Μαστορέματα 1mini.png
Σε ορθογώνιο $\vartriangle ABC$ ($A = 90^\circ $) γράφουμε τους κύκλους , $(B) \to (B,BA)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,(C) \to (C,CA)$.

Η ευθεία $BC$ τέμνει τον $(B)$ στα $D\,\,,E$ ενώ τον $(C)$ στα $Z,H$.

Από τυχαίο σημείο $S$ του κύκλου $(B)$ φέρνουμε την ευθεία $SZ$ που ...

Μαστορέματα 1mini.png
Σε ορθογώνιο $\vartriangle ABC$ ($A = 90^\circ $) γράφουμε τους κύκλους , $(B) \to (B,BA)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,(C) \to (C,CA)$.

Η ευθεία $BC$ τέμνει τον $(B)$ στα $D\,\,,E$ ενώ τον $(C)$ στα $Z,H$.

Από τυχαίο σημείο $S$ του κύκλου $(B)$ φέρνουμε την ευθεία $SZ$ που ...

Εντυπωσιακή πρόοδος.pngΟι πλευρές c , b , a του τριγώνου ABC , είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου , με διαφορά : \omega=1 .

Φέρω το ύψος AD και την διχοτόμο BE . Αν είναι ED \parallel AB , υπολογίστε την AB και το ED .

Από το Θ διχοτόμων στο $\vartriangle ABC$ έχουμε: $2EC = x + 1 ...

Και το ημίτονο λόγος είναι.pngΤο σημείο E είναι η προβολή του ίχνους της διχοτόμου CD , του ορθογωνίου τριγώνου ABC ,

στην υποτείνουσα BC . Στην AC θεωρούμε σημείο Z , τέτοιο ώστε : AZ=BE . Τα σημεία

M , N είναι τα μέσα των τμημάτων AB , ZE αντίστοιχα . Είναι γνωστό ότι : NM\parallel CD .

Αν ...

Ενδιάμεση ακτίνα.pngΣτο εσωτερικό του περικύκλου του ορθογωνίου τριγώνου ABC , με κάθετες πλευρές

AB=15 , AC=8 , να γράψετε κύκλο (K) , ο οποίος να εφάπτεται στις AB , AC

και στον περίκυκλο και να υπολογίσετε την ακτίνα του .

Πρώτα- πρώτα μου αρέσουν πολύ οι με «αγνά υλικά» λύσεις του Κ ...

Σε φέρνουμε τα ύψη του , και ας είναι το ορθόκεντρό του .

Οι ευθείες , τέμνονται στο . Δείξετε ότι η ευθεία είναι κάθετη στη διάμεσο του .

Μικρό αλλά παράλληλο.pngΣτο ημικύκλιο διαμέτρου AOB κινείται σημείο S και έστω(σαν) M , N , τα μέσα των SO , SB ,

αντίστοιχα . Η AM τέμνει το τόξο στο σημείο T . Για ποια θέση του S είναι NT \parallel OS ;

Ας είναι $OA = OB = 4k$. Αν υποθέσω ότι λύθηκε το πρόβλημα , το τετράπλευρο $OZNM$ είναι ...

ΙΑδικαιολόγητη ισότητα γωνιών.pngΣτο - a \times b - ορθογώνιο ABCD , ο κύκλος (A , AC) τέμνει τις προεκτάσεις της διαγωνίου BD ,

στα σημεία S , P . Δείξτε ότι : \widehat{BCS}=\widehat{DCP} και βρείτε έναν τριγωνομετρικό αριθμό της γωνίας \phi .


Απόδειξη του δεύτερου ερωτήματος ...

ΙΑδικαιολόγητη ισότητα γωνιών.pngΣτο - a \times b - ορθογώνιο ABCD , ο κύκλος (A , AC) τέμνει τις προεκτάσεις της διαγωνίου BD ,

στα σημεία S , P . Δείξτε ότι : \widehat{BCS}=\widehat{DCP} και βρείτε έναν τριγωνομετρικό αριθμό της γωνίας \phi .

Οι προεκτάσεις των $CD\,\,,\,\,CB$ τέμνουν τον ...

Κατευθυνόμενη χορδή.pngΑπό σημείο S , εξωτερικό των ομόκεντρων κύκλων (O,3) και (O,2) , φέρουμε τα εφαπτόμενα

τμήματα SP , ST . Η PT προεκτεινόμενη ξανατέμνει τον μεγάλο κύκλο στο σημείο Q . Βρείτε

την θέση του S , αν : α) Η χορδή PQ έχει απόστημα a=1 ... β) τα S,O,Q είναι συνευθειακά .

α ...

