Σε δύο τρίγωνα , τα ύψη τους είναι ίσα .

Αν επί πλέον : είναι τα τρίγωνα ίσα ;

Για τον ίδιο λόγο.png Με κέντρο ένα τυχαίο σημείο $N$ της διαμέσου $AM$ τριγώνου $ABC$ γράφω κύκλο και ονομάζω $D$ το ένα από τα δύο σημεία στα οποία τέμνει την $AC.$ Αν $E$ είναι το αντιδιαμετρικό του $D$ και η $BE$ τέμνει την $AM$ στο $H,$ να δείξετε ότι το $H$ διαιρεί το τμήμα $EB$ στο ίδιο λόγο...

Στο σχήμα να υπολογιστεί η ακτίνα του κύκλου που διέρχεται από τα σημεία ,ως έκφραση των μηκών : .

Εφαρμογή :

Διπλάσια απόσταση.pngΜπορούμε άραγε να εντοπίσουμε σημείο $S$ στη βάση $BC$ , τριγώνου $\displaystyle ABC$ , του οποίου η απόσταση από την $AB$ να είναι διπλάσια εκείνης από την $AC$ ; Διπλάσια απόσταση_κατά_KARKAR.png Ανάλυση . Αν φέρω από το $S$ παράλληλες προς τις $AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,...

Καθετότητα σε ισοσκελή.png Στο παραπάνω σχήμα να δείξετε ότι $CP\bot AB.$ Καθετότητα σε ισοσκελή.png Το τρίγωνο $ABC \to (48^\circ ,66^\circ ,66^\circ )$ και να φέρω τη μεσοκάθετο στο $AC$ τέμνει στο $T$ την ευθεία $BC$ και το τρίγωνο $TAC$ είναι του ίδιου τύπου με το τρίγωνο $ABC$. Γράφω τον κύκλο...

Ας είναι $K$ η προβολή του $E$ στην $SA$ . Επειδή $\dfrac{{AK}}{{KS}} = \dfrac{{AE}}{{EB}} = \dfrac{{14}}{7} = 2 \Rightarrow AK = 2KS = 2x\,\,(1)$. Από το ορθογώνιο τρίγωνο $SAB$ έχω : $\left\{ \begin{gathered} S{A^2} = AD \cdot AB = 12 \cdot 21 = {6^2} \cdot 7 \hfill \\ S{D^2} = DA \cdot DB = 12 \c...

New construction plus.pngΑστεία τέλος ! Φέρω $CT\perp AS$ . Αν $O$ το κέντρο , δείξτε ότι : $OT\perp AB$ Ανάλυση : Νεοκατασκευή _Ανάλυση.png Ας είναι $H$ η προβολή του $S$ στην $AC$. Θέτω: $AH = y \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} AS = 2y\,\,\kappa \alpha \iota \hfill \\ HC = 2y \hfill \\ \end{g...

βασικές γνώσεις 2.png $3 \cdot 6 = 4w \Rightarrow \boxed{w = \frac{9}{2}}$ . $\left\{ \begin{gathered} {4^2} = xy - 3 \cdot 6 \hfill \\ y = 2x \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} x = \sqrt {17} \hfill \\ y = 2\sqrt {17} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ . $\boxed{x...

Πρώτα-πρώτα η άσκηση έχει την ομορφιά της αλλά και οι πιο πάν ω λύσεις το ίδιο. Εντύπωση μου έκανε ή σκέψη του Μιχάλη και δίδω μια ακόμη λύση με βάση το σκεφτικό του . Γωνία απο μήκη.png Αν προεκτείνω το $BC$ εκατέρωθεν κατά τμήματα $BZ = 20 = 8 + 12\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,CH = 21 = 9 + 12$ ,...

Από την προφανή ισότητα των ορθογωνίων τριγώνων $ADM\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CDN\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BAN$ προκύπτουν: $DM = DN = AN$ και $DM \bot AN$,τα δε τετράπλευρα $DSNC\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DMBN$ είναι εγγράψιμα. Τριγωνομέτρηση σε τετράγωνο.png α) Επειδή $\widehat \omega = \wi...

