Πρόβλημα 4 Έστω $\displaystyle{x_1, x_2, x_3, \ldots}$ μια ακολουθία ακεραίων τέτοια, ώστε $\displaystyle{1=x_1<x_2<x_3<\cdots<x_{\nu+1}\leqslant 2\nu}$, για $\displaystyle{\nu=1, 2, 3, \ldots}$ Να αποδείξετε ότι κάθε θετικός ακέραιος $\displaystyle{k}$ είναι ίσος με μια διαφορά της μορφής $\displa...

Πρόβλημα 4 Έστω $\displaystyle{x_1, x_2, x_3, \ldots}$ μια ακολουθία ακεραίων τέτοια, ώστε $\displaystyle{1=x_1<x_2<x_3<\cdots<x_{\nu+1}\leqslant 2\nu}$, για $\displaystyle{\nu=1, 2, 3, \ldots}$ Να αποδείξετε ότι κάθε θετικός ακέραιος $\displaystyle{k}$ είναι ίσος με μια διαφορά της μορφής $\displa...

Καλημέρα σε όλους τους φίλους! Σήμερα είναι η έναρξη του 35ου Πανελλήνιου Συνεδρίου στα Μαθηματικά που διοργανώνει η ΕΜΕ. Συνέδριο εορταστικό καθώς το επιστημονικό μας σωματείο γιορτάζει 100 χρόνια από την ίδρυσή του ! http://www.hms.gr/sites/default/files/news/100TH_LOGO.jpg Στο πλαίσιο του συνεδρί...

Πολλές ευχές σε αγαπητούς φίλους για την ονομαστική τους εορτή!! Στο Νίκο Μαυρογιάννη, στο Νίκο Φραγκάκη, στον Νίκο Ζανταριδη, στο Νίκο Κατσίπη στο Νίκο Ιωσηφίδη, στο Νίκο Κυριαζή, στο Νίκο Τσιάλα , στο Νίκο Κολλιόπουλο και στο Νίκο Αθανασίου!

Επισης ενω προσπαθουσα να βρω λυση στο αρχικο, βρηκα ενα αλλο πιο χαλαρο αποτελεσμα (αν φυσικα δεν εχω χασει κατι στις πραξεις): Αν $x_1, x_2, ...., x_n \in N, n > 2$, $x_1 + x_2 + ... + x_n = x_1x_2...x_n$, και $k$ το πληθος των $x_i$ με, $x_i = 1$. Νδο $k \geq \frac{n}{2} - 1$ Η παραπάνω άσκηση τ...

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑

Σάβ Δεκ 01, 2018 7:37 pm

Αλέξανδρε και Μπάμπη,

Κάτι δεν πάει καλά με την Άσκηση 1. Μάλλον λείπουν υποθέσεις.

Πράγματι, τώρα που τη βλέπω, παρατηρώ ότι υπάρχει πρόβλημα! Ίσως ο Μπάμπης να έχει κρατήσει στο αρχείο του την πηγή της άσκησης και να βρει την σωστή εκφώνηση.

Αλέξανδρος

Η παρακάτω διαδικασία είναι κλασική για διοφαντικές εξισώσεις όπως αυτή που δόθηκε και η αντιμετώπιση παρόμοια. Οι μόνες λύσεις με κάποιους από τους $(x,y,z)$ να είναι $0$ είναι οι $(x,0,x), (-x,0,x), (x,0,-x), (-x,0,-x)$. Ας υποθέσουμε λοιπόν παρακάτω ότι $xyz\neq 0$. Προφανώς αν $(x,y,z)$ είναι λύ...

Μια και έπεσα στο παραπάνω θέμα, επαναφέρω για τις ασκήσεις 1 και 2 που παραμένουν άλυτες.

Αλέξανδρος

Οι επίσημες λύσεις από την Ε.Μ.Ε.

Αλέξανδρος

Γ' Λυκείου-Πρόβλημα 1 Με λίγη φαντασία η δοθείσα εξίσωση γράφεται: $\displaystyle {x^2}({x^2} - 4x - 3) + 3x({x^2} - 4x - 3) - 3({x^2} - 4x - 3) = 0$ $\displaystyle ({x^2} - 4x - 3)({x^2} + 3x - 3) = 0 \Leftrightarrow x = 2 \pm \sqrt 7 \vee x = \frac{{ - 3 \pm \sqrt {21} }}{2}$ Καλησπέρα Γιώργο! Χω...

