$\bigstar$ Στο ορθογώνιο $ABCD$ του σχήματος , εξηγήστε γιατί η πράσινη και η γαλάζια περιοχή έχουν το ίδιο εμβαδόν . Ερώτημα προς μεγαλύτερους : Πόσο είναι το εμβαδόν του πράσινου τριγώνου ; Καλησπέρα... Παραθέτω το ακόλουθο σχήμα με ανάλογες σημειώσεις για τη λύση στο αρχικό ερώτημα. Σχήμα Ανόμοι...

... Αυτό καθιστά απαραίτητο να θεωρηθεί ο γ. τόπος ως σημείο τομής των ευθειών ή στην ανάγκη να διατυπωθεί στην εκφώνηση το όριο μεταβολής της παραλληλίας της χορδής $\displaystyle{CD}$. . . Κώστα, πολύ ενδιαφέροντα αυτά που γράφεις και ωραιότατα, όπως πάντα, τα κινητικά σχήματα που ανάρτησες. Για ...

Η κουβέντα είναι δευτερεύουσας σημασίας , αλλά σκέφτομαι μήπως -πέραν του ομόρροπου - η έκφραση : "τομή των ημιευθειών $CK , DB$" , περιορίζει τον γεωμετρικό τόπο μόνο στον δεξιό κλάδο της υπερβολής . Μιχάλη , ανάφερε αν θέλεις κάποιο βιβλίο Αναλυτικής Γεωμετρίας που έχει παρόμοια άσκηση . Καλημέρα...

η οποία είναι μια υπερβολή χωρίς όλα της τα σημεία. Κώστα, η υπερβολή είναι με όλα της τα σημεία αν επιτρέψουμε το $C$ να περάσει τον νότιο πόλο και να κατευθυνθεί ανατολικά μέχρι να ξαναφτάσει πάλι στον βόρειο πόλο. Τότε το $C$ είναι το δεξί άκρο της χορδής του, ενώ το αντίστοιχο $D$ είναι το αρισ...

Ο κύκλος $(x+2)^2+y^2=9$ τέμνει τον οριζόντιο άξονα στα σημεία $A , B$ . Χορδή $CD$ του κύκλου κινείται , παραμένοντας παράλληλη προς την $AB$ . Οι ημιευθείες $CK$ και $DB$ τέμνονται στο σημείο $S$ , του οποίου αναζητούμε τον γεωμετρικό τόπο . Καλησπέρα.... Εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα: S - επιφά...

Δείξτε ότι για κάθε $x , y \in \mathbb{R}$ , ισχύει : $x^2+y^2+1>\dfrac{4}{5}(x+y+xy)$ Καλησπέρα... Αναρτώ μερικά σχήματα από το χώρο των τριών διαστάσεων γιατί η ζητούμενη ανισότητα και η όλη μελέτη που ακολούθησε έχει κατά βάση και μια γεωμετρική ερμηνεία. Σχήμα 1ο Surface 1.png Από το σχήμα αυτό...

Δίνεται η συνάρτηση : $f(x)=kx^2-(k+1)x-(2k+1)$ . Δείξτε ότι η γραφική της παράσταση διέρχεται για κάθε $k\in\mathbb{R}$ από δύο σταθερά σημεία . Καλημέρα... Παραθέτω και μια άλλη ιδέα... Η εξίσωση της παραβολής είναι: $\displaystyle{y=kx^2-(k+1)x-(2k+1), k \in R \ \ (1) }$ Η (1) γράφεται κι αλλιώς...

Κι από μένα, έστω και την υστεραία, Χρόνια πολλά στους αγαπητούς:

Γιώργο Ρίζο,
Γιώργο Μπαλόγλου,
Γιώργο βισβίκη,
Γιώργο Μήτσιο,
Γιώργο Καλαθάκη,
Γιώργο Τσικαλουδάκη
καθώς και σε όλους και όλες που γιόρταζαν χθές!!!

Κώστας Δόρτσιος

Βρείτε όλες τις ευθείες , οι οποίες δεν έχουν κοινά σημεία με την γραφική παράσταση της συνάρτησης : $f(x)=\dfrac{x}{x-1}$ . Καλησπέρα... Εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα: Κανένα κοινό σημείο 1.png Στο σχήμα αυτό υπάρχει η γραφική παράσταση της συνάρτησης: $\displaystyle{f(x)=\frac{x}{x-1} \ \ (1) }$...

Σε κύκλο $(O)$ , θεωρούμε "οριζόντια" χορδή $AB$ και σημείο $S$ , "βορειότερο" της χορδής . Ονομάζουμε $P$ το μέσο της διαδρομής $ASB$ . α) Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του $P$ , αν η χορδή είναι σταθερή και το $S$ μετακινείται . β) Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του $P$ , αν το $S$ είναι σταθερό και η χ...

