Θα ήθελα να αναδείξω την έννοια της στερεάς γωνίας, μια έννοια με μεγάλη χρησιμότητα στον Ηλεκτρομαγνητισμό.
Παραθέτω ένα μάλλον αρχικό πρόβλημα.
Δίνεται κανονικό τετράεδρο ακμής α. Να βρεθεί η στερεά γωνία της κορυφής του κώνου που έχει κορυφή το κέντρο του τετραέδρου και βάση τον ...

Το ισοσκελές τρίγωνο ABC είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο (O) . Αν η απόσταση OI , του περικέντρου

από το έγκεντρο του τριγώνου , ισούται με το βέλος MS της χορδής - βάσης BC , βρείτε το \cos A .


Καλημέρα από Γρεβενά...

Εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα:

Μικροϊσότητα 1.png

Από το τρίγωνο $$MSC ...

Δίνεται η συνάρτηση $f(x) = x^3 + x - 1, \quad x \in \mathbb{R}$.
α) Να αποδείξετε ότι η $f$ αντιστρέφεται .
Δίνεται ότι η αντίστροφη συνάρτηση $f^{-1}$ είναι παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$.
β) Ένα σημείο $M(x(t), y(t))$ κινείται πάνω στη γραφική παράσταση της $f$. Τη χρονική στιγμή $t_0$, το ...

.
Δίνονται τα σύνολα

$Α= \{3n+1| n\in \mathbb Z\}, \, B= \{4n+23| n\in \mathbb Z\}, \, C= \{4n-1| n\in \mathbb Z\}, \, D= \{3n+19| n\in \mathbb Z\} $.

Δείξτε ότι $A \cap B= C \cap D$

(Ας την αφήσουμε $24$ ώρες για τους μαθητές μας.)


Καλησπέρα από Γρεβενά...

Θα αναζητήσουμε την τομή των ...

Στο ισοσκελές τρίγωνο ABC , γνωρίζουμε τα ύψη AD=15 , BE=24 .

Δείξτε ότι το τρίγωνο είναι αμβλυγώνιο και υπολογίστε την βάση BC .


Καλημέρα...

Μιχάλη αναρτώ μια λύση περίπου σαν τη δική σου....

Εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα:

Βασική άσκηση 1.png

Πράγματι είναι:

$$2E(ABC)=15a=24b ...

Δίνεται ο ρόμβος $$ABCD$$ με $$\widehat{B}=60^o $$ και ο κύκλος που διέρχεται από τα σημεία $$A,B,C.$$

Γωνία και τόπος 1.png
Θεωρούμε τυχαίο σημείο $$S$$ του μικρού τόξου $$AC$$ και τις ευθείες $$AS, CS$$ οι οποίες ορίζουν αντίστοιχα
στις πλευρές $$CD, AD$$ τα σημεία $$Q,P$$. Να αποδειχθεί:
1ο ...

Ένα κυκλικό νόμισμα ακτίνας $1$ cm κυλάει γύρω από το εσωτερικό ενός τετραγώνου, χωρίς να ολισθαίνει, παραμένοντας πάντοτε σε επαφή με τα όρια του τετραγώνου.
Όταν επιστρέφει στο σημείο από όπου ξεκίνησε, το νόμισμα έχει πραγματοποιήσει ακριβώς μία πλήρη περιστροφή.
Ποιο είναι, σε εκατοστά, το ...

Στο τρίγωνο ABC , δεν θα δυσκολευτείτε ιδιαίτερα να βρείτε σημεία D , E της BC

και σημείο T της AC , τέτοια ώστε αν η BT τέμνει τις AD , AE , στα σημεία S , P

αντίστοιχα , να είναι : BS=SP=PT . Υπάρχει άραγε και διαφορετική λύση ; :ewpu:


Καλημέρα από Γρεβενά....

Εγώ το ερώτημα αυτό το ...

Μια δεύτερη προσπάθεια , μετά την μάλλον ατυχή πρώτη εκφώνηση :oops:
Στην προέκταση της ακτίνας OA , του τεταρτοκυκλίου O\overset{\frown}{AB} , θεωρούμε σημείο S .

Η SB τέμνει το τόξο στο σημείο T και η εφαπτομένη στο T , τέμνει την AS στο P .

Βρείτε την θέση του S ( δηλ . υπολογίστε το x ...

Στην προέκταση της ακτίνας OA , του τεταρτοκυκλίου O\overset{\frown}{AB} , θεωρούμε σημείο S .

Η SB τέμνει το τόξο στο σημείο T και η εφαπτομένη στο T , τέμνει την AS στο P .

Βρείτε την θέση του S , για την οποία προκύπτει : PT=PS .


Καλημέρα από Γρεβενά...

Μιχάλη κι εγώ το ίδιο βρήκα με ...

