και

Φέρνω $DS//CA\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DS = BA = BC$ έτσι : $\vartriangle ABC = \vartriangle SBC$ και άρα το $\vartriangle ABS$ είναι ισόπλευρο, Εύρεση γωνίας Νάννος_1.png Άμεσες συνέπειες : $\left\{ \begin{gathered} \widehat x = \widehat \theta \hfill \\ SD = SA \hfill \\ \widehat x + \widehat ...

Για το β) Φέρνω από το $C$ παράλληλη στη $MP$ που τέμνει την $AM$ στο $T$ . Τότε : $(SMCP) = (PST)$ και άρα το $S$ είναι μέσο του $AT$ . Θέτω$MT = y$ Επειδή ταυτόχρονα $\left\{ \begin{gathered} \frac{{AM}}{{MT}} = \frac{{AP}}{{PC}} \hfill \\ x = y + SM \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \l...

Για το α) Από το Θ. Μενελάου στο $\vartriangle AMC$ με διατέμνουσα $\overline {BSP} $ έχω: $\boxed{\dfrac{{AS}}{{SM}} \cdot \dfrac{{MB}}{{MC}} \cdot \dfrac{{CP}}{{PA}} = 1 \Rightarrow \dfrac{x}{{\dfrac{c}{2} - x}} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{{c(1 - k)}}{{kc}} = 1 \Rightarrow x = \dfrac{{kc}}{{k ...

Ας είναι $T,P$ τα σημεία τομής των $AD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BC$ με την $OE$. Θεωρώ σημείο $S$ του τμήματος $AB$ έτσι ώστε : $AS = AT$. Αλλά $AT = PC$ ( στο μη σχεδιασμένο τετράπλευρο $ATCP$ οι διαγώνιοι διχοτομούνται άρα είναι παραλληλόγραμμο ) Έτσι θα είναι $BS = BP$. Θέτω: $SA = AT = PC = k\...

Ισαπέχει.png Αν $G$ το συμμετρικό του $S$ ως προς τον οριζόντιο άξονα , τα κέντρα των κύκλων που διέρχονται από τα $S$ και $G$ κι εφάπτονται στην ευθεία με εξίσωση : $\boxed{y = \frac{1}{2}x}$ είναι τα ζητούμενα σημεία. ( το πρώτο πρόβλημα $\,\,(\,\,\Sigma \Sigma {\rm E}\,\,)$ του Απολλώνιου Υπάρχε...

Στο σχήμα η είναι διάμεσος . Να βρείτε τις γωνίες των κορυφών του τριγώνου .

Όλες οι λύσεις μετρούν (είδα πάνω από 2 ντουζίνες!)

Μεγιστοποίηση.pngΗ διαγώνιος $AC=d$ , του ρόμβου $ABCD$ είναι σταθερή , αντίθετα με την $BD$ , η οποία μεταβάλλεται . Φέρω : $AS\perp BC , AT\perp CD$ . Βρείτε το μέγιστο εμβαδόν του σχηματιζόμενου τριγώνου $AST$ . Μέγιστο εμβαδόν 26.png Το τετράπλευρο $ASCT$ είναι εγγράψιμο σε σταθερό κύκλο διαμέτ...

Καλησπέρα. Βρήκα αυτή την άσκηση την οποία θέλω να μοιραστώ: Έστω τρίγωνο $ABC$. Έστω $M,N$ τα μέσα των πλευρών $AB,AC$ αντίστοιχα, $I$ το έγκεντρο του τριγώνου, και σημεία $D,E$ στις πλευρές $AB,AC$ αντίστοιχα ώστε $BD=CE=BC$. Έστω $l_1$ ευθεία που διέρχεται από το $D$ και ισχύει $l_1\perp IM$ και...

Επιστροφή στις ρίζες της Γεωμετρίας.png Δίνεται κύκλος $(K,R)$ και δύο κάθετες μεταξύ τους ακτίνες $KA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,KB$. Οι εφαπτόμενες του $\left( K \right)$ στα $A\,\,\kappa \alpha \iota \,\,B$ τέμνονται στο $O$. Θεωρώ την εφαπτομένη του $\left( K \right)$ σε τυχαίο σημείο του $T$ π...

Σε ισοσκελές τρίγωνο η διχοτόμος έχει διπλάσιο μήκος από το ύψος .

Ο κύκλος τέμνει τη πλευρά στο σημείο και οι ευθείες , και τέμνονται στο σημείο

Βρείτε το λόγο : .

