Ενα δίνω ένα ζητώ_new.png Επειδή τα τρίγωνα $SBC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,SDT$ είναι όμοια με λόγο ομοιότητας $\boxed{\frac{{SC}}{{ST}} = k > 0}$ θα είναι $\left( {SBC} \right) = {k^2}N$ . (σχήμα) Αν $E = \left( {ABCD} \right) \Rightarrow E = 2\left( {kN + {k^2}N} \right) = 2\left( {{k^2} + k} ...

Θεωρώ καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων με αρχή το $A$ ( σχήμα) και ας είναι $M$ το σημείο τομής των $BS\,\,\kappa \alpha \iota \,\,PT$. Αν $S\left( {2s,0} \right)\,\,\,,\,\,B\left( {0,2b} \right)$ με $0 < s < 2b\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,2b = d$ ( θετική σταθερά) θα είναι: $M\left( {s,b} \right)$...

Ορθογώνια και ισοσκελή.png $\widehat {{a_1}} = \widehat {{a_2}}$ ως συμπληρώματα της $\widehat {BDC}$ . Τα τρίγωνα $ADB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CDS$ έχουν ακόμα : $AD = DC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,DB = DS\,$ άρα $\left( {\Pi - \Gamma - \Pi } \right)$ είναι ίσα συνεπώς και το $\vartriangle CD...

Ανατολικός κύκλος.pngΣτο επίπεδο τετραγώνου $ABCD$ , σχεδιάζουμε κύκλο $(O)$ , διερχόμενο από τα $B , C$ και εφαπτόμενο της διαγωνίου $DB$ στο $B$ . Φέρω και το άλλο εφαπτόμενο τμήμα $DS$ . Αν η ημιευθεία $DC$ τέμνει την ακτίνα $OS$ στο σημείο $T$ , υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{ST}{TO}$ . Αν $a$ η...

Ας είναι $D$ η τομή της $BC$ με τον κατακόρυφο άξονα και $E,Z$ οι προβολές του $K$ στις $OA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BC$. Προφανώς : $D\left( {0,4} \right)$ , το $Z$ είναι το μέσο του $BD$ και άρα $Z\left( {4,4} \right) \Rightarrow E(0,4)$. α) Επειδή τα ορθογώνια τρίγωνα $DOC\,\,\kappa \alpha \iot...

Για την κατασκευή .

Το ύψος του ισοσκελούς είναι τα της ακτίνας. Εύκολα μετά

Περίμενα τον Θανάση γιατί άσκηση είναι ένα από τα πιο απλά παραδείγματα αντιστροφής . Αξιορηνηυ καθετότητα.png Αντιστρέφω τον κύκλο με πόλο το $A$ και δύναμη αντιστροφής ${R^2}$. Αν γράψω τον κύκλο αντιστροφής αυτός θα διέρχεται από τα $B,C,D$ Ο κύκλος αντιστρέφεται στην ευθεία $BC$ . Το αντίστροφο ...

Κι άλλη εύρεση τμήματος_1.png $EK \bot BC,DC = m$, $AT//ED$ και άρα $\dfrac{m}{{2a}} = \dfrac{4}{1} \Rightarrow m = 8a\,\,\,(2)$ $\vartriangle ABC \approx \vartriangle KEC \Rightarrow \dfrac{y}{a} = \dfrac{4}{{a + m}} \Leftrightarrow \dfrac{m}{a} = \dfrac{{4 - y}}{y} \Rightarrow \boxed{y = \frac{4}...

Αξιοθρήνητη καθετότητα.pngΙσοσκελές τρίγωνο $\displaystyle ABC$ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο . Εντός του κύκλου θεωρούμε σημείο $D$ , ώστε : $AD=AB=AC$ και φέρω κάθετη προς το τμήμα αυτό , στο άκρο του $D$ , η οποία τέμνει τον κύκλο στο σημείο $Q$ ( προς το μέρος του $C$ ) . Αν $AQ,BC$ τέμνονται στο...

Κι άλλη εύρεση τμήματος.png $\left\{ \begin{gathered} {m^2} = 4 \cdot 5 = 20 \hfill \\ \frac{m}{{2a}} = \frac{4}{1} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} {m^2} = 4 \cdot 5 = 20 \hfill \\ 4{a^2} = \frac{5}{4} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ $\left\{ \begin{gathered}...

Είναι $y = 8 - b\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,x = a - 8$ . Επειδή : Εμβαδόν και πλευρά_a.png α) $2\left( {DBC} \right) = 2\left( {BDE} \right) + 2\left( {DEC} \right) = \left( {BEF} \right) + \left( {FEC} \right) = \left( {FBC} \right) = 8 \cdot 6 = 48$ και άρα $\left( {DBC} \right) = 24$ β)$\left...

