Ουρανοκατέβατο μέγιστο 1.png Ας είναι $K$ η προβολή του $S$ στην $AB$ . Επειδή $y = ST = SK \leqslant SB$ το μέγιστο επιτυγχάνεται αν το $K$ ταυτιστεί με το $B$, Τότε ας είναι $C$ το σημείο τομής των $BS\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AT$. Θέτω $CT = x$ και ταυτόχρονα θα ισχύουν : Ουρανοκατέβατο μέγιστ...

Δίδεται ισόπλευρο τρίγωνο . Έστω το μέσο του .

Να κατασκευαστεί ευθεία που να διέρχεται από το , να τέμνει τη πλευρά

στο , την προέκταση της στο και να είναι : .

Μέγιστο εμβαδόν παραλληλογράμου.png Σε παραλληλόγραμμο $ABCD$ έστω $M$ το μέσο της πλευράς $BC$. Για σημείο $S$ της πλευράς $DC$ ισχύουν ταυτόχρονα: 1. $SM \bot MA$ και 2. $SA = 21\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SD = 13$ Να βρεθεί το μέγιστο εμβαδόν του παραλληλογράμμου $ABCD$ Δεκτές λύσεις "χαμηλής ...

Λήμμα Πέμπτο τμήμα λήμμα.png Αν σε ισοσκελές τραπέζιο $ABCD\,\,(AB//CD)$ είναι $AB = a\,\,,\,\,CD = b\,\,,\,\,BC = AD = c\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AC = BD = R$ και φέρω $DE// = CA$ γράφοντας το κύκλο $(D,R)$ έχω: $\boxed{{R^2} - {c^2} = ab}$. Δεν βρήκα κάτι εντυπωσιακό με τα δεδομένα νούμερα αλλ...

Μέγιστο εμβαδόν παραλληλογράμου.png Σε παραλληλόγραμμο $ABCD$ έστω $M$ το μέσο της πλευράς $BC$. Για σημείο $S$ της πλευράς $DC$ ισχύουν ταυτόχρονα: 1. $SM \bot MA$ και 2. $SA = 21\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SD = 13$ Να βρεθεί το μέγιστο εμβαδόν του παραλληλογράμμου $ABCD$ Δεκτές λύσεις "χαμηλής ...

(Φαντάζομαι στο ίδιο θεώρημα βασίζεται η λύση που αναφέρει ο Γιώργος παραπάνω) Ναι, Γιώργο , βασίζεται στο 1ο θεώρημα των διαμέσων. Είναι η άσκηση 5 από τις Αποδεικτικές στη σελίδα 59. Έχω την ιδέα ότι το "Τσακάλι των Αγράφων " δεν έβαλε τυχαία τα νούμερα και αναμένει επομένως κάποια άλλη λύση.

KARKAR έγραψε: ↑

Δευ Σεπ 16, 2019 7:21 pm

george visvikis έγραψε: ↑

Δευ Σεπ 16, 2019 4:39 pm

Δείτε και το Κλασικό τετράγωνο

Πράγματι το θέμα με τα τρία μήκη είναι "πολυπαιγμένο" . Αλλά το να βγαίνει το ημίτονο
, αποτελεί πρόκληση για έναν ανήσυχο θεματοδότη , τι λέτε ;

Καλά τα λες

Γωνία γνωστή λόγω σχέσεων.png Ας είναι $OT$ το ύψος προς την υποτείνουσα. Επειδή ο λόγος των εμβαδών ισοϋψών τριγώνων ισούται με το λόγο των βάσεων αν $AE = 10t\,\,,t > 0$ , θα είναι $EB = 3t\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AB = 13t$. Όμως $\dfrac{{AT}}{{TB}} = \dfrac{{O{A^2}}}{{O{B^2}}} = \dfrac{4}{9...

Ωρα ημιτόνου_1.png Κατασκευάζω το ορθογώνιο (στο $B$) και ισοσκελές τρίγωνο $BSF$ με $S\,\,\kappa \alpha \iota \,\,F$ εκατέρωθεν της $BC$. Επειδή : $AB = BC\, = a\,,\,BS = BF = 3\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\theta _2}}$ ( ως συμπληρώματα της $\widehat {SBC}$) θα ε...

