Εφαπτομένη από εφαπτομένη.pngΟι $BD,CE$ είναι οι διχοτόμοι των οξειών γωνιών του ορθογωνίου τριγώνου $\displaystyle ABC$ . Αν $\tan\theta=m$ , υπολογίστε την $\tan\phi$ . Εφαρμογή : Θεωρήστε ότι : $\tan\theta=\dfrac{25}{32}$ . Έστω ότι $c > b$ Είναι : $\left\{ \begin{gathered} DA = \frac{{bc}}{{a +...

Ο εγγεγραμμένος κύκλος του σκαληνού τριγώνου $ABC$ εφάπτεται των πλευρών $BC$, $AC$, $AB$ στα σημεία $A_{1}$, $B_{1}$, $C_{1}$ αντίστοιχα. Η κάθετος της $C_{1}B_{1}$ που άγεται από το $A_{1}$ τέμνει την $AB$ στο σημείο $X$. Οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων $ABC$ και $AB_{1}C_{1}$ τέμνονται γι...

Ισότητα προδίδει λόγο.pngΗ υποτείνουσα $BC$ του ορθογωνίου τριγώνου $\displaystyle ABC$ είναι διάμετρος ενός ημικυκλίου . Η διχοτόμος $BD$ τέμνει το τόξο στο σημείο $E$ . Αν $BD=DE$ , βρείτε το : $\sin\hat{C}$ . Κατασκευαστικά : Αναζητώ το σημείο $A$ του ημικυκλίου για το οποίο ισχύουν οι προδιαγρα...

Γνώμονα και μόνο.png Πολύ όμορφο !! Πρώτα προσδιορίζω το εξωτερικό σημείο ομοιότητας των δύο κύκλων . Έστω $A\,,\,B$ τα σημεία τομής των δύο κύκλων και $T$ το σημείο τομής του κύκλου $(K)$ με τη διάκεντρο $OK$. Φέρνω τις ευθείες $AT\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BT$ που τέμνουν το κύκλο $(K)$ στα $C\,...

Να είσθε βέβαιοι , ότι θα υπάρξει και διαφορετική λύση από αυτήν που θα δώσετε ! Η ρήση του Θανάση ναι μεν δεν είναι ψευδής, αλλά δεν λέει και κάτι μη τετριμμένο. Ακόμα και δύο λύσεις να δινόταν, τότε είναι βέβαιο ότι υπάρχει διαφορετική λύση από αυτήν που έδωσε έκαστος εκ των δύο. Επί της ουσίας. ...

Αν $R$ η ακτίνα του ημικυκλίου τότε $\boxed{MA = MB = r = R\sqrt 2 }$. 1 Γράφω τον κύκλο $(M,r)$ και θα είναι $\left\{ \begin{gathered} x + 7 = 2R \hfill \\ 7x = {r^2} - M{S^2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} x + 7 = 2R \hfill \\ 7(2R - 7) = 2{R^2} - 169 \hfill ...

Μέγιστο γινόμενο.png Οι κύκλοι $(O,2)$ και $(K,1)$ εφάπτονται εξωτερικά . Η εφαπτομένη του $(O)$ σε κινητό σημείο του $S$ , τέμνει τον $(K)$ στα σημεία $P,T$ . Υπολογίστε το μέγιστο του $SP\cdot PT$ Μέγιστο γινομένου 11.png Το μέγιστο επιτυγχάνεται όταν το $T$ είναι στην προέκταση του $OK$ και είνα...

Μπορεί να γίνεται.pngΣε τμήμα $AC$ υπάρχει σημείο $S$ , ώστε : $AS=2, SC=4$ . Θεωρούμε σημείο $B$ έξω από το τμήμα , ώστε : $SB=3$ . Γράφουμε τον κύκλο : $(A,B,C)$ . Μπορούμε άραγε να υπολογίσουμε την ακτίνα του κύκλου αυτού συναρτήσει της γωνίας $\widehat{CSB}$ ; Αν $O$ το κέντρο του κύκλου , μπορ...