Ζητάμε το λόγο : $k = \dfrac{x}{y} = \dfrac{u}{v} \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = ky \hfill \\ u = kv \hfill \\ \end{gathered} \right.\,\,\,(1)\,\,\,x,y,u,v > 0$ . Στο τρίγωνο $AEC$ με διατέμνουσα $\overline {HFB} $ έχω : Πολύτιμος λόγος.png $\dfrac{{AB}}{{BE}} \cdot \dfrac{{EF}}{{FC}} ...

1.png Βρείτε το μέτρο της γωνίας $\theta $. Αν η μεσοκάθετος στην $AC$ κόψει την $DC$ στο $K$ , γράφω το κύκλο , $(K,KA)$ που τέμνει ακόμα την ευθεία $AD$ στο $E$. Προφανώς $AD \bot BC$. Επειδή $\widehat {EAK} = 70^\circ - 10^\circ = 60^\circ $ το τρίγωνο $AEK$ είναι ισόπλευρο με άμεση συνέπεια $\w...

Αντι-ύλη.pngΟι πλευρές τριγώνου $\displaystyle ABC$ συνδέονται με τη σχέση : $b^2+c^2=ma^2$ , $m$ θετικός . Α) Δείξτε ότι $m>\dfrac{1}{2}$ Β) Βρείτε το γεωμετρικό τόπο της κορυφής $A$ , δοθείσης της $BC=a$ Γ) Αν $m=\dfrac{5}{2}$ και $b=2c$ , σχεδιάστε το τρίγωνο και υπολογίστε το $\cos\hat{A}$ Αντι...

Ελάχιστη διάμεσος.png Στο τρίγωνο $ABC$ είναι $\widehat A=150^0$ και η διάμεσος $BN$ έχει σταθερό μήκος ίσο με $d.$ Να βρείτε συναρτήσει του $d$ τη μικρότερη τιμή που μπορεί να πάρει η διάμεσος $AM.$ Ανάλυση Ελάχιστη διάμεσος_1.png Το σημείο $A$ διατρέχει τα εσωτερικά σημεία σταθερού τόξου . Ας είν...

2.png Υπολογίστε το λόγο $\dfrac{\alpha }{\beta }$. Λόγος τμημάτων 1_Φάνης.png Έστω δύο παράλληλες ημιευθείες , $Ay\,\,\kappa \alpha \iota \,\,Bx$ σε απόσταση ( των ημιευθειών) $AB = b$. Πάνω στην $Ay$ θεωρώ σημείο $E$ με $AE = AB = b$ και πάνω στην $Bx$ σημείο $C$ με $\boxed{BC = BE = u = b\sqrt 2...

Γωνία με κορυφή το έγκεντρο.png Σε τρίγωνο $ABC$ οι διχοτόμοι $BD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CE$ τέμνονται στο $I$ . Αν $K\,\,\kappa \alpha \iota \,\,L$ τα περίκεντρα των $\vartriangle IEB\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle IDC$ δείξετε ότι η γωνία $\widehat {KIL}$ είναι παραπληρωματική της ...

Γωνία με κορυφή το έγκεντρο.png Σε τρίγωνο $ABC$ οι διχοτόμοι $BD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CE$ τέμνονται στο $I$ . Αν $K\,\,\kappa \alpha \iota \,\,L$ τα περίκεντρα των $\vartriangle IEB\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle IDC$ δείξετε ότι η γωνία $\widehat {KIL}$ είναι παραπληρωματική της ...

Προφανώς $\boxed{MN// = \frac{1}{2}AC}$ με Θ Μενέλαου στα τρίγωνα $ABD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CBD$ και διατέμνουσες $\overline {SML} \,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\overline {SNK} $ έχω : $\left\{ \begin{gathered} \frac{{AM}}{{MB}} \cdot \frac{{BS}}{{SD}} \cdot \frac{{DL}}{{KA}} = 1 \hfill \\ \fr...

ισόπλευρο και παραλληλία.png Φέρνω την ευθεία $BO$ που προφανώς είναι μεσοκάθετος στις $SF\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AC$ και έστω $T$ το σημείο τομής της με την $FH$. Επειδή το τρίγωνο $TDF \to (120^\circ ,30^\circ ,30^\circ )$ θα είναι $\boxed{DT \bot BC}$ και $\left\{ \begin{gathered} \widehat {...

Με την ίδια συνταγή, με αυτή



Αν ανατρέξει κάποιος στην άσκηση της παραπομπής θα δει ότι και οι άλλες λύσεις των συναδέλφων έχουν προσαρμογή σ αυτή .