Ελάχιστη διαδρομή.pngΤο ορθογώνιο τρίγωνο $ABC$ έχει κάθετες πλευρές : $AB=4$ και $AC=3$ . Μεταβαίνουμε από την κορυφή $C$ σε σημείο $S$ της πλευράς $AB$ και στην συνέχεια ( μεταβαίνουμε ) κάθετα προς την $BC$ σε σημείο της , $T$ . Υπολογίστε την ελάχιστη τιμή του αθροίσματος : $CS+ST$ . ελάχιστη δ...

εξαιρετική ισότητα.png Έστω $E$ το σημείο τομής του κύκλου $\left( {A,B,C} \right)$ με την από το $A$ παράλληλη στην $BC$. Το τετράπλευρο $ABCE$ είναι ισοσκελές τραπέζιο. Τα τρίγωνα $ABD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CES$ είναι ίσα και το τετράπλευρο $ADSE$ ισοσκελές τραπέζιο ενώ το τετράπλευρο $SCET$...

Προβολική ... Γεωμετρία.png$\bigstar$ Σε τυχόν σημείο $S$ , ημικυκλίου διαμέτρου $AB$ , φέρουμε εφαπτομένη και ονομάζουμε $A' , S'$ τις προβολές του μεν $A $ στην εφαπτομένη , του δε $S$ στην $AB$ . Εξετάστε αν : $AA' = AS'$ . Υπενθυμίζεται ότι η άσκηση είναι για $24$ ώρες μόνο για μαθητές . Οι μεγ...

7.png Από το τρίγωνο $MPC$ έχω $MP=\dfrac{1}{2}\Rightarrow AN=1$. Επίσης από το ίδιο τρίγωνο έχω $a+b=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$. Προφανώς $\triangle ABC=\triangle ANC\Rightarrow BC=2a+b$. Όμως $(ABCD)=(ABC)+(ADC)=\dfrac{AB\cdot BC}{2}+\dfrac{AN\cdot DC}{2}=a+b=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$. Σε φόρμα σαν τον ΠΑΟΚ...

Συντρέχουν προοδευτικά.pngΟι πλευρές $a , c , b$ , του τριγώνου $ABC$ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου με διαφορά : $\omega=2$ . Η διάμεσος $AM$ , το ύψος $BD$ και η διχοτόμος $CE$ συντρέχουν . Υπολογίστε το εμβαδόν του τριγώνου . Συντρέχουν προοδευτικά.png Αν $AB = x$ τότε : $AC = x + 2\,...

9.png Καλησπέρα . Στο παραπάνω σχήμα είναι $BM=MA$ και $BK=AD$. Δείξτε ότι τα σημεία $C, K, M, D$ είναι ομοκυκλικά. Σημείωση: Το παρόν προέκυψε από την επίλυση άλλου θέματος. Άλλο έψαχνα κι εγώ και βρέθηκε "στα πόδια μου " η πιο πάνω άσκηση . Ας δούμε και την αμιγώς γεωμετρική λύση προέκυψε.png Θεω...

Μια εικόνα , χίλιες λέξεις.

Κατασκευή Έχω το τρίγωνο $BDC \to \left( {37^\circ ,74^\circ ,69^\circ } \right)$. Φέρνω κάθετο στο $BD$, στο μέσο του Μ, που τέμνει την ευθεία $DC$ στο $S$. Το τρίγωνο $SBD \to \left( {32^\circ ,74^\circ ,74^\circ } \right)$. Γράφω και τον κύκλο $\left( {B,C,S} \right)$. Ο πιο πάνω κύκλος τέμνει ακ...

Χρόνια πολλά στον Σταύρο στην Σταυρούλα και στην Σταυριανή.

Ιδιαίτερες ευχές στους

Σταύρο Παπαδόπουλο

Σταύρο Σταυρόπουλο

Πρόβλημα 2 (Θεόκλητος Παραγυιού - Κύπρος) Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο $ABC$ με $\angle{BAC} = 90^{\circ}$ και $E$ το ίχνος της κάθετης από την κορυφή $A$ προς την πλευρά $BC$ του τριγώνου. Δίνεται σημείο $Z$, διαφορετικό του σημείου $A$, στην ευθεία $AB$, τέτοιο ώστε $AB=BZ$. Ονομάζουμε $(c)$ τον περ...

άρα

Η υποτείνουσα του $\vartriangle AOB$ είναι : $AB = \sqrt {{4^2} + {6^2}} = 2\sqrt {13} $. Η μεσοκάθετη στο $AB$ τέμνει την ευθεία $OA$ στο $D$ κι αφού το τετράπλευρο $OMBD$ είναι εγγράψιμο θα έχω: $AO\left( {AO + OD} \right) = AM \cdot AB \Rightarrow 4\left( {4 + OD} \right) = 26 \Rightarrow \boxed{...

Να βρείτε σημείο στην περίμετρο του σχήματος , εις τρόπον ώστε το ευθύγραμμο

τμήμα να διχοτομεί το εμβαδόν του μη κυρτού πενταγώνου

Εξ ανακλάσεως.pngΦωτεινή ακτίνα παράλληλη με τον άξονα $y'y$ προσπίπτει στο μέσο $M$ του "καθρέπτη" $AB$ και ανακλάται , συναντώντας τον άξονα $x'x$ στο σημείο $S$ . Ποιο είναι το σημείο $S$ ; Φέρνω στο $B$ κάθετη επί την $BA$ και τέμνει την $AO$ στο $T$. Επειδή $B{O^2} = OA \cdot OT \Rightarrow 36...

$\boxed{{x^2} + {y^2} - \frac{{35}}{4}x - \frac{3}{8}y + \frac{9}{2} = 0}$ $\boxed{S\left( {\frac{9}{4}, - 3} \right)}$. Πράγματι: Επειδή η ευθεία $AB$ έχει εξίσωση : $y - 2 = \dfrac{{4 - 2}}{{4 - 1}}\left( {x - 1} \right) \Leftrightarrow 2x - 3y + 4 = 0$ η δέσμη των κύκλων που διέρχονται από τα $A\...

Ευκολη μοιρασιά_μια λύση.png Αν η κάθετη στο $C$ επί την $BC$ τέμνει την $BA$ στο $S$ θα είναι : $\left( {AD'DC} \right) = \left( {DSD'} \right) = \left( {DCD'} \right)$. Θέτω : $AS = k\,\,,\,\,AD' = u\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BD' = m$. Επειδή $k + u = m\,\,\kappa \alpha \iota \,\,u + m = x$ θα ε...

Θέτω $AT = t,\,t \geqslant 0$ .Π. Θ στο $\vartriangle ATS$ και Θ Μενελάου στο $\vartriangle ATS$ με διατέμνουσα $\overline {PBC} $ κι έχω: $\left\{ \begin{gathered} T{S^2} = {t^2} + 81 \hfill \\ \frac{{AC}}{{CT}} \cdot \frac{{TP}}{{PS}} \cdot \frac{{SB}}{{BA}} = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \R...

Περίμετρος vs Εμβαδόν.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο του σχήματος : α) Υπολογίστε την περίμετρο ... β) Υπολογίστε το εμβαδόν . γ) Κάντε μια παρατήρηση και δώστε εξήγηση . Τι θα συμβεί αν αλλάξουμε την ακτίνα του εγκύκλου ; Περίμετρος VS εμβαδόν_1.png α)Ας είναι $\boxed{k = \frac{{26}}{x}}$ και η ημιπερίμ...

Μονόπλευρη.png Η ημιπερίμετρος $s = 14 + x\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left\{ \begin{gathered} a = 14 \hfill \\ b = 9 + x = s - 5 \hfill \\ c = 5 + x = s - 9 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ . Αν $E = \left( {ABC} \right)$ θα έχω: $E = 3s = \sqrt {s(s - a)(s - b)(s - c)} $ και έτσι: $s = 5(s - 14)...