Μακριά απ' το κέντρο.pngΣημείο S κινείται στο εσωτερικό του τμήματος OK=a . Γράφω τους κύκλους (O , OS) και (K , KS)

και ονομάζω PT το ένα κοινό εξωτερικά εφαπτόμενο τμήμα τους . Βρείτε το μέγιστο του τμήματος PK .

Για το , $PT = x$ ισχύει, $x = 2\sqrt {Rr} = 2\sqrt {R(a - R)} $ κι επειδή $PK ...

Ιδού η διχοτόμος.pngΟι κύκλοι (O) και (K) , εφάπτονται εξωτερικά στο σημείο A . Η εφαπτομένη σε σημείο S του (K)

τέμνει τον (O) στα σημεία C , B . Δείξτε ότι η διχοτόμος AD της \widehat{BAC} , είναι κάθετη στην SA .

Η $AD$ τέμνει τον κύκλο $(O)$ στο νότιο πόλο $E$ και είναι $OE \bot BS ...

Τελικό τμήμα.pngΣτο σχήμα το M είναι το μέσο του τμήματος OC . Η μεσοκάθετος του SM ,

τέμνει την προέκταση της BC στο σημείο T . Υπολογίστε το τμήμα CT .

Μια άποψη

Επειδή στο $\vartriangle DCO$ η $DM$ διάμεσος υποψιάζομαι, επ’ άπειρον αρμονία .

Η παράλληλη από το $D$ στην βάση $OC$ τέμνει ...

KARKAR έγραψε: Σάβ Σεπ 05, 2026 2:24 pm Δύσκολη ισότητα.pngΤο είναι το μέσο του . Οι έγχρωμες γωνίες είναι παραπληρωματικές .

Ο νόμος του συνημιτόνου δίνει το συναρτήσει του και του ...

Ξετίναξες την ."τράπεζα" ,

Δύσκολη ισότητα.pngΣτο εγγεγραμμένο στον κύκλο (O,5) τρίγωνο ABC , η βάση BC , έχει απόστημα OM=3 .

Στις πλευρές AB , AC , θεωρούμε σημεία D , E αντίστοιχα , τέτοια ώστε : BD=CE=x .

Αν N το μέσο του DE , υπολογίστε το x , ώστε να είναι και NM=3 .


Φέρνω τη διχοτόμο $AF$ που είναι σταθερή ...

Προσιτή ισότητα.pngΑπό σημείο S της προέκτασης της διαμέτρου AB ενός ημικυκλίου , φέρω το εφαπτόμενο

τμήμα SP και ονομάζω L την προβολή του μέσου M του SP , στην ευθεία AS .

α) Δείξτε ότι το L είναι εξωτερικό σημείο του ημικυκλίου .

β) Φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα LT . Δείξτε ότι : LT=LS ...

Δεύτερες σκέψεις.pngΗ απόσταση του σημείου A από το κέντρο του κύκλου (O , 2) , είναι 3 .

Στην κάθετη του OA στο A , θεωρώ σημείο S , από το οποίο φέρω το

εφαπτόμενο τμήμα SP . Για ποια θέση του S , προκύπτει : AS=AP ;

Ισχύουν : $k(k + 6) = {x^2},{y^2} + 4 = {(k + 3)^2},2x + 3y = x(k + 3 ...

Δύσκολη ισότητα.pngΣτο εγγεγραμμένο στον κύκλο (O,5) τρίγωνο ABC , η βάση BC , έχει απόστημα OM=3 .

Στις πλευρές AB , AC , θεωρούμε σημεία D , E αντίστοιχα , τέτοια ώστε : BD=CE=x .

Αν N το μέσο του DE , υπολογίστε το x , ώστε να είναι και NM=3 .

Δεν έχω πλήρη λύση ( δηλαδή απόδειξη της ...

Στο τρίγωνο $ABC$ με εσωτερικό σημείο $D$ είναι

$AB=AC\hat{DBC}=41^{0},\hat{DCB}=30^{0},\hat{DCA}=22^{0}$

Να υπολογισθεί η γωνία $BAD$

Γράφω τον κύκλο, $(D,B,C)$. Αν $K$ το κέντρο του , το $\vartriangle KDB$ είναι ισόπλευρο και το $\vartriangle KCD$ είναι ισοσκελές

γωνιακής μορφής ...

Οι εγγραφές ξεκίνησαν.pngΣτον κύκλο (O,5) να εγγραφεί τετράπλευρο ABCD , το οποίο

να έχει περίμετρο L=27 και : AB=6 , CD=8 .

