Αν $\displaystyle a,b,c \in \Re $ , δείξετε ότι $\displaystyle ac + bc + {c^2} < 0 \Rightarrow {b^2} > 4ac$ Καλησπέρα. Μια προσπάθεια. Θεωρώ την συνάρτηση $f(x)=x^2+ bx +c $. Είναι $\lim_{x\rightarrow -\infty }f(x)=\lim_{x\rightarrow +\infty }f(x)=+\infty$. Συνεπώς υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί $k<c...

877.png Στο παραπάνω σχήμα, δείξτε ότι $AH=\dfrac{AB+AK}{2}$. Από την Κορέα.png Καλησπέρα! Χρόνια πολλά! Καλή χρονιά σε όλους ! :mathexmastree: Μια προσπάθεια ... Στην προέκταση της $AH$ θεωρούμε ευθύγραμμο τμήμα $HD=AH$. Εύκολα προκύπτει ότι το τρίγωνο $ABC$ είναι ισοσκελές , $\widehat{BAH}=\wideh...

Καλησπέρα σε όλους. Καλή χρονιά, με υγεία! Μια μικρή παραλλαγή για το όριο στη λύση του Γιώργη. $ \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{f(x) - f(0)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\frac{{\cos x - 1}}{x} - 0}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{1-2sin^2\left ( \frac{x}{2...

Δίδεται η συνάρτηση $\displaystyle f(x) = \frac{e^{\lambda x}}{x^2+\lambda^2}$ όπου $\lambda \in \mathbb{R}^*$. Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία η $f$. Αν $\alpha, \beta$ οι ρίζες της $f'$ τότε να υπολογιστεί το όριο: $\displaystyle{\ell = \lim_{\lambda \rightarrow 0} \left ( \frac{1 + \alpha \bet...

Έστω $\lambda >0$ και η συνάρτηση $f(x)=\left | \ln \left ( \lambda x+1 \right )-x \right |$. Αν η $f$ είναι παραγωγίσιμη στο $0$, τότε: i. Να αποδείξετε ότι $\lambda =1$. ii. Να αποδείξετε ότι $f(x)=x-\ln \left ( x+1 \right ),\hspace{3mm}x>-1$. Ορίζουμε για κάθε $x\in \left ( -1,0 \right )\cup \le...

$ Να δειχθεί ότι ισχύει η ανισότητα $ln(1+x)\geq (ln2)x$ για $0\leq x\leq 1$.$ [Προέκυψε στην πορεία για κάτι άλλο, πιθανώς είναι ήδη γνωστή, σε κάθε περίπτωση ας την (ξανα)δούμε!] Καλησπέρα. Μια προσπάθεια. Θεωρώ την συνάρτηση $f(x)=ln(1+x)- (ln2)x$. Είναι $f'(x)=\dfrac{1}{1+x}-ln2$ και $f''(x)=-\...

Kαλημέρα σε όλους! Εύχομαι Χρόνια πολλά , ευτυχισμένα και με υγεία στον Νίκο ! Μία (ημιτελής) προσπάθεια στο 1ο και 2ο ερώτημα. Μέγιστο εμβαδόν και ρυθμός.png α) Πρέπει $ \displaystyle 0 \le x \le \sqrt {12} $ . Αναγκαία συνθήκη, αλλά όχι ικανή. Πράγματι, έστω $OB=y$, οπότε $ \displaystyle {u^2} = ...

Να βρείτε την ελάχιστη ακέραια τιμή της παραμέτρου $a$, για την οποία η εξίσωση $\left | \dfrac{7-\left | x\right |}{\left | x\right|-2} \right | = a$ έχει ακριβώς τέσσερεις ρίζες. Καλησπέρα . Μια προσπάθεια με χρήση της δευτεροβάθμιας εξίσωσης . Κατ' αρχάς έχουμε περιορισμό $x\neq \pm 2$ και $a>0$...

Δείξτε ότι για κάθε άρτια συνάρηση $f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ υπάρχει άρτια συνάρτηση $g: \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ και περιττή συνάρτηση $h: \mathbb R \rightarrow \mathbb R$, τέτοιες ώστε $f(x)=g(h(x))+h(g(x))$. Ισχύει το ίδιο για περιττές $f$; Σχόλιο: Η άσκηση είναι απλή. Ίσως φο...

Άσκηση 1 Έστω $\displaystyle f:[2,+\infty )\to R$ με $\displaystyle f(x)={{x}^{2}}+4x+1$. Να δείξετε ότι είναι $\displaystyle 1-1$ και να βρείτε την $\displaystyle {{f}^{-1}}(x)$ Λύση $\displaystyle f(x)={{x}^{2}}+4x+1={{(x+2)}^{2}}-3$ και $\displaystyle f({{x}_{1}})=f({{x}_{2}})\Rightarrow ...\Rig...

Αν $\displaystyle x > 0$, να λυθεί η ανίσωση : $\displaystyle x\left( {8\sqrt {1 - x} + \sqrt {1 + x} } \right) \le 11\sqrt {1 + x} - 16\sqrt {1 - x} $ Εισαγωγικές πανεπιστημίου Μόσχας Καλησπέρα. Εύχομαι σε όλους καλή ακαδημαϊκή-σχολική χρονιά! Μια προσπάθεια ... Κατ΄αρχάς έχουμε $0<x\leq 1$. Η ανί...

72. $2x - 1 = \sqrt{2-x} \sqrt{10 - 4x} + \sqrt{5 - 2x} \sqrt{6 - 2x} + 2 \sqrt{3 -x} \sqrt{2 - x}$ Απάντηση: $\frac{911}{480}$ Καλημέρα. Μια προσπάθεια... Πρώτα από όλα έχουμε περιορισμό: $x\in \left [ \dfrac{1}{2},2 \right ] $ Οπότε: $2x - 1 = \sqrt{2-x} \sqrt{10 - 4x} + \sqrt{5 - 2x} \sqrt{6 - 2...

Άσκηση 9 (Special Paper Ιούνιος 1985) Αφού πρώτα δείξετε ότι για συνεχή $f$ ισχύει $\displaystyle{ \int _0^{\pi} xf(\sin x) dx = \frac {\pi}{2} \int _0^{\pi} f(\sin x) dx }$, (1) να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα α) $\displaystyle{ \int _0^{\pi} x\sin ^5 x dx }$ και β) $\displaystyle{ \int _0^{\pi} \f...

Άσκηση 9 (Special Paper Ιούνιος 1985) Αφού πρώτα δείξετε ότι για συνεχή $f$ ισχύει $ \displaystyle{ \int _0^{\pi} xf(\sin x) dx } = \frac {\pi}{2} \int _0^{\pi} f(\sin x) dx }$, να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα α) $\displaystyle{ \int _0^{\pi} x\sin ^5 x dx }$ και β) $\displaystyle{ \int _0^{\pi} \fr...

Με προαιρετικό ερώτημα.pngΔίνεται η συνάρτηση : $f(x)=\ell n(x^2+x+k) , k \in \mathbb{R}$ . Α) Για ποιες τιμές του $k$ , η $f$ έχει πεδίο ορισμού ολόκληρο το $\mathbb{R}$ ; Β) Για ποια τιμή του $k$ , η $f$ έχει σύνολο τιμών το : $[ 0 , +\infty )$ ; Γ) Για το $k$ που βρήκατε , βρείτε την εφαπτομένη ...

Υπογράφω την παραπάνω ανακοίνωση.
Γλάρος Σταμάτιος
Δάσκαλος-Μαθηματικός

Έστω συνάρτηση $f:\left [ -5 ,5\right ]\rightarrow \mathbb{R}$ συνεχής στο $\left [ -5 ,5\right ]$ , δύο φορές παραγωγίσιμη στο $\left ( -5,5 \right )$ με $f\left ( 0 \right )= 5 , f'\left ( 0 \right )= 0 $ και $f\left ( x \right ) f''\left ( x \right )-\left ( f'\left ( x \right ) \right )^{2} = -...

Άσκηση 74 Υπολογίστε την τιμή του $a$ για την οποία τα εμβαδά των χωρίων που περικλείονται από τις $C_{f} , C_{g}$ και τον άξονα $x'x $ , είναι ίσα . Μιλάμε για τις : $f(x)=a-x^2$ και $g(x)=a\cos x$ . Καλησπέρα. Μια προσπάθεια ... Είναι $\displaystyle{E\left ( \Omega _1 \right )= \int_{-\sqrt{a}}^{...

Άσκηση 73 Να υπολογιστεί το $\displaystyle \int_{1}^{9} (x-1)(x-2)(x-3)...(x-9)dx $ Από συμμετρία .... $0$. Καλησπέρα. Μια προσπάθεια ... Θέτω $x-5=u$. Είναι $I=\displaystyle \int_{-4}^{4} (u+4)(u+3)(u+2)(u+1)u(u-1)(u-2)(u-3)(u-4)du= $ $=\displaystyle \int_{-4}^{0} (u+4)(u+3)(u+2)(u+1)u(u-1)(u-2)(u...

Άσκηση 67 Να υπολογιστεί το $\displaystyle{\mathcal{J} = \int_1^e x^{1/\ln x} \, \mathrm{d}x}$ Καλησπέρα. Μια προσπάθεια ... Είναι : $ \mathcal{J} = \displaystyle{ \int_1^e e^{lnx^{\frac{1}{lnx}}} dx$ $ =\displaystyle{ \int_1^e e^{\frac{1}{lnx}\cdot lnx} dx = $ $ \displaystyle{ \int_1^e e dx = $ $e...