Χρόνια πολλά στο Θανάση, στο Σάκη, στο Θάνο, στο Νάσο και στην Αθανασία.

Ιδιαίτερα στους :

KARKAR

Θάνο Καλογεράκη(sakis1963)

thanasis.a.

Θάνο Μάγκο

Θανάση Κοντογεώργη (socrates)

Θανάση Μπεληγιάννη

Θανάση Κοπάδη

Ορθογώνιοι κύκλοι και εμβαδά.png Δύο ορθογώνιοι κύκλοι $(O,r), (K, R), r<R$ τέμνονται στα σημεία $M, N.$ Μία ευθεία που διέρχεται από το $M$ τέμνει τον κύκλο $(O)$ στο $A$ και τον $(K)$ στο $B.$ α) Να δείξετε ότι οι $AN, BK$ τέμνονται σε ένα σημείο $C$ του κύκλου $(K).$ β) Αν $r=3, R=4$ να βρείτε τ...

Τεταρτοκυκλικό θαύμα και όχι μόνο του


Βλέπω τα είπε και πιο πάνω ο Στάθης .

Εμβαδόν από τριχοτομήσεις.png Τα σημεία $D, E$ τριχοτομούν την πλευρά $BC$ και τα $F, H$ την πλευρά $AC$ τριγώνου $ABC.$ Οι $AD, AE,$ $BF, BH$ σχηματίζουν το τετράπλευρο $KLMN.$ Αν $(ABC)=70,$ να υπολογίσετε το $(KLMN).$ Εμβαδόν από τριχοτομήσεις Ξεκινώ με ελαφρομένο το σχήμα. Εμβαδόν απο τριχοτομή...

Η απάντηση είναι αρνητική

Χαιρετώ όλους τους $\Phi$ίλους! Ημικύκλιο ..N.F.PNG Δεξιά στο σχήμα η $DB$ τέμνει τον κύκλο των $A,B,C$ στο $H$. Είναι $\widehat{ABH}=90^\circ$ οπότε $AMH$ διάμετρος και το $ABHC$ ορθογώνιο. Έχουμε $AD^{2}=2c^{2}...DH=b+c$ και $DC \perp AH$. Από τη συνθήκη καθετότητας παίρνουμε $DH^{2}-CH^{2}=DA^{2...

Εμβαδόν από τριχοτομήσεις.png Τα σημεία $D, E$ τριχοτομούν την πλευρά $BC$ και τα $F, H$ την πλευρά $AC$ τριγώνου $ABC.$ Οι $AD, AE,$ $BF, BH$ σχηματίζουν το τετράπλευρο $KLMN.$ Αν $(ABC)=70,$ να υπολογίσετε το $(KLMN).$ Ξεκινώ με ελαφρομένο το σχήμα. Εμβαδόν απο τριχοτομήσεις_a.png α) Αν η $CM$ κό...

Στο τετράγωνο το είναι μέσο του .

Έστω σημείο στην . Η τέμνει την στο .

Να βρεθεί η θέση του για την οποία

Δίδονται τα μοναδιαία και κάθετα διανύσματα : $\overrightarrow u = \left( {a,b} \right)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\overrightarrow v = \left( {x,y} \right)$ Δείξετε ότι : $|ay - bx| = 1$ Μοναδιαία και κάθετα.png Ας είναι $\overrightarrow {OM} = \overrightarrow u = \left( {\cos \theta ,\sin \theta...

Μόνο την κατασκευή

Γράφω τον κύκλο που τέμνει την στο .

Φέρνω από το κάθετη ευθεία στην

Το συμμετρικό , , του ως προς την ορίζει την κορυφή του ισοπλεύρου τριγώνου.

Με πρόλαβε ο Γιώργος με γωνίες .

Έστω $AB = 6a$. Τα ευθύγραμμα τμήματα $\overline {ATN} \,\,\kappa \alpha \iota \,\,\overline {DTL} $ είναι ίσα και κάθετα με τα $N,L$ να είναι μέσα των $DC,CB$. Ας είναι $E$ το σημείο τομής των $AD,BN$ και $K,F$ τα σημεία τομής της εφαπτομένης $BT$με τις $DC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DE$. Από το εγ...

