Η αναζήτηση βρήκε 2467 εγγραφές

από gbaloglou
Παρ Ιούλ 20, 2018 9:47 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: IMO 2018
Απαντήσεις: 45
Προβολές: 3600

Re: IMO 2018

Πρόβλημα 6 Ένα κυρτό τετράπλευρο $ABCD$ ικανοποιεί $AB\cdot CD$ = $BC\cdot DA$. Σημείο $X$ στο εσωτερικό του $ABCD$ είναι τέτοιο ώστε $\angle{XAB} = \angle{XCD}$ και $\angle{XBC} = \angle{XDA}$. Να δειχθεί ότι $\angle{BXA} + \angle{DXC} = 180^{\circ}$. Προσωπικά στη διαπραγμάτευση για την επιλογή τ...
από gbaloglou
Παρ Ιούλ 20, 2018 12:03 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: IMO 2018
Απαντήσεις: 45
Προβολές: 3600

Re: IMO 2018

Πρόβλημα 3 Ένα τρίγωνο αντι-Πασκάλ είναι μια τριγωνική διάταξη αριθμών έτσι ώστε εκτός από τους αριθμούς της τελευταίας σειράς, κάθε αριθμός είναι η απόλυτη τιμή της διαφοράς των δύο αριθμών που βρίσκονται αμέσως από κάτω του. Π.χ. το πιο κάτω είναι ένα τρίγωνο αντι-Πασκάλ με τέσσερις σειρές που πε...
από gbaloglou
Τρί Ιούλ 17, 2018 8:04 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: IMO 2018
Απαντήσεις: 45
Προβολές: 3600

Re: IMO 2018

Πρόβλημα 3 Ένα τρίγωνο αντι-Πασκάλ είναι μια τριγωνική διάταξη αριθμών έτσι ώστε εκτός από τους αριθμούς της τελευταίας σειράς, κάθε αριθμός είναι η απόλυτη τιμή της διαφοράς των δύο αριθμών που βρίσκονται αμέσως από κάτω του. Π.χ. το πιο κάτω είναι ένα τρίγωνο αντι-Πασκάλ με τέσσερις σειρές που πε...
από gbaloglou
Τρί Ιούλ 17, 2018 6:27 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: IMO 2018
Απαντήσεις: 45
Προβολές: 3600

Re: IMO 2018

Πρόβλημα 3 Ένα τρίγωνο αντι-Πασκάλ είναι μια τριγωνική διάταξη αριθμών έτσι ώστε εκτός από τους αριθμούς της τελευταίας σειράς, κάθε αριθμός είναι η απόλυτη τιμή της διαφοράς των δύο αριθμών που βρίσκονται αμέσως από κάτω του. Π.χ. το πιο κάτω είναι ένα τρίγωνο αντι-Πασκάλ με τέσσερις σειρές που πε...
από gbaloglou
Δευ Ιούλ 16, 2018 6:54 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: IMO 2018
Απαντήσεις: 45
Προβολές: 3600

Re: IMO 2018

Πρόβλημα 6 Ένα κυρτό τετράπλευρο $ABCD$ ικανοποιεί $AB\cdot CD$ = $BC\cdot DA$. Σημείο $X$ στο εσωτερικό του $ABCD$ είναι τέτοιο ώστε $\angle{XAB} = \angle{XCD}$ και $\angle{XBC} = \angle{XDA}$. Να δειχθεί ότι $\angle{BXA} + \angle{DXC} = 180^{\circ}$. Προσωπικά στη διαπραγμάτευση για την επιλογή τ...
από gbaloglou
Κυρ Ιούλ 15, 2018 10:14 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: IMO 2018
Απαντήσεις: 45
Προβολές: 3600

Re: IMO 2018

Για διάφορες λύσεις, δείτε εδώ . Στην παραπάνω σελίδα δίνεται -- από τον δημιουργό του προβλήματος timon92 -- και το ιστορικό δημιουργίας του προβλήματος: So, my friend Burii told me about the fact that in an inscribed quadrilateral Brocard point exists if and only if the quadrilateral is harmonic....
από gbaloglou
Σάβ Ιούλ 14, 2018 5:12 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: IMO 2018
Απαντήσεις: 45
Προβολές: 3600

Re: IMO 2018

... *σημειώνω με την ευκαιρία ότι δεν βρήκα πουθενά λύση του ΙΜΟ-6 στο διαδίκτυο, πρέπει πάντως να το έλυσαν γύρω στους 20 διαγωνιζόμενους. Για διάφορες λύσεις, δείτε εδώ . Φιλικά, Αχιλλέας Ευχαριστούμε! [Περίεργο πάντως, η αναζήτηση μου πριν 2 μέρες για aops + imo 2018 + problem 6 ΔΕΝ το έβγαλε......
από gbaloglou
Παρ Ιούλ 13, 2018 1:57 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: IMO 2018
Απαντήσεις: 45
Προβολές: 3600

