Ξέχασα να αναφέρω παραπάνω ότι μετά την επισήμανση του λάθους, διόρθωσα τη λύση και νομίζω ότι πλέον είναι σωστή. Οι λύσεις είναι άπειρες αφού η αρχική καταλήγει σε μια εξίσωση Pell. Βρήκα και μια λύση (την $(22,18)$) για να είμαι σίγουρος ότι οι τύποι αυτοί δίνουν πράγματι τις λύσεις. Απλά αντί για...

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑

Τετ Απρ 01, 2020 1:05 am

cretanman έγραψε: ↑

Τρί Μαρ 31, 2020 11:25 pm

Προφανως υπάρχει τυπογραφικό που χαλάει τα μετά.
Τέτοια ώρα συμβαίνουν αυτά.
Λύσεις σίγουρα έχει

Σταύρο ευχαριστώ! Ακριβώς αυτό ήταν το παιδαριώδες λάθος στο οποίο αναφέρθηκα στο παραπάνω μήνυμα!

Αλέξανδρος

Αν οι αριθμοί $x,y\in \mathbb{N^*}$ ικανοποιούν τη σχέση $2x^2+x=3y^2+y $ $(1)$, τότε: α) να αποδείξετε πως οι αριθμοί $x-y$ και $2x+2y+1$ είναι τέλεια τετράγωνα β) να βρείτε όλα τα ζεύγη $(x,y)$ τα οποία ικανοποιούν την $(1)$ Να δώσω μια διαφορετική απάντηση στο α) Η $2x^2+x=3y^2+y $ γράφεται $2x^...

Άσκηση 3 (Ιούνιος 1964). Τρεις κύκλοι ακτίνων $p,\,q,\,r$, αντίστοιχα, εφάπτονται εξωτερικά ανά ζεύγη σε σημεία $A,B,C$. Ως γνωστόν (*) οι κοινές εφαπτόμενες στα σημεία επαφής $A,B,C$, συντρέχουν, έστω στο $K$. Δείξτε ότι $\displaystyle{KA=KB=KC= \sqrt {\dfrac {pqr}{p+q+r}}}$. (*) To ζήταγε το πρώτ...

Τόλη καλημέρα, Πρόκειται για την αρκετά γνωστή Ανισότητα Chebyshev. Αποδείξεις και αναφορές μπορείς να βρεις σε πολλά σημεία είτε στο mathematica είτε με απλή αναζήτηση! Μάλιστα αν οι ακολουθίες $(x_n)$ και $(y_n)$ είναι αντίθετα διατεταγμένες, η φορά στην ανισότητα στο τέλος είναι η αντίθετη. Αλέξα...

Η απάντηση είναι $p=5$. Η εξίσωση γίνεται ισοδύναμα: $4p^2(a+b)=b^2(a-b)$. Θέτουμε $a=b+k, \ k > 0$ και η εξίσωση μετά τις πράξεις γίνεται: $\displaystyle{kb^2-8p^2b-4p^2k=0 \ \ (1)}$ με διακρίνουσα $\Delta=16p^2\left(4p^2+k^2\right)$ απ' όπου πρέπει $4p^2+k^2=r^2$ με $r\in\mathbb{N}$. Η τελευταία γ...

Μπράβο στην ΚΥΜΕ και στους (στον) εμπνευστές αυτής της προσπάθειας!! Αγαπητέ Σωτήρη μπράβο σας... Γνωρίζω από πρώτο χέρι τον κόπο που έχει μία τέτοια έκδοση αλλά στο τέλος αξίζει τον κόπο!!

Αλέξανδρος

Καλημέρα σε όλους, Σε λίγη ώρα διεξάγεται ο Πανελλήνιος Διαγωνισμός στα Μαθηματικά "Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ". Ευχόμαστε σε όλους τους μαθητές καλή επιτυχία και σε όλους τους εμπλεκόμενους με αυτόν κάθε καλό!! Σε αυτή τη δημοσίευση θα δοθούν τα θέματα αλλά και οι απαντήσεις του διαγωνισμού αλλά μετά το πέρας του...

Βλέποντας τις εξαιρετικές δημοσιεύσεις του Σπύρου στο mathematica δε μπορεί παρά να βγάλεις το συμπέρασμα ότι πρόκειται για ένα καταπληκτικό συνάδελφο και ένα εξαιρετικό άνθρωπο!! Όταν επιπλέον τον γνωρίσεις από κοντά τότε απλά επιβεβαιώνεις τα παραπάνω με το παραπάνω!! Είναι απίστευτο πόση ομορφιά ...

