Aναλυτική απόδειξη βασιζόμενη σε περιγραφή τυχόντος περιγράψιμου τετραπλεύρου συναρτήσει τριών μεταβλητών (βλέπε και ... συνημμένο ): Χωρίς περιορισμό της γενικότητας -- και αναφερόμενοι πάντα στο αρχικό σχήμα του Γιώργου -- θεωρούμε τετράπλευρο περιγράψιμο περί τον μοναδιαίο κύκλο με 'αρχικές' κορυ...

(Ι) Υπάρχει ανάλογο του Θεωρήματος Rouch που γενικεύει το Θεώρημα Μενελάου; . Δεν γνωρίζω. Θα το ψάξω. . Ούτε έναν χρόνο δεν του πήρε, αλλά μας βρήκε και το βρήκε: υπάρχει σχετικό άρθρο στο Monthly προ 13 ετών, αλλά και σχετική πρόσκληση να στείλουμε άρθρα σε γεωμετρικό περιοδικό, διαβάστε Αγγλιστί...

Πολλές ευχαριστίες αλλά και ευχές και από εμένα, και Καλή Εβδομάδα σε όλους!

Αν και δεν το αναφέρουμε ούτε στο άρθρο μας ούτε στο δυναμοδεικτικό μας, το παραπάνω δενδρόγραμμα δεν είναι κατ΄ ανάγκην ο βέλτιστος τρόπος να φτάσουμε στην συγκεκριμένη λύση ;) Εξηγούμε επίσης στα παραπάνω πως και γιατί υπάρχουν 6 ακριβώς λύσεις του προβλήματος, το οποίο θεωρούμε ιδανικό για την ει...

...

ΝΕΑ ΠΡΟΤΑΣΗ. Α55. Δύο τρίγωνα είναι ίσα, αν μία πλευρά του ενός είναι ίση με μια πλευρά του άλλου, έχουν ίσες τις απέναντι γωνίες στις ίσες πλευρές τους και ίσες τις διαμέσους, που αντιστοιχούν στις ίσες πλευρές τους. ισα ορθ 2.png . Θα δείξω το ζητούμενο με την πρόσθετη συνθήκη ότι οι ίσες γωνίες ...

Λακωνικός όπως έγραψε και ο Γιώργος Ρίζος: αυτό κυρίως θυμάμαι από τον εκλιπόντα, μαζί φυσικά με τις εκτενείς γνώσεις του και τις ευφυείς λύσεις και παρεμβάσεις του - - ήταν το πρώτο νέο που έλαβα στο ΦΒ ξυπνώντας από τον απογευματινό ύπνο μου, και είναι στο μυαλό μου από τότε ο Σταύρος...

Έχει πολύ βάθος το θέμα και δεν έχω τον χρόνο που απαιτεί, αλλά, μια και είναι του Αγίου Γρηγορίου του Παλαμά σήμερα -- Αρχιερατική Θεία Λειτουργία στην ΕΡΤ2 από Μητρόπολη Θεσσαλονίκης ;) -- θυμήθηκα ότι είχα βρει (TLG) δύο 'ευρύτερες' χρήσεις του "μαθηματικός" ως "γνώστης" στο έργο του, συγκεκριμέν...

Αρκεί να δειχθεί, λόγω $2744=14^3,$ ότι δεν είναι τέλειοι κύβοι οι $10001, 100010001, 1000100010001, 10001000100010001,$ ... Αν κάποιος από τους παραπάνω ακεραίους πλην του πρώτου ($73\cdot 137$) είναι τέλειος κύβος, τότε οφείλει να είναι της μορφής $[(10^5)M+(10^4)x+1]^3$ ... αλλιώς τα προ του τελ...

Αρκεί να δειχθεί, λόγω $2744=14^3,$ ότι δεν είναι τέλειοι κύβοι οι $10001, 100010001, 1000100010001, 10001000100010001,$ ... Αν κάποιος από τους παραπάνω ακεραίους πλην του πρώτου ($73\cdot 137$) είναι τέλειος κύβος, τότε οφείλει να είναι της μορφής $[(10^5)M+(10^4)x+1]^3$ ... αλλιώς τα προ του τελε...

