Σε τρίγωνο $ABC$ δίνονται $AB=5, BC=8$ και η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου $r=\sqrt 3.$ Να δείξετε ότι $\widehat B=60^\circ$ ή $\widehat C=30^\circ$ Έστω $\theta = \widehat {ABC}$. Αν $a + b + c = 2s$, θα ισχύουν ταυτόχρονα για το εμβαδόν $E = \left( {ABC} \right)$. $\left\{ \begin{gathered} E = ...

Αν $ \alpha < 2 < \beta $, να αποδείξετε ότι: $ \alpha^{2}\beta + 2 \beta^{2} + 4\alpha > \alpha \beta^{2} + 2\alpha^{2} + 4\beta$ άσκηση με διάταξη.png Η σχέση γράφεται ισοδύναμα : ${a^2}b - a{b^2} - 2({a^2} - {b^2}) + 4(a - b) > 0 \Leftrightarrow ab(a - b) - 2(a + b)(a - b) + 4(a - b) > 0$ προκύπ...

Εδώ έγκεντρο εκεί βαρύκεντρο.png Αν $K$ το σημείο τομής των $CI$ με τη $BE$ το $K$ θα είναι μέσο της βάσης $BE$ του ισοσκελούς τριγώνου $CBE$. Έστω ακόμα, $M$ το σημείο τομής της $BI$ με την $AC$ . Θα είναι ( Θ διχοτόμου ), $\boxed{x = AM = \frac{{4 \cdot 3}}{{3 + 5}} = \frac{3}{2}}$ κι αφού προφαν...

Θα αποδείξω ότι δεν υπάρχει τέτοιο τρίγωνο, δηλαδή ότι το σχήμα είναι λάθος. Πράσινα άλογα.png Πράγματι με νόμο συνημιτόνου βρίσκω $\displaystyle x = 25 - 12\sqrt 2 $ και στη συνέχεια διαπιστώνω ότι $x^2+3^2>4^2,$ που σημαίνει ότι το τρίγωνο $TSC$ είναι οξυγώνιο, άρα η μεσοκάθετος του $TS$ τέμνει τ...

Στο σχήμα να υπολογίσετε το πράσινο άλογο ( εμβαδόν) του τριγώνου

$\cos A = \dfrac{{{5^2} + {7^2} - {8^2}}}{{2 \cdot 5 \cdot 7}} = \dfrac{1}{7}\,\,\,\left( 1 \right)$. (Θ. συνημίτονου στο $\vartriangle ABC$) Από το εγγράψιμο τετράπλευρο $PTSQ$ έχω $\widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\theta _2}}$ κι από το παραλληλόγραμμο $APSQ$ είναι $\widehat {{A_{}}} = \widehat...

Σχέση γωνιών τριγώνου.png $AD$ είναι το ύψος και $AM$ η διάμεσος τριγώνου $ABC.$ Αν ο κύκλος διαμέτρου $AD$ διέρχεται από το βαρύκεντρο $G$ του τριγώνου, να βρείτε μία σχέση ανάμεσα στις γωνίες $\widehat B$ και $\widehat C.$ $\boxed{\frac{1}{{\tan C}} - \frac{1}{{\tan B}} = \sqrt 2 }$ Πράγματι: Επε...

Έστω $E$ το μέσο της βάσης $BD$ του ισοσκελούς τριγώνου $NDB$. Προφανώς το τετράπλευρο $DEMN$ είναι εγγράψιμο και $EM//DC$. Γωνία $\boxed{\widehat {{\theta _{}}} = \widehat {{\theta _1}}}$ σταθερή . Θα ισχύουν ταυτόχρονα: $\displaystyle \left\{ \begin{gathered} \widehat {{\omega _{}}} = \widehat {{\...

Καλημέρα Κατασκευή: Έστω $O$ το κέτρο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου $ABC$και $H$ η προβολή του στην $AB$. Φέρνω τον περίκυκλο του τριγώνου $AHO$ και θεωρώ $D_{1}$ και $D_2$ τα σημεία που τέμνει την $BC$. Αν $E_{1},E_{2}\equiv AD_{1},AD_{2}\cap (O,OA)$, τότε απο τα εγγράψιμα $ABE_1C$ και $...

Δεν ξέρω πότε την έχουν δημοσιεύσει οι Κινέζοι. Στο ίδιο πνεύμα υπάρχει άσκηση στο βιβλίο (1987) Γεωμετρίας ολυμπιάδων του Κοντογιάννη αλλά στη λύση του υπάρχει τυπογραφικό λάθος . Μετά ο πολυγραφότατος, αγαπητός τοις πάσι, φίλος Μπάμπης Στεργίου , την συμπεριέλαβε στο βιβλίο του Γεωμετρία 1 για δια...

