Η αναζήτηση βρήκε 106 εγγραφές

από giannimani
Κυρ Μάιος 10, 2020 7:53 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Μια παραλληλία
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 208

Μια παραλληλία

Σε μη ισοσκελές τρίγωνο ABC, O είναι το περίκεντρο, H το ορθόκεντρο, G το κέντρο βάρους, N το μέσο του HO,
και M το μέσο της πλευράς BC. Αν G' το σημείο τομής των ευθειών HO και AN, να αποδείξετε ότι GG' \parallel AH.
paral.png
paral.png (31.9 KiB) Προβλήθηκε 208 φορές
από giannimani
Σάβ Ιαν 11, 2020 4:39 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Συνευθειακά από παραλληλίες
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 261

Re: Συνευθειακά από παραλληλίες

Για την επιβεβαίωση του ισχυρισμού: είναι ο Πάππος στην $ABC$ και στην ευθεία στο άπειρο, δίνουμε το επόμενο σχήμα, όπου η προβολή του επιπέδου $\pi$ του σχήματος του θεωρήματος Πάππου, στο επίπεδο $\pi '$ από το σημείο $O$, με την ευθεία $ABC$ να είναι η ειδική ευθεία του επιπέδου $\pi$, δίνει την ...
από giannimani
Τετ Απρ 24, 2019 1:19 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Στοχεύοντας το σημείο Miquel
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 562

Re: Στοχεύοντας το σημείο Miquel

cycl_miquel.png Το σημείο $O'$ είναι το σημείο τομής των μεσοκαθέτων των $BD$ και $CE$, εποµένως, είναι το ένα από τα δύο σηµεία των δύο ποδηλατιστών $(*)$ για τους κύκλους $(ADE)$ και $(ABC)$. Ως εκ τούτου, το $O'OLT$ (όπου $L$ το κέντρο του κύκλου $(ADE)$, και $T$ το δεύτερο κοινό σημείο των κύκλ...
από giannimani
Τρί Απρ 23, 2019 12:24 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Άλλη μία όμορφη καθετότητα
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 1237

Re: Άλλη μία όμορφη καθετότητα

perp2.png Η προηγούμενη προσπάθεια είναι λανθασμένη . Δίνω μια δεύτερη. Έστω $M$ το μέσο της πλευράς $BC$. Τότε $OM \bot BC$. Είναι γνωστό ότι, οι περιγεγραμμένοι κύκλοι $(\Omega)$ του $\vartriangle ABC$, και $(\Omega ')$ του τριγώνου $BHC$, είναι συμμετρικοί ως προς την πλευρά $BC$. Έστω $O'$ το κ...
από giannimani
Δευ Απρ 22, 2019 10:11 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Άλλη μία όμορφη καθετότητα
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 1237

Re: Άλλη μία όμορφη καθετότητα

perp1.png Έστω $M$ το μέσο της πλευράς $BC$. Τότε $OM \bot BC$. Είναι γνωστό ότι, οι περιγεγραμμένοι κύκλοι $(\Omega)$ του $\vartriangle ABC$, και $(\Omega ')$ του τριγώνου $BHC$, είναι συμμετρικοί ως προς την πλευρά $BC$. Έστω $O'$ το κέντρο του $(\Omega ')$, και $H'$ το συμμετρικό του $H$ ως προς...
από giannimani
Τετ Απρ 17, 2019 9:47 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Και οι τέσσερις συντρέχουν
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 585

Re: Και οι τέσσερις συντρέχουν

concur_sol.png Έστω $D$ το αντιδιαμετρικό του $C_{3}$. Τότε είναι γνωστό ότι τα σημεία $B$, $D$ και $C_{4}$ ανήκουν στην ίδια ευθεία. Τώρα, στη δέσμη $B(C_{1}C_{3}C_{2}C_{4})$ η $DC_{3}\parallel BC_{1}$ και το $I$ είναι το μέσο του $DC_{3}$, δηλαδή, το $DC_{3}$ διχοτομείται από τις ακτίνες $BC_{3}$...
από giannimani
Τετ Απρ 17, 2019 12:41 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Και οι τέσσερις συντρέχουν
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 585