Re: IMO 2018

Πρόβλημα 6 Ένα κυρτό τετράπλευρο $ABCD$ ικανοποιεί $AB\cdot CD$ = $BC\cdot DA$. Σημείο $X$ στο εσωτερικό του $ABCD$ είναι τέτοιο ώστε $\angle{XAB} = \angle{XCD}$ και $\angle{XBC} = \angle{XDA}$. Να δειχθεί ότι $\angle{BXA} + \angle{DXC} = 180^{\circ}$. Προσωπικά στη διαπραγμάτευση για την επιλογή τ...
από gbaloglou
Παρ Ιούλ 13, 2018 1:21 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: IMO 2018
Απαντήσεις: 45
Προβολές: 3600

Re: IMO 2018

Με αφορμή το κείμενο του κ. Λουρίδα έχω να πω πως θεωρώ την ευκλείδεια γεωμετρία ένα πολύ σημαντικό μάθημα, όχι επειδή ίσως να χρειαστεί στο μέλλον ή επειδή μου αρέσει, αλλά επειδή εξασκεί τον εγκέφαλο καλύτερα από οποιδήποτε άλλο μάθημα. Μου είχε πει ένας δάσκαλος πως κάποια στιγμή στην Ευρώπη μεί...
από gbaloglou
Τετ Ιούλ 11, 2018 7:47 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Rest In Peace, Alexander Bogomolny
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 347

Re: Rest In Peace, Alexander Bogomolny

Δεν μπορώ να θυμηθώ πότε 'έπεσα' πάνω στην ιστοσελίδα του, ούτε και ποια ήταν η αφορμή -- σίγουρα ήμουν ακόμη στις ΗΠΑ, πιθανώς και πριν το 2000* -- αλλά θυμάμαι ακόμη το μέγεθος της έκπληξης μου, πως ΕΝΑΣ άνθρωπος διατηρούσε έναν τόσο εκτενή και πολυποίκιλο ιστότοπο, αφιερωμένο μάλιστα στην Γεωμετρ...
από gbaloglou
Τετ Ιούλ 11, 2018 5:01 pm
Δ. Συζήτηση: Μαθηματικά Κείμενα-Μελέτες
Θέμα: Μέγιστα, Ελάχιστα και Γεωμετρία
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 404

Re: Μέγιστα, Ελάχιστα και Γεωμετρία

Το πρόβλημα αυτό θα μπορούσε να αξιοποιηθεί μέσα στην αίθουσα διδασκαλίας με διαφόρων τύπων και διαστάσεων ποτήρια ... αλλά και κατάλληλα όργανα μέτρησης μήκους και όγκου (που θα μπορούσε να δανείσει ο/η χημικός του σχολείου)! Φίλος με ενημέρωσε ότι υπάρχει σχετική συζήτηση στην Αγγλική έκδοση του β...
από gbaloglou
Κυρ Ιούλ 08, 2018 7:09 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία
Θέμα: Πεντάγωνο ... σε σύνταξη
Απαντήσεις: 15
Προβολές: 662

Re: Πεντάγωνο ... σε σύνταξη

Κώστα για μένα ήταν πολύ ενδιαφέρον ότι εσύ ξεκινάς από μια πλευρά, ενώ εγώ από μια κορυφή! Η ιδέα σου -- στην οποία ανταποκρίθηκα εις το έπακρον :) -- να αναζητήσεις τα 'τετρορθογώνια' ισόπλευρα πεντάγωνα που αντιστοιχούν σ'αυτήν την μία πλευρά έξοχη, το ίδιο ως συνήθως και τα σχήματα σου ... μόνο ...
από gbaloglou
Σάβ Ιούλ 07, 2018 7:50 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία
Θέμα: Πεντάγωνο ... σε σύνταξη
Απαντήσεις: 15
Προβολές: 662

Re: Πεντάγωνο ... σε σύνταξη

Αναλογίζομαι -- όσο μου επιτρέπουν η ζέστη, η πίτα και η οξεία προημιτελικίτιδα :lol: -- τους υπολογισμούς της προηγούμενης δημοσίευσης μου ... και σκέφτομαι ότι κάποια πράγματα είναι προφανή, όπως οι ισότητες $p=-b$, $s=b$ (καθώς τα $P$/$E$/$N$, $S$/$I$/$C$ οφείλουν να κείνται επί κύκλων κέντρων $A...
από gbaloglou
Σάβ Ιούλ 07, 2018 12:35 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία
Θέμα: Πεντάγωνο ... σε σύνταξη
Απαντήσεις: 15
Προβολές: 662

