Όσο πιο κοντά στην αρχή.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο $ABC$ , με : $b=5 , c=12$ , το $AD$ είναι το ύψος προς την υποτείνουσα $BC$ . Σημείο $S$ κινείται στο εσωτερικό του τμήματος $BD$ . Η κάθετη προς το τμήμα $AS$ στο $S$ , τέμνει την $AB$ , στο σημείο $T$ . Βρείτε το ελάχιστο μήκος του τμήματος $AT$ . ...

Δίκαιο αλλά παράξενο.pngΘέλουμε το ορθογώνιο τρίγωνο $CST$ να έχει το μισό εμβαδόν του $ABC$ . Βρείτε την θέση του $S$ . ( $AB=12 , AC=5 $ ) . Στο σχήμα, με $0 < m < 12\,\,,m < u < 12\,\,\kappa \alpha \iota \,\,0 < v < 5$. Θα ισχύουν : $\overrightarrow {CS} = \left( {m, - 5} \right)\,\,\left( 1 \ri...

Τα τρία ημικύκλια.pngΤο σημείο $M$ είναι το μέσο του ημικυκλίου διαμέτρου $AOB=2r$ . Σχεδιάζω ημικύκλιο διαμέτρου $OM$ και ένα τρίτο ημικύκλιο , κέντρου $B$ , το οποίο εφάπτεται στο δεύτερο , έχει τα άκρα του $C $ και $ D$ στην ευθεία $AB$ και τέμνει το αρχικό στο σημείο $S$ . Υπολογίστε το τμήμα $...

shape.pngΣτο τεταρτοκύκλιο του παραπάνω σχήματος, να βρείτε το μήκος του τμήματος $BC = x.$ Γράφω την κατασκευή μόνο . Τεταρτοκύκλιο.png Κατασκευάζω ορθογώνιο τρίγωνο $DAC$ με υποτείνουσα $AC = 25$ και κάθετες πλευρές , $AD = 24\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DC = 7$. Προεκτείνω την $DC$ κατά τμήμα , $...

Έστω $O$ το κέντρο ημικυκλίου διαμέτρου $AB = 2R$. Ας είναι $C$ εσωτερικό σημείο της ακτίνας $OB$. Θεωρούμε την ευθεία $g$ , κάθετη στην $AB\,$ στο $C$. Σημείο $M$κινείται επί του ημικυκλίου . Οι $AM\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BM$ τέμνουν την $g$ στα $P,\,T\,.\,$ Σταθερά τμήματα_ εκφώνηση.png α) Δεί...

Διαδοχικοί όροι Γ.Π.png Η διάμεσος $BN$ ορθογωνίου τριγώνου $ABC (\widehat A=90^\circ)$ τέμνει το ύψος $AD$ στο $P$ και έστω $E$ η προβολή του $P$ στην $AC.$ Να δείξετε ότι τα μήκη των τμημάτων $AE, AP, EC$ είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου. Στη συνέχεια αποδείξτε ότι η $BE$ διέρχεται από τ...

Τερατώδες ύψος.pngΤο ημικύκλιο διαμέτρου $AB$ τέμνει την $AC$ στο $S$ . Υπολογίστε το $h$ , αν : $DS=5$ . Προεκτείνω την $CB$ κατά $BT = 4$. Επειδή , $\boxed{\frac{{BD}}{{BT}} = \frac{{CD}}{{CT}} \Leftrightarrow \frac{2}{4} = \frac{6}{{12}} = \frac{1}{2}}$, η τετράδα , $\left( {T,D\backslash B,C} \...

Τερατώδες ύψος.pngΤο ημικύκλιο διαμέτρου $AB$ τέμνει την $AC$ στο $S$ . Υπολογίστε το $h$ , αν : $DS=5$ . Ας είναι $R$η ακτίνα του ημικυκλίου και $AS = y\,\,,\,\,SC = k.$ Επειδή το τετράπλευρο $ABDS$ είναι εγγεγραμμένο , $\theta = B$ και άρα $\cos \theta = \cos B = \dfrac{1}{R}\,\,\left( 1 \right)$...

KARKAR έγραψε: ↑

Πέμ Απρ 25, 2024 7:25 pm

Τερατώδες ύψος.pngΤο ημικύκλιο διαμέτρου τέμνει την στο . Υπολογίστε το , αν : .

Η διάμεσος κάθετη_mathematica.png . Από σημείο $P$ εκτός κύκλου φέρνουμε τα εφαπτόμενα τμήματα ,$PB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,PC\,\,.$ Ας είναι $A$ τυχαίο σημείο του μικρού τόξου $BC$. Αν $E\,\,\kappa \alpha \iota \,\,Z$ οι προβολές του $P$ στις $AB\,\,,\,\,AC$ και $M$ το μέσο της χορδής $BC$ , Δε...

