Αγαπητέ Γρηγόρη,

Σου εύχομαι από καρδιάς χρόνια πολλά με υγεία και κάθε καλό για σένα και την κορούλα σου!

Αλέξανδρος

Άσκηση 91 Πόσοι διαφορετικοί πενταψήφιοι θετικοί ακέραιοι αριθμοί υπάρχουν, που το καθένα από τα ψηφία τους, εκτός του τελευταίου, είναι μεγαλύτερο ή ίσο του επόμενου ψηφίου τους; Το τελευταίο ψηφίο το επιλέγουμε με $10$ τρόπους. Με τα υπόλοιπα $9$ ψηφία επιλέγουμε $4$ αριθμούς με $\dbinom{9}{4}$ τ...

Άσκηση 95 Επιλέγουμε τυχαία έναν παλινδρομικό αριθμό από το $1000$ μέχρι το $10.000.$ Ποια η πιθανότητα να διαιρείται με το $7$; Οι παλινδρομικοί αριθμοί $A$ από το $1000$ έως το $10000$ είναι της μορφής $A=\overline{abba}$ με $1\leq a\leq 9$ και $0\leq b\leq 9$. Συνεπώς υπάρχουν $9\cdot 10=90$ τέτ...

Αγαπητοί φίλοι, Ας συζητήσουμε εδώ τις λύσεις των θεμάτων του διαγωνισμού "Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ" της ΕΜΕ [b][color=#FF0000]όχι όμως νωρίτερα από τις 12 που είναι η επίσημη λήξη του διαγωνισμού[/color][/b]! Τα θέματα θα ανέβουν με τη λήξη του. Καλή επιτυχία στους μαθητές που διαγωνίζονται! Αλέξανδρος

Πολύ όμορφο, συγκινητικό και ευαίσθητο κείμενο του κύριου Κώστα που ξυπνάει μνήμες που εγώ τουλάχιστον έχω ακούσει μόνο από ανθρώπους της ηλικίας των γονιών και γιαγιάδων! Τι δυσκολίες, τι βάσανα, και πόσες ανέχειες κι όμως οι άνθρωποι ήταν χαμογελαστοί, περνούσαν όμορφα, κουβέντιαζαν και ήταν αληθι...

Έχει λύση στους θετικούς ακεραίους η $3n^2+3n+25=m^3$ ; Μόλις την παρέλαβα από Ρουμανία από κάποιον που ζητά βοήθεια. Τέτοια μηνύματα παίρνω κάμποσα. Θα έλεγα 3 με 10 κάθε εβδομάδα, συνήθως από γνωστούς, είτε μαθητές που παρακολούθησαν κάποιο θερινό σχολείο που έκανα ή συναδέλφους. Απαντώ σε όλα. Σ...

Πολλές ευχές στους εκλεκτούς συναδέλφους που γιορτάζουν σήμερα! Στο Γιάννη Θωμαΐδη, στο Γιάννη Κερασαρίδη στο Γιάννη Σαράφη, στο Γιάννη Απλακίδη, στο Γιάννη Σταματογιάννη, στο Γιάννη Τσόπελα!

Αλέξανδρος

Χρόνια πολλά και πολλές ευχές στη Φωτεινή, στο Φώτη και στο Φάνη που γιορτάζουν σήμερα!!

Αλέξανδρος

Είναι γνωστή η ταυτότητα $|z_1+z_2+z_3|^2+|z_1+z_2-z_3|^2+|z_3+z_1-z_2|^2+|z_2+z_3-z_1|^2=4\left(|z_1|^2+|z_2|^2+|z_3|^2\right) \ \ (1)$ Επίσης εφαρμόζοντας την ανισότητα $3(a^2+b^2+c^2)\geq (a+b+c)^2$ για $a=|z_1+z_2-z_3|$, $b=|z_3+z_1-z_2|$, $c=|z_2+z_3-z_1|$ και αξιοποιώντας τα δεδομένα της εκφώ...

Είναι γνωστή η ταυτότητα $|z_1+z_2+z_3|^2+|z_1+z_2-z_3|^2+|z_3+z_1-z_2|^2+|z_2+z_3-z_1|^2=4\left(|z_1|^2+|z_2|^2+|z_3|^2\right) \ \ (1)$ Επίσης εφαρμόζοντας την ανισότητα $3(a^2+b^2+c^2)\geq (a+b+c)^2$ για $a=|z_1+z_2-z_3|$, $b=|z_3+z_1-z_2|$, $c=|z_2+z_3-z_1|$ και αξιοποιώντας τα δεδομένα της εκφών...

