Βασίζομαι στο σχήμα του Γιώργου. Γνωρίζουμε ότι η γωνία που σχηματίζει το ύψος με τη διχοτόμο μιας γωνίας τριγώνου, ισούται με την απόλυτη τιμή της ημιδιαφοράς των δύο άλλων γωνιών του τριγώνου. Από αυτό το θεώρημα προκύπτει ότι: Γωνία $\widehat{ACD} = \frac{90-2\vartheta }{2}=45-\vartheta $. Άρα, γ...

Για το θέμα 1β των μικρών. Μία λύση που δεν αξιοποιεί το πρώτο ερώτημα-δεδομένο. Σημειώνουμε ότι οι αριθμοί $a, b$ είναι θετικοί από τα δεδομένα. Ονομάζουμε για συντομία $x + y + z = A$, $xy + yz + zx = B$, $xyz = C$. Από τα δεδομένα έχουμε $aA = bB = C$ , (1). Το ζητούμενο $a \geq 3\cdot b^{2}$ εί...

Για το 3ο θέμα των μικρών. Οι διαιρέτες του $2024$ είναι οι αριθμοί: $1, 2, 4, 8, 11, 22, 23, 44, 46, 88, 92, 194, 253, 506, 1012, 2024$. Από αυτούς προφανώς κανείς δεν διαιρείται με το $3$. Οι μισοί αν διαιρεθούν με το $3$ αφήνουν υπόλοιπο $1$ και οι άλλοι μισοί αφήνουν υπόλοιπο $2$. Αυτό σημαίνει ...

Για το 2ο θέμα των μικρών.
Έχω εκφράσει όλες τις γωνίες του σχήματος συναρτήσεις των γωνιών x, φ, ω.
Η γωνία α ισούται με α = 90 - χ- φ - ω.
Με πρόσθεση των γωνιών στο τρίγωνο ΔΚΕ προκύπτει ότι χ = φ.
Αυτό σημαίνει ότι η ΑΚ είναι κάθετη στην ΒΓ.

Μία λύση που δεν απαιτεί καθόλου φαντασία και δημιουργικότητα. Σύμφωνα με το σχήμα του Μιχάλη έχουμε Τα βασικά σημεία στο ορθοκανονικό σύστημα έχουν συντεταγμένες. $A(0, 0)$ $ B(-8, 0)$ $C(0, 15)$ $F(15, 0)$ $K(-23, 8)$. Βρίσκουμε τις εξισώσεις των ευθειών BC και FK και από αυτές προσδιορίζω τις συν...

Πάλι η ίδια τεχνική εφαρμόζεται,
όπως φαίνεται στο συνημμένο σχήμα.

Σήμερα που λύσαμε το θέμα αυτό στον Όμιλο,
στους μαθητές η πιο απλή και κατανοητή λύση τους φάνηκε αυτή του Μιχάλη Τσουρακάκη.
Επίσης, διαπίστωσαν ότι είναι εύκολο το πρόβλημα αν οι κύκλοι έχουν ίσες ακτίνες
και για πιο λόγο ο κατασκευαστής ζήτησε ακτίνες άνισες.

Σωτήρη, αυτό διαπίστωσα κι εγώ σε σχέση με τη συνθήκη επαφής των δύο κύκλων. Η δική μου ιδέαγια στη λύση βασίστηκε στο γεγονός ότι αν φέρουμε την κοινή εσωτερική εφαπτομένη των δύο κύκλων, θα έχουμε χρήση του γνωστού θεωρήματος "γωνίας χορδής και εφαπτομένης", το οποίο κάποιοι άσχετοι στο Ι.Ε.Π. το ...

Κι αυτή είναι μια λύση που προέκυψε μετά από υπολογισμούς γωνιών.
Η ιδέα της είναι η κατασκευή των δύο ισόπλευρων τριγώνων που φαίνονται στο συνημμένο σχήμα.

Δεν ξέρω αν έχει ενδιαφέρον για το πρόβλημα που έθεσε ο KARKAR,
το γεγονός ότι αν ονομάσουμε το σημείο τομής των ευθειών και ,
τότε το τρίγωνο είναι ισοσκελές και χωρίζεται από τις και σε δύο επίσης ίσα τρίγωνα.

Από τις σχέσεις που βρήκε ο Δημήτρης Ιωάννου $AB^2 = (m+n+2)^2 -(m+n)^2 , AB^2 = (m+n)^2 -m^2$ προκύπτει ότι $4(n+ m + 1) = n^2 + 2mn$. (1) Αφού πρόκειται για φυσικούς μονοψήφιους, σημαίνει ο $n$ άρτιος και ότι οι τιμές του θα είναι $2$ ή $4$ ή $6$ ή $8$. Με αντικατάσταση στον τύπο (1) προκύπτει ότι...

Αγαπητέ Μιχάλη, ευχαριστούμε για την ανάρτηση σου που εμπλουτίζει και ολοκληρώνει την εικόνα για τους σημαντικούς Έλληνες -μέλων Ακαδημιών - εκτός των σημερινών συνόρων μας. Για την οικογένεια Μαυροκορδάτου είναι χρήσιμη (και έχει και φωτογραφικό υλικό) η δημοσίευση στην εφημερίδα "Απλωταριά" της Χί...

Μιχάλη, μερικές φορές ερωτήματα του τύπου, ποιος, πότε, και γιατί, έχουν ισοδύναμο ενδιαφέρον με το ίδιο το σχετικό θεώρημα. Αν κάποιος έχει επαφές με τον Α. Δημητρίου, καλό είναι να τον ρωτήσει πού βρήκε το όνομα "θεώρημα MacLaurin"; Ο Β. Βισκαδουράκης για παράδειγμα μπορεί να τον ξέρει, διότι το 2...

Για το ερώτημα αν το γνωστό γεωμετρικό θεώρημα που αφορά σημεία Α, Β που ανήκουν στις πλευρές της γωνίας xOy και ικανοποιούν τη σχέση $kOA ± mOB = a $ όπου a σταθερή θετική ποσότητα είναι πραγματικά του Collin Maclaurin (1698-1746). Με την ευκαιρία, ο Maclaurin ήταν παιδί ιδιοφυία και φοίτησε στο Πα...

Νομίζω ότι βρήκα την απάντηση στο ερώτημα που τέθηκε.
Έψαχνα από τις 21:00. Θα δημοσιεύσω αύριο αυτά που βρήκα.

Αγαπητέ Μιχάλη, πολύ ενδιαφέρουσα η ανάρτησή σου. Ο συγκεκριμένος Αρχιμανδρίτης σίγουρα γνώριζε Μαθηματικά. Το ερώτημα είναι που σπούδασε. Σε ένα άλλο του βιβλίο για την Μουσική Κλίμακα (έκδοση του 1916) τονίζει τα εξής: "Η μουσική κλίμαξ, ήτοι Επιστημονική διαίρεσις της μουσικής κλίμακος και προσδι...

Επαναφέρω το θέμα.
Μπορείτε να βρείτε τουλάχιστον μία λύση και στο Διαδίκτυο.
Αναφέρομαι όπως και ο Tolaso J Kos σε κατασκευή μόνο με διαβήτη.

Προφανώς, εννοεί μόνο με τη χρήση διαβήτη. Αν είναι έτσι, η λύση είναι γνωστή.

Γιώργο,
θα ελέγξω αν έχω κάνει λάθος σε υπολογισμούς. Πάντως, δεν χρησιμοποιώ λογισμικά κλπ.

Για την κατασκευή δίνω μια βοήθεια.
Αρκεί να αποδείξουμε ότι το τόξο , σε μοίρες.