Με αφορμή το γνωστό Β3 των πανελλαδικών και την σχετική συζήτηση ( εδώ ), επανέρχομαι: αν $v^3+a_2v^2+a_1v+a_0=0$ με $|a_2-2|=|a_1-2|=|a_0-2|=1$ τότε $|v|\leq 3$ -- σωστό ή λάθος; Γιώργος Μπαλόγλου Μετά από 13 σχεδόν χρόνια επανέρχομαι για να δώσω άλλη μία απόδειξη για το βέλτιστο φράγμα στο ερώτημ...

Πολύ κρίμα...
Εξαιρετικός μαθηματικός με πολύ έντονη και ουσιαστική συμβολή στο mathematica.gr

Θερμά συλλυπητήρια στην οικογένειά του!

Για το τέταρτο των μεγάλων: Έχουμε τη συναρτησιακή σχέση $f(xy+1)-f(x)f(y)=2xy+1, \ \ (1)$ Για $y=0$ παίρνουμε $f(1)-f(x)f(0)= 1 \ \ (2)$ Για $x=y=0$ παίρνουμε $f(1)-f^2(0)=1$ και αντικαθιστώντας στην $(2)$ παίρνουμε: $f(0)(f(0)-f(x))=0$, για κάθε $x\in\mathbb{R}$. Αν $f(0)\neq 0$ τότε θα παίρναμε $...

Για το δεύτερο των μεγάλων: Αν $n=0$ τότε η παράσταση είναι ίση με $4$ άρα τέλειο τετράγωνο ακεραίου. Παρακάτω θεωρούμε ότι $n\geq 1$. Παίρνοντας mod 3, το $n$ πρέπει να είναι περιττός. Επίσης η παράσταση γράφεται $(5^n+1)(3^n+1)$. Όμως ο $5^n+1$ είναι άρτιος ενώ $5^n+1\equiv 2\pmod{4}$ απ' όπου προ...

Για το πρώτο των μεγάλων: Το συμμετρικό του Η ως προς τη ΒΓ ανήκει στον περιγεγραμμένο κύκλο άρα το Δ είναι το συμμετρικό του Η ως προς τη ΒΓ. Όμως το $O_1$ είναι το συμμετρικό του Ο ως προς τη ΒΓ άρα το $O_1\Delta$ είναι συμμετρικό του OH ως προς τη ΒΓ άρα τέμνονται επί της ΒΓ, έστω στο σημείο S. Ό...

Να αποδείξετε πως δεν υπάρχουν ακέραιοι αριθμοί $a, b, c$ ώστε $a^3 + b^2 - a^c = 0$. Ενδιαφέρουσα εξίσωση με μόνη αλλαγή ότι παρακάτω λύνω την παραπάνω διοφαντική εξίσωση στο σύνολο των ακεραίων χωρίς περιορισμούς για τα $a,b,c$ καθώς υπάρχουν λύσεις της διοφαντικής όπως ήδη παρατήρησαν και άλλα μ...

ΘΕΜΑ 1 Προσδιορίστε τους δύο μικρότερους φυσικούς αριθμούς της μορφής $7m^2 − 11n^2$ όπου $m$ και $n$ φυσικοί αριθμοί. Με δοκιμές βρίσκω ότι οι δύο μικρότεροι φυσικοί αριθμοί είναι το $\displaystyle{13}$ και το $\displaystyle{17}$, για να ολοκληρωθεί η απόδειξη πρέπει να αποδείξω άτοπο για τις τιμέ...

Είχα την τύχη και το προνόμιο να έχω παρακολουθήσει το μεταπτυχιακό μάθημα του κου Μιχάλη για την ιστορία των μαθηματικών στην αρχαιότητα και χαίρομαι πολύ που ξεκίνησε να καταγράφει σε βίντεο για να μείνουν για τους επόμενους. Σε συζήτηση που είχαμε κάνει παλαιότερα του είχα αναφέρει ότι θα πρέπει ...

Από τη δοσμένη σχέση της "διαχωρίζουσας" παίρνουμε $\begin{cases} BS-CS=b-c \\ BS+CS=a \end{cases}$ και λύνοντας το σύστημα έχουμε $BS=\dfrac{a+b-c}{2}$ και $CS=\dfrac{c+a-b}{2}$. Από το θεώρημα Stewart έχουμε $b^2 \cdot BS + c^2\cdot CS=a\left(AS^2+BS\cdot CS\right)$ και αντικαθιστώντας τα μήκη των...

