Πολλές ευχές για τον 'κινητήρα' του και αφανή φίλο όλων μας Γρηγόρη Κωστάκο!

Παραθέτω στο συνημμένο έναν στοιχειώδη (διαισθητικό όσο και κοπιώδη) τρόπο αντιμετώπισης*: θέτοντας $1=J$, $2=J*$, $3=J**$, $4=J***$, όπου ο κάθε αστερίσκος συμβολίζει στροφή του J κατά $90^0$ (ωρολογιακά), μπορούμε να δούμε πως οι $4^4=256$ δυνατότητες 'αναλύονται' σε $70=60+6+4$ περιπτώσεις! Η κά...

Παραθέτω στο συνημμένο έναν στοιχειώδη (διαισθητικό όσο και κοπιώδη) τρόπο αντιμετώπισης*: θέτοντας $1=J$, $2=J*$, $3=J**$, $4=J***$, όπου ο κάθε αστερίσκος συμβολίζει στροφή του J κατά $90^0$ (ωρολογιακά), μπορούμε να δούμε πως οι $4^4=256$ δυνατότητες 'αναλύονται' σε $70=60+6+4$ περιπτώσεις! Η κάθ...

Ανεπιτυχής η παραπάνω προσπάθεια -- που οδήγησε πάντως σε κάτι ενδιαφέρον -- οπότε ... επαναφέρω!

Παρατηρώ ότι, συνδυάζοντας ιδέες από τις δύο προηγούμενες δημοσιεύσεις (#6 & #7), μπορούμε να αποφύγουμε πλήρως την χρήση παραγώγων και επομένως να παραμείνουμε 100% εντός φακέλου: Μέσω της αναγωγής $a\leq b\leq c$, $a+b+c=1$ διαπιστώνουμε ότι μπορούμε να υποθέσουμε $a=0$: αυτό μπορεί να γίνει μέσω ...

$3\leq m_{max}\leq \displaystyle\sqrt{9+6\sqrt{3}}}$ Αν και το πρόβλημα έχει καλυφθεί πλήρως ... θα ήθελα να δείξω πως κατέληξα 'κατασκευαστικώς' στα παραπάνω ΠΡΙΝ το λύσω: (Ι) Θεωρώντας την $f(c)=a^3+b^3+c^3-3abc-m(a-b)(b-c)(c-a)$, αναζητούμε -- παρατηρώντας ότι $f(b)=(b-a)^2(2b+a)\geq 0$ -- εκείν...

[Στην περίπτωση $\alpha =\gamma $ προκύπτει εύκολα από τους τύπους ότι τόσο το εμβαδόν όσο και η περίμετρος μεγιστοποιούνται για $x=\dfrac{\beta }{2}$, όταν δηλαδή το τετράπλευρο είναι συμμετρικό περί την δοθέντος μήκους διαγώνιο. Επίσης στην περίπτωση $\beta =\delta$ προκύπτει ότι τόσο το εμβαδόν ...

Συνεχίζω (και τελειώνω) με την περίμετρο: Χρησιμοποιώντας την ορολογία και μέθοδο της προηγούμενης δημοσίευσης, εκφράζουμε την περίμετρο ως $\Pi(x)=d\left[\dfrac{sinx+sin(x+\alpha )}{sin\alpha }+\dfrac{sin(\beta -x)+sin(\beta +\gamma -x)}{sin\gamma}\right]=$ $=d\left[\dfrac{sin(x+\alpha /2)}{sin(\al...

Εύλογα υποθέτουμε $a\leq b \leq c$ και $a+b+c=1$, οπότε αναζητούμε το ελάχιστο της $\dfrac{a^3+b^3+c^3-3abc}{(a-b)(b-c)(c-a)}=\dfrac{1-3a-3b+3ab+3a^2+3b^2}{(b-a)(1-a-2b)(1-2a-b)},$ όπου $0\leq a\leq\dfrac{1}{3}$ και $a\leq b\leq \dfrac{1-a}{2}\leq \dfrac{1}{2}.$ Στο σημείο αυτό παρατηρούμε ότι ισχύε...

