Στο σχήμα τα είναι τα μέσα των διαμέσων του .

Να υπολογιστεί το εμβαδόν του .

24 ώρες, μόνο για μαθητές .

Ο χρονικός περιορισμός παρήλθε.
Μια λύση χωρίς λόγια.

α) Κατασκευή στο σύστημα_πρώτο βήμα.png Με κέντρο την αρχή $A$ των αξόνων γράφω τον κύκλο $\left( {A,2} \right)$ που τέμνει τον αρνητικό ημιάξονα των τετμημένων στο $D$ και το θετικό των τεταγμένων στο $E$. Γράφω τους κύκλους : $\left( {D,4} \right)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( {E,3} \right)$...

Ας είναι $BE$ η εξωτερική διχοτόμος του $\vartriangle ABC$. Επειδή : $EB\, \bot BD\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,MD \bot BD$ θα είναι : $EB//DM\,\,\left( 1 \right)$. Τα σημεία $D\,\,\kappa \alpha \iota \,\,E$ είναι αρμονικά συζυγή των $C\,\,\kappa \alpha \iota \,\,A$ . Αν θέσω : $DC = k \Rightarrow D...

Κατασκευή στο σύστημα.png Να κατασκευαστεί το σχήμα που βλέπετε ( ακριβώς 100%) με κανόνα και διαβήτη χωρίς κανένα απολύτως υπολογισμό . Νίκο, σου κάνει το εξής: Σχεδιάζουμε τυχαίο ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο $A'B'C'$ με ορθή την $A'$. Γράφουμε τον κύκλο του Απολλωνίου των σημείων $S'$ όπου $S'A':S...

Να κατασκευαστεί το σχήμα που βλέπετε ( ακριβώς 100%) με κανόνα και διαβήτη χωρίς κανένα απολύτως υπολογισμό .

Ας δούμε μια ακόμη λύση του λήμματος αυτύ Πάντα διαάμεσος λήμμα_new.png Φέρνω την εξωτερική διχοτόμο $AS$ του $\vartriangle ABC$. Επειδή $SA/BE$ ( σαν κάθετες στην $AD$) θα ισχύει : $\boxed{\dfrac{{AE}}{{ED}} = \dfrac{{SB}}{{BD}} = \dfrac{{\dfrac{{ac}}{{b - c}}}}{{\dfrac{{ac}}{{b + c}}}} = \dfrac{{b...

Παραθέτω πρώτα το λήμμα και ύστερα θα γραψω και την απόδειξή του. ΛΗΜΜΑ Έστω σκαληνό τριγωνο $ABC$ , με $AC>AB$και ας είναι $AD$ η διχοτόμος της γωνίας $\angle{A}$. Έστω επίσης $E$ η προβολή του $B$ πάνω στην $AD$. Τότε ισχύει ότι $\dfrac{AE}{ED}=\dfrac{AC+AB}{AC-AB}$ Ας δούμε μια λύση του λήμματος...

Ας είναι $AE = x\,\,\kappa \alpha \iota \,\,EZ = y\,\,\,$ με $x,y > 0$ και π.χ. $x \geqslant y$ Θα ισχύουν ταυτόχρονα: $\left\{ \begin{gathered} xy = \frac{{2E}}{3} \hfill \\ \left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right) = E \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} s = x ...

Ισοσκελές τραπέζιο _29_6_2020.png Θεωρώ το σταθερό ισοσκελές τρίγωνο $CTD\,\,\left( {CT = CD} \right)$ με βάση $TD = 5\,\,$ και διάμεσο $CM = 5$. Γράφω τον κύκλο $\left( {D,5} \right)$ και τη μεσοκάθετο του $CD$που τον τέμνει σε δύο σημεία . Ας είναι $K$ αυτό προς τη μεριά του $T$. Ο κύκλος $\left(...

Κάτι παρόμοιο αλλά έρχομαι ... μακράν πίσω ! Μέγιστο ύψος_KARKAR.png Θα το γράψω ανεβάσω πάντως , Μέγιστο ύψος: $ - a\left( {\sqrt {48 + 16\sqrt 3 } + \sqrt 3 - 7} \right)$ $\left\{ \begin{gathered} \tan \theta = \frac{a}{x} \hfill \\ \tan \omega = \frac{y}{{a - x}} \hfill \\ \end{gathered} \right. ...