Και οι τέσσερις συντρέχουν

Να αποδείξετε ότι, σε ένα τρίγωνο $ABC$ οι τέσσερις ευθείες που περιέχουν $\bullet$ τα σημεία $B_{3}$, $C_{3}$ επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου με τις πλευρές του $AB$, $AC$ αντίστοιχα, $\bullet$ τα σημεία επαφής $B_{4}$, $C_{4}$ αυτών των πλευρών με τους αντίστοιχους παρεγγεγραμμένους κ...
από giannimani
Κυρ Μαρ 31, 2019 9:58 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Και οι παράλληλες ... συντρέχουν
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 460

Re: Και οι παράλληλες ... συντρέχουν

thr_p.png Υποθέτουμε ότι $AB\, <BC\,<\, CA$. Έστω $P$ σημείο της τεθλασμένης γραμμής που τη διχοτομεί, δηλαδή, $BA+AP=PC$. Αποδεικνύεται ότι το $P$ είναι η προβολή του μέσου $A'$ του τόξου $BAC$ του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου (*). Έστω $D$ και $E$ τα ίχνη της διχοτόμου της γωνίας $BAC$ και...
από giannimani
Σάβ Μαρ 30, 2019 10:26 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Και οι παράλληλες ... συντρέχουν
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 460

Και οι παράλληλες ... συντρέχουν

Δίνεται σκαληνό τρίγωνο $ABC$. Από σημείο της τεθλασμένης γραμμής $BAC$ που διχοτομεί αυτήν, θεωρούμε ευθεία $\ell_{A}$ παράλληλο προς τη διχοτόμο της γωνίας $BAC$. Με ανάλογο τρόπο ορίζονται οι ευθείες $\ell_{B}$ και $\ell_{C}$. Να αποδείξετε ότι οι ευθείες $\ell_{A}$, $\ell_{B}$ και $\ell_{C}$ διέ...
από giannimani
Πέμ Μαρ 21, 2019 10:07 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: Κομψή καθετότητα
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 489

Re: Κομψή καθετότητα

perp.png Στο τρίγωνο $CAB$ το $S$ είναι το βαρύκεντρο, οπότε, αν $N=(AS)\cap CB$, η $AN$ διάμεσος. Θεωρούμε τη στροφή με κέντρο $K$ (κέντρο του τετραγώνου) και γωνία $90^{\circ}$. Τότε $D\rightarrow A$, $A\rightarrow B$, $B\rightarrow C$, δηλαδή το τρίγωνο $DAB$ μετασχηματίζεται στο $ABC$. Επομένως...
από giannimani
Κυρ Φεβ 10, 2019 9:52 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Γωνίες με κοινή διχοτόμο
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 660

Re: Γωνίες με κοινή διχοτόμο

sm_bis_sol.png Θεωρούμε τη διχοτόμο της γωνίας $PXQ$ η οποία τέμνει την ευθεία $MN$ στο σημείο $K$. Θα αποδείξουμε ότι η $XK$ είναι διχοτόμος και της γωνίας $MXN$. Έστω ότι οι ευθείες των ακτίνων $MP$ και $NQ$ τέμνονται στο σημείο $Y$. Τότε, εφόσον $\angle XPY\,=\,\angle XQY\,=\,90^{\circ}$, τα σημ...
από giannimani
Σάβ Φεβ 09, 2019 6:39 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Γωνίες με κοινή διχοτόμο
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 660

Γωνίες με κοινή διχοτόμο

Δύο άνισοι κύκλοι με κέντρα M και N τέμνονται στα σημεία P και Q. Η εφαπτομένη του πρώτου κύκλου, που άγεται στο σημείο P, τέμνει
την εφαπτομένη στο Q του δεύτερου κύκλου, στο σημείο X. Να αποδείξετε ότι οι γωνίες PXQ και MXN έχουν κοινή διχοτόμο.
sm_bis.png
sm_bis.png (47.99 KiB) Προβλήθηκε 660 φορές
από giannimani
Πέμ Δεκ 13, 2018 10:45 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Η προβολή του Έγκεντρου...
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 342

Η προβολή του Έγκεντρου...

Η πλευρά $BC$ ενός τριγώνου $ABC$ εφάπτεται του εγγεγραμμένου του κύκλου στο σημείο $D$, και του $A-$παρεγγεγραμμένου κύκλου στο σημείο $E$. Το σημείο $P$ είναι η προβολή του έγκεντρου του $\vartriangle ABC$ στη μεσοκάθετο της πλευράς $BC$. Να αποδείξετε ότι τα σημεία $A$, $P$ και $E$ ανήκουν στην ί...
από giannimani
Παρ Νοέμ 30, 2018 9:30 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Στην ίδια ευθεία
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 510

Re: Στην ίδια ευθεία

Με την ίδια αφετηρία... Έστω $P_{a}$, $P_{b}$, $P_{C}$ και $Q_{a}$, $Q_{b}$, $Q_{C}$ τα συμμετρικά των $P$, $Q$ ως προς τις $BC$, $AC$, $AB$ αντίστοιχα. Είναι γνωστό ότι καθεμία από τις δύο παραπάνω τριάδες των σημείων, ανήκει στην ίδια ευθεία, και συγκεκριμένα στις ευθείες Steiner των σημείων $P$, ...
από giannimani
Πέμ Νοέμ 29, 2018 6:47 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Στην ίδια ευθεία
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 510

Στην ίδια ευθεία

Στον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου $ABC$, θεωρούμε τα σημεία $P$ και $Q$. Το σημείο $A '$ της ευθείας της πλευράς $BC$ είναι τέτοιο, ώστε οι ευθείες $PA'$ και $QA '$ να είναι συμμετρικές ως προς τη $BC$. Τα σημεία $B '$, $C'$ ορίζονται με ανάλογο τρόπο. Να αποδείξετε ότι τα $A '$, $B'$, $C '$ αν...
από giannimani
Τετ Νοέμ 28, 2018 10:43 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Διάκεντρος παράλληλη σε διχοτόμο
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 391

Re: Διάκεντρος παράλληλη σε διχοτόμο

Dspar.png Με μικρές διαφορές... Θα χρησιμοποιήσουμε το επόμενο λήμμα: Στις πλευρές $AB$ και $AC$ ενός σκαληνού τριγώνου $ABC$, θεωρούμε αντίστοιχα τα σημεία $E$ και $Z$. Το σημείο $A_{1}$ είναι το μέσο του τόξου $BAC$ του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου $ABC$. Να αποδείξετε ότι η ισότητα $BE = ...
από giannimani
Τετ Νοέμ 28, 2018 8:12 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Συντρέχουν...
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 569

Re: Συντρέχουν...

Με λίγες διαφορές... Εφόσον το τετράπλευρο είναι αρμονικό, γνωρίζουμε ότι οι διχοτόμοι $BI_{1}$ και $DI_{2}$ αντίστοιχα των γωνιών $ABC$ και $ADC$, θα τέμνονται στο σημείο $E$ της διαγωνίου $AC$. Επίσης, το σημείο τομής $S$ των εξωτερικών διχοτόμων των γωνιών $BAD$ και $BCD$ θα ανήκει στην ευθεία τη...
από giannimani
Τρί Νοέμ 27, 2018 10:14 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Συντρέχουν...
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 569

Συντρέχουν...

Δίνεται το αρμονικό τετράπλευρο ABCD. Να αποδείξετε ότι η ευθεία που ορίζεται από τα έγκεντρα I_{1} και I_{2} αντίστοιχα των τριγώνων ABC και ACD, διέρχεται από το σημείο τομής S των εξωτερικών διχοτόμων των γωνιών BAD και BCD.
line_incenters.png
line_incenters.png (56.67 KiB) Προβλήθηκε 569 φορές
από giannimani
Δευ Νοέμ 12, 2018 9:19 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Και πάλι ορθή γωνία
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 433

Και πάλι ορθή γωνία

Ο εγγεγραμμένος κύκλος του σκαληνού τριγώνου $ABC$ εφάπτεται των πλευρών $BC$, $AC$, $AB$ στα σημεία $A_{1}$, $B_{1}$, $C_{1}$ αντίστοιχα. Η κάθετος της $C_{1}B_{1}$ που άγεται από το $A_{1}$ τέμνει την $AB$ στο σημείο $X$. Οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων $ABC$ και $AB_{1}C_{1}$ τέμνονται για...
από giannimani
Παρ Οκτ 26, 2018 2:38 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Ορθή γωνία
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 497

Ορθή γωνία

Στις πλευρές $BC$, $CA$, $AB$ ενός οξυγώνιου μη ισοσκελούς τριγώνου $ABC$ θεωρούμε αντίστοιχα τα σημεία $A_{1}$, $B_{1}$, $C_{1}$ έτσι, ώστε $\angle AA_{1}B= \angle BB_{1}C=\angle CC_{1}A$ Έστω ότι οι κύκλοι $(BA_{1}C_{1})$ και $(CA_{1}B_{1})$ τέμνονται στο σημείο $P$. Να αποδείξετε ότι $\angle HPG ...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση