Το θέμα μπορεί να αντιμετωπιστεί κάπως πιο γενικά χωρίς να γίνεται δυσκολότερο.
Το επαναδιατυπώνω.

Δίνεται τετράπλευρο ABCD. Να βρεθεί τμήμα PQ με τα άκρα στις πλευρές AB, CD ώστε το APQD να έχει εμβαδόν το μισό του ABCD στις ακόλουθες περιπτώσεις:
α) Το P είναι δοθέν
β) Η διεύθυνση d του PQ είναι ...

Θα δείξουμε πρώτα ότι
$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\underset{}{\geq }\frac{3}{2}\,\,\,(\ast)$
και ότι η ισότητα στην $(\ast)$ ισχύει αν και μόνο αν $a=b=c$.
Θέτουμε $b+c=u,\,\,\,c+a=v,\,\,a+b=w$ και λύνοντας ως προς $a, b, c$ βρίσκουμε
$a=\frac{1}{2}\left( v-u+w\right) ,\,\,\,b=\frac ...

Εκθέτης Νο 27
Κυκλοφόρησε το Φύλλο 27 του Εκθέτη με την εργασία του
Γιάννη Θωμαΐδη
με τίτλο:
" Μια διαμάχη για ένα θέμα Τριγωνομετρίας με ψευδείς υποθέσεις που τέθηκε στις εισαγωγικές εξετάσεις της Μαθηματικής Σχολής Αθηνών το 1947 "

Διατίθεται δωρεάν και μπορεί να μεταφορτωθεί από τον σύνδεσμο ...

Κρίμα.
Εξαιρετικός συνάδελφος με πάθος για τα Μαθηματικά.
Μερικές φορές ερχόταν στο σχολείο να με δει.
Στον Εκθέτη φιλοξενήθηκαν τρεις εργασίες του.
Θα τον θυμόμαστε.
Καλό του ταξίδι.

Κυκλοφόρησε το Φύλλο 26 του Εκθέτη με την εργασία του
Λάμπρου Κατσάπα
με τίτλο:
"΄Ενα πρόβλημα πιθανοτήτων με πολλές αναγνώσεις"

Διατίθεται δωρεάν και μπορεί να μεταφορτωθεί από τον σύνδεσμο
http://ekthetis.gr/archive.html
όπου υπάρχουν και τα προηγούμενα φύλλα του Εκθέτη.

Μιχάλη ευχαριστούμε πολύ.
Το αξίωμα της επιλογής προκαλεί σε αρκετούς πονοκεφάλους.
Πότε χρησιμοποιείται, πότε υπεισέρχεται πλαγίως κ.α.
Ανάμεσα τους συγκαταλέγομαι και εγώ.
Υπολογίζω ότι περίπου 20 αναρτήσεις μου στο :logo: περιείχαν κάποιο μαθηματικό λάθος που το εντόπισαν φίλοι.
Γύρω στο 1/4 ...

Λυπηρό...
Πολύ άξιος μαθηματικός.
Θα μας λείψει.
Συλλυπητήρια στους οικείους του.

Εύγε Μιχάλη.
Πολύ ωραία δουλειά.
Σε ευχαριστούμε.

Ενδιαφέρον. Μιχάλη, Κώστα σας ευχαριστούμε για την ενημέρωση.
Το άρθρο των Wildberger, Rubine στο Monthly διατίθεται ελεύθερα από τον εκδότη εδώ:
https://www.tandfonline.com/doi/full/10.1080/00029890.2025.2460966
Όσοι ενδιαφέρονται για άλλες δουλειές του Wildberger μπορούν να κοιτάξουν εδώ ...

Με λύπη μου θα ήθελα να πληροφορήσω το φόρουμ ότι ο συνάδελφος μαθηματικός στην Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση και πρώην Σύμβουλος Μαθηματικών στο ΙΕΠ Θανάσης Στράντζαλος δεν βρίσκεται πια στην ζωή.
Θα τον αποχαιρετήσουμε αύριο Τρίτη στις 17:40 στο αποτεφρωτήριο της Ριτσώνας.
Δεν θα αναφερθώ στα χαρίσματα ...

Ενδιαφέρον! Γράφω κάποιες σκέψεις ελπίζοντας να μην έχει ξεφύγει κάτι.