Το σύστημα γράφεται $\begin{cases} (ac-bd)e=(ad+bc)f \ \ (1) \\ -(ac-bd)f=(ad+bc)e \ \ (2) \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} (ac-bd)ef=(ad+bc)f^2 \\ -(ac-bd)ef=(ad+bc)e^2 \end{cases}$ και οι δύο τελευταίες με πρόσθεση κατά μέλη δίνουν: $(ad+bc)(e^2+f^2)=0$. Διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις: 1) Α...

Καλησπέρα σε όλους και καλή Χρονιά με υγεία και δημιουργικότητα. Διέγραψα όλα τα μηνύματα τα οποία δεν έχουν να κάνουν με σχολιασμό των θεμάτων ή επιπλέον λύσεις. Δηλαδή ο,τιδήποτε δεν αφορά τα μαθηματικά. Κλειδώνω αυτή τη δημοσίευση η οποία θα ανοίξει αμέσως μόλις ανακοινωθούν τα αποτελέσματα από τ...

Εάν $K$ είναι το κέντρο του τετραγώνου τότε έχουμε: $\begin{aligned}(OA+OC)^2 &\geq OA^2+OC^2 = 2OK^2+\dfrac{AC^2}{2} \\ &= 2OK^2+\dfrac{BD^2}{2} = OB^2+OD^2 \\ &\geq \dfrac{(OB+OD)^2}{2}\end{aligned}$ κι έτσι προκύπτει το ζητούμενο. Η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν το σημείο $O$ ταυτίζεται με το $A$...

Αρχικά είναι $a_{n+2}=a_0a_1\ldots a_n a_{n+1}+1=(a_{n+1}-1)a_{n+1}+1$. Συνεπώς $\dfrac{1}{a_{n+2}-1}=\dfrac{1}{(a_{n+1}-1)a_{n+1}}=\dfrac{1}{a_{n+1}-1}-\dfrac{1}{a_{n+1}} \ \ (1)$ Θα συνεχίσουμε με επαγωγή για να αποδείξουμε την πρόταση. Για $n=1$ ισχύει. Ας υποθέσουμε ότι ισχύει για $n=k$ δηλαδή ό...

Χρόνια πολλά και καλά σε όλους τους φίλους που γιορτάζουν σήμερα!!

Ιδιαίτερα στο Χρήστο Κυριαζή, στο Χρήστο Τσιφάκη, στο Χρήστο Ντάβα, στο Χρήστο Λώλη, στο Χρήστο Λαζαρίδη.

Αλέξανδρος

Χαίρομαι για την πρώτη δεκαετία που κλείσαμε ως mathematica! Σε όλα αυτά τα χρόνια διδαχθηκα πολλά, γνώρισα πολλούς εξαιρετικούς συναδέλφους με τους οποίους διατηρώ σχέσεις φιλίας και σε ορισμένες περιπτώσεις πολύ ισχυρές, αφιέρωσα με μεγάλη χαρά πολύ από το χρόνο μου λύνοντας ασκήσεις και προσπαθών...

Πρόβλημα 4 Έστω $\displaystyle{x_1, x_2, x_3, \ldots}$ μια ακολουθία ακεραίων τέτοια, ώστε $\displaystyle{1=x_1<x_2<x_3<\cdots<x_{\nu+1}\leqslant 2\nu}$, για $\displaystyle{\nu=1, 2, 3, \ldots}$ Να αποδείξετε ότι κάθε θετικός ακέραιος $\displaystyle{k}$ είναι ίσος με μια διαφορά της μορφής $\displa...

Πρόβλημα 4 Έστω $\displaystyle{x_1, x_2, x_3, \ldots}$ μια ακολουθία ακεραίων τέτοια, ώστε $\displaystyle{1=x_1<x_2<x_3<\cdots<x_{\nu+1}\leqslant 2\nu}$, για $\displaystyle{\nu=1, 2, 3, \ldots}$ Να αποδείξετε ότι κάθε θετικός ακέραιος $\displaystyle{k}$ είναι ίσος με μια διαφορά της μορφής $\displa...

Καλημέρα σε όλους τους φίλους! Σήμερα είναι η έναρξη του 35ου Πανελλήνιου Συνεδρίου στα Μαθηματικά που διοργανώνει η ΕΜΕ. Συνέδριο εορταστικό καθώς το επιστημονικό μας σωματείο γιορτάζει 100 χρόνια από την ίδρυσή του ! http://www.hms.gr/sites/default/files/news/100TH_LOGO.jpg Στο πλαίσιο του συνεδρί...

Πολλές ευχές σε αγαπητούς φίλους για την ονομαστική τους εορτή!! Στο Νίκο Μαυρογιάννη, στο Νίκο Φραγκάκη, στον Νίκο Ζανταριδη, στο Νίκο Κατσίπη στο Νίκο Ιωσηφίδη, στο Νίκο Κυριαζή, στο Νίκο Τσιάλα , στο Νίκο Κολλιόπουλο και στο Νίκο Αθανασίου!