Χαιρετώ όλους! Να ευχαριστήσω θερμά τον Χρήστο (να υποθέσω φοιτητής;) για την , με υπομονή και κόπο , αντιμετώπιση του παρόντος αλλά και τον Γιώργο ως μόνιμο ..εκτελεστή ! Υποβάλλω στην συνέχεια την λύση που είχα κατά νου κατά την δημοσίευσή του. Φίλιος.png Ας δείξουμε πρώτα , με απαγωγή σε άτοπο ό...

Καλό Σαββατοκύριακο σε όλους! Ανασύρω το θέμα τούτο για την προβολή μιας ακόμη Γεωμετρικής απόδειξης του τύπου για την $tan 3a$ με την αφορμή-συνδρομή πρόσφατου θέματος. Να ευχαριστήσω θερμά (ας πέρασαν 8 και πλέον χρόνια) τον αγαπητό Νίκο Φραγκάκη για την ως άνω ..αρμονική απόδειξη! tan3a.png Θεωρ...

Επανέρχομαι. Στο τρίγωνο $$ του σχήματος είναι $AB=AC$ , $\widehat A=80^o$ και $ BC= \sqrt{3} AE$. Θα δείξουμε ότι $A\widehat BE=40^o $ Μέσος ανάλογος.png Στη μεσοκάθετο $AM$ θεωρούμε το $N$ ώστε $\angle MCN=30^0$ . Τότε $BC=2MC= \sqrt{3}NC$ συνεπώς $AE=NC$ Έτσι τα τρίγωνα $ABE,NAC$ είναι ίσα (ΠΓΠ)...

Χαιρετώ! Το τρίγωνο $AOB$ είναι ορθογώνιο στο $O$. Το $E \in OA$ και δίνονται $OE=2, AE=20$ , ενώ $O \widehat EB=3 O \widehat AB$ Τριπλάσια γωνία και Πυθαγόρεια τριάδα.png I) Να υπολογιστεί το $OB=x$ Το $M \in AB$ ώστε $EM\perp AB$ και το $Z$ συμμετρικό του $E$ ως προς το $M$. Ακόμη το $H \in AM$ ώ...

Καλή Κυριακή , καλό Μάϊο σε όλους! Στο θέμα που ακολουθεί .. κάτι μου λείπει , δεν έχω (πλήρη) απόδειξη. Τρεις για την 60άρα.png Οι $BE,CZ$ είναι διχοτόμοι του τριγώνου $ABC$. Ο κύκλος των $A,B,E$ τέμνει την πλευρά $BC$ και στο $N$. Αν η $ZE$ είναι διχοτόμος της $ \angle NEA$ τότε: Να εξεταστεί αν ...

Σ' ευχαριστώ Γιώργο :πολύχρονος! για την ως άνω κομψή-πλήρη απόδειξη! Με το παραπάνω λήμμα τακτοποιείται και το θέμα mon ami Το παρόν θέμα ..εμφανίστηκε για να υπηρετήσει το θέμα του notre ami! H σχέση $ \angle ABE= \angle A/2 $ μπορεί ν' αποδειχθεί και πιο απλά-σύντομα , με Γυμνασιακή ύλη.. προς τ...

Καλημέρα σε όλους!
Ας είναι .
Από τον νόμο ημιτόνων στο δοθέν τρίγωνο
έχουμε και

Από το..σαν Πυθαγόρειο διαιρώντας με , αντικαθιστώντας τους ως άνω λόγους
μετά από τις πράξεις παίρνουμε την εξίσωση

Φιλικά Γιώργος.

Ευχαριστώ τον Γιώργο για την βοήθεια, τον Δημήτρη και τον Μιχάλη για τις λύσεις τους!! Με αφορμή και την εδώ (κυρίως τριγωνομετρική) λύση, έφτασα στο προς απόδειξη λήμμα που ακολουθεί , χρήσιμο ίσως και σε άλλο θέμα. Θεωρούμε τρίγωνο $ABC$ με $AB=AC=b, BC=a$ και $AE=k, E \in AC$. Ας είναι $\angle A...

Καλημέρα και καλή Ανάσταση! Το τρίγωνο $ABC$ έχει γωνία $ \angle A=80^o $, ενώ$AB=AC$ Το σημείο $H \in BC$ ώστε το $AB$ να είναι μέσος ανάλογος των $BH,BC$. Το σημείο $E \in AC$ ώστε ο κυκλικός ημιδίσκος διαμέτρου $BC$να έχει τριπλάσιο εμβαδόν από αυτό του κυκλικού ημιδίσκου με διάμετρο την $AE$ Να...

Χαιρετώ! 8e941d69-0b65-4c2e-ba08-8cd2f9a76fa8~1.jpg Το τρίγωνο $AMO$ έχει γωνίες $\angle A =96^o $ και $\angle O =48^o$. Στην προέκταση της $OA$ θεωρούμε το σημείο $N$ ώστε $ON=AM$ και στην πλευρά $OA$ το σημείο $I$ ώστε $\dfrac{OM}{IN}=\Phi =\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}$ Ι) Να βρεθεί η (Γεωμετρική ) γωνί...