. Άσκηση 38 . Έστω $\sqrt 7 > \dfrac {m}{n} $ όπου $m,\, n$ φυσικοί αριθμοί με $m\ge 1, \, n\ge 1$. Να αποδείξετε ότι τότε ισχύει $\sqrt 7 > \dfrac {m}{n} + \dfrac {1}{mn}$ . Αρχικά, αν $m=1$ τότε $\dfrac{m}{n}+\dfrac{1}{mn} = \dfrac{2}{n} \leq 2 < \sqrt{7}$ οπότε το ζητούμενο ισχύει. Για $m\geq 2$...

Πολλά πολλά ΣΥΓΧΑΡΗΤΗΡΙΑ στην αποστολή μας! :clap2: Άλλη μια εξαιρετική εμφάνιση στην οποία είχαν τη χαρά να κερδίσουν μετάλλιο όλοι οι μαθητές! Είναι τιμή για τη χώρα να υπάρχουν αυτά τα παιδιά! Ιδιαίτερα αυτή τη δύσκολη από πολλές απόψεις εποχή, είναι αυτά τα πρότυπα παιδιών που χρειαζόμαστε για ν...

Θερμά συγχαρητήρια παιδιά!! Μπράβο για τη συμμετοχή και τα μετάλλια!

Χαίρομαι πολύ για όλους σας!

Σε κάθε τρίγωνο ABC ισχύει ότι $\sin{A} + \sin{B} + \sin{C} = 4\cos\dfrac{A}{2}\cos\dfrac{B}{2}\cos\dfrac{C}{2} \ \ (1)$ Απόδειξη: $\begin{aligned} \sin{A} + \sin{B} + \sin{C} &= 2\sin{\dfrac{A+B}{2}}\cos{\dfrac{A-B}{2}}+2\sin{\dfrac{C}{2}}\cos{\dfrac{C}{2}} \\ &= 2\sin{\dfrac{180^\circ - C}{2}}\cos...

Χρήστο καλησπέρα!

Ρίξε μια ματιά στο σύνδεσμο εδώ.

Αλέξανδρος

Κωνσταντίνε θα ήθελα να σε ρωτήσω αν έχεις οποιοδήποτε update για την κρίση της εργασίας σου. Σου έχουν απαντήσει;

Αλέξανδρος

Φιλος μου λέει ότι αν προσθέσει $x$ χρόνια στην ηλικία του, αυτός παίρνει ένα τετράγωνο αριθμό . Περιέργως, αν αφαιρέσει $ x $ χρόνια από την ηλικία του, παίρνει την τετραγωνική ρίζα αυτού του αριθμού. Πόσο χρονών μπορεί να είναι ο φίλος μου δεδομένου ότι το προσδόκιμο ζωής είναι μικρότερο η και ίσ...

Αγαπητέ Κωνσταντίνε θερμά συγχαρητήρια για τη δουλειά σου πάνω στην εικασία των Erdos-Turan. Εύχομαι σύντομα να περάσουν όλες οι απαραίτητες αξιολογήσεις και η εργασία σου να γίνει δεκτή για δημοσίευση!

Είναι χαρά μας που σε έχουμε μέλος στο forum μας!

Αλέξανδρος

Η γενική εικόνα που έχω είναι ότι τα θέματα ήταν καλά και διαβαθμισμένα με ερωτήματα που ήθελαν βαθιά γνώση της θεωρίας για να τα απαντήσεις πλήρως. Προσωπικά τα βρήκα μια χαρά για το σκοπό για τον οποίο τέθηκαν αν και πολλά. Μια απάντηση για το ερώτημα Δ4: Το ζητούμενο εμβαδό $E$ είναι ίσο με $E=\d...

Να θυμίσω ότι και στις εξετάσεις των Μαθηματικών Γενικής Παιδείας ΓΕΛ του 2014 είχαμε και πάλι ασύμβατα δεδομένα στο Δ2. Τότε είχε περάσει σχεδόν απαρατήρητο... Την ασυμβατότητα παρατήρησαν και ανέφεραν στο mathematica ο πρωτοετής τότε φοιτητής και εξαιρετικός πλέον επιστήμονας στην Αμερική, Παναγιώ...

Έχω κι εγώ την ίδια απορία. Μήπως η συζήτηση είχε υβριστικό ή ακατάλληλο περιεχόμενο; Θίξαμε πρόσωπα ή πράγματα; Θεωρείται κακό να εγκωμιάζουμε τις επιτυχίες του ελληνικού αθλητισμού; Nα απαντήσω στην αισθηση του χάσιμου του μέτρου γιατί εδω μιλάμε για κορυφαίο αθλητικό γεγονός για την Ελλάδα και π...