Προβλέψιμη συνευθειακότητα.pngΚύκλος εσωτερικός στην γωνία $\widehat{xOy}$ , εφάπτεται της πλευράς $Ox$ , σε σημείο $S$ . Ευθεία $\varepsilon$ παράλληλη προς την $Oy$ , τέμνει τον κύκλο στα σημεία $P,Q$ . Από σημείο $T$ της $Oy$ , ώστε : $OT=OS$ , φέρω τις $TP ,TQ$ , οι οποίες τέμνουν τον κύκλο στα...

Εφαπτομένη στο τετράγωνο.png Με διάμετρο την πλευρά $AD$ τετραγώνου $ABCD$ γράφω ημικύκλιο εντός του τετραγώνου και φέρνω το εφαπτόμενο τμήμα $BT.$ Η $AC$ τέμνει την $BT$ στο $P$ και την $DT$ στο $S.$ Αν $Q$ είναι το σημείο τομής των $BS, CT$ και $P\widehat QB=\theta,$ να υπολογίσετε την $\tan \the...

Πρώτα-πρώτα να συγχαρώ τον νεαρό Φωτιάδη για την ωραία λύση του . Αν $D$ το σημείο επαφής της $MQ$ με το ημικύκλιο διαμέτρου $\overline {AOB} = 2R$ αυτό θ ανήκει και στο ημικύκλιο διαμέτρου $\overline {AMP} = 2r$ θα τις βλέπει δε υπό ορθές γωνίες, άρα τα σημεία $B,D,P$ είναι συνευθειακά. Φέρνω τώρα ...

Δίδονται τα μοναδιαία και κάθετα διανύσματα :

Δείξετε ότι :

Δίδεται ημικύκλιο κέντρου και διαμέτρου .

Να βρείτε σημείο του ημικυκλίου τέτοιο ώστε αν σχεδιάσουμε το τεταρτοκύκλιο

κέντρου και ακτίνας ( έξω από το τρίγωνο ) να είναι .

Αφού είναι σταθερός ο κύκλος και η χορδή του $OB = 2a$ θα είναι σταθερή και η γωνία $\widehat {{S_{}}} = \widehat {{\theta _{}}}$. Αν $D$ το συμμετρικό του $S$ ως προς το $O$, το τετράπλευρο $SADB$είναι παραλληλόγραμμο ( δεν έχει σχεδιαστεί) . Αν από το $D$ φέρω παράλληλη στην $AT$ και κόψει την $SB...

Υπολογισμός τόξου.png Αν η $DE$ κόψει το κάτω ημικύκλιο στο $F$, το $\vartriangle DCF$ είναι ισοσκελές και άρα : $\vartriangle DCF \to \left( {80^\circ ,50^\circ ,50^\circ } \right)$ . Το κόκκινο τόξο είναι $100^\circ $ , το μπλέ τόξο δόθηκε $50^\circ $ και άρα το πράσινο τόξο είναι $30^\circ $ Τα ...

Σαρανταπεντάρι.png α) Τα ορθογώνια τρίγωνα $DAS\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,DBC$ έχουν κάθετες πλευρές ίσες αρα είναι ίσα οπότε $AS = BC = a$. Αν $K$ το μέσο του ημικυκλίου διαμέτρου $BC$ θα είναι $\boxed{ED = OE\sqrt 2 = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}}$ $\vartriangle ABC \simeq \vartriangle ADE \Righta...

Τέμνουσα γωνίας.pngΑπό σημείο $S$ εξωτερικό της γωνίας $\widehat{xOy}$ , να αχθεί ευθεία , η οποία να τέμνει τις πλευρές της γωνίας στα σημεία $P,T$ , ώστε να είναι : $OT=OP$ . Να αχθεί και άλλη τέμνουσα ώστε : $OT'=2OP'$ . Παρακαλείσθε να κρατήσετε το "fair play" , γράφοντας τη λύση όπως αρμόζει σ...