shape.pngΔιπλώνουμε το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο $ABCD$, του παραπάνω σχήματος, κατά την ευθεία $EZ$. Η πλευρά $A'B'$ τέμνει την $BC$ στο $K$. Να βρείτε το μήκος του τμήματος $CK = x$ Απο τα όμοια τρίγωνα $EB'K,ZA'S$, είναι $A'S=2KB',2EK=ZS$ Εστω ότι $EK=y,KB'=t,$, Ακόμη $\dfrac{BE}{AZ}=\dfrac{OB}{...

Ώρα εφαπτομένης 34.pngΣτο ορθογώνιο $ABCD$ , φέραμε $BS\perp AC$ . Αν : $(BSC)=(DSC)$ , υπολογίστε την : $\tan\widehat{ASD}$ . Εστω $AB=a,BC=b,\hat{DSJ}=\sigma ,\hat{JSA}=\omega ,\hat{\theta }=\hat{\sigma }+ \hat{\omega } ,LJ//AB, IK//BC,SL=\upsilon _{1},SI=\upsilon _{2}$ .$(BSC)=(DSC) \Rightarrow ...

Καθετότητα για όσκαρ.pngΟι κύκλοι $(O,R) , (K,r)$ τέμνονται στα σημεία $A,B$ . Από τυχόν σημείο $S$ του $(O)$ φέρω τις $SA , SB$ , οι οποίες ξανατέμνουν τον $(K)$ στα σημεία $A' , B' $ αντίστοιχα . Δείξτε ότι : $SO \perp A'B'$ . Ερώτημα για έρευνα : Αν $OK=d$ , υπολογίστε το μέγιστο του τμήματος $S...

Αστρική καθετότητα.pngΑπό το ίχνος $D$ της διχοτόμου $AD$ τριγώνου $ABC$ , με $AC<AB$ , φέρουμε παράλληλη προς την $BA$ , η οποία τέμνει τη διάμεσο $AM$ στο σημείο $E$ . Δείξτε ότι : $BE \perp AD$ . Απο το θεώρημα της διχοτόμου στο τρίγωνο $ABC,BD=\dfrac{ac}{b+c},DC=\dfrac{ab}{b+c},$ $DE//AB\Leftri...

ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ στο Μπάμπη Στεργίου με υγεία και δημιουργικότητα

Μεγάλες κατασκευές 33.pngΔίνεται το ορθογώνιο $DMOH$ , με $DM=2$ και $DH=3$ . Στην προέκταση της $DH$ θεωρήστε σημείο $A$ και στις προεκτάσεις των $MD , DM$ σημεία $B , C$ αντίστοιχα , έτσι ώστε το μεν $H$ να είναι το ορθόκεντρο , το δε $O$ το περίκεντρο , του τριγώνου $\displaystyle ABC$ . Είναι τ...

Κατασκευή τετραπλεύρου..png Να κατασκευάσετε κυρτό τετράπλευρο $ABCD$ αν γνωρίζετε τα μήκη των πλευρών του $AB=25,$ $BC=5,CD=17, DA=7$ και ότι $\widehat D=270^\circ-\widehat C.$ Το τετράπλευρο είναι μοναδικό; Εστω το παραλληλογραμμο $APCD$, Τότε $\hat{PCB}=270-\omega -(180-\omega )=90^{0}.PB^{2}=PC...

Σφηνοειδές ορθογώνιο.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , είναι : $AB=30 , AC=8$ . Από το μέσο $M$ της $AB$ φέρουμε κάθετο τμήμα $MS$ , προς την υποτείνουσα $BC$ . Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{MS}{AS}$ Το $ASBL$ είναι παραληλόγραμμο και $AS=BL=y$,$MS=ML=x,$, Από το εγγράψιμο τετράπλευρο ...

35.png Στο παραπάνω σχήμα είναι $AD=AC$ και $BE=ED$. Δείξτε ότι $DC=BD+BZ$. Καλησπέρα , Κατασκευάζω τους κύκλους $(D,DA)$ και $(A,L,C),CG\perp AG,$,τότε είναι $DA=DB=DJ=AC$, Η αποδεικτέα σχέση γράφεται $DC=BD+BZ\Leftrightarrow ZD+DJ=DJ+JC\Leftrightarrow JC=ZD,(*),$ Τα τρίγωνα $ZED,JGC$ είναι ίσα γι...

Παράξενο τμήμα.png Ισοσκελές τρίγωνο $\displaystyle ABC$ έχει βάση $BC=6$ και ύψος $AM=5$ . Το ύψος $CD$ τέμνει τον κύκλο διαμέτρου $AB$ στο σημείο $S$ εξωτερικό του τριγώνου . Υπολογίστε το τμήμα $AS$ . Απο το Π.Θ στο τρίγωνο $AMB,AB=\sqrt{34}$ και $SB^{2}=34-x^{2},x=AS,AB\perp SC\Leftrightarrow x...

