Ας το δούμε με ομοιότητα. Τρία ορθογώνια τρίγωνα είναι όμοια στο σχήμα: Το αρχικό και τα δύο στα οποία το διαιρεί το ύψος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα. Επομένως έχουμε τρία όμοια σύνθετα σχήματα: αποτελούνται από τα τρία παραπάνω ορθογώνια τρίγωνα με τα αναγεγραμμένα στις υποτεινουσες τους τετρά...

Εκτός φακέλου. (Λύση εντός φακέλου γίνεται με πολλές πράξεις) Οι εφαπτόμενες της έλειψης στα $ N, S$ τέμνονται στο $P$ και οι $NE,SE'$ τέμνονται στο $D.$ Οι $PO, NS$ τέμνονται στο $M$ και οι $PD,NS$ τέμνονται στο $K.$ Από το σχήμα το K βρίσκεται δεξιότερα του M . Τώρα είναι γνωστό ότι η $PO$ διχοτομ...

Θα κάνουμε χρήση της επόμενης πρότασης που είναι ισοδύναμη της ανακλαστικης ιδιότητας: Έστω $B$ σημείο παραβολής διαφορετικό της κορυφής της, $ B '$ η προβολή του $B$ στην διευθετούσα και $ E$ η εστία της παραβολής. Η εφαπτομένη της παραβολής στο $B$ είναι μεσοκάθετος του $EB'.$ Στο θέμα μας. Από το...

Το κέντρο $K$ του παραλληλογράμμου έχει γ.τ. τον κύκλο κέντρου $O$ και ακτίνας $r/2$ Άμεσα το $S$ έχει γ.τ. τον ομοιόθετο του παραπάνω κύκλου στην ομοιοθεσία με κέντρο $N$ και λόγο 2. (Θα εξαιρέσουμε τα σημεία που βρίσκονται στην ακτίνα ομοιοθεσίας $NO$ , γιατί αντιστοιχούν σε εκφυλισμένα παραλληλογ...

Έστω η κλίση της ζητούμενης ευθείας. Είναι:











κ.λπ.

Ok! Ωραίες οι αποδείξεις!!

Το σημείο τομής των ας το πούμε , ισαπέχει από τις . Έστω , αντίστοιχα, οι αποστάσεις του αυτές.

Για την παραλληλία των έχουμε τώρα

Μιχάλη, Γιώργο και λοιποί Φίλοι, καλό μήνα!

Να συμπληρώσω, ως ενδιαφέρον, ότι οι τέμνονται σε σημείο της διχοτόμου της ορθης γωνίας του αρχικού ορθογωνίου.

Τα μήκη των τμημάτων $DB=11, BC, CD$ συγκροτούν πυθαγόρεια τριάδα. Υπάρχουν ακέραιοι $k,m$ ώστε τα μήκη αυτά να είναι ένας από τους ακέραιους $k^2-m^2, 2km, k^2+m^2$ Το $11 $ μπορεί να είναι μόνο το $k^2-m^2=(k-m)(k+m)$, οπότε $k+m=11, k-m=1$ απ' όπου $k=6,m=5$. Έτσι θα βρούμε $DB=11, DC=60, BC=61$....

Να προσθέσω εδώ, ότι στο πρώτο σχήμα της αρχικής ανάρτησης, όπου τα C, D βρίσκονται εκατέρωθεν του AB, ο γ.τ. είναι

,

όπου θεωρήσαμε σύστημα αξόνων με κέντρο το μέσο του AB και άξονα των x με φορέα την AB. Τέλος κ.λπ.

Αν $X$ είναι η προβολή του $D$ στην $AC$, από οι ορθογώνιο τρίγωνο $CXD$ παίρνουμε $CX^2+XD^2=CD^2$ ή $(CA-DB)^2+AB^2 =CD^2.$ Από εδώ και με τη βοήθεια της υπόθεσης προκύπτει τελικά $AC^2-CD^2=BA^2-BD^2$ Η σχέση αυτή δίνει την καθετότητα των $ CB, AD$ κ.λπ. Στη συνέχεια θα δείξουμε ότι η εφαπτομένη ...

