Εκ παραδρομής μπήκε σε αυτόν τον φάκελλο. Ήθελα να το τοποθετήσω στον αμέσως προηγούμενο. Και για να δικαιολογήσουμε ακόμη περισσότερο τον τίτλο επισυνάπτουμε ένα ακόμη ερώτημα με τρεις υποερωτήσεις. 3. Να αποδείξετε ότι (a) $\angle MPC = \angle BSD$, (b) οι ευθείες $AP$ και $SD$ τέμνονται σε σημείο...

Δίνεται κύκλος $\omega$ κέντρου $O$ και σημείο $A$ εκτός αυτού. Έστω $AB$ και $AC$ τα εφαπτόμενα τμήματα του $\omega$ που άγονται από το $A$. Το σημείο $M$ είναι το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος $BC$, το $P$ τυχαίο σημείο του μικρού τόξου $BC$ του κύκλου $\omega$. Το σημείο $D$ είναι το ίχνος της απ...

Έστω $I$ το έγκεντρο του $\triangle ABC$, $Z$ ο σημείο επαφής της $BC$ με τον κύκλο $(I)$. Έστω επίσης $r$, $R_{1}$, $R_{2}$ οι ακτίνες των κύκλων $(I)$, $(K)$, $L)$ αντίστοιχα, και $R_{1} < R_{2}$. Από την υπόθεση, προφανώς, $BD=CE=BC$. orthog_circles_const_sum.png Η ομοιοθεσία κέντρου $B$ και λόγο...

isosceles_midperpend.png Από το $E$ θεωρούμε την παράλληλη της $AB$ που τέμνει τη βάση $BC$ στο $F$.Τότε το $ADFE$ είναι παραλληλόγραμμο (προκύπτει άμεσα, εφόσον λόγω της παραπάνω παραλληλίας και του αρχικού ισοσκελούς τριγώνου, είναι $\angle ABC=\angle ACB=\angle EFC$, δηλαδή, $EF=EC=AD$). Επομένω...

Συμβολίζουμε με $P$ το δεύτερο σημείο τομής της ευθείας $SD$ με τον κύκλο $(K)$, και με $L$ το σημείο τομής των ευθειών $AP$ και $BC$. old_wine.png Τότε, $\angle BPS = \angle CPS$ ως εγγεγραμμένες γωνίες του κύκλου $(K)$ που βαίνουν στα ίσα τόξα $BS$ και $CS$ αντίστοιχα, δηλαδή, η $PS$ διχοτόμος της...

Εγγράφουμε στις γωνίες $ABC$ και $ACB$ κύκλους με κέντρα $P$ και $Q$ αντίστοιχα. Από το σημείο $A$ φέρουμε τις δεύτερες εφαπτομένες $AS$ και $AS'$, όπου $S$ και $S'$ τα σημεία τομής αυτών με τη $BC$. Εφόσον $\angle PAS = \angle PAB$ και $\angle QAS'=\angle QAC$, η ισότητα $\angle PAQ =\frac{1}{2}\an...

lemma_sol.png Θεωρούμε τον κύκλο διαμέτρου $AI$ που τέμνει τον κύκλο $(ABC)$ στο σημείο $T'$. Προφανώς $\angle AT'I =90^{\circ}$. Αν αποδείξουμε ότι τα σημεία $M$, $D$ και $T'$ ανήκουν στην ίδια ευθεία, τότε $T'\equiv T$. Τα τρίγωνα $T'BF$ και $T'CE$ είναι όμοια ($\angle TBF=\angle T'BA=\angle T'CA...

Μια λύση, όχι η πιο σύντομη... Το κέντρο $O$ του ημικυκλίου είναι το σημείο τομής των μεσοκαθέτων των ευθυγράμμων τμημάτων $AB$ και $CD$, επομένως, είναι το ένα από τα δύο σημεία των δύο ποδηλατιστών $(*)$ για τους κύκλους $SAD$ και $SBC$, οι οποίοι τέμνονται στα σημεία $S$ και $L$. Ως εκ τούτου το ...

Από το επισυναπτόμενο σχήμα εύκολα διαπιστώνουμε ότι οι ευθείες Simson των ιχνών των εξωτερικών διχοτόμων στον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου $ABC$, είναι οι διχοτόμοι των γωνιών του τριγώνου που ορίζεται από τα μέσα των πλευρών του τριγώνου $ABC$. Από αυτό προκύπτει άμεσα το αποδεικτέο. simson_e...

Η ευθεία $AE$ συμμετροδιάμεσος των τριγώνων $ABC$ Και $EBC$. Αν $N$ το μέσο της $BC$ τότε, $\angle BEA=\angle CEN \quad (1)$. Έστω $\omega$ ο κύκλος που διέρχεται από τα σημεία $D$, $P$ και $E$, που τέμνει την $CD$ στο σημείο $M'$. Θα αποδείξουμε ότι το $M'$ είναι το μέσο του $DC$, ή ισοδύναμα, η $N...

Οι προεκτάσεις των μη παράλληλων πλευρών , ενός τραπεζίου τέμνονται στο σημείο ,
και οι διαγώνιοί του στο σημείο . Στη βάση θεωρούμε σημείο τέτοιο, ώστε .
Να αποδείξετε ότι .

Θεωρούμε και το τρίτο παράκεντρο $I_{a}$. Θα χρησιμοποιήσουμε το επόμενο λήμμα. Λήμμα : Έστω $I_{a}$ το κέντρο του παρεγγεγραμμένου κύκλου $\omega$, που εφάπτεται της πλευράς $BC$ και των προεκτάσεων των $ΑΒ$ και $AC$. Τότε, $I_{a}M \parallel AD$ (η απόδειξη αυτού του λήματος είναι παρόμοια της απόδ...

Στην παραπάνω απόδειξη ορισμένα στοιχεία ήταν περιττά . Δίνω ξανά την απόδειξη χωρίς αυτά. Λήμμα 1 : Η ευθεία $MI$ είναι παράλληλη της $AE$, όπου $E$ το σημείο επαφής του $A$-παρεγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου $ABC$ με την πλευρά $BC$ (Η απόδειξη εδώ ) Έστω ότι ο εγγεγραμμένος κύκλος εφάπτεται της...

Θα χρησιμοποιήσουμε τα παρακάτω λήμματα: Λήμμα 1 : Η ευθεία $MI$ είναι παράλληλη της $AE$, όπου $E$ το σημείο επαφής του $A$-παρεγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου $ABC$ με την πλευρά $BC$. Λήμμα 2 : Η ευθεία $MI$ τέμνει το ύψος $AH$ σε σημείο $Q$, έτσι ώστε, το ευθύγραμμο τμήμα $AQ$ να ισούται με την...

Αν $K$, $L$ τα κέντρα των δύο κύκλων, τότε το μέσο $N$ της διακέντρου $KL$ ισαπέχει των μέσων $M_{1}$, $M_{2}$ των ευθυγράμμων τμημάτων $BS$, $BT$ (γνωστή ιδιότητα του ορθογώνιου τραπεζίου $KLM_{2}M_{1}$). Με την ομοιοθεσία κέντρου $B$ και συντελεστή ομοιοθεσίας $2$, το $M_{1}$ μεταφέρεται στο $S$, ...

Έστω ότι το ορθόκεντρο του τριγώνου είναι και το έγκεντρο του τριγώνου . Το σημείο είναι το περίκεντρο του τριγώνου . Να αποδείξετε ότι οι ευθείες , και διέρχονται από το ίδιο σημείο.

Δίνεται τρίγωνο $ABC$. Το σημείο $X$ είναι τέτοιο, ώστε $BX \bot BC$ και $AX = BX$, και το σημείο $Y$ τέτοιο, ώστε $CY \bot BC$ και $AY = CY$. Οι ευθείες $XY$ και $BC$ τέμνονται στο σημείο $T$. Να αποδείξετε ότι η ευθεία $AT$ εφάπτεται του περιγεγραμμένου κύκλου $\Omega$ του τριγώνου $ABC$. touch_li...

Στο τόξο $AC$ του περιγεγραμμένου κύκλου $\Omega$ του οξυγώνιου τριγώνου $ABC$, που δεν περιέχει την κορυφή $B$, επιλέγουμε ένα σημείο $D$. Το σημείο $E$ του ευθύγραμμου τμήματος $AC$ είναι τέτοιο, ώστε $DE = AE$. Στην ευθεία $\ell \parallel AB$, που διέρχεται από το $E$, επιλέγουμε σημείο $F$ τέτοι...

Τα παραπάνω λήμματα τα βήκα σε ένα pdf αρχείο από τον ρωσικό ιστότοπο Geometry.ru.,
με τίτλο "Γύρω από ένα πρόβλημα του Αρχιμήδη".
Ο ρώσος συγγραφέας αυτού του άρθρου αποδίδει την πατρότητα του κειμένου στον γάλλο Γεωμέτρη
Jean Louis Ayme.

Για την πληρότητα της απάντησης δίνουμε τα παρακάτω λήμματα. Λήμμα Αρχιμήδη : Κύκλος $(\alpha)$ εφάπτεται χορδής $MN$ κύκλου $(\beta)$ στο σημείο $B$, και του κύκλου $(\beta)$ στο σημείο $Α$. Τότε, η $AB$ είναι διχοτόμος της γωνίας $MAN$. Απόδειξη : Συμβολίζουμε με $L$ το δεύτερο σημείο τομής της $A...