Ανάλυση-Κατασκευή α) Έστω λυμένο το πρόβλημα. Επειδή $\widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\theta _2}}$ τα τρίγωνα $APC\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BTC$ θα έχουν τις γωνίες στα $A\,\,\kappa \alpha \iota \,\,B$ ίσες με $45^\circ $ κάθε μια και στα $P\,\,\kappa \alpha \iota \,\,T$ ίσες ως παραπληρώματ...

Γλυκιά καθετότητα.png Αν $P\,\,\kappa \alpha \iota \,\,E$ τα συμμετρικά των $A\,\,\kappa \alpha \iota \,\,D$ ως προς το $M$ τα τετράπλευρα $ABPC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DBEC$ είναι παραλληλόγραμμα . Το τρίγωνο $CAE$ είναι ισοσκελές με διάμεσο το $CP$ και άρα $CP \bot AE\,\,\kappa \alpha \iota \,...

Η δέσμη $Z(A,B,M,E)$ είναι αρμονική . Άρα και η δέσμη , $Z(B,N,S,C)$ είναι αρμονική. $\left\{ \begin{gathered} \frac{x}{6} = \frac{{EB}}{{EA}} = \frac{3}{9} \hfill \\ \frac{y}{x} = \frac{w}{6} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 2 \hfill \\ \frac{y}{x} = \frac{w...

Θεωρώ Καρτεσιανό συντεταγμένων με αρχή το $A(0,0)$ και έστω $B(7,0)$. Θα είναι έτσι: $\left\{ \begin{gathered} C\left( {7,7} \right),\,\,D\left( {0,7} \right)\,,\,E\left( {\dfrac{{21}}{2},0} \right)\,\,,M\left( {\dfrac{{21}}{4},0} \right) \hfill \\ DE \to 2x + 3y = 21 \hfill \\ CM \to y = 4x - 21 \h...

Καθετότητα για κάθε γούστο.png Έστω τετράγωνο $ABCD$ πλευράς $a$. Προεκτείνω την $AB$ προς το $B$ κατά τμήμα $BE = \dfrac{a}{2}$. Ας είναι δε $M$ το μέσο του$AE$ και $Z$ το σημείο τομής των $DE\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CM$. Δείξετε ότι $AZ \bot CE$. Όλες οι λύσεις δεκτές( εντός ή εκτός φακέλου ) ...

Ας είναι $Z\,\,\kappa \alpha \iota \,\,E$ τα αντιδιαμετρικά των $A\,\,\kappa \alpha \iota \,\,B$. Αβίαστα προκύπτουν: 1. το τρίγωνο $ZBE$ είναι ισοσκελές (διάμεσος και ύψος συμπίπτουν) 2. $EC// = 2PM$ ( Τα $M\,\,\kappa \alpha \iota \,\,P$ μέσα των $BC\,\kappa \alpha \iota \,\,BE$) 3. Το τετράπλευρο ...

Το ισοσκελές.png Τα τετράπλευρα $ABDP\,\,\kappa \alpha \iota \,\,PBMO$ είναι εγγράψιμα, ενώ $\widehat {BAD} = \widehat {OAC} = \widehat \theta $ , ως συμπληρώματα ίσων γωνιών . $\left\{ \begin{gathered} \widehat x = \widehat \theta + \widehat \omega \hfill \\ \widehat y + \widehat \theta = \widehat...

Καθετότητα για κάθε γούστο.png Έστω τετράγωνο $ABCD$ πλευράς $a$. Προεκτείνω την $AB$ προς το $B$ κατά τμήμα $BE = \dfrac{a}{2}$. Ας είναι δε $M$ το μέσο του$AE$ και $Z$ το σημείο τομής των $DE\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CM$. Δείξετε ότι $AZ \bot CE$. Όλες οι λύσεις δεκτές( εντός ή εκτός φακέλου ) ...

Κάπως διαφορετικά, χρησιμοποιώντας όμως ότι το $M$ είναι έγκεντρο του τριγώνου $EBC.$ Λόγος εμβαδών από συμμετρία.β.png Φέρνω την εφαπτομένη του έγκυκλου στο $A$ που τέμνει τις $AB, AC$ στα$P, Q$ και το ύψος $EL$ του τριγώνου $EBC.$ Προφανώς, $PQ||BC$ και τα τρίγωνα $APM, DMB$ είναι όμοια: $\displa...