Η αναζήτηση βρήκε 2665 εγγραφές

από gbaloglou
Σάβ Ιαν 25, 2020 9:54 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ !
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 137

Re: ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ !

Πολλές ευχές για τον 'κινητήρα' του :logo: και αφανή φίλο όλων μας Γρηγόρη Κωστάκο!
από gbaloglou
Σάβ Ιαν 25, 2020 8:38 pm
Δ. Συζήτηση: Συνδυαστική - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Συμμετρίες
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 259

Re: Συμμετρίες

Παραθέτω στο συνημμένο έναν στοιχειώδη (διαισθητικό όσο και κοπιώδη) τρόπο αντιμετώπισης*: θέτοντας $1=J$, $2=J*$, $3=J**$, $4=J***$, όπου ο κάθε αστερίσκος συμβολίζει στροφή του J κατά $90^0$ (ωρολογιακά), μπορούμε να δούμε πως οι $4^4=256$ δυνατότητες 'αναλύονται' σε $70=60+6+4$ περιπτώσεις! Η κά...
από gbaloglou
Παρ Ιαν 24, 2020 11:33 pm
Δ. Συζήτηση: Συνδυαστική - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Συμμετρίες
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 259

Re: Συμμετρίες

Παραθέτω στο συνημμένο έναν στοιχειώδη (διαισθητικό όσο και κοπιώδη) τρόπο αντιμετώπισης*: θέτοντας $1=J$, $2=J*$, $3=J**$, $4=J***$, όπου ο κάθε αστερίσκος συμβολίζει στροφή του J κατά $90^0$ (ωρολογιακά), μπορούμε να δούμε πως οι $4^4=256$ δυνατότητες 'αναλύονται' σε $70=60+6+4$ περιπτώσεις! Η κάθ...
από gbaloglou
Πέμ Ιαν 23, 2020 9:34 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Μία γωνία, δύο διχοτόμοι
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 361

Re: Μία γωνία, δύο διχοτόμοι

Ανεπιτυχής η παραπάνω προσπάθεια -- που οδήγησε πάντως σε κάτι ενδιαφέρον -- οπότε ... επαναφέρω!
από gbaloglou
Δευ Ιαν 20, 2020 8:08 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα
Θέμα: Σταθερά-Άθροισμα κύβων
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 696

Re: Σταθερά-Άθροισμα κύβων

Παρατηρώ ότι, συνδυάζοντας ιδέες από τις δύο προηγούμενες δημοσιεύσεις (#6 & #7), μπορούμε να αποφύγουμε πλήρως την χρήση παραγώγων και επομένως να παραμείνουμε 100% εντός φακέλου: Μέσω της αναγωγής $a\leq b\leq c$, $a+b+c=1$ διαπιστώνουμε ότι μπορούμε να υποθέσουμε $a=0$: αυτό μπορεί να γίνει μέσω ...
από gbaloglou
Δευ Ιαν 20, 2020 4:09 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα
Θέμα: Σταθερά-Άθροισμα κύβων
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 696

Re: Σταθερά-Άθροισμα κύβων

$3\leq m_{max}\leq \displaystyle\sqrt{9+6\sqrt{3}}}$ Αν και το πρόβλημα έχει καλυφθεί πλήρως ... θα ήθελα να δείξω πως κατέληξα 'κατασκευαστικώς' στα παραπάνω ΠΡΙΝ το λύσω: (Ι) Θεωρώντας την $f(c)=a^3+b^3+c^3-3abc-m(a-b)(b-c)(c-a)$, αναζητούμε -- παρατηρώντας ότι $f(b)=(b-a)^2(2b+a)\geq 0$ -- εκείν...
από gbaloglou
Κυρ Ιαν 19, 2020 12:29 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία
Θέμα: Μία διαγώνιος, τέσσερις γωνίες
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 249

