Καλημέρα σε όλους. Με αφορμή πρόσφατο θέμα. 12 GM.png Στο σχήμα η $\widehat{A}=90^o$ , τα $A,C,E$ είναι συνευθειακά ενώ $AB=CE=2$ και $AC=4$. Να υπολογιστεί το μήκος του κύκλου που ορίζουν τα σημεία $B,C, E$. Σας ευχαριστώ, Γιώργος. Απο τις τεμνόμενες χορδές $CE,DB,2(2+DB)=4.6\Leftrightarrow DB=10,...

Τρισεφαπτόμενοι.pngΣτην πλευρά $AD=a$ , τετραγώνου $ABCD$ κινείται σημείο $S$ . Γράφω τον έγκυκλο $(K,\rho)$ του τριγώνου $SAB$ και τον κύκλο $(O,R)$ , ο οποίος εφάπτεται των : $BC, CD$ και $BS$ . α) Για ποια θέση του $S$ , προκύπτει : $R=2\rho$ ; β) Στην περίπτωση αυτή υπολογίστε την απόσταση $TP$...

Απλό μέγιστο 1.png Δίδονται δύο κύκλοι $\left( {O,R} \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( {K,r} \right)$ με το $K$ πάνω στον κύκλο , $\left( {O,R} \right)\,\,$ . Μεταβλητή χορδή, $AB$ του $\left( {O,R} \right)$ εφάπτεται του $\left( {K,r} \right)\,\,$. Να βρεθεί το μέγιστο του εμβαδού του τριγ...

50.png Κύκλος εφάπτεται των πλευρών $CB, CD$ τετραγώνου $ABCD$ πλευράς $1$ και διέρχεται από την κορυφή $E$ του ισόπλευρου τριγώνου $DEC$. Να υπολογίσετε την ακτίνα του κύκλου. Είναι $DT=TC=\dfrac{1}{2},NC=R,DN=1-R,TN=GO=\dfrac{1-2R}{2},ET=\dfrac{\sqrt{3}}{2}, EG=\dfrac{\sqrt{3}}{2}-R,$ και στο τρί...

shape.pngΜπορούμε να βρούμε τη γωνία ω του σχήματος με πάνω από 12 διαφορετικούς τρόπους; Όλες οι λύσεις, εντός ή εκτός φακέλου, δεκτές! Ο κόκκινος κύκλος είναι περιγγεγραμμένος στο τρίγωνο $ACD$ και $AT\perp AD,CT\perp CB$ $(ACD)=5,(ACD)=\dfrac{AC.AD.DC}{4R}\Rightarrow 2R=5\sqrt{2},AC=2\sqrt{10}, ...

Τριχοτόμηση μήκους τριχοτόμηση γωνίας.png Έστω ισοσκελές τρίγωνο $ABC\,\,\left( {AB = AC} \right)$ και σημείο, $D$ της $BC$, ώστε : $DC = \dfrac{1}{3}BC$. Η μεσοκάθετος στο $BD$ τέμνει την $AB$ στο $T$ και ο κύκλος $\left( {T,B,D} \right)$ την $AD$ ακόμα στο $S$. Δείξετε ότι $\widehat {DSC} = \dfra...

Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2019-20 Θέματα της 1ης φάσης για την 8η τάξη 1. Η Αλεξάνδρα, ο Αντρέας και η Ελένη διάλεξαν από έναν μη μηδενικό φυσικό αριθμό. Ο καθένας τους πολλαπλασίασε τους αριθμούς, που διάλεξαν τα άλλα δυο παιδιά, με τον δικό του αριθμό και αφαίρεσε το μικρότερο γινόμε...

Ίσοι λόγοι..png Έστω $M, N$ τα μέσα των διαγωνίων $BD, AC$ τετραπλεύρου $ABCD.$ Η $MN$ τέμνει τις $AD, BC$ στα $K, L$ αντίστοιχα. Να δείξετε ότι $\displaystyle \frac{{AK}}{{KD}} = \frac{{CL}}{{LB}}.$ ΥΓ1. Οι παραπομπές ας περιμένουν να δοθεί η πρώτη σωστή λύση. ΥΓ2. Ο συνονόματος του απατημένου συζ...

Διτετράγωνη 5.pngΤο $ABCD$ είναι τετράγωνο , το $S$ , σημείο της $AD$ και το $BSQP$ επίσης τετράγωνο . α) Δείξτε ότι τα $D , C , P$ είναι συνευθειακά . β) Η $BQ$ τέμνει την $CD$ στο $T$ . Δείξτε ότι : $\widehat{QST}=\widehat{ABS}$ . α) Τα τρίγωνα $ASB,CBT$ είναι ίσα γιατί $\hat{\omega }=\hat{\phi}$...