Σχετιζόμενα τμήματα.png Αν $O$ το κέντρο του τετραγώνου και $N$ το σημείο τομής των $OM\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CS$ από το Θ. κεντρικής δέσμης έχω: $\dfrac{{TC}}{{CD}} = \dfrac{{MN}}{{NO}} = \dfrac{{BS}}{{SO}} \Rightarrow \dfrac{x}{a} = \dfrac{{a - d}}{d} \Rightarrow \boxed{x = \dfrac{{a(a - d)}...

Παραλληλία χορδής κι εφαπτομένης.png Σε ευθεία δίδονται κατά σειρά τα σημεία $A\,,\,B\,\,\kappa \alpha \iota \,\,C$. Προς το ίδιο μέρος γράφουμε τα ημικύκλια διαμέτρων $AC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BC$. Η κάθετος στο μέσο $M$ του $AB$ τέμνει το μεγάλο ημικύκλιο στο $D$. Φέρνουμε το εφαπτόμενο τμήμ...

Χρόνια πολλά σε όσους γιορτάζουν .

Ειδικά δε στο

Σταύρο το Παπαδόπουλο

Προβληματική Διαγώνιος.png Το $ABC \to (5k,8k,7k)\,\,,\,\,k > 0$ κ έχει $B = 60^\circ \,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\boxed{\,\cos A = \frac{1}{7}}$. $ST = 5(5 - k)$ Η συνάρτηση , $g(k) = {\left( {7k} \right)^2} + 25{\left( {5 - k} \right)^2} - 2 \cdot k \cdot 5\left( {5 - k} \right) = 84{k^2} - 300...

Το μεγιστοποιείται όταν και γίνεται

Με $a = 12$ που βρήκε ο Γιώργος ο Βισβίκης , θα είναι $BS = 4\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DT = 9$. Έτσι ( λίγο διαφορετικά από το Γιώργο το Μήτσιο ) $\left\{ \begin{gathered} \frac{{DT}}{{TC}} = \frac{9}{3} = 3 \hfill \\ \frac{{DK}}{{KB}} = \frac{{AD}}{{BS}} = \frac{{12}}{4} = 3 \hfill \\ \end{gath...

Χθεσινό αγιασμένο τμήma.png Αν $E$ ο νότιος πόλος και $K$ η προβολή του $S$ στην $BC$ θα είναι : $\vartriangle SAE \approx \vartriangle KST \Rightarrow \dfrac{{AE}}{{ST}} = \dfrac{{SA}}{{KS}} \Rightarrow ST \cdot SA = SK \cdot AE\,\,(1)$. Θέτω : $ST = x\,\,,SK = h\,\,,AE = 2R\,\,\,$και ως γνωστό , ...

Ας δούμε μία άλλη σκέψη, για την απόδειξη του ισοδύναμου ζητούμενου $KP = LT$, εμπνευσμένη από την υπόδειξη του Θανάση για εφαρμογή του Θεωρήματος Newton . Έστω $Q,\ N$, τα μέσα των διαγωνίων $AS,\ PT$ αντιστοίχως, του περιγεγραμμένου περί τον κύκλο $(M)$ τετραπλεύρου $APST$ και σύμφωνα με το Θεώρη...

Η ευθεία $SM$ είναι ο ριζικός άξονας των δύο ημικυκλίων . Επειδή , $\widehat {APS} = \widehat {STB} = 90^\circ $ και $\boxed{SM = \frac{{PT}}{2}}$ αν οι $AP\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BT$ τέμνονται στο $C$ το ττετράπλευρο $SPCT$ είναι ορθογώνιο και στο ορθογώνιο τρίγωνο $CAB$ το $M$ είναι το μέσο το...

Αν $O$ είναι το περίκεντρο του τριγώνου $ABC$ με $AB = 8$ και $AC = 10,$ να υπολογιστεί το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων $\vec{OA}$ και $\vec{BC}.$ Εσωτερικό γινόμενο_new.png Ας είναι $TM = d > 0$ η προβολή της διαμέσου $AM$ στη $BC$ τότε , $\boxed{\pi \rho o\beta {{\overrightarrow {OA} }_{\ov...

Εσωτερικό γινόμενο.png $\overrightarrow {AO} \cdot \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AO} \cdot \left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right) = 2\overrightarrow {AO} \left( {\overrightarrow {AM} - \overrightarrow {AN} } \right) = 2\left( {{{\overrightarrow {AM} }^2} - {{\overri...