Πρόβλημα 1. Να βρείτε όλα τα ζεύγη $(a,b)$ θετικών ακέραιων αριθμών τέτοια ώστε οι αριθμοί $a!+b$ και $b!+a$ να είναι και οι δύο δυνάμεις του $5$. Αρχικά ελέγχουμε τις περιπτώσεις $a=1,2,3,4$ όπου πρέπει επίσης $1\leq b\leq 4.$ Αν $a\geq 5$ τότε προκύπτει ότι τα $a,b$ είναι πολλαπλάσια του 5. Έστω ...

Πρόβλημα 2. Να αποδείξετε ότι για όλους τους μη αρνητικούς πραγματικούς αριθμούς $x,y$ και $z$, οι οποίοι δεν είναι όλοι ίσοι με $0$, ισχύει η παρακάτω ανισότητα: $\displaystyle \dfrac{2x^2-x+y+z}{x+y^2+z^2}+\dfrac{2y^2+x-y+z}{x^2+y+z^2}+\dfrac{2z^2+x+y-z}{x^2+y^2+z}\geqslant 3.$ Να προσδιορίσετε ό...

Επαναφορά!

ΘΕΜΑ 1 Οι θετικοί πραγματικοί αριθμοί $a, b$ και $c$ είναι τέτοιοι, ώστε $a + b + c = 3.$ Να αποδείξετε ότι $a^2 + b^2 + c^2 + a^2b + b^2c + c^2a\geq 6.$ ΘΕΜΑ 2 Να προσδιορίσετε όλους τους θετικούς ακέραιους $k$ για τους οποίους υπάρχουν θετικοί ακέραιοι $a_1, a_2, . . . , a_8$ τέτοιοι, ώστε $\disp...

Επαναφορά!

Επαναφορά!

Τα θέματα 1,2 και 3 προέρχονται από τη συλλογή

Διαγωνισμός Αρχιμήδης - Των φρονίμων τα παιδιά...!

Επαναφορά!

ΘΕΜΑ 2 Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $f(xy + f(x)) = xf(y) + f(x)$, για κάθε $x,y \in \mathbb{R}$. Πηγή: https://artofproblemsolving.com/community/c6h152023p855649 Η κεντρική ιδέα είναι: $\displaystyle{f(a)=f(b) \implies a=b \ \ \vee \ \ f(...

Τα θέματα 2 και 3 προέρχονται από τη συλλογή

Διαγωνισμός Αρχιμήδης - Των φρονίμων τα παιδιά...!

Τα θέματα 1 και 3 προέρχονται από τη συλλογή

Διαγωνισμός Αρχιμήδης - Των φρονίμων τα παιδιά...!

Τα θέματα 3 και 4 προέρχονται από τη συλλογή

Διαγωνισμός Αρχιμήδης - Των φρονίμων τα παιδιά...!

Τα θέματα 1,2 και 3 προέρχονται από τη συλλογή

Διαγωνισμός Αρχιμήδης - Των φρονίμων τα παιδιά...!

Τα θέματα 1 και 4 προέρχονται από τη συλλογή

Διαγωνισμός Αρχιμήδης - Των φρονίμων τα παιδιά...!

Επαναφορά!

socrates έγραψε: ↑

Κυρ Φεβ 20, 2022 5:03 pm

ΘΕΜΑ 2
Να προσδιορίσετε όλα τα ζεύγη μη αρνητικών ακεραίων αριθμών τέτοια, ώστε

Πηγή:
https://artofproblemsolving.com/communi ... 08p3416672

Υποδειγματικό διαγώνισμα!

Εκφωνήσεις + Λύσεις:
https://srv-dide.tri.sch.gr/sxsymboyloi ... lyseis.pdf

ΘΕΜΑ 1 Ποιοι θετικοί ακέραιοι γράφονται ως άθροισμα (δύο τουλάχιστον) διαδοχικών θετικών ακεραίων; ΘΕΜΑ 2 Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $f(xy + f(x)) = xf(y) + f(x)$, για κάθε $x,y \in \mathbb{R}$. ΘΕΜΑ 3 Δίνεται το πολυώνυμο $P(x)=(x+1)^p(...

ΘΕΜΑ 1 Να βρείτε το μέγιστο κοινό διαιρέτη των αριθμών $E(1), E(2), E(3),..., E(2009)$, όπου$E(n)=n(n + 1)(2n + 1)(3n + 1)...(10n + 1)$. ΘΕΜΑ 2 Αν $a,b,c$ θετικοί πραγματικοί αριθμοί, να δείξετε ότι $\displaystyle{\frac{a}{\sqrt{3a+2b+c}}+\frac{b}{\sqrt{3b+2c+a}}+\frac{c}{\sqrt{3c+2a+b}}\leq \frac{...

ΘΕΜΑ 1 Για ποιους ακεραίους $x$ είναι ο αριθμός $x^{2009}+x^{2008}+x^{2}+x+1$ πρώτος; ΘΕΜΑ 2 Να βρεθεί η μέγιστη τιμή της πραγματικής σταθερής $M$ έτσι ώστε $\displaystyle{ (a+bc)(b+ac)(c+ab)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right)\ge(Mabc) }$ για όλους τους θετικούς πραγματικούς αριθμούς ...