Έστω $A$ μια ακολουθία φυσικών $a_i , 0 \leq a_i \leq n-1$. Σε κάθε βήμα εφαρμόζουμε στην ακολουθία $A$ την διαδικασία $f$:

Κάθε μπλοκ $k$ διαδοχικών ίσων φυσικών αντικαθίσταται από $k$ το πλήθος $k(modn)$. Έστω $f(A)$ η νέα ακολουθία.

Να δειχθεί ότι αν $f^{(k)}(A)=A \implies f(A)=A$

Number Theory 4
Έστω $n>1$ ένας δοσμένος ακέραιος. Να αποδειχθεί ότι υπάρχουν άπειροι όροι της ακολουθίας $(a_k)$ που ορίζεται ως $\displaystyle{a_k=\lfloor\frac{n^k}{k}\rfloor},$ είναι περιττοί.


1) Άν $n$ περιττός έστω $p$ πρώτος που διαιρεί τον $n$. Προφανώς για $k=p^x$ ισχύει το ζητούμενο ...

Έστω $X \equiv AQ \cap BC, Y \equiv AO \cap BC$. Το τετράπλευρο $BA'CQ$ είναι αρμονικό άρα η δέσμη $A(B,C,A',X)$ αρμονική και
η τετράδα $(B,C,Y,X)$ αρμονική. Οι $OB,OC$ εφάπτονται στον $(T,TB)$ άρα η $SY$ συμμετροδιάμεσος στο $SBC$ και αφού η $(B,C,Y,X)$ αρμονική
η $SX$ εφάπτεται στον $(T,TB)$ άρα ...

Bonus: δείξτε οτι συνευθειακά

:coolspeak: :coolspeak: Πολύ καλό!
Εναλλακτικά (πιο στοιχειωδώς) για τον υπολογισμό του $S_k$ θα μπορούσαμε να πούμε:

Έστω $\displaystyle f(x)= \sum_{m_1,\ldots,m_k}\frac{x^{m_1+m_2+...+m_k}}{m_1m_2...m_k(m_1+m_2+...+m_k)}$

Τότε:
$\displaystyle S_k=f(1)=\int_0^1f'(x)dx=\int_0^1\frac{1}{x} \sum_{m ...

Ωραία άσκηση Πάνο!

Αρχικά θα αποδείξω ένα χρήσιμο λήμμα:

Λήμμα 1 : Έστω τρίγωνο $ABC$ όπου $N$ το σημείο επαφής του εγγεγραμμένου και έστω $M$ το μέσο του ύψους που άγεται από το $A$ και $I_a$ το κέντρο του Α-παρεγγεγραμμένου. Τότε $M,N,I_a$ συνευθειακά.

Η ομοιοθεσία από το $A$ που στέλνει τον ...

Να δειχθεί η παρακάτω σχέση όπου το άθροισμα καλύπτει όλες τις σχετικά πρώτες k-άδες αριθμών και τυχαίος θετικός ακέραιος μεγαλύτερος του 1:

Φοβερή λύση!! Περιμενά να υπάρχει κάτι πιο απλό με ενα invariant αλλά δεν βρήκα κάτι...

Πολύ χρήσιμο! Ευχαριστούμε πολυ!

Γράφω συνοπτικά αλλη μια λύση.
Έστω οι εφαπτομένες τέμνονται στα $X,Y,Z$ (απέναντι απο τα $A,B,C$ αντίστοιχα). Αρκεί $MNP,XYZ$ προοπτικά ως προς άξονα
ή απο θεώρημα Desarque προοπτικα ως προς κέντρο. Αρκεί $XM,YN,ZP$ να συντρέχουν.

Με νομους ημιτόνων στα $XBM,XCM$, έχω $\frac{sinX_1}{sinX_2 ...

Έχουμε $\frac{n(n+1)}{2}$ κέρματα πάνω σε ενα τραπέζι χωρισμένα σε κάποιες στήλες. Μια κίνηση αποτελείται απο την αφαίρεση ενός νομίσματος απο κάθε στήλη που έχει τουλάχιστον ένα νόμισμα και επανατοποθέτηση των νομισμάτων αυτών σε μια καινούρια στήλη. Να αποδειχθεί οτι μετά από κάποιες κινήσεις θα ...

