Η αναζήτηση βρήκε 2695 εγγραφές

από gbaloglou
Τετ Απρ 01, 2020 2:13 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Τέλεια Τετράγωνα
Απαντήσεις: 11
Προβολές: 392

Re: Τέλεια Τετράγωνα

https://www.wolframalpha.com/input/?i=2x%5E2%2Bx%3D3y%5E2%2By++ Πρωταπριλιάτικο και όμως αληθινό ! Αν μάλιστα θέσουμε $x_0=0, y_0=0$ και $x_1=2, y_1=-2$ (προφανείς (;) λύσεις) ... τότε όλες οι παραπάνω λύσεις δίνονται από τους αναδρομικούς τύπους $x_{n+2}=10x_{n+1}-x_n+2$ και $y_{n+2}=-10y_{n+1}-y_...
από gbaloglou
Τετ Μαρ 25, 2020 8:41 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: 25η Μαρτίου
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 210

Re: 25η Μαρτίου

Χρόνια Πολλά σε όλους, ιδίως στον Βαγγέλη Μουρούκο ... αλλά και στον παλιό μας φίλο Βαγγέλη Παπαπέτρο!
από gbaloglou
Τρί Μαρ 24, 2020 9:42 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Άθροισμα!
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 308

Re: Άθροισμα!

Το γεγονός ότι ισχύει $f(x)+f(1-x) = 1$ για τη συνάρτηση $\displaystyle{f(x)=\frac{x^3}{1-3x+3x^2}}$ είδαμε και στο Δ' θέμα των Επαναληπτικών Πανελλαδικών εξετάσεων & Εξετάσεων Ομογενών 2019! Ποια συμμετρία της γραφικής παράστασης της $f$ προκύπτει από τη σχέση $f(x)+f(1-x) = 1;$ Πολύ καλό το ερώτη...
από gbaloglou
Σάβ Μαρ 21, 2020 11:48 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Σφαίρα
Απαντήσεις: 11
Προβολές: 324

Re: Σφαίρα

Γρηγόρη και Γιώργο, δεν αρκεί μόνο η εύρεση μέγιστου και ελάχιστου αφού τότε θα έχουμε δείξει μόνο το $\{x+y+z : (x,y,z) \in S^2\} \subseteq [-\sqrt{3},\sqrt{3}]$. Για την ισότητα μπορούμε π.χ. να επικαλεστούμε ότι η συνεχής εικόνα συνεκτικού συνόλου είναι συνεκτική. Δημήτρη πράγματι ... και οι εκ ...
από gbaloglou
Σάβ Μαρ 21, 2020 11:50 am
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Σφαίρα
Απαντήσεις: 11
Προβολές: 324

Re: Σφαίρα

Με στοιχειώδη μέσα: παρατηρούμε ότι ο υπολογισμός του ελαχίστου ανάγεται στον υπολογισμό του μεγίστου, και αυτός στην περίπτωση που όλες οι συντεταγμένες είναι θετικές, οπότε και ισχύει η γνωστή ανισότητα xy+yz+zx\leq x^2+y^2+z^2=1, άρα και η (x+y+z)^2\leq 3(x^2+y^2+z^2)=3.
από gbaloglou
Παρ Μαρ 20, 2020 11:03 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Εξάγωνο και παραβολή
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 198

Re: Εξάγωνο και παραβολή

Γιώργος Ρίζος έγραψε:
Παρ Μαρ 20, 2020 9:48 pm
Μόλις το έγραψα, είδα ότι ... απλώς επαναλαμβάνω τη λύση του Γιώργου. Οπότε, ας μοιραστούμε το σχήμα!
Δεν πειράζει ... όπου Γιώργος και μάλαμα!

[Επίσης Γιώργο ... εξηγείς καλύτερα την εύρεση των συντεταγμένων (όπου είχα κάνει αρχικά λάθος που επισήμανε ο άλλος Γιώργος).]
από gbaloglou
Παρ Μαρ 20, 2020 1:39 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Εξάγωνο και παραβολή
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 198

