ Τα τρίγωνα $ACK,KHT$ είναι ίσα αρα $HT=21$ Απ...

υπερισοσκελές.pngα) Κατασκευάστε τραπέζιο $ABCD$ , με : $ AB=BC=CD=6$ και : $AD=10$ . β) Υπολογίστε την ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του τραπεζίου . γ) Δείξτε ότι το ορθόκεντρο $H$ , του τριγώνου $ACD $ , είναι το μέσο του ύψους $CS$ . α) Έστω $BT\perp AD,CS\perp AD$ Αρα $BT=4\sqrt{2},AT=2=SD,...

Η τρίτη καθετότητα.pngΣτο ισόπλευρο τρίγωνο $ABC$ οι κάθετες στα άκρα $A , C$ των $BA , BC$ , αντίστοιχα τέμνονται στο $D$ . Σημείο $S$ κινείται στην $AC$ . Σχηματίζω το παραλληλόγραμμο $BPSQ$ . Δείξτε ότι : $DS \perp PQ$ . Θα αποδείξω τη συνθήκη καθετότητας $QS^{2}+DP^{2}=QD^{2}+SP^{2}$ Εστω $AQ=x...

Δεν είναι έτσι... Είναι πολύ σημαντικό να έρχεται ένας πρωτοετής και να ξέρει Διαφορικό και Ολοκληρωτικό Λογισμό συναρτήσεων μιας μεταβλητής. Οι πανεπιστημιακοί δάσκαλοι βασίζονται στις υπάρχουσες γνώσεις, πάνε παρακάτω και πολύ καλά κάνουν... Στην Τρίτη Λυκείου δίνονται πολλές ασκήσεις που βοηθούν...

Δυσνόητος λόγος.png$\bigstar$ Στην υποτείνουσα $BC$ του ορθογωνίου τριγώνου $ABC$ , θεωρούμε σημεία $S , T , $ τέτοια ώστε : $BT=BA$ και : $CS=CA$ . Υπολογίστε τον λόγο $\dfrac{c}{b}$ για τον οποίο τα τμήματα $CT , TS , SB , $ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου . $2TS=CT+SB\Leftrightarrow 2T...

Τυχοδιώκτης.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο $ABC$ , με : $AB=2AC$ , τα σημεία $M,N$ είναι τα μέσα των $BC , AB$ . Ο κύκλος $(M , MN)$ τέμνει την διάμεσο $AM$ στο σημείο $S$ . Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{BS}{CS}$ . Είναι $a=b\sqrt{5},AM=\dfrac{a}{2}=\dfrac{b\sqrt{5}}{2},AS=\dfrac{b}{2}(\sqrt{5}-1)$ Με θε...

Εμπνευσμένο από το θέμα της Γεωμετρίας εδώ : Βαλκανικές συμπληρωματικές.pngΤο $H$ είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου $ABC$ . Με το σημείο $D$ συμπληρώνουμε το παραλληλόγραμμο $ABCD$ . Η $DH$ τέμνει την $AB$ στο σημείο $S$ . Δείξτε ότι οι γωνίες $\phi$ και $\theta$ είναι συμπληρωματικές . $AP//DC,CP\p...

Ραγδαίως αύξουσα.pngΣημείο $S$ κινείται στην διάμετρο $AB=2r$ ενός ημικυκλίου , έτσι ώστε : $SB=x , (x<r)$ . Θεωρώ σημείο $C$ του τόξου και φέρω $ST \perp AC , SQ \perp BC$ . Η $TQ$ τέμνει την προέκταση της $AB$ στο σημείο $P$ . Υπολογίστε το $BP$ συναρτήσει του $SB$ . Από την ομοιότητα των ορθογων...

Άριστος λόγος.png Δίνεται τραπέζιο $ABCD (AB||CD)$ με $CD=a, AB=ka, 1<k<4$ και ένα σημείο $N$ της βάσης $AB,$ ώστε $NB=\dfrac{(4-k)a}{4}.$ Αν $M$ είναι το μέσο του τμήματος $CN,$ να υπολογίσετε το λόγο $\dfrac{(ANCD)}{(MDB)}.$ Eστω $(DCM)=(DMN)=E_{1},(MCB)=(MNB)=E_{2}$ και $DNPC$ . $LM$ διάμεσος στ...

Δίδυμη απόσταση.pngΣτην προέκταση της διαμέτρου $AB=6$ του κύκλου $(O)$ , θεωρούμε σημείο $K$ , γράφουμε τον κύκλο $(K , 3)$ και ονομάζουμε $T$ το ένα από τα δύο σημεία τομής των δύο κύκλων . Η $TB$ ξανατέμνει τον $(K)$ στο σημείο $S$ . Για ποια θέση του $K$ μεγιστοποιείται το τμήμα $AS$ ; Εστω $AK...

Τριγωνική ισοδυναμία.pngΣε σημείο $S$ ημικυκλίου διαμέτρου $AB$ φέρουμε εφαπτομένη , η οποία τέμνει την προέκταση της $AB$ στο σημείο $P$ και την κάθετη της $AB$ στο $A$ , στο σημείο $T$ . Για ποια θέση του $S$ τα τρίγωνα $AST$ και $BSP$ είναι ισεμβαδικά ; Έστω $AT=TS=x,(ATS)=(SBP)=E,(ASO)=(OSB)=E_...

Μετρική_5.png Στον περιγεγραμμένο κύκλο τετραγώνου $ABCD$ πλευράς $a$ και στο μικρό τόξο $\overset\frown{AB},$ θεωρώ σημείο $E$ και ονομάζω $A\widehat DE=\theta.$ Αν το εμβαδόν του τριγώνου $BED$ ισούται αριθμητικά με $a+1$ και $\cos \theta=\dfrac{a-1}{a},$ να βρείτε την πλευρά $a$ του τετραγώνου κ...

Διπλάσιο εμβαδόν..png $E$ είναι σημείο της πλευράς $AB=a$ τετραγώνου $ABCD.$ Η $AC$ τέμνει τις $DE, DB$ στα $F, G$ αντίστοιχα. Να βρείτε τη θέση του $E$ αν $(ADE)=2(BEFG).$ Εστω $AE=x,EB=a-x,FZ\perp AB$.$2(EFGB)=2(ABC)-2(AFE)-\dfrac{1}{2}(ABCD)=\dfrac{a^{2}}{2}-2(AFE), (ADE)=\dfrac{a^{2}}{2}-2(AFE)...

mick7 έγραψε: ↑

Τετ Απρ 22, 2026 10:02 pm

Υπολογίστε το μήκος (?).

Είναι

Από το ρόμβο ,




Πολύχρονοι οι εορτάζοντες Γιώργηδες ,Γεωργίες

Η άσκηση της εβδομάδας.pngΤα τμήματα $OA=4 , OB=2 $ και : $OC=8$ , σχηματίζουν ανά δύο ( κυρτές ) γωνίες $120^0$ . Αν $M$ το μέσο της $BC$ υπολογίστε το τμήμα $AM$ . Έστω $TC\perp AO,\hat{OCT}=30^{0},OT=4,TC=4\sqrt{3},AOB,AB=2\sqrt{3},ABT,12+BT^{2}=2.4+32\Leftrightarrow BT=2\sqrt{7},BC^{2}=4+64-16\...

Το $ABC$ είναι ορθογώνιο τρίγωνο, το $D$ είναι το ίχνος του ύψους $AD$, τα $M$ και $N$ είναι τα μέσα των πλευρών $AB$ και $AC$ αντίστοιχα. Να αποδειχθεί πως οι κύκλοι $(M, B, D)$, $(N, C, D)$ εφάπτονται μεταξύ τους. Να αποδειχθεί επίσης και το αντίστροφο της πρότασης αυτής. Κάποιες πληροφορίες σχετ...

Το $ABC$ είναι ορθογώνιο τρίγωνο, το $D$ είναι το ίχνος του ύψους $AD$, τα $M$ και $N$ είναι τα μέσα των πλευρών $AB$ και $AC$ αντίστοιχα. Να αποδειχθεί πως οι κύκλοι $(M, B, D)$, $(N, C, D)$ εφάπτονται μεταξύ τους. Να αποδειχθεί επίσης και το αντίστροφο της πρότασης αυτής. Κάποιες πληροφορίες σχετ...

Πρόβλημα 1: Να βρείτε όλα τα ζευγάρια μη αρνητικών ακεραίων $x,y$ που επαληθεύουν την εξίσωση: $(x-y)(xy+3)=21-(xy)^2$ Πρόβλημα 2: Έστω $ABC$ τρίγωνο με $AB=AC<BC$. Στην προέκταση του $AB$ προς το $B$ βρίσκεται σημείο $D$ ώστε $AD=BC$. Επίσης υπάρχει σημείο $E$ στην ίδια ευθεία στην προέκταση της α...