Σε σκαληνό και μη ορθογώνιο τρίγωνο να βρεθεί σημείο στη πλευρά

έτσι ώστε το τμήμα να είναι μέσο ανάλογο των .

Διερεύνηση

Εφαρμογή :

Απο Κίνα.png $43°-13°+9°=39°$ Πλήρης λύση α) Απο Κίνα_a.png Γράφω το κύκλο του τριγώνου $ABC$ και ας είναι $K$ το κέντρο του . Επειδή $\widehat {ABC} = 64^\circ + 86^\circ = 120^\circ $ αναγκαστικά $\widehat {AKC} = 60^\circ $ και το τρίγωνο $AKC$ είναι ισόπλευρο και $\widehat {AKB} = 2\widehat {BC...

Ακόμη μια καθετότητα.png Επειδή η γωνία ( Από το $\vartriangle ADB$) : $\widehat {{\omega _{}}} + \widehat {{\phi _1}} = 90^\circ - \widehat {{\theta _{}}}\,\,\,\,$ και από το $\vartriangle PTB$: $\widehat {{\omega _{}}} + \widehat {{\phi _2}} = 90^\circ - \widehat {{\theta _{}}}\,\,\,\,$ θα είναι ...

Ορθογωνιακές σκέψεις.png Φέρνω και τη διάμεσο $BZ$ του $\vartriangle ABC$. Το $E$ είναι το βαρύκεντρό του . α) $BZ = \sqrt {2{b^2} + \dfrac{{{b^2}}}{4}} = \dfrac{3}{2}b \Rightarrow EZ = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{3}{2}b = AZ = ZC$ και άρα $\widehat {AEC} = 90^\circ $ β) Στα τρίγωνα $ANC\,\,\,\kappa ...

Μπράβο στα λεβεντόπαιδα. Κάτι παρόμοιο κι από μένα: Φέρνω την εφαπτομένη του κύκλου στο $A$ και τέμνει την $CB$ στο $D$. Συνεπώς : $\widehat {DAB} = \widehat {{C_{}}} = \widehat {{\theta _{}}}$ Ταυτόχρονα ισχύουν: $\left\{ \begin{gathered} \widehat {{D_{}}} + \widehat {{\omega _{}}} + \widehat {{\th...

πλευρές τριγώνου.png Το $\vartriangle ADN$ με τις προδιαγραφές της υπόθεσης είναι αναγκαστικά της μορφής : $AD = 4k\,\,,\,\,\,DN = \,5k\,\,,\,\,NA = 6k\,\,$ με $k > 0$ τότε θα ισχύει ακόμα $\boxed{\cos \theta = \frac{1}{8} = \frac{{16{k^2} + 25{{\left( {k + 1} \right)}^2} - {{22}^2}}}{{2 \cdot 4k \...

Προφανώς :

Όχι και διχοτόμος.pngΑπό σημείο $S$ που βρίσκεται στην προέκταση της διαμέτρου $AOB$ ενός ημικυκλίου , φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα $SP$ και $PT \perp OB$ . Το σημείο $M$ , είναι το μέσο του ημικυκλίου . Γράφω τον κύκλο $(M , T , S )$ , ο οποίος τέμνει την προέκταση της $TP$ στο σημείο $Q$ . α) Δείξ...

Κατασκευή και απόδειξη . Έστω δυο κάθετες ευθείες που τέμνονται στο $A$. Στη κατακόρυφη θεωρώ σημείο $B$ και το μέσο $M$ του $AB$. Γράφω το κύκλο που διέρχεται από τα $M\,\,\kappa \alpha \iota \,\,B$ και εφάπτεται της οριζόντιας ευθείας στο σημείο $S$( υπάρχουν δύο ίσοι-Απολλώνιο πρόβλημα- κρατάμε τ...

Αναπάντεχο μέσο.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο $ABC$ , είναι : $\sin\hat{C}=\dfrac{2}{5}$ . Στις πλευρές $AC , BC$ , θεωρούμε σημεία $S , T$ αντίστοιχα , τέτοια ώστε : $\dfrac{AS}{SC}=\dfrac{2}{5}$ και : $\dfrac{BT}{TC}=\dfrac{3}{2}$ . Δείξτε ότι ο κύκλος $(B , S , T)$ , διέρχεται από το μέσο $M$ της πλε...