Χαιρετώ. Πολύ πιθανόν το ακόλουθο θέμα να έχει εμφανιστεί και παλαιότερα.. Ισότητα πλευρών.png Στο τρίγωνο $ABC$ του σχήματος είναι $\widehat{A}> \widehat{B}=2\widehat{C}$ και $EC=AB$ με $E \in BC$. Να εξεταστεί αν ισχύει $AE=AB$ . Σας ευχαριστώ, Γιώργος. Εστω $BN$ η διχοτόμος της γωνίας $B$ και $B...

Ώρα εφαπτομένης 48.pngΤα σημεία $A,B,E$ είναι συνευθειακά , το $ABCD$ τετράγωνο πλευράς $4$ και το τόξο ημικύκλιο διαμέτρου $7$ .Φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα $CS$ . Υπολογίστε την : $\tan\theta$ . Εστω $BN\perp AS$ και $\hat{SBE}=\omega=\hat{BSE}=\hat{BCO}=\hat{OCS},BS\perp OC$ Από τις μετρικές σχέσ...

Διπλή προσπάθεια.pngΣτην προέκταση της διαμέτρου $AB=2r$ ενός κύκλου , θεωρούμε σημείο $S$ και φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα $ST$ . Αν $ST=2AT$ , υπολογίστε το τμήμα $BS=d$ . Για ευκολία στις πράξεις πάρτε : $r=1$ . Απο το θεώρημα χορδής εφαπτομένης $\hat{BTS}=\omega =\hat{ATO}=\hat{OAT},d(d+2)=4x^{2...

shape.jpgΣτο ορθογώνιο $ABCD$, του παραπάνω σχήματος, δίνονται: $MA = MD = ME = MZ,\,\angle AMD = {90^0}$ και $DE = 10$ Να βρείτε το εμβαδόν της κυανής περιοχής. Καλησπέρα Εστω $AD=b,AB=a,$, ο Κύκλος $(M,MA)$ τέμνει το ορθογώνιο στα σημεία $E,Z$ Τότε το εμβαδόν της κυανής περιοχής είναι $E_{k}=\dfr...

Επώδυνη σταθερά.pngΤο ορθογώνιο τρίγωνο $ABC$ έχει κάθετες πλευρές : $AB=3 , AC=4$ . Έστω : $0<k<1$ . Επί των πλευρών $AB ,AC , CB$ , θεωρούμε σημεία $P , S, T $ αντίστοιχα , ώστε : $BP=3k $ , $AS=4k , CT=5k$ . Δείξτε ότι υπάρχει τιμή του $k$ , για την οποία το τρίγωνο $PST$ είναι ορθογώνιο ( στο $...

Καλημέρα, με καθυστέρηση ,ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ στους εορτάζοντες και ιδιαίτερες ευχές στο ΣΤΑΘΗ ΚΟΥΤΡΑ

Αγγελικές ισότητες.pngΟ έγκυκλος του τριγώνου $ABC$ , με $AB < AC$ , εφάπτεται των πλευρών $AB , AC$ στα σημεία $P,Q$ αντίστοιχα . Από το μέσο $M$ της $BC$ φέρω κάθετη της $PQ$ , η οποία τέμνει την $AC$ στο σημείο $T$ . Έστω ακόμη σημείο $S$ της $AC$ , ώστε : $SM \perp MT$ . Δείξτε ότι : $AT=SC$ κα...

ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ στους Αλέξανδρο Συγγελάκη και Αλέξανδρο Κουτσουρίδη

Είδαμε πρόσφατα εδώ και εδώ και εδώ και εδώ αλλά και παλαιότερα εδώ και εδώ μία ιδιαίτερα δημοφιλή κατηγορία τριγώνων. Εκείνα όπου το ορθόκεντρο είναι μέσο ενός ύψους. Ας δούμε λοιπόν κάποιες ιδιότητες που παρουσιάζουν αυτά τα τρίγωνα. Ορθόκεντρο μέσο ύψους.png $AD, BE, CF$ είναι τα ύψη τριγώνου $A...

Σε ένα τρίγωνο φέρνουμε δύο διατέμνουσες. Έστω $P,Q,R$ τα εμβαδά των τριών τριγώνων που σχηματίζονται, όπως στο σχήμα. Δείξτε ότι $Q^2\ge PR$ Σχόλιο: Πρόκειται για κατασκευή μου που βγήκε καθώς έψαχνα κάτι άλλο. Η απόδειξη που έχω είναι μεν προσιτή αλλά αρκετά έμμεση. Δεν ξέρω/δεν έψαξα/δεν κατάφερ...

Είναι γνωστό (έχει συζητηθεί αρκετές φορές στο :logo: ) ότι αν δύο εξωτερικές διχοτόμοι ενός τριγώνου είναι ίσες, τότε το τρίγωνο δεν είναι υποχρεωτικά ισοσκελές.Υπάρχει το αντιπαράδειγμα του τριγώνου με γωνίες $\displaystyle 36^\circ - 132^\circ - 12^\circ .$ Ας το δούμε όμως γενικότερα: Αν $BE, C...