Καλησπέρα

Κάτι δε μου ταιριάζει καλά στο θέμα Δ5 του τελευταίου διαγωνίσματος του study for exams. Η f βγαίνει κυρτή στους θετικούς και ταυτόχρονα είναι 2 φορές παραγωγίσιμη (δηλαδή χωρίς μύτες) και έχει μέγιστο στο 0. Γίνεται αυτό;

$-8=(-2)^3=(-2)^{\frac{6}{2}}=[(-2)^6]^{\frac{1}{2}}=(2^6)^{\frac{1}{2}}=2^{\frac{6}{2}}=2^3=8$ Άλλο είναι να γράψουμε $\displaystyle{(-2)^{\frac{6}{2}}}$ και άλλο να εφαρμόσουμε ιδιότητες δυνάμεων με αυτό. Συμφωνώ με τον Σταύρο. Δεν είναι δυνατόν να μην επιτρέπεται να γράψουμε $\displaystyle{(-2)^...

Μέχρι εδώ κατάλαβα, ευχαριστώ. Το ερώτημα τώρα είναι το εξής:
Έχουν νόημα οι παραστάσεις και ;

$\displaystyle - 8 = \left( { - 2} \right)^3 = \left( { - 2} \right)^{\frac{6}{2}} = \left[ {\left( { - 2} \right)^6 } \right]^{\frac{1}{2}} = 64^{\frac{1}{2}} = \sqrt {64} = 8 $ Τελικά το λάθος είναι στο δεύτερο "=" που περνάμε σε κλασματικό εκθέτη, ή στο τρίτο "=" που χρησιμοποιούμε την ιδιότητα ...

Καλησπέρα
Έχω μια απορία: Ποιο είναι το πεδίο ορισμού της συνάρτησης ;
Πιστεύω ότι είναι μόνο οι μη αρνητικοί και όχι όλοι οι πραγματικοί. Υπάρχει κάπου γραμμένο στο σχολικό βιβλίο;

Καλημέρα Έχω την εξής απορία: Έστω ότι σε μια άσκηση δίνεται η συναρτησιακή σχέση $ f^{2}(x)+xf(x)=2 $ και δίνεται ότι η συνάρτηση $f$ είναι συνεχής παντού αλλά παραγωγίσιμη μόνο στο $x=1$. Και έστω ότι ζητάμε να βρούμε το $f'(1)$. Μπορώ να παραγωγίσω τη σχέση και να θέσω χ=1; Εγώ πιστεύω ότι γίνετα...

Κατά τη γνώμη τα θέματα αυτά είχαν το πολύ θετικό στοιχείο ότι έπεσε πρόβλημα... επιτέλους. Ο λόγος για τον οποίο τα μαθηματικά έχουν θέση στο σχολείο είναι ότι οξύνουν την ικανότητα του μαθητή να λύνει προβλήματα. Κάθε διαγώνισμα στα μαθηματικά θα έπρεπε (για μένα) να έχει και πρόβλημα μέσα. Τα μαθ...

Αληθεύει ότι στις προαγωγικές εξετάσεις της Γ Γυμνασίου, από τις 3 ασκήσεις θα πρέπει οι 2 να είναι άλγεβρα και η μια γεωμετρία και απαγορεύονται οι ασκήσεις που συνδυάζουν άλγεβρα και γεωμετρία; Επίσης, η τριγωνομετρία (πχ βασική τριγωνομετρική ταυτότητα, υπολογισμός των άλλων τριγωνομετρικών αριθμ...

Καλησπέρα, Θα ήθελα να ρωτήσω αν μια λύση που δίνω σε άσκηση είναι σωστή. Η άσκηση είναι η εξής: Έστω συνάρτηση $ f:R\rightarrow R $ η οποία ικανοποιεί τη σχέση $f^{3}(x)+f(x)=x$ για κάθε x. Να αποδειχτεί ότι έχει σύνολο τιμών όλο το R. Λύση Έστω η συνάρτηση $g:R\rightarrow R$ με $g(x)=x^{3}+x$. Εύκ...

Χαίρομαι ιδιαίτερα και για τις συμπληρωματικές οδηγίες της ΚΕΕ για το θέμα Α2 αλλά και για το Β2 στο οποίο αναφέρει συμπληρωματικά ότι το πεδίο ορισμού της αντίστροφης μπορεί να βρεθεί είτε με το σύνολο τιμών της h (όπως έγινε στις προταθείσες λύσεις) είτε με τους περιορισμούς για το $y$. Είναι πολ...

