Η ανισότητα γράφεται $2\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ca}{b}+\dfrac{ab}{c}\right)\geq 2\left(\sqrt{a^2+2}+\sqrt{b^2+2}+\sqrt{c^2+2}\right)$ Όμως $\dfrac{ca}{b}+\dfrac{ab}{c}\geq 2\sqrt{\dfrac{ca}{b}\cdot \dfrac{ab}{c}}=2a$ και κυκλικά και οι υπόλοιπες σχέσεις. Προσ...

Αλέξανδρε, αν επιτρέπεται να χρησιμοποιήσουμε τη συνάρτηση του Euler τότε μπορούμε να πάμε και απευθείας στο $a^{\varphi(b)} \equiv 1 \bmod b$. (Όπως είπε και ο Σταύρος πιο πάνω.) Μάλλον όμως κάτι άλλο έχει υπόψη του ο Μιχάλης. Σωστά Δημήτρη! Έκανα τα εύκολα δύσκολα και δεν πρόσεξα αυτό που είπε ο ...

Χρόνια πολλά έστω και καθυστερημένα σε όλους τους φίλους!! Ιδιαίτερα στο Μιχάλη Λάμπρου, στον Μιχάλη Νάννο, στο Στράτη Αντωνέα αλλά και στο Μιχάλη Τσουρακάκη!

Αλέξανδρος

Καλημέρα σε όλους, Σε λίγη ώρα διεξάγεται ο Πανελλήνιος Διαγωνισμός στα Μαθηματικά "Ο ΘΑΛΗΣ". Ευχόμαστε σε όλους τους μαθητές καλή επιτυχία και σε όλους τους εμπλεκόμενους με αυτόν κάθε καλό!! Σε αυτή τη δημοσίευση θα δοθούν και οι απαντήσεις του διαγωνισμού αλλά μετά το πέρας του διαγωνισμού δηλαδή...

Αν $b=\displaystyle\prod_{i=1}^m p_i^{k_i}$ η ανάλυση του $b$ σε πρώτους παράγοντες, τότε επιλέγουμε $n=\displaystyle\prod_{i=1}^m\varphi\left(p_i^{k_i}\right)$, όπου $\varphi$ η συνάρτηση του Euler και έχουμε το ζητούμενο καθώς $a^{\varphi\left(p_1^{k_1}\right)}\equiv 1\pmod{p_1^{k_1}}$ κι έτσι $a^...

Αγαπητοί φίλοι, Σας ενημερώνουμε για τη συνάντηση των μελών του mathematica.gr σήμερα Σάββατο 2 Νοεμβρίου 2019 και ώρα 16:00 στους χώρους που διεξάγεται το 36ο Συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας της ΕΜΕ στη Λάρισα στην αίθουσα Β . Η συνάντηση αυτή θα είναι και ταυτόχρονα και ενημερωτική για τη λειτουργία...

Υπενθύμιση για σήμερα!

Αγαπητοί συνάδελφοι καλημέρα! Μετά από 2 χρόνια χωρίς συνάντηση, αποφασίσαμε να οργανώσουμε και φέτος όπως και πριν 3 χρόνια (δείτε εδώ ) αλλά όπως και προηγουμενα χρόνια ( φωτογραφίες εδώ και εδώ ), την 4η Παγκρήτια συνάντησή μας! Ισχύουν τα ίδια όπως και τα προηγούμενα χρόνια! Να τονίσουμε ότι η σ...

Αγαπητέ Σιλουανέ έστω και καθυστερημένα σου στέλνω πολλές ευχές για χρόνια πολλά με υγεία και δημιουργικότητα!

Αλέξανδρος

Καλή αρχή στον "ΕΚΘΕΤΗ" με τη νέα του μορφή και την εξαιρετική επιστημονική επιτροπή!!

Εύχομαι να υπάρξουν πολλά πολλά τεύχη και να συνεχίσει να μας μορφώνει όπως γινόταν μέχρι τώρα!

