Λαϊκή ισεμβαδικότητα.png$\bigstar$ Στην πλευρά $AB$ του διαστάσεων $7\times 4$ ορθογωνίου $ABCD$ , θεωρούμε σημείο $P$ , τέτοιο ώστε : $AP=5$ . Να ορίσετε σημείο $S$ στην προέκταση της πλευράς $AD$ , τέτοιο ώστε : $(SAP)=(SCP)$ . Ανάλυση. Έστω λυμένο το πρόβλημα . Η από το $C$ παράλληλη προς την $S...

Ο τυχερός.pngΑπό σημείο $S$ εξωτερικό του κύκλου $(O , 3)$ , φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα $SP$ , του οποίου η μεσοκάθετος τέμνει τον κύκλο στα σημεία $N , T$ . Για ποια θέση του $S$ , είναι : $TN=MN$ ; ( $M$ το μέσο του $SP$ ) . Κατασκευή Έστω κύκλος μ $\left( {O,3} \right)$ και χορδή του $TN = 2$. ...

Απαιτητικό ορθογώνιο.pngΣτο ορθογώνιο $ABCD$ με κέντρο $O$ , η διχοτόμος της γωνίας $\widehat{BCD}$ , τέμνει την $BD$ στο σημείο $T$ και την $AB$ στο $S$ . Να κατασκευαστεί το ορθογώνιο έτσι , ώστε : $\widehat{SOC}=90^0$ και να εξετασθεί , αν στην περίπτωση αυτή , είναι : $CT=CB$ . α) Κατασκευή Αρκ...

Μέγιστο μέγιστης δυσκολίας.pngΤο ορθογώνιο τρίγωνο $ABC$ έχει σταθερή υποτείνουσα $BC=a$ , αλλά μεταβλητές κάθετες πλευρές . Φέρουμε το ύψος $AD$ και την διχοτόμο $AS$ . Βρείτε το μέγιστο εμβαδόν του τριγώνου $ADS$ . Μια προσπάθεια . $90^\circ < \theta < 180^\circ $ , $A\left( {\cos \theta ,\sin \t...

_Προβολική_ Γεωμετρία.pngΣτο τρίγωνο $ABC$ , είναι : $AB=4 , AC=9 , BC=10$ . Ονομάζουμε $B' , C'$ , τις προβολές των $B , C$ αντίστοιχα , σε ευθεία η οποία διέρχεται από το $C$ . Πώς θα αχθεί αυτή η ευθεία , ώστε να είναι : $B'C'=AB$ ; Προβολική Γεωμετρία_κατασκευή_ok.png H $KT$ είναι η πολική του ...

Εσωτερικό_ μετά το εξέχον.png . Η μεσοκάθετος στην εσωτερική διχοτόμο , $AD$ του $\vartriangle ABC$ τέμνει τις $AB,AC$ στα σημεία $K$ και $L$ αντίστοιχα. Ας είναι $S$ το σημείο τομής των $BL$ και $CK$ . Η ευθεία $AS$ τέμνει την πλευρά $BC$ στο σημείο $T$. Να υπολογιστεί το τμήμα $AT$ ως έκφραση των...

Ο καλός , ο καλύτερος κι ο άριστος.pngΖητούμενο είναι το άθροισμα $\theta+\phi$ . Ο καλός απαντάει πρώτος . Ο καλύτερος πρέπει να έχει και εναλλακτική λύση . Ο άριστος πρέπει να βρει τρεις λύσεις για να είναι σίγουρος . Καταληκτική ημερομηνία : $17-2-2026$ . Ο καλός ο καλύτερος και ο άριστος.png . ...

Εξέχον τμήμα. 7.pngΣτο τρίγωνο $ABC$ , η μεσοκάθετος της διχοτόμου $AD$ , τέμνει την προέκταση της $CB$ στο σημείο $S$ . Υπολογίστε το τμήμα $SB= x$ , συναρτήσει των πλευρών $a , b , c $ , του τριγώνου ( $c < b$ ) . Ας είναι : $b > c\,\,$και $K\,\,,\,\,L$ τα μέσα των: $DB\,\,,\,\,DC$ αντίστοιχα. Αν...

Με αφορμή την άσκηση του Θανάση εδώ , να δώσω μια, χρήσιμη ίσως, πρόταση : Έστω τρίγωνο $ABC$ με $B>C$. Αν $AM, AD$ η διάμεσος και το ύψος αντίστοιχα του τριγώνου προς την $BC$ τότε: Η γωνία $DAM$ είναι ίση με $B-C$ αν και μόνο αν $A=90^o$ Έχω μια απόδειξη... περιμένω τις δικές σας. Γωνία διαμέσου ...

Ισοσκελισμένος υπολογισμός.png Ο κύκλος $(K ,3)$ έχει το κέντρο του πάνω στον κύκλο $(O , 4)$ . Από το ένα σημείο τομής $T$ των δύο κύκλων , διέρχεται ευθεία η οποία τους ξανατέμνει στα σημεία $C , B $ αντίστοιχα . Οι $BO , CK$ τέμνονται στο $A$ . Βρείτε την θέση του $B$ , για την οποία είναι : $AB...