Re: Μία διαγώνιος, τέσσερις γωνίες

[Στην περίπτωση $\alpha =\gamma $ προκύπτει εύκολα από τους τύπους ότι τόσο το εμβαδόν όσο και η περίμετρος μεγιστοποιούνται για $x=\dfrac{\beta }{2}$, όταν δηλαδή το τετράπλευρο είναι συμμετρικό περί την δοθέντος μήκους διαγώνιο. Επίσης στην περίπτωση $\beta =\delta$ προκύπτει ότι τόσο το εμβαδόν ...
από gbaloglou
Σάβ Ιαν 18, 2020 1:42 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία
Θέμα: Μία διαγώνιος, τέσσερις γωνίες
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 249

Re: Μία διαγώνιος, τέσσερις γωνίες

Συνεχίζω (και τελειώνω) με την περίμετρο: Χρησιμοποιώντας την ορολογία και μέθοδο της προηγούμενης δημοσίευσης, εκφράζουμε την περίμετρο ως $\Pi(x)=d\left[\dfrac{sinx+sin(x+\alpha )}{sin\alpha }+\dfrac{sin(\beta -x)+sin(\beta +\gamma -x)}{sin\gamma}\right]=$ $=d\left[\dfrac{sin(x+\alpha /2)}{sin(\al...
από gbaloglou
Τρί Ιαν 14, 2020 1:09 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα
Θέμα: Σταθερά-Άθροισμα κύβων
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 696

Re: Σταθερά-Άθροισμα κύβων

Εύλογα υποθέτουμε $a\leq b \leq c$ και $a+b+c=1$, οπότε αναζητούμε το ελάχιστο της $\dfrac{a^3+b^3+c^3-3abc}{(a-b)(b-c)(c-a)}=\dfrac{1-3a-3b+3ab+3a^2+3b^2}{(b-a)(1-a-2b)(1-2a-b)},$ όπου $0\leq a\leq\dfrac{1}{3}$ και $a\leq b\leq \dfrac{1-a}{2}\leq \dfrac{1}{2}.$ Στο σημείο αυτό παρατηρούμε ότι ισχύε...
από gbaloglou
Σάβ Ιαν 11, 2020 1:20 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Απόγειο Tran Quang Hung
Απαντήσεις: 0
Προβολές: 144

Απόγειο Tran Quang Hung

Το παρακάτω πρόβλημα, που ο δημιουργός του θεωρεί το δυσκολότερο του, έχει εμφανισθεί σε AOPS και ΦΒ , όπου και παραμένει άλυτο: Δίδονται στο επίπεδο τα σημεία $A_1, A_2, A_3, A_4, A_5, A_6$. Τα σημεία $B_1, B_2, B_3, B_4, B_5, B_6$ προκύπτουν ως τομές των ευθειών $A_1A_2$ & $A_3A_4$, $A_2A_3$ & $A_...
από gbaloglou
Παρ Ιαν 10, 2020 12:01 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία
Θέμα: Μία διαγώνιος, τέσσερις γωνίες
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 249

Re: Μία διαγώνιος, τέσσερις γωνίες

Δίνω (μια κάποια) απάντηση για το εμβαδόν, αφήνοντας την περίμετρο για αργότερα: Ξεκινάμε με (κυρτό) τετράπλευρο $ABCD$, όπου η διαγώνιος $BD$ είναι σταθερή, έστω μήκους $d$, το ίδιο και οι γωνίες $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$. Θέτουμε $\angle ABD=x$, $\angle CBD=y$, $\angle CDB =z$, $\angle...
από gbaloglou
Τετ Ιαν 08, 2020 9:37 am
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Ιωάννα-Γιάννης
Απαντήσεις: 11
Προβολές: 306

Re: Ιωάννα-Γιάννης

Χθες γιόρταζε επίσης, και μάλιστα με αφιέρωση, ο Πρόδρομος Φωτιάδης: Χρόνια Πολλά και στον καινούργιο μας φίλο λοιπόν!
από gbaloglou
Κυρ Ιαν 05, 2020 10:21 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία
Θέμα: Μία διαγώνιος, τέσσερις γωνίες
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 249