$x + y = 13$ .

${x^2} = 50 - 50\cos \theta \,\,\,,\,\,{y^2} = 50 - 50\cos (180^\circ - \theta )$ . προσθέτουμε κατά μέλη και έχουμε να λύσουμε το σύστημα :
Οι εγγραφές ...

Μη παράλληλες και άγνωστες.pngΤο ισοσκελές τραπέζιο ABCD έχει βάσεις AD=8 , BC=6 . Υπολογίστε τις μη παράλληλες

πλευρές , αν οι έγκυκλοι των τριγώνων ABC και ADC εφάπτονται σε σημείο S της AC .

Μη παράλληλες και άγνωστες.png
Το ύψος του τραπεζίου είναι : $h = 4\sqrt 3 $

Διπλή καθετότητα.pngΚατασκευάστε ισοσκελές τρίγωνο ABC , (AB=AC) , στο οποίο

αν το M είναι το μέσο του ύψους BD , να είναι : AM \perp MC .


Ας είναι , $O$ το μέσο του $BC$ και $T$ η προβολή του $M$ στην $BC$.

$OM//AC$ και άρα , $BM \bot MO$. Πολύ εύκολα ( απλό κυνήγι γωνιών ) έχουμε ότι η $MO ...

Στο πιο πάνω σχήμα έχουμε ακόμα μια ειδική περίπτωση από τις άπειρες του αρχικού προβλήματος.

(Τα σημεία : ανήκουν στην ίδια ευθεία)

Πώς κατασκευάζουμε αυτό το σχήμα ;

KARKAR έγραψε: Κυρ Αύγ 30, 2026 10:02 am Όμορφες και οι δύο

Απλή κατασκευή συνέχεια.pngΑς την κάνουμε λίγο δυσκολότερη . Με τις ίδιες προϋποθέσεις , τώρα θέλουμε :

. Εγγραφή καν, πενταγώνου ( τα υπόλοιπα απλά )

Απλή κατασκευή.pngΣτο εξωτερικό κύκλου (O , r) να εντοπισθεί σημείο S , από το οποίο να άγεται

μία τέμνουσα PQT και το εφαπτόμενο τμήμα SP , έτσι ώστε : SP=QT .

Πριμοδοτείται λύση με όσο το δυνατόν λιγότερη Άλγεβρα .

Ας είναι $SP = d$ το εφαπτόμενο τμήμα ( υποτιθέμενο σταθερό ) .

Ο κύκλος ...

Γινόμενο 24.pngΑπό το σημείο S(4,6) να αχθεί ευθεία , η οποία να τέμνει την y=\dfrac{6}{7}x , στο σημείο P

και τον Ox στο T , έτσι ώστε να είναι : SP \cdot ST=24 . Ευκλείδεια λύση πριμοδοτείται .

Γινομ 24.png
.
Ευκλείδεια λύση:

Φέρνουμε την $SB$ κάθετη στον άξονα των $x$, οπότε $SB=6 ...

Ισεμβαδικότητα ετεροχρώμων.pngΟι κύκλοι (O , r) και ( K , R) τέμνονται στα σημεία A , B . Εντοπίστε κάποιο σημείο S του (K) ,

τέτοιο ώστε , αν η AS τέμνει τον (O) στο T , τα τρίγωνα AOK , BTS , να είναι ισεμβαδικά .

Κατασκευή

Ας είναι $S$ σημείο του κύκλου $(K,R)$ με $BS = R$. Η $AS$ τέμνει ...

Στο σχήμα , $AD = AB + AC$. Να δείξετε ότι $\widehat {D_{}^{}} = 35^\circ $
shape.pngΑπό το αρχικό σχήμα έχουμε ότι $\angle BAD = {40^ \circ }$.

Επί της $AD$ παίρνουμε σημείο $E$, τέτοιο ώστε $AE = AB$ οπότε και $ED = AC$.

Έστω $O$ το κέντρο του περίκυκλου του $ \triangleleft ABC$.

Προφανώς ...

Στο σχήμα , . Να δείξετε ότι

Ημιμεταβλητό.pngΜε κέντρα τα άκρα του τμήματος OK=4 , γράφω τους κύκλους (O,2) και (K,3) ,

οι οποίοι τέμνονται στα A , B . Από σημείο S του (O) , φέρω τις SA , SB , οι οποίες

τέμνουν τον (K) στα σημεία P ,T . Υπολογίστε το τμήμα PT .

Παρεμφερές

Ως γνωστό το $\vartriangle AST$ είναι όμοιο ...