Έστω $\Sigma$ το στερεό που περικλείεται από το μονόχωνο υπερβολοειδές $\frac{x^2}{\alpha^2}+\frac{y^2}{\beta^2}-z^2=1$ και το δίχωνο υπερβολοειδές $\frac{x^2}{4\alpha^2}+\frac{y^2}{4\beta^2}-z^2=-1, \quad \alpha>0,\,\beta>0$. Να βρεθεί ο όγκος του $\Sigma$ συναρτήσει των $\alpha,\,\beta$. (Συνέχει...

Ροδόλφε, σ' ευχαριστούμε για την όλη σου προσφορά στο χώρο αυτό. Να είσαι γερός και να περνάς καλά. Σε θυμάμαι, εκτός των μαθηματικών δημοσιεύσεών σου, και από τη κουβέντα μας στα Ανώγεια κατά το πρώτο διήμερο της Γεωμετρίας το 2015. Τότε, σ' εκείνη τη συνάντηση, θυμάμαι ακόμα ότι μου χάρισες και δ...

Έστω $\Sigma$ το στερεό που περικλείεται από το μονόχωνο υπερβολοειδές $\frac{x^2}{\alpha^2}+\frac{y^2}{\beta^2}-z^2=1$ και το δίχωνο υπερβολοειδές $\frac{x^2}{4\alpha^2}+\frac{y^2}{4\beta^2}-z^2=-1, \quad \alpha>0,\,\beta>0$. Να βρεθεί ο όγκος του $\Sigma$ συναρτήσει των $\alpha,\,\beta$. (Συνέχει...

Έστω $\Sigma$ το στερεό που περικλείεται από το μονόχωνο υπερβολοειδές $\frac{x^2}{\alpha^2}+\frac{y^2}{\beta^2}-z^2=1$ και το δίχωνο υπερβολοειδές $\frac{x^2}{4\alpha^2}+\frac{y^2}{4\beta^2}-z^2=-1, \quad \alpha>0,\,\beta>0$. Να βρεθεί ο όγκος του $\Sigma$ συναρτήσει των $\alpha,\,\beta$. Γρηγόρη ...

Έστω $\Sigma$ το στερεό που περικλείεται από το μονόχωνο υπερβολοειδές $\frac{x^2}{\alpha^2}+\frac{y^2}{\beta^2}-z^2=1$ και το δίχωνο υπερβολοειδές $\frac{x^2}{4\alpha^2}+\frac{y^2}{4\beta^2}-z^2=-1, \quad \alpha>0,\,\beta>0$. Να βρεθεί ο όγκος του $\Sigma$ συναρτήσει των $\alpha,\,\beta$. Καλησπέρ...

Έστω $\Sigma$ το στερεό που περικλείεται από το μονόχωνο υπερβολοειδές $\frac{x^2}{\alpha^2}+\frac{y^2}{\beta^2}-z^2=1$ και το δίχωνο υπερβολοειδές $\frac{x^2}{4\alpha^2}+\frac{y^2}{4\beta^2}-z^2=-1, \quad \alpha>0,\,\beta>0$. Να βρεθεί ο όγκος του $\Sigma$ συναρτήσει των $\alpha,\,\beta$. Γρηγόρη ...

Καλησπέρα.... Αναρτώ τα νέα κρούσματα σε ένα διάγραμμα γραμμικής παλινδρόμησης για την 8η εβδομάδα, το οποίο είναι από πλευρά μου το τελευταίο. Ευχή για ένα αντίο στη λαίλαπα αυτή... Έτσι μερικές δικές μου απορίες: 1) Τι θα λέγατε για την όλη χρησιμότητα του διαγράμματος αυτού; 2) Έχει προβλεψιμότη...

Σαν σήμερα (31 Μαίου). πέθανε ο Γάλλος Galois του 19ου αιώνα (1811) γιατί ήταν τσαμπουκάς, επαναστάτης, σκοτώθηκε σε μονομαχία σε ηλικία 21 χρονών, (υπάρχει και γυναίκα στην μέση) και θυμάμαι που έλεγα στο 3ο έτος ότι αφού έβγαλε ολόκληρη θεωρία μέχρι τα 21 του, αν είχε πεθάνει με φυσικό θάνατο δεν...

Ισχυρισμός : Αν η συνεχής συνάρτηση $ f$ στο διάστημα $\Delta$ έχει σύνολο τιμών $f(\Delta)$ ένα κλειστό διάστημα τότε οπωσδήποτε το $\Delta$ είναι κλειστό διάστημα Αληθής ή Ψευδής; Ίσως σε βοηθήσουν και τα ακόλουθα δύο σχήματα με τα αντίστοιχα ερωτηματικά (?) 1ο σχήμα: Ισχυρισμός 1.png 2ο σχήμα: Ι...

Με αφορμή πρόσφατη συζήτηση εδώ , να δειχθεί ότι Αν η συνολική επιφάνεια σφαίρας και κύβου είναι σταθερή, τότε ο συνολικός τους όγκος ελαχιστοποιείται όταν η ακμή του κύβου ισούται προς την διάμετρο της σφαίρας. Γιώργο καλησπέρα... Ωραίο το πρόβλημά σου... Εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα: Σφαίρα και...

Στις $29 $ Απριλίου του $2012$ , ένας μαθητής ζήτησε από τον καθηγητή των Μαθηματικών να του πει την ηλικία του . Εκείνος απάντησε : Σήμερα είμαι ακριβώς $e^4$ ετών . Ποια θα είναι η ακριβής ηλικία του καθηγητή αυτού , στις $24 $ Ιουλίου του $2020$ ; Καλημέρα.... Στις $\displaystyle{29/04/2012}$ ο ...

Έστω τρίγωνο $AB \Gamma$ και $E(x)$ το εμβαδόν του τριγώνου που προκύπτει αν αυξήσουμε όλες τις πλευρές του $AB \Gamma$ κατά $x$. 1) Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία την $E(x)$. 2) Τι μπορούμε να πούμε για το νέο τρίγωνο όταν το $x$ τείνει στο $+\infty$; Καλημέρα... Συνεχίζω κλείνοντας την άποψή...

Παραθέτω και μια ακόμα απεικόνιση της επιφάνειας αυτής με το λογισμικό Maple. Ίσως είναι ομορφότερο! Μέγιστο 13.png Στην εξίσωση: $\displaystyle{z=A(x,y)=xy(9-x-y)}$ έχω ορίσει τα $\displaystyle{x,y}$ ως εξής: $\displaystyle{0<x\leq 14}$ και $\displaystyle{0<y \leq 14}$. Επίσης έχω ορίσει το διάστη...

Να βρεθεί το η μέγιστη τιμή της παράστασης παρακάτω για $\displaystyle a,b>0$ $\displaystyle A(a,b)=ab(9-a-b)$ Καλησπέρα... Ας το δούμε και με τη χρήση του τριωνύμου: Έστω λοιπόν ότι: $\displaystyle{f(a)=A(a,b)=ab(9-a-b)=-ba^2+(9b-b^2)a \Rightarrow}$ $\displaystyle{ f(a)=-ba^2+(9b-b^2)a, \ \ -b<0 \...

Αγγελική, ένα καλωσόρισμα κι από μένα... Επαναλαμβάνω: ...................................... Αρχικά θεώρησα ότι το σκηνικό του κειμένου ήταν υποθετικό ώστε να γίνει πιο παραστατικό. Όμως ότι το εμπνεύστηκε μια μαθήτρια είναι εξαιρετικό! Βλέπεις ότι σε μερικούς ανθρώπους και ιδιαίτερα σε νέους πλεο...

Καλησπέρα.... Αναρτώ τα νέα κρούσματα σε ένα διάγραμμα γραμμικής παλινδρόμησης για την 8η εβδομάδα, το οποίο είναι από πλευρά μου το τελευταίο. Ευχή για ένα αντίο στη λαίλαπα αυτή... Κορωνοϊός - παλινδρόμηση 8.png Από ό,τι φαίνεται το σημείο τομής της ευθείας των ελαχίστων τετραγώνων είναι κατά την...

Μπάμπη ευχαριστώ πολύ για τις ευχές σου! Να είσαι γερός και ό, τι το καλύτερο! Για το πρόβλημα: Αρχικά θεώρησα ότι το σκηνικό του κειμένου ήταν υποθετικό ώστε να γίνει πιο παραστατικό. Όμως ότι το εμπνεύστηκε μια μαθήτρια είναι εξαιρετικό! Βλέπεις ότι σε μερικούς ανθρώπους και ιδιαίτερα σε νέους πλ...

Μια μαθήτρια έκανε την εξής απλοποίηση : $K=\frac {212121210}{112121211}= \frac {2[121212]10}{1[121212]11}=\frac {210}{111}$, έδιωξε δηλαδή το μέρος $[121212]$. (α) Δεν είναι περίεργο που το αποτέλεσμα είναι σωστό ; (β) Αν αντί του $12$ βάλουμε $13$ θα ισχύει η απλοποίηση ; (γ) Πώς εξηγείται η ορθό...

Εστω $ \displaystyle X=ax+by+cz,Y=ay+bz+cx,Z=az+bx+cy$ Να δειχθεί ότι $\displaystyle X^3+Y^3+Z^3-3XYZ=(a^3+b^3+c^3-3abc)(x^3+y^3+z^3-3xyz)\ \ (*) $ Που ανήκουν τα παραπάνω δεν έχει καμία σημασία. Μπορεί να είναι πραγματικοί μπορεί να είναι μιγαδικοί,και γενικότερα στοιχεία μεταθετικού δακτυλίου Στα...