Ευχαριστώ τον Γιώργο και στο παρόν θέμα! Δυο λόγια μόνο για το $cos\dfrac{\pi }{5}$. Όπως είδαμε είναι $\dfrac{BI}{ID} =\Phi $ τότε και $\dfrac{BC}{IB} =\dfrac{BD}{IB} =\Phi $ . Η σχέση $\dfrac{BC}{IB} =\Phi $ προκύπτει , σύμφωνα και με το θέμα πέντε παρά κάτι (στο τέλος του) αφού το τρίγωνο $BIC$ ...

Αναπάντεχη όσο και θλιβερή η είδηση για την απώλεια του Σταύρου .. Θερμά συλλυπητήρια στην οικογένειά του, σε όλους τους δικούς του ανθρώπους και βεβαίως στους πολλούς καλούς φίλους του και εδώ στο :logo: Είχα την τύχη να τον συναντήσω και από κοντά στην Λευκάδα, έστω και για λίγο.. Καλό του ταξίδι...

Χαιρετώ! Το παρόν θέμα είναι σε μερικούς από μας πολύ γνωστό έως τετριμμένο. Θεωρώ όμως ότι αρκετοί μαθητές μας δεν το γνωρίζουν και ίσως το βρουν ενδιαφέρον αλλά και χρήσιμο.. 27-3.png Το τρίγωνο $ABC$ του σχήματος έχει $AB=AC$ και $ \angle C=72^0$. Το $M$ είναι μέσον του $BC$ ενώ το $I$ το έγκεντ...

Καλημέρα και Χρόνια πολλά σε όλους! Πριν λίγα χρόνια ένας μαθηματικός ζήτησε από τους μαθητές του στο Γυμνάσιο να σχεδιάσουν σε κατάλληλο χαρτί το ακόλουθο: Ορέστης ο εξαιρετικός!.png Τα τμήματα $MA,ZH$ τέμνονται κάθετα στο $A$ . Έχουν μήκη $AH=5, AZ=11$ και $AM=6$. Το ημικύκλιο διαμέτρου $ZH$ τέμν...

Χαιρετώ όλους! Μια προσέγγιση στο ίδιο πνεύμα με αυτή της #6 ανάρτησης Έστω $S$ τυχόν σημείο ημικυκλίου διαμέτρου $AOB=2r$ και $D$ η προβολή του στη διάμετρο. Οι εφαπτόμενες του ημικυκλίου στα $A, B$ τέμνουν τις $BS, AS$ στα $P, Q.$ Αν $M$ είναι το μέσο του $SD,$ να δείξετε ότι $OM\bot PQ.$ 22-3a.p...

Θανάση και Γιώργο σας ευχαριστώ! Τη γενίκευση, όπως βλέπω την απάντησε πολύ εύστοχα ο Θανάσης. Συμφωνώ απολύτως! Η δική μου πρόθεση είναι ..αντίθετης διαδρομής: Δημιούργησα το παρόν με σκοπό να δοθεί μια ακόμη λύση στο θέμα που παραπέμπει κι' ο Θανάσης. Με την -ανεξάρτητη από εκείνο- απόδειξη της ε...

Χαιρετώ! Με αφορμή πρόσφατο -ενδιαφέρον!- θέμα. 18-3 Ημικύκλιο και καθετότητα.png Στο σχήμα (*) τα σημεία $Z,H \in AB$ , ενώ τα $A,E,D$ είναι συνευθειακά όπως και τα $B,E,C$. Τα τμήματα $CA, EZ, DB$ είναι κάθετα στην $AB$. Ι) Αν δοθούν $AZ=HB=4 , ZH=5$ και $EZ=6$ τότε α) Να υπολογιστούν τα μήκη των...

Καλημέρα ,καλή Κυριακή σε όλους ! Θέτω υπό τον έλεγχο όλων προσέγγιση για την απόδειξη της ως άνω πρότασης Η$ f $ ως συνεχής σε κλειστό έχει μέγιστο το$ f(p)=m , 0<p<n $ I) Για κάθε $a \in (0, m) $ από Θ.Ε.Τ υπάρχουν $ x _{1}\in (0,p) $ και$ x _{2}\in (p, n) $ Ώστε $ f(x_{1}) = f(x_{2}) = a$ , με $...

Χαιρετώ μικρούς και μεγάλους! Λόγος..Φημισμένος!.png Η καμπύλη του σχήματος είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης με τύπο $f(x)=-x^{2}+4x$. Τα σημεία $O,E$ είναι οι τομές της με το οριζόντιο άξονα $x'x$. Τα $N,A,B,M$ είναι σημεία του $x'x$ , ενώ τα $C,D,K,L$ ανήκουν στην γρ. παράσταση της $f$ Το...