Γιώργο , καλημέρα ! Η άσκηση είναι από την $XV Sharygin Geometrical Olympiad $. Παρουσιάζονται δύο λύσεις . Η πρώτη αξιοποιεί το Θεώρημα Newton για περιγράψιμα τετράπλευρα , για το οποίο μπορεί κανείς να πάρει πληροφορίες από εδώ . Ευκαιρία να ξαναθυμηθούμε τον μεγάλο Κώστα Βήττα ! Η άλλη είναι μάλ...

Θανάση ... σίγουρος ήμουν ότι ήταν δική σου επινόηση, όπως τόσες και τόσες άλλες!

Εξωτική ισότητα.pngΜε κέντρο το μέσο $M$ του ύψους $AD$ ισοσκελούς τριγώνου $\displaystyle ABC$ , γράψαμε κύκλο εφαπτόμενο στις ίσες πλευρές $AB , AC$ . Από τυχαίο σημείο της βάσης $BC$ φέραμε εφαπτόμενες στον κύκλο , οι οποίες τέμνουν τις $AB,AC$ στα σημεία $P,T$ αντίστοιχα . Δείξτε ότι : $AT=BP$ ...

Αλλά μια και μιλάμε για Cauchy-Schwartz ... παρατηρώ ότι με χρήση της ανάγεται η κυκλική, μη συμμετρική ανισότητα που πρότεινες αρχικά ( εδώ ) στην εξής συμμετρική ανισότητα: $a+b+c=3\rightarrow a^4b^4c^4(a^4+b^4+c^4)(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)\leq 9$ Η παραπάνω ανισότητα ισχύει, αλλά δεν βλέπω κάποιον ...

Προέκυψε κατά την διάρκεια ανεπιτυχούς προσπάθειας επίλυσης δυσκολώτερου προβλήματος : Αν $a+b+c=3$, $a, b, c$ μη αρνητικοί, τότε $(abc)^2(a^2+b^2+c^2)\leq 3$. Από Cauchy Schwarz, $a^2+b^2+c^2 \geqslant 3$, οπότε $a^2+b^2+c^2 \leqslant \dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2}{3}$. Οπότε, αρκεί να δείξω ότι $[abc(a^...

Προέκυψε κατά την διάρκεια ανεπιτυχούς προσπάθειας επίλυσης δυσκολώτερου προβλήματος : Αν $a+b+c=3$, $a, b, c$ μη αρνητικοί, τότε $(abc)^2(a^2+b^2+c^2)\leq 3$. Από Cauchy Schwarz, $a^2+b^2+c^2 \geqslant 3$, οπότε $a^2+b^2+c^2 \leqslant \dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2}{3}$. Οπότε, αρκεί να δείξω ότι $[abc(a^...

Προέκυψε κατά την διάρκεια ανεπιτυχούς προσπάθειας επίλυσης δυσκολώτερου προβλήματος:

Αν , μη αρνητικοί, τότε .

Πολύχρονοι, Σωτήρηδες!

Δείτε πάντως εδώ ... και ποιοι είναι ΚΑΤΩ από την Ελλάδα (φέτος)... [Ας μην φέρνουμε τον κατακλυσμό όταν δεν είμαστε τόσο ψηλά, σκεφτείτε το μέγεθος του συναγωνισμού, σκεφτείτε και την προπέρσινη 12η θέση... (Επί της ουσίας, και αφού συγχαρώ θερμά όλους τους διαγωνισθέντες για την ΤΕΡΑΣΤΙΑ προσπάθει...

Μία ελαφριά ενίσχυση του προηγούμενου (αντι)παραδείγματος μου ... θέτει την ταφόπετρα στην μέθοδο που πρότεινα:

*στέλνω τώρα αυτό το μήνυμα ως έχει και διερευνώ κατόπιν αυτό το θέμα περισσότερο (στέλνοντας ενδεχομένως και αντιπαράδειγμα αν βρω, παρομοίως και εσύ ή άλλοι αν έχετε τον χρόνο...) Ιδού ένα (αντι)παράδειγμα ... όπου όντως παρουσιάζεται πρόβλημα με τους γείτονες του 3 x 3 τετραγώνου ... που στην συ...