Αλέξανδρος

Αγαπητοί φίλοι σας ευχαριστώ πολύ για τις ευχές σας!! Να είστε πάντα καλά και να χαιρόσαστε την κάθε στιγμή με τους δικούς σας ανθρώπους! Νιώθω τυχερός που γνωρίζω προσωπικά πολλούς από εσάς! Χρόνια πολλά και στους υπόλοιπους που γιορτάζουν και ειδικότερα στον Αλέξανδρο Κουτσουρίδη! Σε όσους συναδέλ...

Η αναβάθμιση έγινε χάρη στη μεγάλη βοήθεια του Γιώργου Μαργαρίτη ο οποίος έλυσε και το θέμα με τα Avatars τα οποία επέστρεψαν στη θέση τους (Αν δε τα βλέπετε αρκεί να κάνετε εκκαθάριση δεδομένων περιήγησης στον browser που χρησιμοποιείτε). Έχουν γίνει μερικές πολύ μικρές αλλαγές στα χρώματα αλλά αυτ...

Θα γίνουν όλες αυτές οι αναβαθμίσεις Τόλη (Style αλλά και πέρασμα στην 3.2.7). Τότε είχαμε φάει πάρα πάρα πολύ χρόνο για να επιλύσουμε το θέμα με τα avatars αλλά δε τα είχαμε καταφέρει. Εύχομαι να τα καταφέρουμε τώρα μετά τις αναβαθμίσεις. Ίδωμεν...

Αλέξανδρος

Καλησπέρα σε όλους,

Αύριο από τις 8 και μετά το mathematica θα είναι απενεργοποιημένο καθώς θα γίνουν απαραίτητες εργασίες αναβάθμισης του λογισμικού του!

Ευχαριστούμε για την κατανόηση!

Αλέξανδρος

Έστω και λίγο καθυστερημένα τα χρόνια μου πολλά στους αγαπητούς φίλους και συναδέλφους Σωτήρη Λοϊζιά, Σωτήρη Χασάπη, Σωτήρη Λουρίδα, Σωτήρη Στόγια και Σωτήρη Αρμενιάκο.

Αλέξανδρος

Καλησπέρα σε όλους, Δυστυχώς δεν κατάφερα να βρω καθαρά γεωμετρική λύση παρά μόνο συνδυασμό γεωμετρίας και τριγωνομετρίας. Όμορφη άσκηση πάντως! Λόγω της σχέσης $2b+c=3a \Leftrightarrow 2(b-a)=a-c$ και θέτοντας $b-a=x$ παίρνουμε $a=c+2x, \ b=c+3x$. Με Ν. Συνημιτόνων στο $ABC$ βγάζουμε άμεσα ότι $c=5...

Δε ξέρω αν υπάρχει κάτι συντομότερο αλλά το παρακάτω λύνει την άσκηση σχετικά γρήγορα. Έστω $z=x+yi, \ z_1=x_1+y_1i, \ z_2=x_2+y_2i$. Τότε η δοσμένη γράφεται: $\begin{aligned} & (x-x_1)^2+(y-y_1)^2+(x-x_2)^2+(y-y_2)^2=k \\ &\Leftrightarrow x^2+y^2-(x_1+x_2)x-(y_1+y_2)y+\dfrac{x_1^2+x_2^2+y_1^2+y_2^2...

Απάντηση: Πρέπει $a>\dfrac{3}{4}$ Πρόκειται για αντίστροφη εξίσωση. Αν διαιρέσουμε με $x^2\neq 0$ (Το $0$ δεν είναι λύση της εξίσωσης) και θέσουμε $x+\dfrac{1}{x}=u$ τότε η εξίσωση παίρνει τη μορφή $u^2+2au-1=0$ η οποία έχει πάντοτε $2$ πραγματικές και άνισες λύσεις τις $u=\sqrt{a^2+1}-a$ και $u=-\s...

Ωραίο ερώτημα! Τι γίνεται εάν οι είναι μιγαδικοί;

Αλέξανδρος

Καλησπέρα σε όλους τους φίλους, Τελείωσε σήμερα με πολύ μεγάλη επιτυχία (και ακόμη μεγαλύτερη από πέρυσι), το 2ο Θερινό Σχολείο του Εργαστηρίου Θεωρητικών Μαθηματικών του Τμήματος Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Κρήτης το όποιο χρηματοδοτήθηκε πλήρως από την Περιφέρεια Κρή...