Θυσίασε στους Θεούς ο Πυθαγόρας, μας αποκαλύπτει ο Πλούταρχος στα "Συμποσιακά" του (σελ. 720, αγγλικό κείμενο εδώ ), όταν ανακάλυψε ένα θεώρημα γλαφυρώτερο και μουσικώτερο του Πυθαγορείου: δοθέντων δύο σχημάτων, υπάρχει τρίτο σχήμα όμοιο προς το ένα και ισεμβαδικό προς το άλλο: ἔστι γὰρ ἐν τοῖς γεωμ...

Ας δούμε και το γράφημα της -- παρατηρώ τώρα ότι η ερώτηση του Γιώργου αφορούσε την το συμπέρασμα όμως είναι το ίδιο:

Γιώργο ας περιορίσουμε κατ' αρχήν το θέμα σε συνεχή 2-προς-1 συνάρτηση $f$ από το $[0, n]$ στο $[0, m],$ για την οποία υπάρχει σημείο μεγίστου $(p, m).$ Μπορούμε τώρα να θεωρήσουμε τις δύο συνεχείς αντίστροφες $f_1, f_2$ από το $[0, m]$ στα $[0, p]$ και $[p, n],$ αντίστοιχα, οπότε είναι συνεχής και ...

Να ήταν μόνον αυτό! Πριν λίγα λεπτά ... ετοίμασα κάτι για το :logo: . πήγα να κάνω προεπισκόπηση ΧΩΡΙΣ ΝΑ ΤΟ ΑΝΤΙΓΡΑΨΩ ... και έλαβα 'σήμα' ότι "η δημόσια συζήτηση που αναζητάτε δεν υπάρχει" (ή κάτι τέτοιο) ... χάνοντας και την δουλειά μου (αφού η σχετική συζήτηση "δεν υπάρχει", σιγά να μην το πιστέ...

Να μελετηθεί ως προς την σύγκλιση η σειρά $\sum_{k=0}^{\infty}x_k,$ όπου $x_n$ είναι ακολουθία θετικών όρων οριζόμενη αναδρομικά από τις $x_0=1$ και $p(x_{n+1})^q=\left(A-\sum_{k=0}^{k=n}x_k\right)^r,$ όπου $p, q, r, A$ θετικές σταθερές. [Ο τίτλος του θέματος εξηγεί γιατί η ειδική περίπτωση που πρότ...

Γεωμετρική εύρεση της ακτίνας του μεγάλου κύκλου για μέγιστο εμβαδόν ... με βάση τα παραπάνω:

Μέγιστο εμβαδόν $(OST)$ ίσο προς $4,5.$ Γενικώτερσ, αν $MA=MB=2r$ αντί $MA=MB=6,$ τότε $max(OST)=\dfrac{r^2}{2},$ το οποίο επιτυγχάνεται για $R=OM=(1+\sqrt{2})r:$ Με σταθερή ακτίνα ημικυκλίων $r$ και μεταβλητή ακτίνα μεγάλου κύκλου $R,$ λοιπόν, υπολογίζουμε τις συντεταγμένες των $P, Q, S, T$ ως $P=\...

Επαναφορά

Πολύτιμη αυτή η μαρτυρία για οριακή έστω επιβίωση του "μαθηματικός" = "μορφωμένος" στον Σέξτο Εμπειρικό. Ενδιαφέρον θα έχει να δούμε πως συνεχίστηκε αυτή η επιβίωση μέχρι τον Μαρίνο Τζάνε Μπουνιαλή (όπου βέβαια η έννοια αλλάζει προς το "επιδέξιος"), τον παπα-Συνοδινό, τον πατριάρχη Δοσίθεο, κλπ Αλλ...

Πολύτιμη αυτή η μαρτυρία για οριακή έστω επιβίωση του "μαθηματικός" = "μορφωμένος" στον Σέξτο Εμπειρικό. Ενδιαφέρον θα έχει να δούμε πως συνεχίστηκε αυτή η επιβίωση μέχρι τον Μαρίνο Τζάνε Μπουνιαλή (όπου βέβαια η έννοια αλλάζει προς το "επιδέξιος"), τον παπα-Συνοδινό, τον πατριάρχη Δοσίθεο, κλπ Αλλά...