ΣΧ.3.png Ερώτημα 3 : Για ποια τιμή του θετικού $a$ , οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων : $f(x)=e^{x^2}$ και : $ g(x)=-a^2x^2+2(a^2+a)x-(a^2+a)$ , έχουν ένα ακριβώς κοινό σημείο ; Απάντηση : Η $f$ είναι κυρτή ( $f''(x)=(4x^2+2)e^{x^2}>0$ ) και η $g$ κοίλη ( $g''(x)=-2a^2<0$ ) . Συνεπώς έχουν ό...

Αλλά μήπως υπάρχουν και άλλες τιμές του θετικού $a$ ; Θανάση, οι πράξεις σου είναι σωστές - η λύση εφαρμόζει το λήμμα, άρα αυτό δεν γίνεται! OXI, δεν προκύπτει (άμεσα) από το λήμμα αυτό, θέλει δουλειά! Χρησιμοποιώντας τις $e^{x^2}=-a^2x^2+2(a^2+a)x-(a^2+a)$ KAI $ax^2=(a+2)x+(a+1)$, μαζί με γνωστή α...

Λήμμα : Αν οι συναρτήσεις $f,g$ είναι παραγωγίσιμες στο $\mathbb{R}$ , με την $f$ κυρτή την $g$ κοίλη και : $\lim\limits_{x\to -\infty}(f(x)-g(x))=\lim\limits_{x\to +\infty}(f(x)-g(x))=+\infty$ , τότε αν οι γραφικές τους έχουν μοναδικό κοινό σημείο , αυτό θα είναι σημείο επαφής , δηλαδή οι δύο καμπ...

Αρχίζει να διαμορφώνεται η εικασία , μην τυχόν το μοναδικό κοινό σημείο κυρτής και κοίλης είναι και σημείο επαφής . Το αντιπαράδειγμα των $f(x)=e^x$ και $g(x)=2-e^x$ καταρρίπτει την εικασία . Μήπως λοιπόν μπορούμε να εντοπίσουμε εκείνη την ( μεγάλη ) κλάση συναρτήσεων , για τις οποίες η εικασία ισχ...

Αρχίζει να διαμορφώνεται η εικασία , μην τυχόν το μοναδικό κοινό σημείο κυρτής και κοίλης είναι και σημείο επαφής . Το αντιπαράδειγμα των $f(x)=e^x$ και $g(x)=2-e^x$ καταρρίπτει την εικασία . Μήπως λοιπόν μπορούμε να εντοπίσουμε εκείνη την ( μεγάλη ) κλάση συναρτήσεων , για τις οποίες η εικασία ισχ...

Να δειχθεί, για $0<x<\dfrac{\pi}{4}$, η ανισότητα $(cosx)^{cos^2x}>(sinx)^{sin^2x}.$ [Εμφανίσθηκε πρόσφατα στο ΦΒ, μπορεί να έχει εμφανισθεί κάποτε και εδώ -- θα ήθελα να δω λύσεις πέραν της δικής μου ;) ] Γεια σας. Υπάρχει εδώ https://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=55&t=59513&p=288357#p2...

Να δειχθεί, για , η ανισότητα



[Εμφανίσθηκε πρόσφατα στο ΦΒ, μπορεί να έχει εμφανισθεί κάποτε και εδώ -- θα ήθελα να δω λύσεις πέραν της δικής μου ]

μια παρατήρηση αν η αντίστροφη είναι αύξουσα και κυρτή η $\displaystyle{f}$ είναι κοίλη(θέλει απόδειξη) Θεωρούμε ότι η συνάρτηση είναι 2 φορές παραγωγίσιμη Εδώ η αντίστροφη είναι η $\displaystyle{f^{-1}(x)=xe^x,x>1}$ που πληρεί τις προϋποθέσεις άρα... Ροδόλφε δεν σε παρακολουθώ, για παράδειγμα η συ...

Μου θυμίζει αυτό :) Ο μόνος τρόπος να έχουν οι δύο συναρτήσεις ένα και μόνο σημείο επαφής είναι να εφάπτονται αλλήλων στο κοινό τους σημείο. Από τις ισότητες τεταγμένης και κλίσης λαμβάνουμε αντίστοιχα τις εξισώσεις $e^{x_0/a}=ln(ax_0)$ και $\dfrac{1}{a}e^{x_0/a}=\dfrac{1}{a}$, όπου $x_0$ η τετμημέν...

Παρ' όλα αυτά, εξακολουθεί να μην υπάρχει τρίγωνο με $\theta=120^0$, $m=2\sqrt{10}$, $n=3$ καθώς απαιτείται και η θετικότητα του $c=2(cos\theta)b\pm2\sqrt{(cos^2\theta)b^2-b^2+n^2}$: εδώ τα πράγματα είναι πιο μπλεγμένα, θα επανέλθω όταν μπορώ... Καλημέρα Γιώργο! Η μη ύπαρξη του τριγώνου επαληθεύετα...