Έστω $X,\ Y$ τα συμμετρικά του $Z$ ως προς $P,\ Q$ .
Αρκεί $X,\ N,\ Y$ συνευθειακά.
Όμως $FY \parallel EX$ άρα αρκεί $XNE \sim YNX$ ή ισοδύναμα $XE/FY=EN/NF$,
αφού $\angle NEX= \angle NFY$

Όμως $EN/FN=sin(\angle EAN)/sin(\angle NAF)=sin(\angle CAM)/sin(\angle BAM)$, από το ισοσκελές $AFE$ και ...

Δίνω μια λύση με απλές αντικαταστάσεις, αν και η προτεινόμενη λύση κατα τη γνώμη μου έιναι πιό ωραία!

Στην αρχική:
$y=y+f(x+2y) \implies f(x+f(x+y+f(x+2y)))=f(2x)+y+f(x+2y)$, $(1)$
$x=x+y \implies f(x+y+f(x+2y))=f(2x+2y)+y$, $(2)$
$x=y \implies f(x+f(2x))=f(2x)+x$, $(3)$

$(1),(2) \implies f(x+y+f ...

Για το $R^{+}$

Έστω ότι υπάρχει $k$ θετικό με $f(k)<k$ τότε θέτοντας $\displaystyle y= \frac{k-f(k)}{k}$ έχουμε:
$\displaystyle f(k)=f(k)f(\frac{k-f(k)}{k})+k>k$, άτοπο. Άρα για κάθε θετικό $x$ ισχύει $f(x) \geq x$.

Εφαρμόζοντας την τελευταία στην δοσμένη σχέση προκύπτει ότι: $\displaystyle x+f(x ...

Έστω $f(r)$ ο μέγιστος αριθμός καλών διαγωνίων σε ένα κυρτό r-γωνο $r>1$. Εύκολα $f(2)=f(3)=0$. θα δείξω με ισχυρη επαγωγή ότι
$f(2k)=f(2k+1)=2k-2$. Έστω ισχύει για κάθε $0 \leq k < K$. θα δείξω ότι ισχύει και για $k=K$.

Έστω $A_1A_2...A_{2K}$ το κυρτό πολύγωνο, τότε φέρνοντας τις διαγωνίους: $A ...

Πολύ ωραία άσκηση!

Έστω ότι ο Β έχει στρατηγική νίκης κάνοντας $n$ ερωτήσεις του τύπου: Ανήκει ο x στο $S_i$ για $i=1,2,...,n$. Σε κάθε αριθμό από το 1 έως το Ν αντιστοιχώ έναν n-ψήφιο δυαδικό αριθμό (επιτρέπονται τα 0 στην αρχή) όπου το k-οστό ψηφίο είναι 1 αν ο αριθμός ανήκει στο $S_k$ και το 0 ...

Φαντάζομαι το αριστερό μέλος είναι . Από Cauchy-Schwarz, AM-GM είναι:

Δίνω μια άσκηση που μου χρειάστηκε σαν λήμμα σε μια άλλη άσκηση. Δεν γνωρίζω αν είναι γνωστή πρόταση.

Έστω τρίγωνο $ABC$ με $AB<AC$ και ο απολλώνιος κύκλος του που περνά από το $A$. Να δειχθεί ότι για καθε σημεία $P,P'$ στο εσωτερικό
και το εξωτερικό του απολλώνιου κύκλου αντίστοιχα ισχύει: $\frac ...

Για $a=b=1$ παίρνω ότι $f(z)+f(1)=f(z+f(1)), z=c+1>1$ $(1)$

Για $a=1$ έχω $f(1+f(b)+c)=f(1)+f(b+c)=f(f(1)+b+c), (2)$, αφού $b+c>1$

Έστω υπάρχει $v$ με $f(v)+1 \neq f(1)+v$ ΧΒΓ $T=f(1)+v-1-f(v)>0$

Τότε στη $(2)$ για $c=c-1-f(v)$ έχω $f(c+T)=f(c), c>1+f(v)$
Απο την τελευταία προκύπτει ότι η $f ...

Παραθέτω μια λύση που βρήκα συνοπτικά. Στο σχήμα και στη λύση έχω αλλάξει το όνομα των σημείων.

Έστω: $N$ μέσο τόξου $BC$ και $BH\cap{(C)}\equiv D , ND\cap{AC}\equiv G , CH\cap{(C)}\equiv E ,
NE\cap{AB}\equiv F$. Από το θεώρημα Pascal στο εγγεγραμμένο εξάγωνο $BACEND$ προκύπτει ότι τα σημεία
$F,G,H ...