Re: Εξάγωνο και παραβολή

Γιώργο χαίρομαι που σε ξαναβλέπω ;) ύστερα από την 24ωρη 'απουσία' του :logo: Το πρόβλημα αυτό το πρωτοείδα σήμερα στα Aναπάντητα, η απάντηση είναι $|PQ|=2\sqrt{7}$: Τοποθετούμε το εξάγωνο πλευράς $2$ 'κεντρικά', ώστε να έχει δηλαδή τον άξονα των $y$ ως άξονα συμμετρίας. Εύκολα βρίσκουμε $D=(1,0)$, ...
από gbaloglou
Τετ Μαρ 18, 2020 2:23 pm
Δ. Συζήτηση: ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'
Θέμα: Ένα 'εφηρμοσμένο' τριγωνομετρικό πρόβλημα
Απαντήσεις: 0
Προβολές: 132

Ένα 'εφηρμοσμένο' τριγωνομετρικό πρόβλημα

[Τα παρακάτω πρόβλημα μάλλον δεν είναι (υποψήφιο) 'θέμα εξετάσεων'. Προέκυψε κατά την προσπάθεια επίλυσης ενός γεωμετρικού προβλήματος που θα αναφερθεί στο τέλος. Είναι όμως εντός των ορίων του Λογισμού και ίσως κάποιοι αναγνώστες του φακέλου να έχουν κάποιες ιδέες για την επίλυση του που εγώ δεν εί...
από gbaloglou
Δευ Μαρ 16, 2020 10:23 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Μία γωνία, δύο διχοτόμοι
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 635

Re: Μία γωνία, δύο διχοτόμοι

Η λύση μου με Τριγωνομετρία, Λογισμό, και ... Τριγωνομετρία: Θεωρούμε τυχόν 'προς κατασκευήν' τρίγωνο $ABC$ με $\angle BAC = \alpha $, $|CE|=m$, $|BD|=n$, όπου $CE$, $BD$ οι διχοτόμοι των $\angle ACB=2\theta$, $\angle ABC=2\omega$, αντίστοιχα. Από Νόμο Ημιτόνων στα $BCE$, $BCD$ λαμβάνουμε $\dfrac{|C...
από gbaloglou
Παρ Μαρ 13, 2020 11:40 pm
Δ. Συζήτηση: Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών
Θέμα: Συλλογή Ασκήσεων (2010)
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 384

Συλλογή Ασκήσεων (2010)

Δέκα χρόνια μετά, κοινοποιώ εδώ μια συλλογή ασκήσεων ΑΣΕΠ , και λύσεων τους , από την σύντομη θητεία μου στα Φροντιστήρια Μπόνια (που έληξε μαζί περίπου με τον διαγωνισμό, θα έλεγα): τα 16 'κεφάλαια' αντιστοιχούν στα 17 τετράωρα διδασκαλίας, και ακολουθούν την διάταξη του βιβλίου των Στεργίου-Νάκη-Μ...
από gbaloglou
Παρ Μαρ 06, 2020 3:37 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία
Θέμα: "Εξωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων"
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 1367

Re: "Εξωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων"

Ωραία και σημαντικά τα της προηγούμενης δημοσίευσης (#9), αλλά πολύ μου αρέσει και η γεωμετρικότερη προσέγγιση του Σωτήρη (#2), στην οποία μάλιστα προτείνω και ένα εναλλακτικό τελείωμα που αποφεύγει το κατά τα άλλα πολύ έξυπνο τέχνασμα της χρήσης δύο διαφορετικών διευθύνσεων: Παρατηρούμε -- βλέπε συ...
από gbaloglou
Παρ Μαρ 06, 2020 3:10 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία
Θέμα: "Εξωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων"
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 1367

Re: "Εξωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων"

Ας κάνουμε λεπτομερέστερα την σύνδεση: (Ι) Το πραγματικό Θεώρημα Καραθεοδωρή (ή μάλλον μια πολύ ειδική περίπτωση του), όπως μας το αποκάλυψε προχθές ο Σιλουανός (#7), λέει ότι για κάθε σημείο $K$ εντός τριγώνου $AB\Gamma$ το διάνυσμα $\vec{OK}$ μπορεί να γραφεί ως $\lambda_1 \vec{OA}+\lambda_2 \vec{...
από gbaloglou
Πέμ Μαρ 05, 2020 12:34 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία
Θέμα: "Εξωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων"
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 1367

Re: "Εξωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων"