Διάμεσος και ύψος.pngΚατασκευάστε ορθογώνιο τρίγωνο $ABC$ με την εξής ιδιότητα : Αν το $D$ είναι το συμμετρικό του $A$ ως προς $B$ , η διάμεσος προς την υποτείνουσα , δηλαδή η $AM$ , να είναι κάθετη προς την $CD$ . Διάμεσος και ύψος_Κατασκευή.png Θεωρώ ευθύγραμμο τμήμα $AB = c$ και το $D$να είναι τ...

Αναμονή τέλος.pngΣτο τετράγωνο $ABCD$ , τα ημικύκλια διαμέτρων $AOB$ και $SKD$ εφάπτονται μεταξύ τους . Υπολογίστε την : $\tan\widehat{OKC}$ . ( Τίτλος , για όσους ενδιαφέρονται για την "ώρα εφαπτομένης" ) Ας είναι $\left( {K,x} \right)$ το ζητούμενο ημικύκλιο. Ο ομόκεντρος κύκλος που διέρχεται από...

Ακριβώς τα μισά.pngΑπό το σημείο $S(9,-2)$ να αχθεί ευθεία , η οποία να τέμνει τις : $y=0 , y=\dfrac{1}{3}x , y=2x$ στα σημεία : $P , Q , T ,$ αντίστοιχα , έτσι ώστε να είναι : $QT = 2PQ$ . . ακριβώς.png . Μπορούμε να το κάνουμε με Ευκλείδεια μέσα και, γενικότερα, με οποιαδήποτε δέσμη από τρεις ευθ...

Τέλειο τετράγωνο από δύο κύκλους.pngΜε κέντρο το άκρο $B$ της χορδής $AB=d$ , κύκλου $(O)$ , γράφουμε νέο κύκλο ακτίνας : $r=\dfrac{3d}{5}$ , ο οποίος τέμνει τον $(O)$ στα σημεία $C, D$ . Αν οι $AB , CD$ τέμνονται στο $S$ , βρείτε τον λόγο : $\dfrac{AS}{SB}$ Έστω $T$ η τομή του $\left( {B,r} \right...

Λόγος εξ επαφής.pngΑπό σημείο $S$ του ημιάξονα $Ox$ φέρουμε εφαπτομένη $SP$ , προς τον κύκλο $(x-2)^2+y^2=16$ η οποία τέμνει τον $Oy$ στο σημείο $T$ . Βρείτε την θέση του $S$ , για την οποία είναι : $\dfrac{SP}{PT}=\dfrac{7}{3}$ . Ας είναι $H$, η προβολή του , $P$ στην $AB$. Η τετράδα , $\left( {A,...

Ισότητα περικύκλων.pngΤο τρίγωνο $AOC$ , έχει κορυφές την αρχή των αξόνων , το σημείο $A(1,4)$ και το σημείο $C$ του $Ox$ . Το $M$ είναι το μέσο του ύψους $AD$ . Βρείτε την τετμημένη του σημείου $C$ , για την οποία οι περίκυκλοι των τριγώνων $AOC , MOC$ , είναι ίσοι . Ας δούμε την περίπτωση του σχή...

Κατασκευή ισοσκελούς τριγώνου 2.png Στη βάση $BC$ ισοσκελούς τριγώνου $ABC$ θεωρούμε σημείο $S$ ώστε $AS=SC.$ Να κατασκευάσετε ένα τέτοιο τρίγωνο αν είναι γνωστό ότι τα μήκη των τμημάτων $AB, BS, SA$ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. Έστω λυμένο το πρόβλημα. Γράφω τον κύκλο ,$\left( {A,AB}...

Λόγος για αριθμητική πρόοδο.pngΣτην προέκταση της πλευράς $AB$ του ορθογωνίου $ABCD$ θεωρούμε σημείο $S$ και φέρουμε τις $SC , SD$ . Σκαρώστε το σχήμα έτσι , ώστε να είναι : $\dfrac{SC}{SD}=\dfrac{2}{3}$ και τα $SB , BA , AD$ , να είναι διαδοχικοί όροι αύξουσας αριθμητικής προόδου . Πρώτα-πρώτα το ...

Εξέχον τμήμα 3.pngΤο $AD$ είναι το προς την υποτείνουσα ύψος του ορθογωνίου τριγώνου $ABC$ . Ο κύκλος διαμέτρου $AD$ τέμνει τις $AB , AC$ στα σημεία $P ,T$ , ενώ οι προεκτάσεις των $PT , BC$ , τέμνονται στο σημείο $S$ . Υπολογίστε το τμήμα $CS=x$ , συναρτήσει των $BD=y$ και $DC = z$ . Εφαρμογή : $y...

KARKAR έγραψε: ↑

Τετ Ιαν 21, 2026 9:32 pm

Η λύση Φραγκάκη , έχει μοναδικό αλλά σημαντικό μειονέκτημα : Τα σημεία του σχήματος έχουν διαστάσεις

Καλημέρα. Είμαι "εκτος έδρας" και με περιορισμένες δυνατότητες