Μία λύση που δε χρησιμοποιεί ότι οι αριθμοί είναι ακέραιοι. Λόγω κυκλικότητας του συστήματος μπορούμε να υποθέσουμε ότι $x=\max\{x,y,z\}$. Αν $x\geq y \geq z$ τότε αφαιρώντας τις πρώτες δύο εξισώσεις κατά μέλη παίρνουμε: $x-y+2(y-z)(y+z)=3(z-x)(z^2+zx+x^2)$ και επειδή το πρώτο μέλος είναι $\geq 0$ κ...

Έβαλα μόλις τα θέματα του διαγωνισμού στην πρώτη δημοσίευση.

Αλέξανδρος

Καλημέρα σε όλους και καλή επιτυχία στους μαθητές στο σημερινό διαγωνισμό "Ο ΘΑΛΗΣ", Στη δημοσίευση αυτή θα βάλουμε τα θέματα και τις απαντήσεις του διαγωνισμού αμέσως μετά από τη λήξη του. Παρακαλώ να μη βάλουμε τα θέματα ή απαντήσεις πριν από τις 12:00 το μεσημέρι, ώρα λήξης του διαγωνισμού. (* 12...

Τα εκπαιδευτήριο Αυγουλέα - Λιναρδάτου, με αφορμή τα 70 χρόνια από την ίδρυσή του και τα 100 χρόνια από την ίδρυση της ΕΜΕ, διοργανώνουν το Σάββατο, 24 Νοεμβρίου 2018 ημερίδα με θέμα: «Τα Μαθηματικά στο Λύκειο και στις Πανελλαδικές Εξετάσεις» , έχοντας στόχο ένα δημόσιο διάλογο για σημαντικά θέματα...

Καλησπέρα σε όλους, Στο πλαίσιο του εορτασμού του 2018 ως έτους Μαθηματικών και με αφορμή τα 100 χρόνια από την ίδρυση της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας, το Παράρτημα Ηρακλείου της Ε.Μ.Ε. σε συνεργασία με τους Συντονιστές Εκπαιδευτικού Έργου Μαθηματικών του ΠΕ.Κ.Ε.Σ. Κρήτης κ. Δημήτριο Καλυκάκη κα...

Καλησπέρα, Παλαιότερα είχε τεθεί ένα παρόμοιο θέμα. Μπορείτε να δείτε εδώ καθώς και τις παραπομπές που υπάρχουν εκεί. Το θέμα βρίσκεται στο study4exams στη σελίδα http://www.study4exams.gr/math_k/pdf/MK_ED/MK_ED3_EKF.pdf στο 3ο και όχι στο 2ο διαγώνισμα της χρονιάς (όπως αναφέρεται στον παραπάνω σύν...

Άσκηση 29: Αν $\displaystyle{a,b,c,d}$ είναι οι ρίζες του πολυωνύμου $\displaystyle{P(x)=x^4+px^3+qx^2+rx+1,}$ να εκφράσετε την παράσταση $\displaystyle{K=(a^4+1)(b^4+1)(c^4+1)(d^4+1)}$ συναρτήσει των $\displaystyle{p,q,r.}$ Είναι $P(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d) \ \ (1)$ Επειδή $x^4+1=(x ^2+i)(x^2-i)=(x...

test

Στην πραγματικότητα η ανισότητα που ζητάει ο Χρήστος είναι η ανισότητα Maclaurin για $n=4$ (ή αλλιώς symmetric mean inequality) $\begin{aligned}\dfrac{a_1+a_2+a_3+a_4}{4} &\geq \sqrt{\dfrac{a_1a_2+a_1a_3+a_1a_4+a_2a_3+a_2a_4+a_3a_4}{6}} \\ &\geq \sqrt[3]{\dfrac{a_1a_2a_3+a_1a_2a_4+a_1a_3a_4+a_2a_3a_...

Αγαπητοί φίλοι σας ευχαριστώ πολύ για τις όμορφες ευχές σας!! Εύχομαι χρόνια πολλά και στον Αλέξανδρο Κουτσουρίδη.

Καλή σχολική χρονιά σε συναδέλφους και μαθητές!

Αλέξανδρος