Μόλις αντικατέστησα το αρχικό συνημμένο με την τελική μορφή του άρθρου: έγιναν διάφορες μικροαλλαγές και μικροδιορθώσεις (με πιο σημαντική αυτή κάποιων προσήμων στην 'Σχέση Καραθεοδωρή') -- τα σχόλια σας είναι πάντα ευπρόσδεκτα, αν και δεν υπάρχει πλέον χρόνος για αλλαγές ή διορθώσεις! Γιώργος Μπαλ...
από gbaloglou
Τρί Μαρ 03, 2020 8:32 am
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Δύναμη του 2
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 443

Re: Δύναμη του 2

Αν θυμάμαι σωστά ... κάποτε έδωσαν ένα πιο 'ανθρώπινο' πρόβλημα στον πρώτο υπολογιστή που κατασκευάστηκε και στον εκ των κατασκευαστών του John von Neuman, ποια είναι δηλαδή η πρώτη δύναμις του 2 που περιέχει το 7 ως ψηφίο ... και ο μεγάλος μαθηματικός και πανεπιστήμονας το βρήκε πρώτος! [Τώρα τι σή...
από gbaloglou
Παρ Φεβ 28, 2020 12:36 pm
Δ. Συζήτηση: Ιστορία των Μαθηματικών
Θέμα: Τεράστια επιστημονική ανακάλυψη στο περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β΄
Απαντήσεις: 16
Προβολές: 1471

Re: Τεράστια επιστημονική ανακάλυψη στο περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β΄

Η απάντηση από τον κ. Βαγγέλη Σπανδάγο, όπως μου την έστειλε. ............................................................................................................................................... Θεωρώ επίσης απαραίτητο να αναφέρω ότι πολλά χαμένα έργα Αρχαίων Ελλήνων Θετι-κών Επιστημόνων...
από gbaloglou
Πέμ Φεβ 27, 2020 11:06 pm
Δ. Συζήτηση: Ιστορία των Μαθηματικών
Θέμα: Τεράστια επιστημονική ανακάλυψη στο περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β΄
Απαντήσεις: 16
Προβολές: 1471

Re: Τεράστια επιστημονική ανακάλυψη στο περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β΄

Θα περιμένω να μας δώσει αρχαία παραπομπή ο συγγραφέας του άρθρου. Μέχρι τότε, άνθρακες ο θησαυρός. Στέλιο, Tο έψαξα λίγο προσεκτικότερα, και δυστυχώς επιβεβαιώνονται οι επιφυλάξεις μου. Τα παρακάτω τα γράφω με γνώμονα την ακαδημαϊκή μου δέσμευση για συνεχή και αδιάλειπτη διάχυση αληθούς δόξας , γι...
από gbaloglou
Πέμ Φεβ 27, 2020 8:27 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Απόγειο Tran Quang Hung
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 300

Re: Απόγειο Tran Quang Hung

rek2 έγραψε:
Πέμ Φεβ 27, 2020 8:21 pm
Γιώργο, γνωρίζεις αν εχει δημοσιευτεί, κάπου, λύση; (δεν θέλω λύση, ούτε παραπομπή σε λύση)
Κώστα απ' όσο γνωρίζω ΟΧΙ.
από gbaloglou
Κυρ Φεβ 16, 2020 11:30 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Μία γωνία, δύο διχοτόμοι
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 635

Re: Μία γωνία, δύο διχοτόμοι

Τελευταία επαναφορά -- τον άλλο μήνα η λύση!
από gbaloglou
Παρ Φεβ 14, 2020 8:21 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Κυκλοφορία Βιβλίου Διαγωνισμών
Απαντήσεις: 20
Προβολές: 1327

Re: Κυκλοφορία Βιβλίου Διαγωνισμών

Θερμά συγχαρητήρια, καλοτάξιδο!
από gbaloglou
Παρ Φεβ 14, 2020 7:16 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία
Θέμα: 2 Θέματα στις Κωνικές
Απαντήσεις: 16
Προβολές: 1096

Re: 2 Θέματα στις Κωνικές

Αφοπλιστικό το λήμμα σου, Αλέξανδρε! Έχοντας πλέον να κάνουμε με μία κωνική και ΕΝΑΝ κύκλο ... δίνει λύση στο δεύτερο ερώτημα του Μηνά ΚΑΙ η δική μου μέθοδος, εύλογα εφαρμοσμένη είτε σε (Ι) παραβολή της μορφής $y=ax^2$ είτε σε (II) έλλειψη/υπερβολή της μορφής $\dfrac{x^2}{a^2}\pm \dfrac{y^2}{b^2}=1$...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση