Για ποια τιμή του ο μιγαδικός αριθμός είναι φυσικός αριθμός;

Ενός ισοσκελούς τραπεζίου , δίνεται μια πλευρά του ίση με 13 και η περίμετρός του 28.
α) Να βρεθούν οι πλευρές του τραπεζίου αν το εμβαδόν του είναι ίσο με 27.
β) Μπορεί το εμβαδόν του τραπεζίου να είναι ίσο με 27,001 ;

Από όλα τα κυρτά πεντάγωνα που είναι εγγεγραμμένα σε κύκλο κέντρου και ακτίνας 1 και έχουν τις διαγώνιες και κάθετες, να βρεθεί εκείνο που έχει το μέγιστο εμβαδόν.

Να αποδείξετε ότι για κάθε .

Σε ορθογώνιο τρίγωνο με είναι . Φέρουμε το ύψος . Να αποδείξετε ότι .

Να αποδείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης δεν είναι όλες πραγματικές αν .

Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει ακριβώς δύο λύσεις.

Να βρεθούν όλες οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις , αν ισχύει , για κάθε .

Πολύ όμορφη λύση, για μια εξαιρετική άσκηση κατά τη γνώμη μου.

Να λύσετε την εξίσωση .

Να αποδείξετε ότι η εξίσωση , όπου έχει
ακριβώς μία λύση στο .

Έστω $f: [0, 111] \rightarrow R$ μία συνάρτηση συνεχής στο $[0,111]$ και παραγωγίσιμη στο $(0,111)$. Αν $f(0) = 75 - \left| (\sqrt{2} - i )^{2}\cdot (2+i)^{3}\cdot(\sqrt{2} - i\sqrt{3}) \right|$, να αποδείξετε ότι υπάρχει $m \epsilon (0,111)$ , τέτοιο ώστε $f(m)\cdot f'(m) = \frac{(f(111))^{2}}{222 ...

Nα υπολογίσετε τη γωνία , , στις παρακάτω περιπτώσεις:

1) .

2) .

( με πλήρη δικαιολόγηση )

Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί $z$ και $w$ , με εικόνες αντίστοιχα $M$ , $M'$ και ισχύει η σχέση $w = - \frac{1}{\bar{z}} , \bar{z} \neq 0$.
1) Nα αποδείξετε ότι τα σημεία $O , M , M'$ ( όπου Ο η αρχή των αξόνων ) είναι συνευθειακά.
2) Να αποδείξετε ότι $\bar{w} + 1 = \frac{1}{z}\left(z-1 \right)$ .
3 ...

Έστω συνάρτηση, ορισμένη και συνεχής στο με για κάθε .
Αν για κάθε , να αποδείξετε ότι .

H διάταξη δεν ισχύει στο ...

Για κάθε ισχύει .

Σ / Λ

Δίνεται η συνάρτηση .
Έστω .
Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδική λύση της εξίσωσης .

Να βρεθούν οι εξισώσεις των κύκλων που εφάπτονται στις ευθείες , και στον άξονα .

Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύει . Nα αποδείξετε ότι:

α) .

β) .