shape.pngΣτο παραπάνω σχήμα, να βρείτε το εμβαδόν του παραλληλογράμμου $ABCD$ Να μία λανθασμένη λύση με το ορθό αποτέλεσμα :lol: Υ Έστω υ το ύψος του παραλληλόγραμμου που αντιστοιχεί στην DC, και, έστω ΑΒ= β. Με μονάδα μέτρησης το DK, DK=1, θα είναι LC=1,5 και το ύψος των δύο έγχρωμων τριγώνων θα ε...

Σκληρά διανύσματα.pngΟι κορυφές $A,B$ του τριγώνου $\displaystyle ABC$ βρίσκονται εκατέρωθεν του άξονα $x'x$ , ενώ η $C$ πάνω σ΄αυτόν . Η $AB$ τέμνει τον $x'x$ στο $S$ , ενώ τα $A',B'$ , είναι τα συμμετρικά των $A,B$ ως προς τον $x'x$ . Η ημιευθεία $OB'$ τέμνει την $AC$ , στο $Q$ , ενώ η $OA'$ την ...

Η μόνη σχέση, τώρα με τον φάκελο, που βλέπω είναι, τελικά, η ευθεία $\displaystyle{x+2y=4}$ να εφάπτεται στον δίσκο $x^2+y^2-2ay\leqslant 0$, αλλά δεν μπορώ να το αιτιολογήσω επαρκώς. :) Η επιλογή του φακέλου ήταν ένα είδος υπόδειξης :D , πιθανόν άστοχη, το προβλημά ανήκει κανονικά στην γενικότερη ...

Η μέγιστη τιμή της έκφρασης $\displaystyle{x+2y}$ υπό την συνθήκη $\displaystyle \log_{\frac{x^2+y^2}{2}} ay \geq 1$ ισούται με $4$. Με τι ισούται η θετική τιμή της παραμέτρου $a$; Πρέπει και $y> 0$ Αν $\frac{x^2+y^2}{2}<1$ τότε $x+2y\leq \sqrt{(x^2+y^2)(1^2+2^2)}<\sqrt{10}<4$. Η μέγιστη τιμή της έ...

Με απλά μέσα. :idea: Όχι κανόνια... 111.png Αν δεν είναι κανόνια (ένα παραλληλόγραμμο, ένα ισοσκελές τραπέζιο (οπότε παραλληλία) και καθετότητα στην κοινή χορδή τεμνομένων κύκλων ) πες μου Κώστα να τη γράψω από την πρωτεύουσα της Ευρώπης (αύριο) γιατί τώρα είναι πολύ αργά και "έχουμε δουλειές" :lol...

Στο σχήμα οι κόκκινες γωνίες είναι ίσες. Ομοίως και οι μπλε.

Να αποδειχτεί ότι το ΟΣ είναι κάθετο στο ΣΕ.

Με απλά μέσα.

Όχι κανόνια...

Θέμα Α Έστω συνάρτηση $A:\mathbb{R} \rightarrow \mathcal{M}_{2 \times 2} (\mathbb{R})$ τέτοια ώστε $\displaystyle{A(x) = \begin{bmatrix} 1+5x &-2x \\ 10x & -4x+1 \end{bmatrix}}$ Να υπολογιστεί το $\left ( A(1) - \mathbb{I}_{2 \times 2} \right )^2$. Να αποδειχθεί η σχέση $\displaystyle{A(x)A(y) = A\...

Καλησπέρα! Η παρακάρω εξίσωση με έχει ζορίσει αρκετά..Κάτι χάνω.. Χρείαζομαι μια βοήθεια όταν μπορείτε. $\displaystyle \sqrt{x^2-9}=\frac{2(x+3)}{(x-3)^2}-x$ Δοκίμασα να την λύσω επιθετικά δλδ (διαίρεση στο 2 μελος ,παραγαντοποίηση και υψώνω τετράγωνο) αλλά πολλές πράξεις και το άφησα. Μετά δοκίμασ...

Λοιπόν δεν είμαι σίγουρος αν πρέπει να κάνω αυτή την πρόταση, αλλά θα τολμήσω:

Προτείνω στους μαθητές που θέλουν να μάθουν γεωμετρία, να διαγράψουν από τους υπολογιστές τους geogebra κ.λπ.

Γιατί δεν υπάρχει βασιλική οδός....

...χάρακας και διαβήτης.

Συγχαρητήρια σε όλα τα παιδιά! συγχαρητήρια στους συνοδούς τους, συγχαρητήρια σε αυτούς που τα βοήθησαν! Τέλος, συγχαρητήρια σε οποιονδήποτε έσκυψε ποτέ πάνω από οποιοδήποτε παιδί, ώστε να το βοηθήσει. Για την υπόλοιπη συζήτηση που άνοιξε απλά θυμίζω Αριστοτέλη, τονίζοντας την λέξη "συνήθεια": Ἔστιν...