Ενδιάμεση ορθή.png Το τετράπλευρο $ATBD$ είναι εγγράψιμο άρα : $\widehat {{\theta _2}} = \widehat {BAD} = \widehat {{\theta _1}}$ και αφού $\widehat {DST} = \widehat {CSA}$ τα τρίγωνα $TDS\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ACS$ είναι όμοια με λόγο ομοιότητας : $\displaystyle \boxed{\lambda = \frac{{TS}}{{...

Ας είναι : $A\left( {0,a} \right)\,\,\,,\,\,B\left( { - k,0} \right)\,\,,\,\,C\left( {k.0} \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,S\left( {0, - s} \right)$ με $a > 0\,,\,\,k > 0\,\,,\,s > 0$. Θα είναι έτσι : $\boxed{N\left( {\frac{k}{2},\frac{a}{2}} \right)}$ $T\left( {u,v} \right):\,\,\,\left\{ \begin{...

Μεσοκάθετος_ok.png Ας είναι $D$ το άλλο σημείο τομής της $PA$ με το κύκλο κέντρου $K$. Η $PK$ είναι άξονας συμμετρίας της γωνίας $\widehat {DPB}$ γιατί $\widehat {{a_1}} = \widehat {{a_2}}$ ως εγγεγραμμένες βαίνουσες στα ίσα τόξα των ίσων χορδών $KA,KB$ ( ακτίνες κύκλου ) $\widehat {{\xi _{}}} = \w...

Εύρεση τμήματος.png Έστω $H\,\,\kappa \alpha \iota \,\,M$ οι προβολές των $C\,\,\kappa \alpha \iota \,\,A$ στις ευθείες $AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BC$ αντίστοιχα. Αν $MD = k > 0$ θα είναι προφανώς : $CD = 6k\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DB = 8k$ . Επειδή το τρίγωνο $HCA \to \left( {90^\circ ,60^\...

Ομοκυκλικά σημεία του Achilleas_oritzin.png Ας είναι $S$ το σημείο τομής των $AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CQ$. Η $ED$ είναι άξονας συμμετρίας του χαρταετού $PDQE$ με συνέπεια και λόγω του παραλληλογράμμου $ADPE$: α) το τετράπλευρο $AQDE$ να είναι ισοσκελές τραπέζιο β) Το τρίγωνο $EQC$ ισοσκελές ....

Ανάλυση : Έστω λυμένο το πρόβλημα . Ας είναι $D$ το αντιδιαμετρικό του $C$. Επειδή $\widehat {{\omega _{}}} = \widehat {{\theta _{}}}$ τα ισοσκελή τρίγωνα $ABC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,OAD$ είναι όμοια, άρα : Η βάση $\boxed{x = AD = \frac{{3R}}{2}}$. Μεγαλοβασικό τρίγωνο.png Κατασκευή: Από τυχαίο ...

Δίνεται παραλληλόγραμμο $ABCD$ με $AD=BD$. Θεωρούμε σημείο $E$ στη διαγώνιο $BD$ τέτοιο ώστε $AE=DE$. Η επέκταση της $AE$ τέμνει την πλευρά $BC$ στο σημείο $F$. Η $DF$ είναι η διχοτόμος της γωνίας $C\widehat{D}E$. Να βρεθεί η γωνία $A\widehat{B}D$. Φιλικά, Αχιλλέας Γωνία σε παραλληλόγραμμο.png Αφού...

Περίκεντρο που ισαπέχει.pngΤο τραπέζιο $ABCD$ έχει : $AB=BC$ . Φέρουμε $DS\parallel CB$ , η οποία τέμνει την $AC$ στο $T$ . Δείξτε ότι το περίκεντρο $O$ του τριγώνου $TAS$ , ισαπέχει από τις κορυφές $B$ και $D$ του τραπεζίου . Περίκεντρο που ισαοέχει.png Προεκτείνω την $SA$ προς το $A$ κατά τμήμα $...

Θέμα 3 Β' Λυκείου Η λύση μου: Έστω $E'$ το συμμετρικό του $E$ ως προ το $Z$. Είναι $H,Z$ μέσα των $AE,EE'$, άρα $HZ\parallel AE'$. Αρκεί λοιπόν να δείξω ότι $AE\perp AB$. Είναι $A\Gamma =\dfrac{BE}{2}$, δηλαδή το τρίγωνο $ABE'$ είναι ορθογώνιο, άρα $E'A\perp AB$, και το ζητούμενο δείχθηκε. Για την ...