Το Δ1 και το Δ3 ήταν από το σχολικό βιβλίο. Συγχαρητήρια στους θεματοδότες για αυτό. (Πολύ σημαντικό για μένα είναι το ότι ελέγχθηκε η υποδομή των μαθητών από τις προηγούμενες τάξεις). Αν πέφτουν θέματα που υπάρχουν σε βοηθήματα και όχι στο σχολικό βιβλίο είναι σαν να ωθούνται οι μαθητές στα φροντισ...

Υποθέτω, ότι η λύση που ζητούσε ο καθηγητής, είναι η: $\displaystyle{ x^2 + \frac{1}{x^2} = \left( x + \frac{1}{x} \right)^2 - 2 = 4^2 - 2 = 16 - 2 = 14$. Ναι αυτή είναι η λύση που έγραψε ο καθηγητής. Ούτε αυτή όμως ελέγχει αν υπάρχει πραγματικό x τέτοιο ώστε να ισχύει $\displaystyle{x+\frac{1}{x}=...

Η άσκηση αυτή δόθηκε σε σχολείο και η λύση που αναφέρω δόθηκε από κάποιο μαθητή. Ο καθηγητής τη θεώρησε λάθος. Ο μαθητής τον ρώτησε «γιατί είναι λάθος» και ο καθηγητής είπε απλά «είναι λάθος». Τίποτε άλλο. Εμένα με ρώτησε ο μαθητής και είπα τη γνώμη μου η οποία είναι αυτή που ανάφερα. Με προβλημάτισ...

Για την πρώτη Ταυτότητα είναι μια ισότητα που είναι αληθής για όλους τους αριθμούς για τους οποίους ορίζεται Εδώ συμβαίνει αυτό άρα όντως είναι ταυτότητα στο πεδίο ορισμού της (που δεν είναι όλοι οι πραγματικοί ) . Συνήθως λέμε : Για κάθε $\displaystyle{x}$ για το οποίο οι ποσότητες τάδε ορίζονται ...

Καλημέρα Έχω 2 απορίες. Η πρώτη αφορά την τριγωνομετρική ταυτότητα $tan2x=\frac{2tanx}{1-tan^{2}x}$ Το πρόβλημά είναι ότι τα 2 μέλη της ταυτότητας ισχύουν για διαφορετικά σύνολα αριθμών. Για παράδειγμα το πρώτο μέλος ορίζεται για $x=\frac{\pi }{2}$ ενώ το δεύτερο όχι. Η λέξη «ταυτότητα» σημαίνει ότι...

Επιτρέψτε μου να πω (δεν είμαι ο αρμόδιος αλλά έχω συναντήσει παραδείγματα σε διαγωνισμούς) πως δεν έχει σημασία αν ο μαθητής δείξει ότι ξέρει. Και οι Ρουμάνοι έδειξαν σίγουρα πως ξέρουν και ουκ ολίγες φορές σε διαγωνισμούς μπορεί κάποιος να γράψει ή περιγράψει τη σχετική θεωρία χωρίς όμως να λάβει...

Καλησπέρα σας. Θα σας απαντήσω πρώτα έμμεσα με μία ιστορία. To 2013 η Διεθνής Μαθηματική Ολυμπιάδα έγινε στην Κολομβία. Στους μαθητές δίνονται τα προβλήματα σε δύο γλώσσες. Στα αγγλικά και στη μητρική τους μεταφρασμένα από τους αρχηγούς. Ο Ρουμάνος αρχηγός μετέφρασε διαφορετικά (λανθασμένα) το πρόβ...

όπως προείπα θεωρώντας ότι η εκφώνηση είναι ξεκάθαρη κανονικά δεν πρέπει να πάρει μονάδες...εμένα την πάτησαν έτσι 5 μαθητές σκεφτόμενοι ότι μαθηματικοί είναι ξέρουν τι λένε...δεν τους δικιολογώ όμως ουτε 1% γιατί την προηγούμενη μέρα τους είχα πεί δεν ακούτε τους επιτηρητές γιατί πολλές φορές δεν ...

όντως η εκφώνηση είναι ξεκάθαρη.παρ'όλα αυτά όμως υπήρξε επιτηρητής που έδωσε σε παιδιού ερώτηση την παραπάνω απάντηση....καταλαβαίνετε ποια ήταν η συνέχεια για όλα τα παιδιά που το ακούσαν!!! :wallbash: :wallbash: :wallbash: Κάτι τέτοιο συνέβη και στην αίθουσα του γιου μου. Κάποιος ρώτησε και κάπο...

Ουπς μάλλον κατάλαβα το λάθος μου. Λέει για κάθε υποσύνολο του Χ και όχι για ένα "βολικό" που πήρα εγώ. Είναι έτσι;