Μία πρόταση είναι και τα Άγραφα. Το λέω επειδή βλέπω ότι δεν είμαστε και πάρα πολλοί οπότε ίσως βολέψει. Να πω επίσης πως η προηγούμενη συνάντηση είχε γίνει σε ένα μαγαζί στην Καλλιδρομίου (μου διαφεύγει το όνομά του). Το λέω απλά πληροφοριακά.

Κι εγώ μέσα είμαι, απλά αν είμαστε πολλοί δεν ξέρω αν είναι καλό μέρος το βιβλιοπωλείο. Ίσως κάποιο μαγαζί στα Εξάρχεια να είναι καλή ιδέα μιας και είναι και κοντά στο Χημείο.. Λέω απλά μια ιδέα.

Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις για τις οποίες ισχύει:


.


Από eisatopon.blogspot.gr

Η αρχική για :

Επίσης η αρχική για :

Η δοσμένη για :

Ξανά η δοθείσα για και λόγω της :

που επαληθεύει.

Αν δεν κάνω λάθος λύνεται εντελώς ανάλογα.

viewtopic.php?f=111&t=30149

Μια προσπάθεια.

Η αρχική για $x=y=0$: $f(0)=0$

Επίσης η αρχική για $y=x$: $2xf(x)=f(x)f(2x) \Rightarrow f(x)=0$ ή $f(x)=x$

Έστω ότι υπάρχουν $a,b\neq 0$ ώστε να ισχύει ταυτόχρονα $f(a)=0$ και $f(b)=b$


Τότε απ' την αρχική για $y=a, x=b$ λαμβάνουμε: $f(a+b)=b$ οπότε $b=0$ άτοπο ή $a+b=b ...

Έστω συνάρτηση που ικανοποιεί τη σχέση:

με


Να αποδείξετε ότι:

α)

και β) να βρείτε τη συνάρτηση .


Από eisatopon

Ο αριθμός $16k^2+1$ γιατί δε μπορεί να είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου, αφού τα τέλεια τετράγωνα περιττών είναι της μορφής $4a+1$ και ο αριθμός $16k^2+1$ γράφεται $4(4k^2)+1$. Μάλλον κάποιο λάθος στο συλλογισμό κάνω αλλά έχω σκαλώσει. Όποιος μπορεί ας απαντήσει.

Γεια σου Αντρέα.

Το τετράγωνο ...

Ένας λίγο διαφορετικός δρόμος. Έστω ότι:

$\displaystyle \exists \ k\in \mathbb N$ ώστε $\displaystyle \frac{a(a+1)}{2}=k(2a+1)\Leftrightarrow a^2+(1-4k)a-2k=0$

Αφού $\displaystyle a\in \mathbb N$ πρέπει η διακρίνουσα να είναι τέλειο τετράγωνο.

Αλλά αυτό δεν μπορεί να ισχύει αφού: $\displaystyle ...

Να βρεθούν όλες οι συνεχείς στο συναρτήσεις για τις οποίες ισχύει:


για κάθε πραγματικό αριθμό .


Το παραπάνω πρόβλημα είναι από το eisatopon.blogspot.gr.

Καλησπέρα Θανάση.

Έξυπνο το πρόβλημα, ελπίζω να είναι σωστή η λύση μου.

Η αρχική για $y=0: f(0)=0$

Τώρα για $x,y \neq 0$ διαρούμε και τα δύο μέλη με $2xy$ και λαμβάνουμε: $\frac{f(2x)}{2x} - \frac{f(2y)}{2y}=4(x^2-y^2) \Leftrightarrow \frac{f(2x)}{2x}=4x^2 + \frac{f(2y)}{2y}-4y^2$

Θέτουμε για ...

α) Συνήθως που κυμαινόταν η βάση τα προηγούμενα χρόνια στον Ευκλείδη της Γ' Γυμνασίου; Χρειάζομαι απάντηση επιγόντως, γιατί στα παλιά θέματα γράφω από 13 μέχρι 19, και δεν ξέρω αν (το 13 τουλάχιστον) είναι αρκετό.

β) Τα παρακάτω βιβλία θα μου χρειαστούν;
http://www.greekbooks.gr/books ...

Και μια θεωρία αριθμών ενόψει Ευκλείδη.

Αν δύο τυχαίοι ακέραιοι να αποδειχθεί ότι ο είναι πάντα πολλαπλάσιο του .

Συγχαρητήρια σε όλους για τη συμμετοχή, ακόμη περισσότερο στους επιτυχόντες και καλή συνέχεια στον Ευκλείδη.

Ας μου επιτραπεί ένας σχολιασμός. Τα θέματα της Γ' Λυκείου ήταν σχετικά εύκολα. Ίσως το 1ο να μην έλυσαν αρκετά παιδιά, τα υπόλοιπα όμως ήταν βατά έως εύκολα. Άρα μάλλον θα πρέπει να περιμένουμε υψηλά cut-offs για τη συνέχεια στον Ευκλείδη. Τα θέματα. της Β' Λυκείου ήταν αρκετά δύσκολα για επίπεδο ...

Καλή επιτυχία σε όλα τα παιδιά που δίνουν σήμερα.

Για το θέμα 2 της Γ' Λυκείου.


Εφόσον οι γραφικές παραστάσεις των $f,g$ έχουν ένα μόνο κοινό σημείο, η εξίσωση $f(x)=g(x)$ έχει μία μόνο ρίζα, επομένως απαιτούμε $D=0\Leftrightarrow (b-c)^2+4a(b-c)=0\Leftrightarrow (b-c)(b-c+4a)=0$ και αφού $b\neq ...

Αν για τη συνάρτηση ισχύει και και δείξτε ότι .

Αν για ένα φυσικό $k$ θεωρήσουμε τον $n=k^2+1$ να αποδειχθεί ότι ο $n^2$ δεν είναι της ίδιας μορφής.

Γειά σου Ανδρέα. Νομίζω ότι πρέπει να είναι $\displaystyle{k\neq 0}$, αλλιώς, έχουμε:

$\displaystyle{n=0^2 +1 , n^2 =0^2 +1}$

Mε τον περιορισμό αυτό, είναι εύκολο να δειχθεί το ζητούμενο, (ας το ...