Κατ' αρχήν ισχυριζόμαστε ότι, για κάθε $\alpha\in({-\infty,-1}]\cup [{1,+\infty})$, δεν υπάρχει συνεχής συνάρτηση $f_{\alpha}:C_{0.5}\longrightarrow C_{\alpha}$. Πράγματι, αν υπήρχε τότε θα υπήρχε ανοικτό συνεκτικό σύνολο $A$ της $C_{\alpha}$ (δηλαδή ένα κομμάτι συνεχούς καμπύλης χωρίς αυτοτομές) τ...

Μετά την όμορφη λύση του Ιάσονα παραθέτω και την δική μου: Για να χειριστούμε το πρόβλημα ευκολότερα, για $\alpha\in({-1,1})$ θεωρούμε την παρακάτω παραμετρικοποίηση των δοσμένων καμπυλών: $\begin{aligned} \overrightarrow{r_{\alpha}}&:[0,2\pi]\longrightarrow\mathbb{R}^2\,;\\ &t\longmapsto\overright...

Έχω μια συνάρτηση f η οποία είναι ορισμένη στο R. Ξέρω ότι υπάρχει η δεύτερη παραγωγός της και ότι $f'(0)>0$. Να βρεθεί το $\lim_{x \to +\infty}f(x)$ Έχω μεταφράσει όλα τα δεδομένα που μου δίνονται και έχω ασχοληθεί με την άσκηση περίπου 1ωρα και ένα τέταρτο. Τσιφος όμως... Σας ευχαριστώ προκαταβολ...

$\begin{aligned} \sup_{x\in({0,1})}\big|{f_n(x)-0}\big|&\geqslant\big|{f_n\big({{\rm{e}}^{n^2}}\big)}\big|\\ \end{aligned}$ Από που έπεται αυτό Γρηγόρη; Σωστά Κωνσταντίνε. Η τιμή $x={\rm{e}}^{n^2}$ δεν ανήκει στο $(0,1)$. Θα το ξαναδώ. Ευχαριστώ. Ευτυχώς δεν ήταν δύσκολο. Ισχύει $\sup_{x\in({0,1})}...

$\begin{aligned} \sup_{x\in({0,1})}\big|{f_n(x)-0}\big|&\geqslant\big|{f_n\big({{\rm{e}}^{n^2}}\big)}\big|\\ \end{aligned}$ Από που έπεται αυτό Γρηγόρη; Σωστά Κωνσταντίνε. Η τιμή $x={\rm{e}}^{n^2}$ δεν ανήκει στο $(0,1)$. Θα το ξαναδώ. Ευχαριστώ. Ευτυχώς δεν ήταν δύσκολο. Ισχύει $\sup_{x\in({0,1})}...

stranger έγραψε: ↑

Δευ Μαρ 25, 2024 6:00 pm

grigkost έγραψε: ↑

Δευ Μαρ 25, 2024 5:38 pm

Από που έπεται αυτό Γρηγόρη;

Σωστά Κωνσταντίνε.
Η τιμή δεν ανήκει στο . Θα το ξαναδώ.
Ευχαριστώ.

Δίνουμε μια λύση: Για την σημειακή σύγκλιση: Για $x\in({0,1})$ ισχύει $\begin{aligned} \lim_{n\to\infty}\frac{\log\big({1-x^{\frac{1}{n}}}\big)}{n}&\overset{\begin{smallmatrix} t=x^{\frac{1}{n}}\\ t\to 1^{-} \end{smallmatrix}}{=\!=\!=}\lim_{t\to 1^{-}}\frac{\log(1-t)}{\frac{\log{x}}{\log{t}}}\nonum...

Καλημέρα σας. Βέβαια δεν είναι η πρώτη φορά που "ανοίγει" μια συζήτηση για την παρουσία/λειτουργία (παρελθούσα, τωρινή και μελλοντική) του mathematica.gr. Με αφορμή αυτήν την συζήτηση επιτρέψτε μου να αναφερθώ σε κάποια θέματα τα οποία θεωρώ σημαντικά. Ως διαχειριστής και ενεργό μέλος του mathematic...