Γιώργο μια αλγεβρικογεωμετρική ματιά βασιζόμενη στο σχήμα σου: Από Νόμο Συνημιτόνων στα τρίγωνα $ABM$ και $ACN$ οδηγούμαστε στο σύστημα $\dfrac{b^2}{4}+c^2-(cos\theta)bc=m^2$ $b^2+\dfrac{c^2}{4}-(cos\theta)bc=n^2,$ που αντιστοιχεί στην (πιθανή) τομή δύο ελλείψεων: για μοναδική λύση στο αρχικό γεωμε...

Γιώργο μια αλγεβρικογεωμετρική ματιά βασιζόμενη στο σχήμα σου: Από Νόμο Συνημιτόνων στα τρίγωνα $ABM$ και $ACN$ οδηγούμαστε στο σύστημα $\dfrac{b^2}{4}+c^2-(cos\theta)bc=m^2$ $b^2+\dfrac{c^2}{4}-(cos\theta)bc=n^2,$ που αντιστοιχεί στην (πιθανή) τομή δύο ελλείψεων: για μοναδική λύση στο αρχικό γεωμε...

Γιώργο μια αλγεβρικογεωμετρική ματιά βασιζόμενη στο σχήμα σου: Από Νόμο Συνημιτόνων στα τρίγωνα $ABM$ και $ACN$ οδηγούμαστε στο σύστημα $\dfrac{b^2}{4}+c^2-(cos\theta)bc=m^2$ $b^2+\dfrac{c^2}{4}-(cos\theta)bc=n^2,$ που αντιστοιχεί στην (πιθανή) τομή δύο ελλείψεων: για μοναδική λύση στο αρχικό γεωμε...

μια παρατήρηση αν η αντίστροφη είναι αύξουσα και κυρτή η $\displaystyle{f}$ είναι κοίλη(θέλει απόδειξη) Θεωρούμε ότι η συνάρτηση είναι 2 φορές παραγωγίσιμη Εδώ η αντίστροφη είναι η $\displaystyle{f^{-1}(x)=xe^x,x>1}$ που πληρεί τις προϋποθέσεις άρα... Ροδόλφε δεν σε παρακολουθώ, για παράδειγμα η συ...

μια παρατήρηση αν η αντίστροφη είναι αύξουσα και κυρτή η $\displaystyle{f}$ είναι κοίλη(θέλει απόδειξη) Θεωρούμε ότι η συνάρτηση είναι 2 φορές παραγωγίσιμη Εδώ η αντίστροφη είναι η $\displaystyle{f^{-1}(x)=xe^x,x>1}$ που πληρεί τις προϋποθέσεις άρα... Ροδόλφε δεν σε παρακολουθώ, για παράδειγμα η συ...

Γιώργο μια αλγεβρικογεωμετρική ματιά βασιζόμενη στο σχήμα σου: Από Νόμο Συνημιτόνων στα τρίγωνα $ABM$ και $ACN$ οδηγούμαστε στο σύστημα $\dfrac{b^2}{4}+c^2-(cos\theta)bc=m^2$ $b^2+\dfrac{c^2}{4}-(cos\theta)bc=n^2,$ που αντιστοιχεί στην (πιθανή) τομή δύο ελλείψεων: για μοναδική λύση στο αρχικό γεωμε...

Γιώργο μια αλγεβρικογεωμετρική ματιά βασιζόμενη στο σχήμα σου: Από Νόμο Συνημιτόνων στα τρίγωνα $ABM$ και $ACN$ οδηγούμαστε στο σύστημα $\dfrac{b^2}{4}+c^2-(cos\theta)bc=m^2$ $b^2+\dfrac{c^2}{4}-(cos\theta)bc=n^2,$ που αντιστοιχεί στην (πιθανή) τομή δύο ελλείψεων: για μοναδική λύση στο αρχικό γεωμε...

Γιώργο μια αλγεβρικογεωμετρική ματιά βασιζόμενη στο σχήμα σου: Από Νόμο Συνημιτόνων στα τρίγωνα $ABM$ και $ACN$ οδηγούμαστε στο σύστημα $\dfrac{b^2}{4}+c^2-(cos\theta)bc=m^2$ $b^2+\dfrac{c^2}{4}-(cos\theta)bc=n^2,$ που αντιστοιχεί στην (πιθανή) τομή δύο ελλείψεων: για μοναδική λύση στο αρχικό γεωμετ...

Για ας είναι ο μοναδικός πραγματικός για τον οποίο ισχύει η . Να μελετηθεί η ως προς την κυρτότητα.

Τα παραπάνω μπορούν -- και ίσως πρέπει -- να επαληθευθούν! Από την $x'_0(t)=1$ λαμβάνουμε $x_0(t)=t+c_1$, οπότε η $(x_0(t)-t)ln(x_0(t)-t)=1$ δίνει $c_1lnc_1=1$ και $c_1\approx1,763$. Επίσης από την $f'(t)=1-\dfrac{3}{t}$ λαμβάνουμε $f(t)=t-3lnt+c_2$, οπότε οι εξισώσεις κοινής εφαπτομένης μας οδηγούν...