Κι αυτή εφάπτεται.pngΟ κύκλος (O) εφάπτεται της διαμέτρου AB ενός ημικυκλίου . Η BO τέμνει το ημικύκλιο

στο σημείο S . Φέρω το εφαπτόμενο τμήμα AP . Η SP τέμνει τον κύκλο στο σημείο T .

Δείξτε ότι και η BT εφάπτεται του κύκλου .


Λόγω του εγγράψιμμου $ASPO$ και της εφαπτόμενης $AP$ όλες οι ...

Και μια άλλη ισοδύναμη μορφή:

Οι εφαπτομένες του κύκλου $(O)$ που άγονται από τα $A$, $B$ τέμνονται στο σημείο $C$,
και εφάπτονται του κύκλου $(O)$ στα σημεία $P$ και $T$ αντίστοιχα. Έστω $S=(PT) \cap (BO)$.
Τότε, $\angle ASB=90^{\circ}$.

iran.png
Πρόκειται για το γνωστό λήμμα του Ιράν , που ...

Λόγος σε ισόπλευρο.png
$M$ είναι το μέσο της πλευράς $BC$ ισοπλεύρου τριγώνου $ABC$ και $S$ είναι η προβολή του στην $AB.$

Το $T$ είναι σημείο της $AC,$ τέτοιο ώστε $AT=\dfrac{AS}{2}.$ Να βρείτε το λόγο $\dfrac{(ASMT)}{(ABC)}.$

Ας την αφήσουμε 24 ώρες μόνο για μαθητές.

Από το τύπο : $\boxed ...

Εκκεντρικές κατασκευές 10.pngΚατασκευάστε ισοσκελές τρίγωνο ABC σαν αυτό του σχήματος , με την επιπλέον πληροφορία ,

ότι τα τμήματα x , y , z , είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου .


Έστω $y=x+w, z=x+2w.$ Επειδή το $ABC$ είναι ισοσκελές, θα είναι $AB^2=AS^2+BS\cdot SC.$
\[{(x + 2w)^2 ...

Εκκεντρικές κατασκευές 10.pngΚατασκευάστε ισοσκελές τρίγωνο ABC σαν αυτό του σχήματος , με την επιπλέον πληροφορία ,

ότι τα τμήματα x , y , z , είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου .

Αρκεί να κατασκευάσω π.χ. το $\vartriangle ABS$. Θεωρώ την πλευρά του $BS = x\,\,,$ και τη διαφορά της ...

Η τρίτη πλευρά.pngΣτο τρίγωνο ABC , με : AB=5 , AC=9 , ονομάζουμε B' , C' τις προβολές των B , C

στην διχοτόμο της γωνίας \hat{A} . Αν : BB'+B'C'=CC' , υπολογίστε την πλευρά BC .

Αφού το $\vartriangle ABD$ είναι ισοσκελές θα είναι $AD = 5\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DC = 4$. Από την ...

Συνοπτικά γιατί φεύγω...


Θεωρώ BT και AP τα εφαπτόμενα τμήματα του (O) που εφάπτεται στην AB στο J , S \equiv BO \cap (\gamma)

και U \equiv PT \cap AB, τότε \overline {BOS} μεσοκάθετη του JT άρα διχοτόμος της \angle JST

Ως γνωστόν (A,J,B,U)=-1 και με SA \perp SB η SB είναι διχοτόμος και η ...

Αλματώδης πρόοδος.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο ABC , το σημείο S είναι το συμμετρικό του B ως προς AC

και το P το συμμετρικό του A ως προς BC . Η SP τέμνει τις AC , BC στα T , Q .

Δείξτε ότι τα τμήματα TQ , QP , ST , είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου .

Αλμα.png
.

Θέτουμε $CA=h=CP ...

Αλματώδης πρόοδος.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο ABC , το σημείο S είναι το συμμετρικό του B ως προς AC

και το P το συμμετρικό του A ως προς BC . Η SP τέμνει τις AC , BC στα T , Q .

Δείξτε ότι τα τμήματα TQ , QP , ST , είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου .

Με την επιλογή του πιο κάτω ...

Κι αυτή εφάπτεται.pngΟ κύκλος (O) εφάπτεται της διαμέτρου AB ενός ημικυκλίου . Η BO τέμνει το ημικύκλιο

στο σημείο S . Φέρω το εφαπτόμενο τμήμα AP . Η SP τέμνει τον κύκλο στο σημείο T .

Δείξτε ότι και η BT εφάπτεται του κύκλου .

Αγνοούμε προσωρινά την ευθεία $SOB$. Θεωρούμε τις εφαπτόμενες ...