Η ανισότητα γράφεται $2\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ca}{b}+\dfrac{ab}{c}\right)\geq 2\left(\sqrt{a^2+2}+\sqrt{b^2+2}+\sqrt{c^2+2}\right)$ Όμως $\dfrac{ca}{b}+\dfrac{ab}{c}\geq 2\sqrt{\dfrac{ca}{b}\cdot \dfrac{ab}{c}}=2a$ και κυκλικά και οι υπόλοιπες σχέσεις. Προσ...

Αλέξανδρε, αν επιτρέπεται να χρησιμοποιήσουμε τη συνάρτηση του Euler τότε μπορούμε να πάμε και απευθείας στο $a^{\varphi(b)} \equiv 1 \bmod b$. (Όπως είπε και ο Σταύρος πιο πάνω.) Μάλλον όμως κάτι άλλο έχει υπόψη του ο Μιχάλης. Σωστά Δημήτρη! Έκανα τα εύκολα δύσκολα και δεν πρόσεξα αυτό που είπε ο ...

Χρόνια πολλά έστω και καθυστερημένα σε όλους τους φίλους!! Ιδιαίτερα στο Μιχάλη Λάμπρου, στον Μιχάλη Νάννο, στο Στράτη Αντωνέα αλλά και στο Μιχάλη Τσουρακάκη!

Αλέξανδρος

Καλημέρα σε όλους, Σε λίγη ώρα διεξάγεται ο Πανελλήνιος Διαγωνισμός στα Μαθηματικά "Ο ΘΑΛΗΣ". Ευχόμαστε σε όλους τους μαθητές καλή επιτυχία και σε όλους τους εμπλεκόμενους με αυτόν κάθε καλό!! Σε αυτή τη δημοσίευση θα δοθούν και οι απαντήσεις του διαγωνισμού αλλά μετά το πέρας του διαγωνισμού δηλαδή...

Αν $b=\displaystyle\prod_{i=1}^m p_i^{k_i}$ η ανάλυση του $b$ σε πρώτους παράγοντες, τότε επιλέγουμε $n=\displaystyle\prod_{i=1}^m\varphi\left(p_i^{k_i}\right)$, όπου $\varphi$ η συνάρτηση του Euler και έχουμε το ζητούμενο καθώς $a^{\varphi\left(p_1^{k_1}\right)}\equiv 1\pmod{p_1^{k_1}}$ κι έτσι $a^...

Αγαπητοί φίλοι, Σας ενημερώνουμε για τη συνάντηση των μελών του mathematica.gr σήμερα Σάββατο 2 Νοεμβρίου 2019 και ώρα 16:00 στους χώρους που διεξάγεται το 36ο Συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας της ΕΜΕ στη Λάρισα στην αίθουσα Β . Η συνάντηση αυτή θα είναι και ταυτόχρονα και ενημερωτική για τη λειτουργία...

Υπενθύμιση για σήμερα!

Αγαπητοί συνάδελφοι καλημέρα! Μετά από 2 χρόνια χωρίς συνάντηση, αποφασίσαμε να οργανώσουμε και φέτος όπως και πριν 3 χρόνια (δείτε εδώ ) αλλά όπως και προηγουμενα χρόνια ( φωτογραφίες εδώ και εδώ ), την 4η Παγκρήτια συνάντησή μας! Ισχύουν τα ίδια όπως και τα προηγούμενα χρόνια! Να τονίσουμε ότι η σ...

Αγαπητέ Σιλουανέ έστω και καθυστερημένα σου στέλνω πολλές ευχές για χρόνια πολλά με υγεία και δημιουργικότητα!

Αλέξανδρος

Καλή αρχή στον "ΕΚΘΕΤΗ" με τη νέα του μορφή και την εξαιρετική επιστημονική επιτροπή!!

Εύχομαι να υπάρξουν πολλά πολλά τεύχη και να συνεχίσει να μας μορφώνει όπως γινόταν μέχρι τώρα!

Αλέξανδρος

Αγαπητοί φίλοι σας ευχαριστώ πολύ για τις ευχές σας!! Να είστε πάντα καλά και να χαιρόσαστε την κάθε στιγμή με τους δικούς σας ανθρώπους! Νιώθω τυχερός που γνωρίζω προσωπικά πολλούς από εσάς! Χρόνια πολλά και στους υπόλοιπους που γιορτάζουν και ειδικότερα στον Αλέξανδρο Κουτσουρίδη! Σε όσους συναδέλ...