Μία διαγώνιος, τέσσερις γωνίες

Ξεκινώντας από απόπειρα επίλυσης άλλου προβλήματος ( εδώ ) προτείνω: Να βρεθεί το μέγιστο και το ελάχιστο εμβαδόν -- ομοίως η μέγιστη και ελάχιστη περίμετρος -- τετραπλεύρου του οποίου γνωρίζουμε τις γωνίες και μία διαγώνιο. [Μπορούν τα παραπάνω ερωτήματα να αναχθούν σε μελέτη συνάρτησης μιας κάποια...
από gbaloglou
Πέμ Ιαν 02, 2020 6:41 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: ευχες
Απαντήσεις: 16
Προβολές: 371

Re: ευχες

Χρόνια Πολλά (στον Βασίλη Κακκαβά ιδίως), στο ΦΒ επισημάνθηκε και η 17^2+19^2+23^2+29^2=2020
από gbaloglou
Πέμ Δεκ 26, 2019 1:31 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Μία γωνία, δύο διχοτόμοι
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 361

Re: Μία γωνία, δύο διχοτόμοι

Αντί επαναφοράς ... μία χαριτωμένη (?) όσο και ημιτελής προσπάθεια επίλυσης: Στο τρίγωνο $ABC$ με διχοτόμους $BD$, $CE$ μήκους $m$, $n$ και γωνίες $A=\theta$, $B=\omega$, $C=\phi$ εφαρμόζουμε Νόμο Συνημιτόνων στα τρίγωνα $BAM$, $BCM$: $\left(\dfrac{bc}{a+c}\right)^2=c^2+m^2-2cmcos\omega /2,$ $\left(...
από gbaloglou
Τρί Δεκ 24, 2019 10:58 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: 11 χρόνια mathematica.gr
Απαντήσεις: 18
Προβολές: 730

Re: 11 χρόνια mathematica.gr

Χρόνια πολλά σε όλους και κάθε χαρά στις οικογένειές σας για την νέα χρονιά. Για το αγαπημένο μας :logo:, εύχομαι να συνεχίσει για πολλά χρόνια ακόμα, να είναι πηγή γνώσης και έμπνευσης για τους νέους που το εμπλουτίζουν με το ταλέντο τους, αλλά και τους μεγαλύτερους που το απολαμβάνουν καθημερινά....
από gbaloglou
Δευ Δεκ 23, 2019 8:16 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Ανισότητα με διατεταγμένους αριθμούς
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 337

Re: Ανισότητα με διατεταγμένους αριθμούς

Πολλαπλασιάζοντας τα δύο σκέλη της ανισότητας με τον παρονομαστή του δεξιού σκέλους και κρατώντας μόνον τους αρνητικούς όρους του αριστερού σκέλους καταλήγουμε σε μία ανισότητα που προκύπτει άμεσα από τους όρους του προβλήματος (και κάτι λιγότερο, αρκεί να έχουμε $0\leq a_1\leq 1$ και να είναι ο $a...
από gbaloglou
Δευ Δεκ 23, 2019 1:48 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Ανισότητα με διατεταγμένους αριθμούς
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 337

Re: Ανισότητα με διατεταγμένους αριθμούς

Πολλαπλασιάζοντας τα δύο σκέλη της ανισότητας με τον παρονομαστή του δεξιού σκέλους και κρατώντας μόνον τους αρνητικούς όρους του αριστερού σκέλους καταλήγουμε σε μία ανισότητα που προκύπτει άμεσα από τους όρους του προβλήματος (και κάτι λιγότερο, αρκεί να έχουμε $0\leq a_1\leq 1$ και να είναι ο $a_...
από gbaloglou
Σάβ Δεκ 21, 2019 6:38 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Μία γωνία, δύο διχοτόμοι
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 361

Μία γωνία, δύο διχοτόμοι

Με αφορμή τις όμορφες συζητήσεις εδώ και εδώ , αλλά και τα πρόσφατα γενέθλια του :logo: , προτείνω: Δύο τρίγωνα $ABC, A'B'C'$ που έχουν $\widehat A=\widehat A'$ και τις διχοτόμους $BD=B'D'$ και $CE=C'E',$ είναι ίσα; [Έχω απάντηση, και παρά πάσαν (?) προσδοκίαν, αυτή είναι καταφατική! (Έλεγξα αρκετά ...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση