Καλή σαρακοστή! Το τρίγωνο έχει και το ώστε .

Αν είναι και ο κύκλος των έχει ακτίνα τότε : Να υπολογιστεί το

ώρες για μαθητές. Σας ευχαριστώ,Γιώργος.

Χαιρετώ Λόγος εμβαδών.png Θεωρούμε τρίγωνο $ABC$ με $\widehat{A}=90^o$ και σημείο $E \in AC$ ώστε $AB=3AE$. Να βρεθεί ο λόγος των εμβαδών των κυκλικών δίσκων : του μπλε κύκλου που ορίζουν τα $A,B,C$ προς τον πράσινο που ορίζουν τα $B,E,C$. Β΄Λυκείου , 48 ώρες μόνο για μαθητές. Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

Καλό βράδυ σε όλους ! Χαιρετώ τους Γιώργηδες ! Για τον υπολογισμό του $BD=x$ , χωρίς τον τύπο για την εφαπτομένη του αθροίσματος (ή της διαφοράς). Υπόθεση κύκλων.png Στο σχήμα το $H \in AB$ ώστε $HC\perp AC$ , το $BIKH$ είναι τετράγωνο πλευράς $y$ και $L$ η τομή των $KI,CD$ Τα ορθ. $BAC,BHC$ είναι ...

Καλημέρα! Τα μέτρα των γωνιών δεν...θίγονται αν $AC=4, AB=5$ και $BC=6$ Διπλάσια γωνία.png Η μεσοκάθετος του $BC$ τέμνει την $AB$ στο $E$ και τον κύκλο $(C,4)$ στο $H$, ενώ $AP$ ύψος του τριγώνου $ABC$. Η γενίκευση του Πυθαγορείου στο τρίγωνο $ABC$ μας δίνει $BP=15/4$ . Αφού $EM \parallel AP$ έπετα...

Καλό βράδυ! Μία ακόμη, με χρήση της σχέσης : $tan\left (a+b \right )= \dfrac{tana +tanb}{1-tana\cdot tanb }$ που απέφυγα στην προηγούμενη ανάρτησή μου. Διχοτόμος...png Έχουμε $tana= 1/2$ και $tanb=1/3$ . Το τρίγωνο $FIS$ είναι ορθογώνιο αφού $tan\omega =tan\left ( a+b \right )=1$ άρα $\omega =45^o$...

Καλό βράδυ! Η σύμπτωση παύει , μόλις ... βγουν στη φόρα τα αίτια! Δίνω μόνο σχήμα και θα επανέλθω για τις δέουσες εξηγήσεις. 13-2 Διχοτόμος , όχι χωρίς αιτία! .png Επανέρχομαι. Στο σχήμα το $H$ είναι η τομή των $BP,ON$ , ενώ $PL,EH \perp OH$ και $HF \perp OP$ οπότε $\widehat{FHE}=\widehat{FOH}=x$ (...

Καλή Κυριακή! Στο ορθογώνιο $ABCD$ σχεδιάσαμε την έγχρωμη "εξωκατασκευή" . Δείξτε ότι : $BS=ST$ . Από το διπλάσιο...png Αρκεί να δείξουμε $BS=SC+CT\Leftrightarrow 2acos\omega =2asin\omega +\dfrac{a}{cos\omega }$ $\Leftrightarrow 2cos^{2}\omega -1=2sin\omega cos\omega \Leftrightarrow cos2\omega =sin...

Καλημέρα! Ευχαριστώ θερμά τους Γιώργο και Κώστα για την κάλυψη του παρόντος! Η σχέση $(3)$ στην απόδειξη του Κώστα είναι το ζητούμενο στην άσκηση Εμπέδωσης 3 παράγραφο 7.7 του σχολικού. Ας δώσω και την κατασκευή που είχα κατά νου, η οποία προκύπτει από την σχέση: $\dfrac{AM}{MD}=\sqrt{\dfrac{a}{b}}...

Καλό βράδυ! Το παρόν έρχεται ως συνέχεια αυτού . 6-2-24 Αξιό-λογος !.png Στο τραπέζιο $ABCD$ του σχήματος είναι $MN \parallel AB \parallel CD$ και $AN \parallel MC$. Τα $ E \in BN $ και $Z \in AM$ ώστε $(MNEZ) =(DMNC)$. Aν ισχύει $\dfrac{\left ( DMNC \right )}{\left ( ABEZ \right )}=\dfrac{DM}{AM}$...

Καλό μήνα! Το θέμα που ακολουθεί είναι προσωπικής επινόησης. Όμως , πιθανότατα να κυκλοφορεί και να είναι γνωστό σε κάποιους.. geogebra-export 1-2-2024.png Θεωρούμε τραπέζιο $ABCD$ με $AB \parallel CD$ και φέρουμε $MN \parallel AB,CD$ όπου $M \in AD$ και $N \in BC$ Να εντοπιστεί (με Γεωμετρική κατα...

ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ σε όλες και όλους που γιορτάζουν!
Εγκάρδιες ευχές στην Φωτεινή Καλδή, τον Φώτη Μαραντίδη
και τον Φάνη Θεοφανίδη!

Καλημέρα! Ευχαριστώ τους Γιώργο Βισβίκη για την (και εδώ) μεστή! απόδειξη όπως και τον Γιώργο Λέκκα για την ευαρέσκειά του προς παρόν θέμα! Λίγα για την κατασκευή : Θέτοντας $(DEC) =k^2, (BAC) =p^2$ και $(ADE)=x$, προκύπτει (και) από την απόδειξη του Γιώργου: $ x+k^2=kp..(1)$ Επιλέγοντας για $k$ κά...

Καλή χρονιά σε όλους! Κώστα το $24$ είχα ως αποτέλεσμα! :coolspeak: Ας είναι το έτος $24$ που μόλις ανέτειλε και για σένα καλότυχο! Για τον.. βραχύ βίο μας είναι μοναδικό έτος με λήγοντα $24$.. εκτός αν κάποιος (υπερ)αιωνόβιος .. :shock: .. διαβάζει τώρα :santalogo:.. Ο κανόνας με τον οποίο έγραψα ...

Χρόνια πολλά, Καλή χρονιά σε όλους! Μετά από τις υπέροχες επεμβάσεις που προηγήθηκαν, μία ακόμη με.. ήπια δόση τριγωνομετρίας. Φέρω το ύψος - διάμεσο $AM$. Αν γωνία $DAM=x$ τότε γωνίες $B=C=2x$ Έχουμε $AM/a=sin2x=2sinx. cosx=2DM/\sqrt{a}.AM/\sqrt{a}=2DM.AM/a$ οπότε $DM=1/2$. Για να προκύπτει $a=CD=...

Καλημέρα και καλή πρωτοχρονιά! Θεωρούμε τρίγωνο $ABC$ και σημεία $D$ στην πλευρά $BC$ και $E$ στην $AC$ ώστε $DE \parallel AB$. Αν το τρίγωνο $ABC$ είναι ισεμβαδικό με τετράγωνο πλευράς $111$ ενώ το τρίγωνο $DEC$ είναι ισεμβαδικό με τετράγωνο πλευράς $88$ τότε : Να υπολογιστεί το $(ADE) $ $\bigstar...

Καλημέρα και Χρόνια Πολλά! Οι τριάδες που ακολουθούν σχηματίστηκαν με τον αυτό κανόνα : $(1,5,6)$, $(4,12,8) $ και $(25,15,8)$ Βρείτε αριθμό $x$ -όχι κατ' ανάγκη μοναδικό - ώστε και η τριάδα $(9,x,11)$ να υπακούει στον ίδιο κανόνα. Αν βρείτε το νούμερο που έχω κατά νου, ας είναι.. :).. τυχερό και γ...

Καλημέρα! Παρόμοια προσέγγιση (μόνο επιφανειακές διαφορές) με αυτή του Γιώργου . Σε τρίγωνο $36,36,108 $ μοιρών, ο λόγος βάσης προς σκέλος είναι ο χρυσός αριθμός $\Phi $ (*) Φέρνοντάς το ύψος προς την βάση παίρνουμε $sin 54^o=\Phi/2$ Ο νόμος ημιτόνων στο τρίγωνο $DAC$ μας δίνει $AC/AD=sin54^0/sin30...

Καλημέρα! Παρόμοια προσέγγιση (μόνο επιφανειακές διαφορές) με αυτή του Γιώργου . Σε τρίγωνο $36,36,108 $ μοιρών, ο λόγος βάσης προς σκέλος είναι ο χρυσός αριθμός $\Phi $ (*) Φέρνοντάς το ύψος προς την βάση παίρνουμε $sin 54^o=\Phi/2$ Ο νόμος ημιτόνων στο τρίγωνο $DAC$ μας δίνει $AC/AD=sin54^0/sin30...

Καλημέρα στους φίλους! Ας δείξουμε μια γενικότερη σχέση των εμβαδών. 23-12 Εμβαδόν τριγώνου Μ.Ν.png Στο σχήμα αν $DE \parallel AC$ και $\left ( CAD \right )=M , \left ( DEC \right )=N $ τότε: $\left ( BED \right )=X=\dfrac{N^{2}}{M-N}$ Πράγματι: Τα τρίγωνα $CAD,DEC$ έχουν ίσα ύψη (αφού $DE \paralle...