Εξαιρετική η λύση του Ιάσονα! Ακολουθεί η λύση που έδωσα ο ίδιος: $f_n(x)=\sinh\big({\tfrac{x}{n}}\big)\,{\rm{sech}}(nx)=\dfrac {{\rm{e}}^{\frac{x}{n}}-{\rm{e}}^{-\frac {x}{n}}}{{\rm{e}}^{xn}+{\rm{e}}^{-xn}}\,,\;\; x\in\mathbb{R}$. Θα αποδειχθεί ότι για κάθε $x\in({0,+\infty})$ και κάθε $n\in\mathbb...

13) Δείξτε ότι ο μοναδιαίος κύκλος στο επίπεδο είναι ομοιομορφικός με κάθε έλλειψη. Χωρίς βλάβη θεωρούμε ότι η έλλειψη έχει κέντρο το κέντρο $K$ του μοναδιαίου κύκλου και ότι βρίσκεται έξω από τον κύκλο. Φέρνοντας τυχούσα ημιευθεία από το κέντρο του κύκλου, αυτή τέμνει τον κύκλο και την έλλειψη στα...

Έστω η οικογένεια $\displaystyle{\overrightarrow{c_{\alpha}}:[0,2\pi]\longrightarrow\mathbb{R}^2\,;\;\; t\longmapsto\overrightarrow{c_{\alpha}}=\big({2(\alpha-\cos{t})\,\cos{t},\,2(\alpha-\cos{t})\,\sin{t}}\big)\,,\;\alpha\in\mathbb{R},}$ κλειστών παραμετρικών καμπυλών. Οι εικόνες τους $C_{\alpha}=\...

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑

Πέμ Μαρ 07, 2024 11:49 pm

Και ένα τελευταίο: Υπάρχει κάποιος λόγος πού ανάρτησες την άσκηση στον φάκελο της Άλγεβρας; Από ότι αντιλαμβάνομαι η άσκηση ανήκει καθαρά στην Ανάλυση.

Μεταφέρθηκε στον κατάλληλο φάκελο.

Να εξετασθεί η σημειακή και ομοιόμορφη σύγκλιση της ακολουθίας πραγματικών συναρτήσεων με .

Να εξετασθεί η σημειακή και ομοιόμορφη σύγκλιση της ακολουθίας πραγματικών συναρτήσεων με .

Η λύση μου για την μη ομοιόμορφη σύγκλιση στο $({0,+\infty})$ απέχει πολύ από την κομψή λύση του κ. Λάμπρου, μιας και περιλαμβάνει τις συναρτήσεις $\rm{Ci}$ και $\rm{Lambert}$, (μαζί με ένα αναπόδεικτο όριο). Επομένως δεν προσθέτει δημιουργικά. Ένα επιπλέον ερώτημα για την ίδια ακολουθία είναι αν αυ...

Να εξετασθεί η σημειακή και ομοιόμορφη σύγκλιση της ακολουθίας πραγματικών συναρτήσεων με .


Σημείωση: Έχω μια (σχεδόν) πλήρη λύση.

Όριο $f(x)=\pi x,\,\,x\geq 0$ αλλά η σύγκλιση όχι ομοιόμορφη. edit: Γρηγόρη από ό,τι είδα στη βιβλιογραφία, οι συγκεκριμμένες συναρτήσεις συμβολίζονται ως Si. Σωστά Βαγγέλη. Δίνω την λύση μου: $f_n(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}\frac{n}{t}\,\sin\big({\tfrac{t\pi}{n}}\big)\,dt\stackrel{u\,=\,\frac{t\p...

Να εξετασθεί η σημειακή και ομοιόμορφη σύγκλιση της ακολουθίας πραγματικών συναρτήσεων με .