Ισότητες τμημάτων στο mathematica.png Δίδεται $\vartriangle ABC$ με , $AD,BE,CZ$ τα ύψη του . Ας είναι $K\,\,\kappa \alpha \iota \,\,L$ οι προβολές των $B\,\,\kappa \alpha \iota \,\,C$ στις $ZD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ED$. Αν $M$ το μέσο του $BC$ δείξετε ( με όποια σειρά θέλετε) ότι , $ZK = EL\,...

Παραπλήσιοι λόγοι.pngΣτην πλευρά $AB$ του τετραγώνου $ABCD$ , θεωρούμε σημείο $P$ , τέτοιο ώστε : $\widehat{ADP}=30^\circ$ . Στην προέκταση της $PD$ , θεωρούμε σημείο $S$ , έτσι ώστε : $CS=CA$ . α) Υπολογίστε τους λόγους : $\dfrac{CD}{DS}$ και : $\dfrac{AP}{PB}$ . β) Δείξτε ότι ο δεύτερος λόγος έχε...

Αποχρώντες λόγοι.pngΠροεκτείνουμε την πλευρά $AB=a$ , του τετραγώνου $ABCD$ και προς τις δύο κατευθύνσεις , κατά τμήματα $AS=BP=x$ . α) Βρείτε το $x$ , ώστε : $\dfrac{SC}{SP}=1$ β) Υπολογίστε την μέγιστη τιμή του λόγου : $\dfrac{SC}{CP}$ ( και αυτονόητα , το τότε $x$ ) . α) $SC = SP \Leftrightarrow...

KARKAR έγραψε: ↑

Τρί Απρ 23, 2024 11:55 am

Α-μεσότητα.pngΒρείτε την θέση του στον μικρό κύκλο , ώστε η τομή του με τον μεγάλο να είναι το μέσο του .

Για το δεύτερο ερώτημα έχω: Νεανικές κατασκευές.png . $\dfrac{{BC}}{{KC}} = \dfrac{{AB}}{{KC}} \Rightarrow \dfrac{a}{{b - x}} = \dfrac{c}{x} \Rightarrow \dfrac{{a + c}}{b} = \dfrac{c}{x} \Rightarrow \boxed{x = \dfrac{{bc}}{{a + c}}}$ . $B{K^2} = S{C^2} \Leftrightarrow {x^2} + {c^2} = {\left( {a - c}...

Νεανικές κατασκευές.pngΚατασκευάστε το ορθογώνιο τρίγωνο $ABC$ και το ημικύκλιο διαμέτρου $AKP$ , το οποίο εφάπτεται στην υποτείνουσα σε σημείο $S$ . Ποια ιδιότητα του τριγώνου παράγει και την ισότητα : $BK=CS$ ; Ας είναι. $x\,\,,$ η ακτίνα του ημικυκλίου . Θα την υπολογίσω ως έκφραση των πλευρών τ...

shape.pngΣτο παραπάνω σχήμα, κύκλος $(K,R)$ είναι εσωτερικός του κύκλου $(O,2R)$. Ζητείται το μήκος της ακτίνας $R$. Παρόμοιο. Ας είναι $AN = x$ . το τετράπλευρο $NECB$ έχει τις γωνίες του στα $N\,\,\kappa \alpha \iota \,\,C$ από $90^\circ $ , άρα είναι εγγράψιμο οπότε : $xAE = 4AC \Rightarrow x = ...

Σφηνοειδής γραφή.pngΤα $S , P $ είναι σημεία του κύκλου : $(x-3)^2+(y-3)^2=9$ και τέτοια ώστε : $PS \perp OS$ . Εντοπίστε τη θέση του $S$ , για την οποία οι γωνίες $\phi$ και $\theta$ είναι ίσες . Έστω λυμένο το πρόβλημα . Φέρνω την $PK$ και τέμνει τον δεδομένο κύκλο $\left( {K,3} \right)$ ακόμα στ...

Μεγάλο και μικρό τετράγωνο.png Έστω το τετράγωνο $ABCD$. Προεκτείνουμε την $AB$ προς το $B$ κατά τμήμα $BE$ και σχηματίζουμε το τετράγωνο $AEZH$. Στην προς το $C$ προέκταση της διαγώνιου $AC$ θεωρούμε τυχαίο σημείο $F$ και πάνω στο ευθύγραμμο τμήμα $CE$, τυχαίο σημείο $K.$ Η ευθεία $FK$ τέμνει τις ...