Θεωρώ γνωστή την πρόταση: Από σημείο $S$ εκτός έλλειψης φέρουμε τα εφαπτόμενα τμήματά της $SP, ST$. Έστω $F$ μια εστία της. Η $FS$ διχοτομεί τη γωνία $PFT$. Επομένως, στο θέμα μας, για κάθε θέση του $ S$, διαφορετική του $A,$ οι πράσινες γωνίες είναι ίσες, και, στη συνέχεια, φορσέ το $S$ είναι το κέ...

Λύση εκτός φακέλου: Αν $k<0$ η εξίσωση ορίζεται όταν$-3<x<0$ Η συνάρτηση $4ln(x+3)-lnkx$ είναι γνησίως αύξουσα (άμεσο με παραγώγους) και με σύνολο τιμών το σύνολο των πραγματικών αριθμών (τα όρια στο -3+ και στο 0- δεν παρουσιάζουν δυσκολία ), επομένως η συνάρτηση, άρα και η εξίσωση, έχει μοναδική ρ...

Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης καθορίζεται από την ανισότητα $x>=-12/b$ Η συνάρτηση $x(bx+12)^{0.5}$ γράφεται $(-1/b)(-bx)(bx+12)^{0.5}$ και επειδή το άθροισμα $(-bx)+(bx+12)=12$, σταθερό, έχει ελάχιστο όταν $ -0.5bx=bx+12 $ ή $x=- 8/b,$ το οποίο εύκολα βρίσκεται ότι είναι το $ -16/b$. Επομένως πρέ...

Ας το δούμε με αντιστροφή με κέντρο το S και ακτίνα ιση με SA και SB. Φανερά ο πράσινος κύκλος αντιστρέφεται στην ευθεία AB και τούμπαλιν. Έτσι όλοι οι κύκλοι που εφάπτονται στον πράσινο κύκλο και στην AB αντιστρέφονται στον εαυτό τους. Περαιτέρω, όσοι από τους κύκλους αυτούς τέμνονται μεταξύ τους, ...

Με κύκλο αντιστροφής τον μπλε, ο κόκκινος κύκλος αντιστρέφεται στην ευθεία και τούμπαλιν.

Έτσι το αντιστρέφεται στο , οπότε το γινόμενο είναι σταθερό, ίσο με τη δύναμη αντιστροφής.

Τα τρίγωνα $ABE, ACF$ είναι όμοια με γωνίες $90^o-A$, $A/2, 90^o+A/2$. α) Ας πούμε ότι η $AD$ τέμνει την $ CE$ στο $S_1$ και την $ BF$ στο $S_2$. Αρκεί να δείξουμε ότι $DS_1=DS_2$. Από $DS_1//BE$, και με το θεώρημα διχοτόμου παίρνουμε $DS_1/BE=CD/CB=c/(c+b)$ και όμοια $ DS_2/CF=BD/BC=b/(b+c)$ Από τη...

Από το μέσο της πλευράς τριγώνου φέρουμε παράλληλη στη διχοτόμο που τέμνει την ακτίνα του περιγεγραμμενου του κύκλου στο σημειο . Να αποδειχτεί ότι

Από θεώρημα Stwart στο τρίγωνο $ABC$ για τη σεβασιανη $CE $ υπολογίζουμε (a η πλευρά του ισοπλεύρου τριγώνου): $EC^2=19a^2/25$ Στο τρίγωνο $AEC$ (με τους συνήθεις συμβολισμούς των πλευρών π.χ. α = EC) για το ίχνος $S$ του ύψους από το $ A$ υπολογίζουμε $ES/SE=(a^2+e^2-c^2)/(a^2+c^2-e^2)=...=3/35$ Στ...

Δεν το θεωρώ λύση.

Πρόκειται ( και είναι) για γενίκευση το θεωρήματος Πτολεμαίου για τα σημεία A, C, T και το... σημείο- κύκλο (ZNE). Εδώ, σαν ευθύγραμμο τμήμα A(ZNE), παίρνουμε το εφαπτόμενο τμήμα από το A στον κύκλο (ZNE).

Δείτε και το Casey's theorem, με τέσσερα σημεία-κύκλους.