Άρα αν ισχύει η $\sqrt {TB \cdot TA} + \sqrt {FC \cdot FA} > FT > \left| {\sqrt {TB \cdot TA} - \sqrt {FC \cdot FA} } \right|,$ θα έχουμε δύο σημεία τομής των «επίμαχων» κύκλων, αν $\sqrt {TB \cdot TA} + \sqrt {FC \cdot FA} = FT\,{\text{\dot \eta }}\,\left| {\sqrt {TB \cdot TA} - \sqrt {FC \cdot FA...

Ολοκληρώνω την ενότητα 27 και την 'εκδρομή στον Πρόκλο' με τα αριθμητικά παραδείγματα για την ιδιότητα των ρητών διαμέτρων: μεγάλης σημασίας είναι η πρώτη πρόταση και η τελευταία, τα ενδιάμεσα (γνωστά σε μεγάλο βαθμό από την ενότητα 23) παρατίθενται χάριν πληρότητας. Ταύτα μεν ουν ταύτη^ δεικνύσθω δ...

Αγαπητέ Σωτήρη καλημέρα, σ' ευχαριστώ πολύ για τα καλά σου λόγια, και σ' ευχαριστούμε για το πολύ όμορφο πρόβλημα! Θα δώσω παρακάτω ένα συγκεκριμένο παράδειγμα που 'φέρνει κοντά' τις δύο προσεγγίσεις: όπως ήδη έγραψα (#13) η δική σου προσέγγιση είναι κυρίως κατασκευή, ενώ η δική μου κυρίως διερεύνη...

Για το τρίτο ερώτημα νομίζω μπορούμε να εργαστούμε αντίστοιχα. Σε αυτή την περίπτωση έχουμε τρεις διαφορετικές (εν γένει) ελλείψεις και ψάχνουμε τα κοινά τους σημεία. Εναλλακτικά, τομή δύο κυλίνδρων -- είναι αυτοί που ορθώνονται πάνω από τους δύο κύκλους του Σωτήρη -- και η τομή αυτής με τα τρία με...

Άρα αν ισχύει η $\sqrt {TB \cdot TA} + \sqrt {FC \cdot FA} > FT > \left| {\sqrt {TB \cdot TA} - \sqrt {FC \cdot FA} } \right|,$ θα έχουμε δύο σημεία τομής των «επίμαχων» κύκλων, αν $\sqrt {TB \cdot TA} + \sqrt {FC \cdot FA} = FT\,{\text{\dot \eta }}\,\left| {\sqrt {TB \cdot TA} - \sqrt {FC \cdot FA...

Ήμουν φωνακλάς και αεικίνητος ("always bopping around the classroom"), και με συνεχές eye contact, κοίταγμα ανηλεές, αλλοίμονο σε όσους 'ξεχνιούνταν' Ρώτησα κάποτε τον πατέρα μου αν ο μαθητής/φοιτητής θα έπρεπε να φεύγει ήσυχος ή ανήσυχος από την τάξη ... και διαφωνήσαμε κάθετα

...Χωρίς λοιπόν να έχουμε αποκαταστήσει επαφή ανάμεσα στα δύο κριτήρια, χωρίς να έχουμε αποδείξει ότι είναι ισοδύναμα, βλέπουμε στο συγκεκριμένο παράδειγμα ότι η μη ύπαρξη εφαπτόμενης σφαίρας είναι οριακή σύμφωνα και με τα δύο κριτήρια, κάτι είναι κι αυτό ;) Επανέρχομαι για διευκρινίσεις ... όσον α...

Αγαπητέ Σωτήρη καλημέρα, σ' ευχαριστώ πολύ για τα καλά σου λόγια, και σ' ευχαριστούμε για το πολύ όμορφο πρόβλημα! Θα δώσω παρακάτω ένα συγκεκριμένο παράδειγμα που 'φέρνει κοντά' τις δύο προσεγγίσεις: όπως ήδη έγραψα (#13) η δική σου προσέγγιση είναι κυρίως κατασκευή, ενώ η δική μου κυρίως διερεύνησ...

Συνεχίζω την ενότητα 27 με την απόδειξη του Γλαφυρού Θεωρήματος από την Πρόταση ΙΙ.10 των Στοιχείων του Ευκλείδη: όπως ήδη τόνισα στην προηγούμενη δημοσίευση, αν και όλα φαίνονται γεωμετρικά και μόνον, μάλλον κρύβουν αριθμητικές αλήθειες 'πλησίον' των γεωμετρικών, θα δούμε παρακάτω πως... εάν ευθεία...

Κώστα, Σωτήρη και λοιποί, καλή εβδομάδα και καλό μήνα εύχομαι, ήταν μια όμορφη συζήτηση αυτή! Σχετικά με την διδιάστατη περίπτωση και τα γραφόμενα του Κώστα στην αμέσως προηγούμενη δημοσίευση (#20) θα ήθελα να παρατηρήσω ότι έχουμε πάντοτε δύο λύσεις ... υποθέτοντας εύλογα ότι τα δύο σημεία δεν κεί...