Το ορθογώνιο ABCD είναι χρυσό , δηλαδή ο λόγος των πλευρών του είναι \phi . Προεκτείνω την μικρότερη

πλευρά BA κατά τμήμα AE , ώστε : EB=BC και φέρω : BS\perp DE , η οποία τέμνει την AD στο T .

Α) Υπολογίστε τον λόγο : \dfrac{DS}{SE} .

Β) Αν ο κύκλος που ορίζουν τα D , E , B , έχει κέντρο O ...

Το ορθογώνιο ABCD είναι χρυσό , δηλαδή ο λόγος των πλευρών του είναι \phi . Προεκτείνω την μικρότερη

πλευρά BA κατά τμήμα AE , ώστε : EB=BC και φέρω : BS\perp DE , η οποία τέμνει την AD στο T .

Α) Υπολογίστε τον λόγο : \dfrac{DS}{SE} .

Β) Αν ο κύκλος που ορίζουν τα D , E , B , έχει κέντρο O ...

Ξεκινάω μια παράλληλη δημοσίευση με τα θέματα των Διαγωνισμών της ΕΜΕ από το 1959 προς το 1980.
Τότε τα θέματα ήταν ένα από κάθε κατηγορία '' Άλγεβρα - Τριγωνομετρία - Στερεομετρία''.

3. Δίνεται στο επίπεδο $\displaystyle{E}$ τετράγωνο $\displaystyle{AB\Gamma\Delta}$ πλευράς $\displaystyle ...

Από σημείο S εσωτερικό οξείας γωνίας \hat{O} , να αχθούν δύο κάθετες μεταξύ τους ευθείες , οι οποίες

να τέμνουν τις δύο πλευρές της γωνίας στα σημεία A , B , έτσι ώστε να είναι : \widehat{OAS}=\widehat{OBS} .


Καλησπέρα από Γρεβενά...

Εργαζόμαστε με τη σειρά στα παρακάτω τρία σχήματα:

1ο ...

Στο παρακάτω σχήμα, το σημείο $$D$$ κινείται πάνω στο ημικύκλιο $$(c)$$ και η
ημιευθεία $$CD$$ τέμνει την εφαπτομένη του ημικυκλίου στο άκρο της διαμέτρου $$A$$
στο σημείο $$B$$.
Να βρεθεί ο γ. τόπος του μέσου $$M$$ του τμήματος $$DB$$.
(Η εύρεση του γ. τόπου σημαίνει να βρεθεί η εξίσωσή του ...

Τριχοτόμηση χορδής.pngΤο σημείο S βρίσκεται στο εσωτερικό του κύκλου (O , r) . Να αχθεί χορδή AB

του κύκλου , διερχόμενη από το S , τέτοια ώστε : SA=2SB .

Όπως λέμε σ' αυτές τις περιπτώσεις , η κατασκευή χωρίς υπολογισμούς πριμοδοτείται !


.
Με κανόνα και διαβήτη, χωρίς καθόλου πράξεις ...

\bigstar Στον κύκλο του σχήματος , που έχει εξίσωση : x^2+y^2=r^2 , κινείται σημείο M

και έστω S το συμμετρικό του A ως προς M . Βρείτε την καρτεσιανή εξίσωση

του γεωμετρικού τόπου του σημείου S . Αρχίστε γνωρίζοντας ότι : r=2 , a=1 .


Καλησπέρα από Γρεβενά...

Προφανώς το σημείο $$S ...

Καλησπέρα από τα Γρεβενά...

Επειδή στο τελευταίο μήνυμα μου ανάφερα για την κύλιση της έλλειψης
πάνω σε ευθεία γραμμή, πράγμα που είναι το τελικό ζητούμενο, αναρτώ
δυο εικόνες- στιγμιότυπα της κύλισης καθώς και το αντίστοιχο δυναμικό
αρχείο.

Σχήμα 1:

Κύλιση έλλειψης σε ευθεία 1.png

Σχήμα ...

β) Ορθός κυκλικός κύλινδρος τέμνεται από επίπεδο παράλληλο προς τον άξονα του , που απέχει από αυτόν απόσταση $\displaystyle{\alpha \,\, m}$.
Αν $\displaystyle{E \,\, m^2}$ είναι το εμβαδόν της τομής και $\displaystyle{\delta \,\, m}$ η διαγώνιος, ποιος θα είναι ο όγκος του κυλίνδρου;


Πριν ...

Ένας κυκλικός δίσκος ακτίνας 1 μέτρο διπλώνεται πάνω στη διάμετρό του AB κατά 120^{\circ} . (60^{\circ} η γωνία που σχηματίζουν μεταξύ τους ,μετά τη δίπλωση , τα δύο μισά του δίσκου) . \Gamma \Delta η διάμετρος κάθετη στην AB διάμετρο.Στη συνέχεια αφήνεται να ισοροπήσει σε επίπεδο επάνω στο \Gamma ...