Δείξτε ότι $\{x+y+z : (x,y,z) \in S^2\} = [-\sqrt{3},\sqrt{3}]$, όπου $S^2$ η επιφάνεια της μοναδιαίας μπάλας στον $\mathbb{R}^3$. Καλημέρα... ............................... Θα μπορούσαμε να το μελετήσουμε και ως εξής: ....................................... Κώστας Δόρτσιος Υπάρχει πρόβλημα. Η συν...

Δείξτε ότι $\{x+y+z : (x,y,z) \in S^2\} = [-\sqrt{3},\sqrt{3}]$, όπου $S^2$ η επιφάνεια της μοναδιαίας μπάλας στον $\mathbb{R}^3$. Καλημέρα... Θα μπορούσαμε να το μελετήσουμε και ως εξής: Αφού: $\displaystyle{x^2+y^2+z^2=1 \Rightarrow z=\pm \sqrt{1-x^2-y^2} \ \ (1) }$ Άρα μελετούμε τα ακρότατα της ...

...................... 3. Δίνεται ένα κανονικό τετράεδρο $\displaystyle{AB\Gamma\Delta}$ με ακμή ίση με $\displaystyle{1}$. Αν $\displaystyle{M,N}$ είναι δυο οποιαδήποτε σημεία στο εσωτερικό του τετραέδρου, να αποδείξετε οτι $\displaystyle{\widehat{MAN}<60^o}$ ......................... Καλημέρα, πα...

Υπάρχουν λύτες που ενδιαφέρονται να ασχοληθούν με θέματα για τα οποία ο θεματοδότης δεν έχει λύση ; Στην προέκταση της χορδής $BC=a$ , του ημικυκλίου διαμέτρου $AB=2r$ , θεωρούμε σημείο $S$ και φέρουμε $SP \perp AB$ , η οποία τέμνει το τόξο στο $T$ . Πώς να επιλέξουμε το $S$ , ώστε : $AT=CS$ ; Αφού...

Διπλώνουμε το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο $ABCD$, του παραπάνω σχήματος, κατά την ευθεία $EZ$. Η πλευρά $A'B'$ τέμνει την $BC$ στο $K$. Να βρείτε το μήκος του τμήματος $CK = x$ Μιχάλη και Νίκο γεια σας από Γρεβενά... Στο ωραίο αυτό πρόβλημα και δίπλα στις ιδέες σας προσθέτω κι εγώ ένα σχήμα. Ένα στατ...

Έστωσαν η επιφάνεια $E$ με παραμετρική παράσταση $\overline{R}:[-2,2]\times[-2,2]\longrightarrow{\mathbb{R}}^3\,; \quad \overline{R}(u,v)=\left({\begin{array}{c} u+v\\ 2u-\frac{v}{2}\\ u^2+v \end{array}}\right)\,,$ και η καμπύλη $c$ που είναι η τομή του επιπέδου $y=0$ με την $E$ . Να βρεθεί το εμβα...

Έστωσαν η επιφάνεια $E$ με παραμετρική παράσταση $\overline{R}:[-2,2]\times[-2,2]\longrightarrow{\mathbb{R}}^3\,; \quad \overline{R}(u,v)=\left({\begin{array}{c} u+v\\ 2u-\frac{v}{2}\\ u^2+v \end{array}}\right)\,,$ και η καμπύλη $c$ που είναι η τομή του επιπέδου $y=0$ με την $E$ . Να βρεθεί το εμβα...

Έστωσαν η επιφάνεια $E$ με παραμετρική παράσταση $\overline{R}:[-2,2]\times[-2,2]\longrightarrow{\mathbb{R}}^3\,; \quad \overline{R}(u,v)=\left({\begin{array}{c} u+v\\ 2u-\frac{v}{2}\\ u^2+v \end{array}}\right)\,,$ και η καμπύλη $c$ που είναι η τομή του επιπέδου $y=0$ με την $E$ . Να βρεθεί το εμβα...

Έστωσαν η επιφάνεια $E$ με παραμετρική παράσταση $\overline{R}:[-2,2]\times[-2,2]\longrightarrow{\mathbb{R}}^3\,; \quad \overline{R}(u,v)=\left({\begin{array}{c} u+v\\ 2u-\frac{v}{2}\\ u^2+v \end{array}}\right)\,,$ και η καμπύλη $c$ που είναι η τομή του επιπέδου $y=0$ με την $E$ . Να βρεθεί το εμβα...

Δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης $f$ ορισμένης στο $[k,m]$ και το διάστημα $[a,b]$. H συνάρτηση $g$ ορίζεται στο $[a,b]$ και η γραφική της παράσταση είναι "όμοια" με εκείνη της $f$. Βρείτε τον τύπο της $g$ εκπεφρασμένο μέσω των $f,a,b,k,m$. Τα εισαγωγικά οφείλονται στο ότι ο όρος πρέπει ν...

Κάτι που άκουσα σήμερα στην τηλεόραση σχετικά με τη σημερινή ημερομηνία, δηλαδή την 2 Φεβρουαρίου 2020. Τί θα μπορούσαμε άραγε να πούμε επιπλέον; Κώστας Δόρτσιος Για τον αριθμό αυτό μπορεί να πει κανείς ότι δεν παρουσιάζει "κατοπτρικότητα ", δηλαδή αξονική συμμετρία, όπως συμβαίνει στο ακόλουθο σχή...

Κάτι που άκουσα σήμερα στην τηλεόραση σχετικά με τη σημερινή ημερομηνία,
δηλαδή την 2 Φεβρουαρίου 2020.
Τί θα μπορούσαμε άραγε να πούμε επιπλέον;
Κώστας Δόρτσιος

Έστωσαν η επιφάνεια $E$ με παραμετρική παράσταση $\overline{R}:[-2,2]\times[-2,2]\longrightarrow{\mathbb{R}}^3\,; \quad \overline{R}(u,v)=\left({\begin{array}{c} u+v\\ 2u-\frac{v}{2}\\ u^2+v \end{array}}\right)\,,$ και η καμπύλη $c$ που είναι η τομή του επιπέδου $y=0$ με την $E$ . Να βρεθεί το εμβα...

Έχω ξεχάσει που το έχω συναντήσει, αλλά περιέχει αλήθεια: Γνώση, καλλιέργεια , είναι αυτό που μένει όταν ξεχάσεις τι έχεις διαβάσει. Είναι ένα μυαλό, με ευρύτητα πνεύματος, χωρίς αγκυλώσεις. Με σκέψη, κρίση και διάκριση. Που λύνει προβλήματα, ανοίγει δρόμους κ.λπ. Χωρίς αυτό το αποτέλεσμα οι διαβασ...

Έστωσαν η επιφάνεια $E$ με παραμετρική παράσταση $\overline{R}:[-2,2]\times[-2,2]\longrightarrow{\mathbb{R}}^3\,; \quad \overline{R}(u,v)=\left({\begin{array}{c} u+v\\ 2u-\frac{v}{2}\\ u^2+v \end{array}}\right)\,,$ και η καμπύλη $c$ που είναι η τομή του επιπέδου $y=0$ με την $E$ . Να βρεθεί το εμβα...

Δίνεται τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ και ο περιγεγραμμένος κύκλος αυτού. Μεταβλητό σημείο $\displaystyle{M}$ κινείται πάνω στην πλευρά $\displaystyle{BC}$ και η ευθεία που ορίζει με την κορυφή $\displaystyle{A}$ τέμνει το περιγεγραμμένο κύκλο στο σημείο $\displaystyle{N}$. Δυο ακρότατα....png Ζητούμ...

Καλημέρα σε όλους. Δίνονται οι ευθείες $e: x+y=1$ και $d: y=2$. Η μεταβλητή ευθεία $t: y = mx, m \neq -1, m \neq 0$ τις τέμνει στα $P, Q$ αντίστοιχα. Αν $O$ η αρχή του συστήματος αξόνων, βρείτε την ελάχιστη τιμή του γινομένου $OP \cdot OQ$ καθώς και την τιμή του $m$ για την οποία προκύπτει το ελάχι...