Σωτήρη, Γιώργο Καλημέρα! Ενδιαφέρον το ερώτημα! Γράφω με επιφύλαξη τα επόμενα: Το αποτέλεσμα του Γιώργου δεν κολλάει με αυτό που λενε οι σεισμολόγοι, ότι, δηλαδή αύξηση κατά 31,5 φορές της "έντασης" του σεισμού σημαίνει αυξηση κατά μία μονάδα της κλίμακας μέτρησης. Ο τύπος του Γιώργου πρέπει να είνα...

Η στροφή περί το Α κατά ενενήντα μοίρες δεξιά, στέλνει το BE στο DC. Έτσι αυτά είναι ίσα και κάθετα.

Με βάση αυτό, η αντίστοιχη στροφή περί το F θα στείλει το D στο E, που τελειώνει την απόδειξη.

Πριν τη λύση, αν δεν τη γράψει άλλος, ας δούμε μία ενδιαφέρουσα, κατά τη γνώμη μου διερεύνηση: Η $f(x)$ γράφεται $f(x) = 1- 2 \frac{x+c}{x^2 +4x + 3c}$. Ισχύει ότι $\displaystyle \lim\limits_{x \to \pm \infty} f(x) = 1$. Οπότε εύκολα αποδεικνύεται ο ισχυρισμός ότι για νά έχει σύνολο τιμών το $\math...

Πριν τη λύση, αν δεν τη γράψει άλλος, ας δούμε μία ενδιαφέρουσα, κατά τη γνώμη μου διερεύνηση: Η $f(x)$ γράφεται $f(x) = 1- 2 \frac{x+c}{x^2 +4x + 3c}$. Ισχύει ότι $\displaystyle \lim\limits_{x \to \pm \infty} f(x) = 1$. Οπότε εύκολα αποδεικνύεται ο ισχυρισμός ότι για νά έχει σύνολο τιμών το $\math...

Αν ο m-οστός όρος μιας αριθμητικής προόδου ισούται με $\frac{1}{n}$ και ο n-οστός όρος είναι ίσος με $\frac{1}{m}$ τότε o (mn)-οστός όρος αυτής της αριθμητικής προόδου ισούται με: Α) $0$ Β) $1$ Γ) $\frac{1}{mn}$ Δ) $\frac{1}{m+n}$ Υ.Γ: Παρακαλώ όχι μονολεκτικές απαντήσεις! Αντιγράφω την τακτική του...

Εισαγωγικού τύπου ολυμπιάδα «Βήμα στο μέλλον» του Κρατικού Τεχνικού Πανεπιστημίου Μόσχας Bauman (Πολυτεχνείο) Μια από τις εκδόσεις των θεμάτων για το 2019. 5. Για κάθε τιμή της παραμέτρου $a$ να λύσετε την εξίσωση $\displaystyle{ \log_{2} \dfrac{3\sqrt{3}+\left (\sin x+4 \right )\cos a}{3 \sin a \c...

Εισαγωγικού τύπου ολυμπιάδα «Βήμα στο μέλλον» του Κρατικού Τεχνικού Πανεπιστημίου Μόσχας Bauman (Πολυτεχνείο) Μια από τις εκδόσεις των θεμάτων για το 2019. 1. Ένας φοιτητής έγραψε πρόγραμμα που επαναχρωματίζει το πίξελ σε ένα από $128$ διαφορετικά χρώματα. Τα χρώματα αυτά είναι αριθμημένα με φυσικο...

Ας πάρω την σκυτάλη! Αφού κατασκευάσαμε το εν λόγω επίπεδο, έστω ότι τέμνει την $AT$ στο $E$ ενώ η κοινή του τομή $e_1$ με το επίπεδο $(ABC)$ τέμνει την $BC$ στο $F$. (η $e_1$ διέρχεται από τα $M, F$ και το $D$ που θα ορίσουμε στη συνέχεια) Από το $A$ φέρνουμε το επίπεδο $p$ κάθετο στην $e_1$ που τη...

Έστω ${\rm AB \Gamma}$ τρίγωνο. Να δειχθεό ότι: $\displaystyle{\frac{1-\cos \hat{\rm B}}{\sin \hat{\rm B}} \cdot \frac{1-\cos \hat{\Gamma}}{\sin \hat{\Gamma}} = 1 - \frac{2\alpha}{\alpha + \beta + \gamma}}$ $LHS= tan\dfrac{B}{2}tan\dfrac{C}{2}= \sqrt{\dfrac{(p-a)(p-c)}{p(p-b)}} \sqrt{\dfrac{(p-a)(p...

Μιχάλη, Σταύρο σας ευχαριστώ!

Να είστε πάντα καλά!

Τελικά εχουμε λύσει το θέμα 5 του συνδέσμου

https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 36&t=64792

( οι περιορισμοί διευθετουνται εύκολα)

Και πάλι σας ευχαριστώ!