Αυτός είναι ο χρωματισμός του Διονύση εδώ . (Δείτε την τελευταία γραμμή.) Υπάρχουν άλλοι; OXI, διότι η ύπαρξη ενός μαύρου τετραγώνου σε οποιοδήποτε από τα λευκά τετράγωνα του Διονύση, και σε χρωματισμό με μέγιστο αριθμό μαύρων τετραγώνων, θα επέτρεπε έναν χρωματισμό με περισσότερα μαύρα τετράγωνα ....

Αυτός είναι ο χρωματισμός του Διονύση εδώ . (Δείτε την τελευταία γραμμή.) Υπάρχουν άλλοι; OXI, διότι η ύπαρξη ενός μαύρου τετραγώνου σε οποιοδήποτε από τα λευκά τετράγωνα του Διονύση, και σε χρωματισμό με μέγιστο αριθμό μαύρων τετραγώνων, θα επέτρεπε έναν χρωματισμό με περισσότερα μαύρα τετράγωνα ....

Αξίζει να σημειώσουμε ότι η Ελλάδα κατέλαβε την 3η θέση στο διαγωνισμό (μετά από τη Ρουμανία και τη Βουλγαρία), μία από τις καλύτερες παρουσίες της στην ιστορία του θεσμού! Σιλουανέ ευχαριστούμε και για το ιστορικό του προβλήματός σου! Αλέξανδρος Καταρχάς και καταρχήν και πάλι καταθέτουμε τον ειλικ...

Θερμά συγχαρητήρια, καλό καλοκαίρι, καλή πρόοδο!

Έτυχε να περάσω από τα φροντιστήρια Μαντά την περίοδο 1965-67 και διαβάζοντας τα παραπάνω θυμήθηκα την καλή φήμη που είχε ο μαθηματικός Θρουμουλόπουλος, χωρίς όμως να ξέρω τότε ότι είχε ιδρύσει φροντιστήριο. Εκτός από τα μεγάλα ονόματα που αναφέρθηκαν (θυμάμαι επιλέον φροντιστήριο Αριστ Πάλλα, Κ. Μ...

Η άσκηση ζητάει να αποδείξουμε ανισοϊσότητα. Δεν θα πρέπει να απαντήσουμε πότε ισχύει το ίσον; Όχι, δεν προβλέπεται κάτι τέτοιο. Επίσης το ίσον δεν ισχύει. Πως μπορείς να αποδείξεις ότι δεν ισχύει το ίσον; Από ΘΜΤ στο $\left [ \lambda ,\lambda +1 \right ]$ έχουμε ότι $f'\left ( \xi \right )\geq -1$...

Η άσκηση ζητάει να αποδείξουμε ανισοϊσότητα. Δεν θα πρέπει να απαντήσουμε πότε ισχύει το ίσον; Όχι, δεν προβλέπεται κάτι τέτοιο. Επίσης το ίσον δεν ισχύει. Πως μπορείς να αποδείξεις ότι δεν ισχύει το ίσον; Από ΘΜΤ στο $\left [ \lambda ,\lambda +1 \right ]$ έχουμε ότι $f'\left ( \xi \right )\geq -1$...

Να δούμε μήπως υπάρχει και καμιά καλή απόδειξη γι'αυτό. Από την $f'(x)=ln(x(x-2)+2)+\dfrac{x(x-2)}{x(x-2)+2}$ και την $\left(x+\dfrac{1}{2}\right)\left(x+\dfrac{1}{2}-2\right)=x(x-2)\leftrightarrow x=\dfrac{3}{4}$ προκύπτει η $\displaystyle f'\left(\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{2}\right)=\displaystyle f'\...

Το σχήμα του KARKAR επαληθεύει αυτό που είχα παρατηρήσει όσον αφορά την ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ του Δ4: η εφάπτεται της στο αν και μόνον αν .