Re: Πεντάγωνο ... σε σύνταξη

Ε.Μ.Ε. 1983: να εξεταστεί αν υπάρχει στρεβλό πεντάγωνο (στον χώρο) με όλες τις πλευρές ίσες και όλες τις γωνίες ορθές. Γιώργο καλημέρα σε σένα και στους συνομιλητές σου... Παρουσιάζω και μια άλλη ιδέα Κατ' αρχήν σε ένα πεντάγωνο του επιπέδου δεν μπορεί να συμβεί κάτι τέτοιο γιατί σε κάθε κυρτό πεντ...
από gbaloglou
Πέμ Ιούλ 05, 2018 6:56 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία
Θέμα: Πεντάγωνο ... σε σύνταξη
Απαντήσεις: 15
Προβολές: 662

Re: Πεντάγωνο ... σε σύνταξη

Χρησιμοποιώντας τις δύο υποθέσεις (όλες οι πλευρές ίσες προς $1$, και, λόγω Πυθαγορείου Θεωρήματος και ορθών γωνιών, όλες οι διαγώνιοι ίσες προς $\sqrt{2}$), καταλήγουμε στις ισότητες $1=(a-1)^2+p^2=a^2+b^2+(p-q)^2=(b-1)^2+q^2$ και $2=(a-1)^2+1+p^2=a^2+1+p^2=1+b^2+q^2=1+(b-1)^2+q^2,$ που δεν μπορού...
από gbaloglou
Τετ Ιούλ 04, 2018 11:43 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία
Θέμα: Πεντάγωνο ... σε σύνταξη
Απαντήσεις: 15
Προβολές: 662

Re: Πεντάγωνο ... σε σύνταξη

Όπως δείχνει και το συνημμένο, η αρχική μου προσέγγιση (ΦΒ) ήταν γεωμετρικοτριγωνομετρική, με κεντρικό στόχο την ισότητα $\theta=\phi$, η οποία προκύπτει από τις δοθείσες καθετότητες και οδηγεί γρήγορα σε άτοπο ($|CD|=\sqrt{2}$, αν θυμάμαι σωστά). Εναλλακτικά, αν μπορούσαμε να αποδείξουμε την $CD//B...
από gbaloglou
Τετ Ιούλ 04, 2018 12:24 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία
Θέμα: Πεντάγωνο ... σε σύνταξη
Απαντήσεις: 15
Προβολές: 662

Re: Πεντάγωνο ... σε σύνταξη

Ε.Μ.Ε. 1983: να εξεταστεί αν υπάρχει στρεβλό πεντάγωνο (στον χώρο) με όλες τις πλευρές ίσες και όλες τις γωνίες ορθές. Εύκολα τώρα φαίνεται ότι το πεντάγωνο $\displaystyle{ABCDE}$ έχει πέντε πλευρές ίσες με $\displaystyle{a}$ και τέσσερις ορθές γωνίες. ΑΡΕΤΗ ΜΕ ΤΙΣ ΤΕΣΣΕΡΙΣ ΟΡΘΕΣ ΓΩΝΙΕΣ (Οδυσσέας Ε...
από gbaloglou
Τρί Ιούλ 03, 2018 11:40 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία
Θέμα: Πεντάγωνο ... σε σύνταξη
Απαντήσεις: 15
Προβολές: 662

Re: Πεντάγωνο ... σε σύνταξη

Demetres έγραψε:
Τρί Ιούλ 03, 2018 10:52 am
Με μια επιπλέον διάσταση πάντως γίνεται. :)
... 'καρεκλάκι', όπως είπε και η Λένα :)

ΔΙΕΥΚΡΙΝΗΣΗ 3-7-2018 3:40 μμ: το είπε για μια επιπλέον πλευρά, όχι για μια επιπλέον διάσταση -- δικό μου το λάθος!
από gbaloglou
Δευ Ιούλ 02, 2018 2:23 pm
Δ. Συζήτηση: ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
Θέμα: Telstar 2018
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 331

Re: Telstar 2018

Δυστυχώς σε κάποιες απομιμήσεις που κυκλοφορούν στα κατά τα άλλα προσφιλή μας περίπτερα ... η Telstar 2018 έχει πολύ περισσότερες συμμετρίες απ΄ ότι η πραγματική μπάλα: δείτε την -- the real thing -- στην θρυλική απόκρουση Akinveev που έστειλε την Ρωσία στους 8 χθες βράδυ, είναι φανερό ότι οι ορατοί...
από gbaloglou
Κυρ Ιούλ 01, 2018 1:04 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία
Θέμα: Πεντάγωνο ... σε σύνταξη
Απαντήσεις: 15
Προβολές: 662

Πεντάγωνο ... σε σύνταξη

Ε.Μ.Ε. 1983: να εξεταστεί αν υπάρχει στρεβλό πεντάγωνο (στον χώρο) με όλες τις πλευρές ίσες και όλες τις γωνίες ορθές.

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση