Γεια σας. Σωτήρη, Σταύρο σας ευχαριστώ για τις απαντήσεις σας. Γράφω την απάντηση που είχα υπ' όψιν για το αρχικό ερώτημα. Ας υποθέσουμε ότι οι δύο ευθείες είναι οι $\left\{ \alpha +\lambda b|\lambda \in \mathbb{R}\right\} $, $\left\{ \gamma +\lambda \delta |\lambda \in \mathbb{R}\right\} $ όπου $\a...

'Εστω ένας Ευκλείδειος χώρος και , δύο διάφορες ευθείες του.
'Εστω το σύνολο των αποστάσεων των σημείων της από την .
Να αποδειχθεί ότι οι , είναι παράλληλες αν και μόνο αν το είναι φραγμένο.

Παραθέτω την δημοσίευση του Monthly η Συντακτική Επιτροπή του οποίου, μάλλον, έκρινε ότι παρουσιάζει κάποιο ενδιαφέρον για τους αναγνώστες του. Είναι στο τόμο 110, τεύχος 5, Μάϊος 2003, σελ. 423 Με την παρατήρηση ότι η ζωή θα ήταν άκρως πληκτική αν όλοι μπορούσαν να πείσουν τους πάντες. Monthly Vol....

Νομίζω ότι χρησιμοποιούμε κάτι πολύ δυνατό, όπως το Τελευταίο Θεώρημα του Φερμα, για κάτι πολύ πιο απλό. Η απόδειξη είναι ίδια με την περίπτωση $n=2$ που είναι μια από τις πιο ωραίες αποδείξεις στα μαθηματικά για πολλούς και διάφορους λόγους! Η καταχώριση έγινε σε πολύ συγκεκριμένο φάκελο. Ωστόσο ε...

Την βρήκα σε ένα παλιό Monthly. Ίσως έχει ξαναμπεί στο :logo: Να αποδειχθεί ότι για $n>2$ o $\root{n}\of{2}$ είναι άρρητος. Απόδειξη. Έστω πως όχι και $\root{n}\of{2}=\frac{p}{q}$ με $p,q$ φυσικούς. Τότε $2q^{n}=p^{n}$ δηλαδή $q^{n}+q^{n}=p^{n}$ πράγμα αδύνατο από το τελευταίο θεώρημα του Fermat.

Μια λίστα από όρους στα Λατινικά που χρησιμοποιούνται στα Μαθηματικά. :idea: https://platonicrealms.com/encyclopedia/Latin-terms-and-phrases-in-math Νομίζω ότι πρόκειται πιο πολύ για ένα κατάλογο λόγιων ή / και φιλοσοφικών εκφράσεων που προέρχονται από τα Λατινικά και λιγότερο για κατάλογο μαθηματι...

Ο νέος Εκθέτης Νο 22 με την εργασία του Γιάννη Θωμαΐδη: Modus ponens, modus tollens, reductio ad absurdum και Steiner-Lehmus Μελέτη μερικών κλασικών αποδείξεων μιας διάσημης γεωμετρικής πρότασης. Το φύλλο 22 μπορεί να μεταφορτωθεί από εδώ: http://ekthetis.gr/archive.html όπου υπάρχουν και τα προηγού...

Χρωστάμε πολλές ευχαριστίες στον Γάννη Θωμαΐδη για το κείμενο του που φωτίζει πολλές πλευρές των εξετάσεων. Αλλά όχι μόνο για αυτό: Ο Γιάννης όπως είναι γνωστό ασχολείται χρόνια με το θέμα των εξετάσεων και έχει κάνει πολλές σχετικές μελέτες που κάποιες υπάρχουν στην βιβλιογραφία του κειμένου του. Ε...

Νίκο, πέραν αυτών έκανα και μια νύξη για τη διατύπωση του Θεωρήματος Bolzano. Ξέρω ότι για σκοπούς Πανελληνίων το σχολικό βιβλίο είναι το «Ιερό Ευαγγέλιο». Με τις διατυπώσεις του σχολικού, και τη διατύπωση της πρότασης όπως την έχεις γράψει, η απάντηση είναι αρνητική. Έχει ήδη δεχθεί από τον chrisp...

Η διατύπωση δεν είναι επιτυχής. Όπως επεσήμανε ο Δημήτρης θα έπρεπε να αναφέρεται στις προϋποθέσεις.
Μια επαναδιατύπωση θα μπορούσε να ήταν:
Υπάρχει συνάρτηση η οποία στο διάστημα πληροί τις υποθέσεις του θεωρήματος Bolzano και τις υποθέσεις του θεωρήματος Rolle.

Νομίζω ότι χρειάζεται αλλαγή στην διατύπωση για να συζητηθεί το θέμα.
Τι σημαίνει "ταυτόχρονα";
Μιλάμε για την ίδια συνάρτηση;
Τι σημαίνει "να ισχύει";

Γεια σας Ευχαριστώ τον Σωτήρη και τον Γιώργο για την ενασχόληση τους με το θέμα. Δυστυχώς η μόνη σύντομη προσέγγιση που έχω χρησιμοποιεί αντίστροφες κυκλικές συναρτήσεις. Μία πρώτη προσέγγιση θα μπορούσε να ήταν η ακόλουθη. Εισάγουμε συντεταγμένες, υπολογίζουμε τις βαρυκεντρικές συντεταγμένες του $P...

Edit 3/6/2020 : H παρακάτω προσέγγιση δεν δουλεύει. Ο λόγος; Η $f$ δεν είναι αναλυτική διότι παίρνει μόνο πραγματικές τιμές και δεν είναι σταθερή. Την αντιμετώπισα ως αναλυτική διότι κάνοντας, νοερά, τις πράξεις παρέβλεψα ότι η $\bar{z}$ δεν είναι αναλυτική. Ευχαριστώ πολύ τον Σταύρο Παπαδόπουλο γι...

Ένα τρίγωνο έχει πλευρές και ένα σημείο απέχει από τις απέναντι τους κορυφές αποστάσεις αντιστοίχως .
Να βρεθεί η ικανή και αναγκαία συνθήκη ώστε το σημείο να ανήκει στην περίμετρο του τριγώνου ή να είναι εσωτερικό σημείο του.

Γεια σας Αποστόλη, Κώστα ευχαριστώ για τις απαντήσεις σας. Για το πρώτο ερώτημα έχω και εγώ την ίδια λύση. Για το δεύτερο εκτός από εκείνη με το νόμο των συνημιτόνων του Κώστα μπορούμε να εργαστούμε και ως εξής. Οι πλευρές του νέου τριγώνου που προκύπτουν από τια $a$, $b$ e;inai $a+x$, $b+x$ που ο λ...

Γεια σας Μιχάλη ευχαριστώ για την απάντηση. Από μαθηματική άποψη είναι ίδια με την δικιά μου. Την γράφω γιατί, ίσως, κάποιοι συνάδελφοι την βρουν πιο κοντά με τον τρόπο που δουλεύουν στην τάξη: Η τυχούσα εκθετική συνάρτηση $a^{x}$ γράφεται $e^{\lambda x}$ όπου $\lambda =\ln a\neq 0$ και επομένως η τ...

Τι ακριβώς ορίζουμε ως εκθετική συνάρτηση; Είναι η $f(x)=2^x+1$ εκθετική συνάρτηση ; Δεν αντιλαμβάνομαι την ερώτηση. Υιοθετώ τον ορισμό του σχολικού βιβλίου Άλγεβρας Β' Λυκείου που υπάρχει στην παράγραφο 5.1. (υποπαράγραφος "Εκθετική συνάρτηση") Ο ορισμός επαναλαμβάνεται στο βιβλίο κατεύθυνσης της ...

Καλησπέρα. Ναι ισχύει αν ο βθμός του είναι μεγαλύτερος ή ίσος του $1$. Αν ο βαθμός είναι $1$ είναι προφανές. Αν είναι μεγαλύτερος του $1$ τότε η παράγωγος του θα έχει βαθμό τουλάχιστον 1 συνεπώς, ως πολυώνυμο, στο $+\infty$ θα έχει όριο $+\infty$ ή $-\infty$ και επομένως σε κάποιο διάστημα $(M, +\in...

Tolaso J Kos έγραψε: ↑

Πέμ Μάιος 21, 2020 10:25 pm

nsmavrogiannis έγραψε: ↑

Πέμ Μάιος 21, 2020 10:18 pm

Ποιες ευθείες είναι εφαπτομένες γραφικών παραστάσεων εκθετικών συναρτήσεων;

Εν δυνάμει όλες οι ευθείες.

Καλησπέρα σε όλους.
Τόλη όπως έγραψα και σε μήνυμα που σου έστειλα πριν δύο μέρες θεωρώ ότι η απάντηση σου δεν αποτελεί απάντηση στο ερώτημα.

Έστω τρίγωνο και το εμβαδόν του τριγώνου που προκύπτει αν αυξήσουμε όλες τις πλευρές του κατά .
1) Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία την .
2) Τι μπορούμε να πούμε για το νέο τρίγωνο όταν το τείνει στο ;