Κύκλοι σε ισόπλευρο.pngΣτην πλευρά $AC$ , ισοπλεύρου τριγώνου $\displaystyle ABC$ , θεωρούμε σημείο $K$ , ώστε : $AK>KC$ . Ο κύκλος $(K,KA)$ τέμνει την πλευρά $AB$ στο σημείο $S$ , ενώ ο κύκλος $(K,KC)$ τέμνει τις $AC , BC$ στα σημεία $P, Q$ αντίστοιχα . α) Βρείτε την θέση του $K$ για την οποία η $...

Ώρα συνημιτόνου.pngΣτην πλευρά $BC=a$ , τετραγώνου $ABCD$ θεωρώ σημείο $E$ , ώστε : $BE=\dfrac{a}{3}$ . Ο κύκλος $(D,DE)$ τέμνει την $AB$ στο $Z$ και την προέκταση της $BA$ στο $H$ , ενώ οι $DZ,HE$ τέμνονται στο $S$ . Η κάθετη της $HE$ στο $S$ , τέμνει την $DE$ στο σημείο $T$ . Υπολογίστε το : $\co...

Απλή μεγιστοποίηση.pngΗ πλευρά $AC=b$ του ορθογωνίου τριγώνου $\displaystyle ABC$ είναι σταθερή , ενώ η $AB$ είναι μεταβλητή αλλά μικρότερη της $AC$ . Η παράλληλη από το μέσο $M$ της υποτείνουσας $BC$ προς την $CA$ , τέμνει το ύψος $AD$ στο σημείο $L$ . Υπολογίστε το μέγιστο εμβαδόν του τριγώνου $M...

Καλημέρα σε όλους. Καθετότητα και διπρόσωπη...PNG Δίνεται τρίγωνο $ABC$ με $AB=2AC$. Στην προέκταση της $BC$ θεωρούμε $CE=BC$ και στην προέκταση της $EA$ σημείο $Z$ ώστε $\left ( BAC \right )=\left ( BAZ \right )$. Ι) Να εξεταστεί αν $BZ \perp EZ$ . Αν $\widehat{ABC}=\omega...\widehat{BEZ}=\theta $...

Δίδονται τα μοναδιαία και κάθετα διανύσματα : $\overrightarrow u = \left( {a,b} \right)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\overrightarrow v = \left( {x,y} \right)$ Δείξετε ότι : $|ay - bx| = 1$ Απο την υποθεση του προβλήματος ισχύουν $a^{2}+b^{2}=1,(1), x^{2}+y^{2}=1,(2), ax+by=0,(3),$ Πολλαπλασιάζουμε ...

Κι άλλη όμορφη καθετότητα.png Από τα άκρα $A, B$ της διαμέτρου $AOB$ ενός ημικυκλίου φέρνω τις εφαπτόμενες ημιευθείες $Ax, By$ και έστω $P$ σημείο της $Ax.$ Μία τρίτη εφαπτομένη του ημικυκλίου τέμνει τις $Ax, By$ στα $M, Q$ αντίστοιχα. Αν $M$ είναι το μέσο του $AP$ να δείξετε ότι $OP\bot AQ.$ Καλημ...

Μεγάλες κατασκευές 30.pngΔίνεται το σταθερό τμήμα $BC=a$ , με μέσο $M$ . Εντοπίστε σημείο $A$ του επιπέδου , ώστε : $AM=d , (d<\dfrac{a}{2} ) , \widehat{MAC}=45^0$ . Αν $S$ σημείο της $AC$ , ώστε $BS\perp AM$ , δείξτε ότι είναι : $BS=2AM$ . Για τη κατασκευη , Κατασκευάζουμε το ημικύκλιο διαμετρο $M...

Χρόνια Πολλά στους εορτάζοντες Φάνη ,Φώτη ,Φωτεινή

Μεγάλες κατασκευές 28.pngΚύκλος $(K)$ εφάπτεται δύο κάθετων ευθειών , της μιας απ'αυτές στο σημείο $A$ . Εντοπίστε σημείο $S$ της άλλης κάθετης , ώστε το σημείο τομής $M$ του $SA$ με τον κύκλο να είναι το μέσο του $SA$ . Καλημέα ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ και ΚΑΛΗ ΧΡΟΝΙΑ Τα τρίγωνα $MKA,GSM$ είναι ίσα γιατί $\ha...

Χρόνια Πολλα και Καλή Χρονιά με υγεία .Πολυχρονος ο Βασίλης Κακκαβάς και οι υπόλοιποι εορτάζοντες


Γιάννης