Ας δηλώσουμε με $\rm{sgn}$ την συνάρτηση προσήμου τότε:
$\displaystyle{d\left( \left( \alpha ,\beta \right) ,\left( \gamma ,\delta \right) \right) =\rm{sgn}\left( \left| \alpha -\gamma \right| \right) \left( \left| \beta \right ...

Καλό μήνα και Καλή Χρονιά των εκπαιδευτικών.

Παραθέτω σύνδεσμο για το καλό και δυσεύρετο βιβλίο του Νικολάϊ Βλαντιμίροβιτς Εφίμοφ (1910-1982)
N.V. Efimov Higher Geometry MIR 1980
για όσους φίλους ενδιαφέρονται.

https://archive.org/details/nina-v.-efimov-higher-geometry-mir-1980 ...

Μιας και βρισκόμαστε σε αυτό τον φάκελο θα χρησιμοποιήσω κάποια στοιχεία εκτός σχολικού.

Μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα $\Delta$ θα λέγεται αυστηρώς κατά τα μέσα κυρτή αν κάθε $x<y$ ισχύει
$\displaystyle{f\left( \frac{x+y}{2}\right) < \frac{f\left( x\right) +f\left( y\right) }{2}\,\,\,\,(1 ...

Ας ονομάσουμε $h$ την γνησίως αύξουσα συνάρτηση $h\left( x\right) =\allowbreak \frac{7}{8}+\frac{1}{72}x$ που απεικονίζει το $(0,1)$ επί του $\left( \frac{7}{8},\frac{8}{9}\right) $ η οποία έχει αντίστροφη την $g\left( x\right) =72x-63$.
Θα βρούμε πρώτα την μέγιστη τιμή της σύνθεσης $s=f\circ h ...

Ίσως ενδιαφέρει κάποιους
André Greiner-Petter Making Presentation Math Computable
A Context-Sensitive Approach for Translating LaTeX to Computer Algebra Systems Springer, 2023

https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-658-40473-4?utm_source=facebook&utm_medium=paid_social&utm_campaign=CONR ...

Λάμπρο χαιρετώ.
Μιας και τα πιο πολλά βιβλία θεωρίας αριθμών έχουν κάτι για το θέμα η επιλογή εξαρτάται από το τι ακριβώς θέλει κάποιος. Δίνω τρεις παραπομπές που ίσως φανούν χρήσιμες:
α) Στο
Niven, Zuckerman An Introduction to the theory of numbers 3η Έκδοση, Willey 1972
αφιερώνεται μία ...

...

Όχι ακριβώς. Αν κατάλαβα καλά τι εννοείτε βέβαια. Το σημείο αφετηρίας είναι το αξιωματικό σύστημα για τα σύνολα. Μετά δεχόμαστε το αξίωμα του απείρου και μέσω αυτού εξασφαλίσουμε την ύπαρξη συστήματος φυσικών αριθμών. Δηλαδή εξασφαλίσουμε την ύπαρξη μοντέλου των αξιωματων του Peano. Μετά ...

...
μου ζήτησε να το αποδείξω!! Έχεις κάτι υπόψη;
...

Γεια σας.
Χρήστο και λοιποί φίλοι, νομίζω ότι η φράση του διαλόγου που έχω απομονώσει είναι βασική για κάθε περαιτέρω συζήτηση.
Διότι αυτόματα τίθεται το ερώτημα.
"Να αποδειχθεί αλλά με βάση ποια αξιώματα και ποιους ορισμούς:"
Α) Αν ...

Ίσως είναι χρήσιμα όσα περιέχονται στην παρ. 52, σελ. 312 του κλασικού βιβλίου
A. Kurosh Higher Algebra, MIR, 1980
που μπορεί να μεταφορτωθεί ελεύθερα από τον σύνδεσμο
https://mirtitles.org/2012/12/25/higher-algebra-kurosh/

Στο σχολικό βιβλίο δίνεται ο ορισμός:

Κύκλος με κέντρο $O$ και ακτίνα $\rho$ λέγεται το επίπεδο σχήμα του οποίου όλα τα σημεία απέχουν από το $O$ απόσταση ίση με $\rho$.
...
geogebra-export_kuklos.png

Α) Ο ορισμός προφανώς είναι προβληματικός. Δεν ξέρω για ποιό λόγο εισήχθη. Αυτό που κάνει ...