KARKAR έγραψε: ↑

Τετ Απρ 22, 2026 12:42 pm

Θυμηθείτε το θεώρημα της σπασμένης χορδής του Αρχιμήδη ... ( ο βόρειος πόλος του κύκλου )

Καλησπέρα...

Αν και έχει γραφεί πιστεύω παλαιότερα παραθέτω σχηματικά

μια σύντομη απόδειξη της πρότασης αυτής.
Κώστας Δόρτσιος

Σε κύκλο $(O)$ , θεωρούμε "οριζόντια" χορδή $AB$ και σημείο $S$ , "βορειότερο" της χορδής . Ονομάζουμε $P$ το μέσο της διαδρομής $ASB$ . α) Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του $P$ , αν η χορδή είναι σταθερή και το $S$ μετακινείται . β) Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του $P$ , αν το $S$ είναι σταθερό και η χ...

Ο μεταβλητών διαστάσεων ρόμβος $ABCD$ του σχήματος , έχει εμβαδόν $E$ . Αν $M$ είναι το μέσο της πλευράς $AB$ , βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του σημείου τομής $S$ των ημιευθειών $DA , CM$ . Ρόμβος , τόπος , τρόπος.pngΟ μεταβλητών διαστάσεων ρόμβος $ABCD$ του σχήματος , έχει εμβαδόν $E$ . Αν $M$ είναι...

Το σταθερό τμήμα $OS$ του $Oy'$ και το κινητό τμήμα $QP$ , της ευθείας $y=-1$ έχουν μήκη $5$ . Οι $QO , SP$ τέμνονται στο σημείο $T$ . Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του $T$ . Λογισμικό ; :no: Καλησπέρα... Συνεχίζω το θέμα αυτό προσθέτοντας κάποιες ακομα λειτουργίες του δυναμικού σχήματος για καλύτερη ...

Το σταθερό τμήμα $OS$ του $Oy'$ και το κινητό τμήμα $QP$ , της ευθείας $y=-1$ έχουν μήκη $5$ . Οι $QO , SP$ τέμνονται στο σημείο $T$ . Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του $T$ . Λογισμικό ; :no: Αχαρτογράφητα νερά.pngΤο σταθερό τμήμα $OS$ του $Oy'$ και το κινητό τμήμα $QP$ , της ευθείας $y=-1$ έχουν μήκη...

$\bigstar$ Στο διαστάσεων $a \times b$ ορθογώνιο $ABCD$ , μεταβλητή ευθεία παράλληλη προς την $AB$ , τέμνει τις $AD , AC , BC$ στα σημεία $P,S,T$ αντίστοιχα . Δημιουργήστε συνάρτηση , η οποία αποδίδει το εμβαδόν της γραμμοσκιασμένης περιοχής και βρείτε το ελάχιστο αυτού του εμβαδού . Πότε αυτό το ε...

Σε σημείο $T$ της διαμέτρου $AB=d$ ενός ημικυκλίου , πλησιέστερο του $B$ , υψώνουμε κάθετο τμήμα $TS=TB$ . Από το $S$ διέρχεται χορδή $CD$ παράλληλη προς την $AB$ . α) Δείξτε ότι ο λόγος : $\lambda=\dfrac{CS}{SD}$ , είναι πάντα μεγαλύτερος από τον : $m= \dfrac{AT}{TB}$ . β) Υπολογίστε τον $\lambda$...

$\bigstar$ Στις πλευρές $AB , AC$ , του τριγώνου $ABC$ , εντοπίστε σημεία $D , E$ αντίστοιχα , τέτοια ώστε : $DE \parallel BC$ και $AD=EC$ . Κατασκευάστε αναλυτικά το τμήμα $DE$ . Ειδικά αν : $a=10 , b=9 , c=6$ , υπολογίστε το τμήμα $DE$ . Καλημέρα και Καλή Ανάσταση!! Εργαζόμαστε στο ακολουθο σχήμα...

$\bigstar$ Η κινητή χορδή $CD$ του ημικυκλίου του σχήματος είναι παράλληλη προς την διάμετρο $AOB$ . Δείξτε ότι το γινόμενο : $\tan\theta\cdot \tan\phi$ είναι σταθερό . Καλησπέρα... Αναρτώ μόνον ένα σχήμα όπου μπορεί κανείς να δει και τη λύση ( Χωρίς πολλά λόγια! ) Γινόμενο εφαπτομένων 1png.png Κώσ...

Ένας καλλιτέχνης έχει έναν κύβο που αποτελείται από $N^3$ ίδιους μικρούς κύβους (όπου $N>2$). Κάποια στιγμή χρωμάτισε ολόκληρη την εξωτερική επιφάνεια του μεγάλου κύβου. Παρατήρησε ότι ο αριθμός των μικρών κύβων με χρώμα σε μία μόνο έδρα τους είναι ίσος με τον αριθμό των μικρών κύβων που δεν έχουν ...