Κώστα, Σωτήρη και λοιποί, καλή εβδομάδα και καλό μήνα εύχομαι, ήταν μια όμορφη συζήτηση αυτή! Σχετικά με την διδιάστατη περίπτωση και τα γραφόμενα του Κώστα στην αμέσως προηγούμενη δημοσίευση (#20) θα ήθελα να παρατηρήσω ότι έχουμε πάντοτε δύο λύσεις ... υποθέτοντας εύλογα ότι τα δύο σημεία δεν κείν...

Για το παράδειγμα της αμέσως προηγούμενης δημοσίευσης, υποθέτοντας $\theta =30^0$, $|QO|=q=6$, $|HO|=h=3$, $|OS|=2\sqrt{3}$, $|QS|=|QH|+|HS|=4\sqrt{3}$: $R=4+\sqrt{4-r^2/3}$ $R'=4-\sqrt{4-r^2/3}$ Για $0<r\leq 2\sqrt{3}$, $|QK|=|QO|+|OK|=6+2\displaystyle\sqrt{5-r^2/3+2\sqrt{4-r^2/3}}$ Για $0<r\leq3$...

Δύο διαγράμματα (μήκους ακτίνων και θέσης κέντρων) σχετικά με το παράδειγμα και τους τύπους της αμέσως προηγούμενης δημοσίευσης:

Για το παράδειγμα της αμέσως προηγούμενης δημοσίευσης, υποθέτοντας $\theta =30^0$, $|QO|=q=6$, $|HO|=h=3$, $|OS|=2\sqrt{3}$, $|QS|=|QH|+|HS|=4\sqrt{3}$: $R=4+\sqrt{4-r^2/3}$ $R'=4-\sqrt{4-r^2/3}$ Για $0<r\leq 2\sqrt{3}$, $|QK|=|QO|+|OK|=6+2\displaystyle\sqrt{5-r^2/3+2\sqrt{4-r^2/3}}$ Για $0<r\leq3$,...

Η γεωμετρία της αμέσως προηγούμενης δημοσίευσης ξεκαθαρίζει το θέμα: η 'εσωτερική' εφαπτόμενη σφαίρα (μωβ ισοσκελές τρίγωνο) υπάρχει αν και μόνον αν $r\leq h$ (με την ισότητα να αντιστοιχεί στην περίπτωση $O\equiv K$ που ο περίκυκλος του $ABC$ είναι ο ισημερινός της σφαίρας). [Εγγραφή ισοσκελούς τρ...

Η γεωμετρία της αμέσως προηγούμενης δημοσίευσης ξεκαθαρίζει το θέμα: η 'εσωτερική' εφαπτόμενη σφαίρα (μωβ ισοσκελές τρίγωνο) υπάρχει αν και μόνον αν $r\leq h$ (με την ισότητα να αντιστοιχεί στην περίπτωση $O\equiv K$ που ο περίκυκλος του $ABC$ είναι ο ισημερινός της σφαίρας). [Εγγραφή ισοσκελούς τρι...

Είναι και λίγο ... μαγική εικόνα το σχήμα της αμέσως προηγούμενης δημοσίευσης! Ενώ όντως αντιπροσωπεύει υπαρκτή σφαίρα, δείτε αριστερή πλευρά συνημμένου παρακάτω, γεννά το εξής σκληρό ερώτημα: τι γίνεται όταν η ακτίνα $r$ (του δίσκου που περιέχει το $ABC$) γίνει λίγο μικρότερη, θα έχουμε ΔΥΟ σφαίρες...

Σωτήρη χαιρετίζω την συνεχιζόμενη σταυροφορία σου υπέρ του "δικού μας χώρου" και καταθέτω κάποιες σκέψεις (μάλλον ημιτελείς) για την σοφά επιλεγμένη τριλογία σου:... Καλημέρα Γιώργο. Ίσως η «εμμονή» μου για τον χώρο ${{\Cal R}^3}$ να πηγάζει από το πάλαι ποτέ ρηθέν: «Αν δεν κοιτάξεις το σπίτι σου, ...

(ΙΙ) Ακριβώς οι ίδιοι τύποι -- και τα ίδια αποτελέσματα -- για την ακτίνα $R$ και το κέντρο $K$ ισχύουν και στην διδιάστατη εκδοχή του προβλήματος, απλά αντικαθιστούμε τον περίκυκλο του τριγώνου $ABC$ με το ίδιο το διάστημα $AB$ (και την ακτίνα του περίκυκλου με το ήμισυ του μήκους του διαστήματος)...

Σωτήρη χαιρετίζω την συνεχιζόμενη σταυροφορία σου υπέρ του "δικού μας χώρου" και καταθέτω κάποιες σκέψεις (μάλλον ημιτελείς) για την σοφά επιλεγμένη τριλογία σου:... Καλημέρα Γιώργο. Ίσως η «εμμονή» μου για τον χώρο ${{\Cal R}^3}$ να πηγάζει από το πάλαι ποτέ ρηθέν: «Αν δεν κοιτάξεις το σπίτι σου, ...