Το παρακάτω πρόβλημα, που ο δημιουργός του θεωρεί το δυσκολότερο του, έχει εμφανισθεί σε AOPS και ΦΒ , όπου και παραμένει άλυτο: Δίδονται στο επίπεδο τα σημεία $A_1, A_2, A_3, A_4, A_5, A_6$. Τα σημεία $B_1, B_2, B_3, B_4, B_5, B_6$ προκύπτουν ως τομές των ευθειών $A_1A_2$ & $A_3A_4$, $A_2A_3$ & $A_...

Δίνω (μια κάποια) απάντηση για το εμβαδόν, αφήνοντας την περίμετρο για αργότερα: Ξεκινάμε με (κυρτό) τετράπλευρο $ABCD$, όπου η διαγώνιος $BD$ είναι σταθερή, έστω μήκους $d$, το ίδιο και οι γωνίες $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$. Θέτουμε $\angle ABD=x$, $\angle CBD=y$, $\angle CDB =z$, $\angle...

Χθες γιόρταζε επίσης, και μάλιστα με αφιέρωση, ο Πρόδρομος Φωτιάδης: Χρόνια Πολλά και στον καινούργιο μας φίλο λοιπόν!

Ξεκινώντας από απόπειρα επίλυσης άλλου προβλήματος ( εδώ ) προτείνω: Να βρεθεί το μέγιστο και το ελάχιστο εμβαδόν -- ομοίως η μέγιστη και ελάχιστη περίμετρος -- τετραπλεύρου του οποίου γνωρίζουμε τις γωνίες και μία διαγώνιο. [Μπορούν τα παραπάνω ερωτήματα να αναχθούν σε μελέτη συνάρτησης μιας κάποια...

Χρόνια Πολλά (στον Βασίλη Κακκαβά ιδίως), στο ΦΒ επισημάνθηκε και η

Αντί επαναφοράς ... μία χαριτωμένη (?) όσο και ημιτελής προσπάθεια επίλυσης: Στο τρίγωνο $ABC$ με διχοτόμους $BD$, $CE$ μήκους $m$, $n$ και γωνίες $A=\theta$, $B=\omega$, $C=\phi$ εφαρμόζουμε Νόμο Συνημιτόνων στα τρίγωνα $BAM$, $BCM$: $\left(\dfrac{bc}{a+c}\right)^2=c^2+m^2-2cmcos\omega /2,$ $\left(...

Χρόνια πολλά σε όλους και κάθε χαρά στις οικογένειές σας για την νέα χρονιά. Για το αγαπημένο μας :logo:, εύχομαι να συνεχίσει για πολλά χρόνια ακόμα, να είναι πηγή γνώσης και έμπνευσης για τους νέους που το εμπλουτίζουν με το ταλέντο τους, αλλά και τους μεγαλύτερους που το απολαμβάνουν καθημερινά....

Πολλαπλασιάζοντας τα δύο σκέλη της ανισότητας με τον παρονομαστή του δεξιού σκέλους και κρατώντας μόνον τους αρνητικούς όρους του αριστερού σκέλους καταλήγουμε σε μία ανισότητα που προκύπτει άμεσα από τους όρους του προβλήματος (και κάτι λιγότερο, αρκεί να έχουμε $0\leq a_1\leq 1$ και να είναι ο $a...

Πολλαπλασιάζοντας τα δύο σκέλη της ανισότητας με τον παρονομαστή του δεξιού σκέλους και κρατώντας μόνον τους αρνητικούς όρους του αριστερού σκέλους καταλήγουμε σε μία ανισότητα που προκύπτει άμεσα από τους όρους του προβλήματος (και κάτι λιγότερο, αρκεί να έχουμε $0\leq a_1\leq 1$ και να είναι ο $a_...

Με αφορμή τις όμορφες συζητήσεις εδώ και εδώ , αλλά και τα πρόσφατα γενέθλια του :logo: , προτείνω: Δύο τρίγωνα $ABC, A'B'C'$ που έχουν $\widehat A=\widehat A'$ και τις διχοτόμους $BD=B'D'$ και $CE=C'E',$ είναι ίσα; [Έχω απάντηση, και παρά πάσαν (?) προσδοκίαν, αυτή είναι καταφατική! (Έλεγξα αρκετά ...