Αν $S$ το σημείο τομής των $CA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,MD$ από το $\vartriangle MSC$ θα είναι το $A$ μέσο του $SC$ και το τρίγωνο $BSC$ ισοσκελές με κορυφή το $B$. Διαδοχικά έχω : $\widehat {{a_4}} = \widehat {{a_3}}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {{a_3}} = \widehat {{a_2}}$ ( εξωτερική το...

Πάντα διάμεσος.png Δίδεται ευθύγραμμο τμήμα $BC = a$. Γράφω το κύκλο $\left( {B,3a} \right)$ και έστω τυχαίο του σημείο $A$ ( Τα $A,B,C$ όχι συνευθειακά ) Αν $BD$ διχοτόμος του $\vartriangle ABC$ και η κάθετος στην$DA$ στο $D$ τμήσει την $AB$ στο $M$, δείξετε ότι το $M$ είναι μέσο του $AB$. 24 ώρες...

Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο $ABC$ , με $AB<AC<BC$ και έστω $(c)$ ο περιγεγραμμένος του κύκλος. Φέρουμε τα ύψη $BE$ και $CZ$. Ες είναι $D$ ένα τυχαίο σημείο του μικρού τόξου $AC$. Οι ευθείες $BD$ και $CZ$ τέμνονται στο $Q$, ενώ οι $BE$ και $CD$ στο $S$. Τέλος , αν $K$ το συμμετρικό του $S$ ως προς το $...

Ας είναι $F$ το σημείο τομής των δεδομένων καθέτων $PO\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,BT$ και $D$ το σημείο τομής της $AP$ με το κύκλο κέντρου $O$. Προφανώς το τετράπλευρο $AOFT$ είναι εγγράψιμο σε κύκλο διαμέτρου $OT$ . Αυτό τον κύκλο αντιστρέφω με πόλο το $P$ και δύναμη αντιστροφής ${d^2} = P{B^2}...

Προπομπός Castellion_εκφώνηση.png Δίδονται, στο επίπεδο , σταθερός κύκλος $\left( O \right)$, τα σταθερά σημεία $M\,,\,\,{\rm N}$ και μια σταθερή ευθεία $\left( g \right)$. Να εγγραφεί στον κύκλο, τρίγωνο $ABC$ έτσι ώστε : Οι $AB\,,\,\,AC$ να διέρχονται από τα σημεία $M,\,\,N$ και η πλευρά $BC//\le...

Ρυθμός τεταγμένης λόγω απαφής_τριγωνομετρικά.png $\left\{ \begin{gathered} \tan \theta = \frac{2}{m} \hfill \\ \tan \omega = \frac{2}{k} \hfill \\ k = a - 2 \hfill \\ m = b - 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} \tan \theta = \frac{2}{m} \hfill \\ \frac{{1 - \tan ...

Η ωραία λύση του Κ. Λάμπρου αποθαρρύνει το ανέβασμα άλλης λύσης . Ας δούμε όμως μια ακόμα. Η ευθεία , $AB \to \dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} = 1\,\,\,\,\mu \varepsilon \,\,a,b > 4\,\,\,\,$. Δηλαδή : $bx + ay - ab = 0$ . Επειδή η ακτίνα του κύκλου είναι $2$ θα ισχύει : $\dfrac{{|2a + 2b - ab|}}{{\sqrt {...

Κάτι παρόμοιο με το Χρήστο. Ας είναι $K\,\,\kappa \alpha \iota \,\,T$ οι τομές της ευθείας $DH$ με τις ευθείες $AC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AB$. Στο $\vartriangle ADC$ το σημείο $H$ είναι ορθόκεντρο , προφανές δε ‘ότι τα τετράπλευρα : $AFEC\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,AECB$ είναι εγγράψιμα. Έτ...

Σταθερή απόσταση_αθροιστικά.png Έστω $H$ το σημείο τομής των $BT\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CP$ που προφανώς είναι το ορθόκεντρο του $\vartriangle ABC$. Ο κύκλος που διέρχεται από τα $M\,\,,\,\,T\,\,,P$ είναι ο κύκλος του $Euler$ και περνά από το μέσο $S$ του $AH$ και αφού έχει διάμετρο το $MS$ αυτ...