Επειδή θα έχω :

Χρόνια πολλά με Υγεία σε όλα τα μέλη του που γιορτάζουν σήμερα. Ιδιαίτερες ευχές:

Στον φίλο Μιχάλη Νάννο Στο Σεβαστό καθηγητή Πανεπιστημίου, Μιχάλη Λάμπρου

Στον αγαπητό Μιχάλη Τσουρακάκη

και στο Πρόεδρο του παραρτήματος Λασιθίου, Μιχάλη Περάκη

Από σταθερό σημείο.pngΟ κύκλος $(K,r)$ εφάπτεται εσωτερικά του $(O,R) , R<2r$ , σε σημείο $S$ . Μεταβλητή διάμετρος $AB$ του μεγάλου τέμνει τον μικρό κύκλο στα σημεία $P,T$ , ενώ οι $SP,ST$ τέμνουν τον μεγάλο στα $L,N$ . Α) Δείξτε ότι : $LN\parallel AB$ και Β) Δείξτε ότι η $LN$ διέρχεται από σταθερ...

Επειδή θα είναι :

και άρα

Με Ευκλείδεια γεωμετρία $\left\{ \begin{gathered} PS = \frac{{14\sqrt 7 }}{{15}} \hfill \\ QT = \frac{{46\sqrt 7 }}{{15}} \hfill \\ PS \cdot PT = \frac{{4508}}{{225}} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ και με τα νέα ζητούμενα αν και είναι πολύ πιο απλά τα πράγματα αφού την πάλευα με τα παλιά έχω : $\...

Δίνονται τα τρίγωνα $ABC,A'B'C'$ με $\upsilon _{a}=\upsilon _{a'}, \delta _{a}=\delta _{a'}, $ και τις γωνίες $B,B'$ ίσες. Να εξετάσετε αν τα τρίγωνα είναι ίσα. Με πρόλαβαν Αν $AK,\,\,A'K'\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AD,\,\,A'D'$ τα ύψη και οι διχοτόμοι στα δύο τρίγωνα είναι δε $\widehat {\theta \,}...

Χορδή κι εφαπτομένη.png $\left\{ \begin{gathered} \frac{x}{a} = \frac{{SC}}{{SA}}\,\,\,\left( {\vartriangle KAS \approx \vartriangle DCS} \right) \hfill \\ \frac{x}{b} = \frac{{SC}}{{SB}}\left( {\vartriangle DSC \approx \vartriangle LSB} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \boxed{\...

Nanrespect.pngΜιχάλη , μην νομίσεις ότι κατασκεύασες τη "θεματάρα" . Απλά φαίνεται ότι πολλοί σ' αγαπούν εδώ μέσα και δίνουν λύσεις για να σου φτιάξουν το κέφι Εξ όσων γνωρίζω πλείστοι όσοι εξ ημών έχουν τύχει ευεργετημάτων του Μιχαήλωφ ! Προσωπικά δεν μου έχει ποτέ χαλάσει χατήρι σε ότι του ζητήσω...

shape.pngΣτο ισόπλευρο τρίγωνο $ABC$, του παραπάνω σχήματος, να βρείτε το τμήμα $x = BE$ Κάνω την ίδια εργασία με το σημείο $Z$ της πλευράς $BC$ με $BZ = 8\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ZC = 4$ και φέρνω κάθετη στη $MZ$στο $Z$ που τέμνει την $DE$ στο $H$ και την $AB\,\,$ στο $K$. Προφανώς λόγω συμμετρ...

shape.pngΣτο ισόπλευρο τρίγωνο $ABC$, του παραπάνω σχήματος, να βρείτε το τμήμα $x = BE$ Nanmakia_new_2.png Έστω η τομή των ευθειών , $ED\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,CA$ . στο ορθογώνιο τρίγωνο $DMG$ από Θ. συνημίτονου έχω : $\left\{ \begin{gathered} D{M^2} = {4^2} + {6^2} - 4 \cdot 6 = 28 \hfill ...

shape.pngΣτο ισόπλευρο τρίγωνο $ABC$, του παραπάνω σχήματος, να βρείτε το τμήμα $x = BE$ Προεκτείνω την πλευρά $BC$ πέραν του $C$ κατά τμήμα $CS = BC = 12$. Το τρίγωνο $ABS \to (90^\circ ,60^\circ ,30^\circ )$. Έστω τώρα το ύψος $AO$ του $\vartriangle ABC$ και $H$το σημείο τομής του με το $DM$. Θα ...

Ενδιαφέρουσα γωνία.pngΟι αριθμοί $a,b$ είναι θετικοί και μικρότεροι από το μήκος της ακτίνας του κύκλου : $x^2+y^2=r^2$ . Ονομάζω $A$ το σημείο του πρώτου τεταρτημορίου , στο οποίο η ευθεία $x=a$ τέμνει τον κύκλο και $B$ , το σημείο του τετάρτου τεταρτημορίου , στο οποίο η ευθεία $y=-b$ τέμνει τον ...