Να, μία, διαφορετική, λύση. Ας πούμε ότι τα γράμματα είναι όλα ίσα με 1 και ότι στο ανάπτυγμα έχουμε k φορές το 1 και j φορές το -1. Ζητάμε το j. Το προκύπτον γινόμενο ισούται με $1x3x(-1)x1x2=-6. $ Οι όροι του αναπτύγματος του γινομένου είναι $3x3x3x3x2=162$. Επομένως $k+j=162, k-j=-6$ Από εδώ $j =...

Μια τάξη έχει $34$ μαθητές. Παρατηρήσαμε ότι αν στα μισά θρανία καθίσουν από $2$ μαθητές και στα άλλα μισά από $3$, τότε μένουν όρθιοι $4$ μαθητές. Να βρείτε πόσα είναι τα θρανία. (Μόνο για μαθητές Δημοτικού ή Γυμνασίου και μόνο με πρακτική αριθμητική) (Μέχρι 12-1-21) Να μία λύση. Δημήτρη, Φίλε, κά...

Τα σημεία $K,L,M,N$ με συντεταγμένες $(-2,3)$, $(1,4)$, $(3,2)$, $(-1,-1)$ βρίσκονται στις πλευρές $AB,BC,CD,DA$ αντίστοιχα ενός τετραγώνου $ABCD$. Να βρείτε το εμβαδόν του τετραγώνου. Οι επόμενες, ας είναι οι εξισώσεις των πλευρών του τετραγώνου: $e1:y-3=p(x+2),\,\,\,e2:y-4=-\dfrac{1}{p}(x-1),\,\,...

Παραλληλία υπό συνθήκη.png Έστω τρίγωνο $\displaystyle{\vartriangle ABC}$ με $\displaystyle{\angle A = {120^0}}$. Αν $\displaystyle{D}$ η τέταρτη κορυφή του παραλληλογράμμου $\displaystyle{ABDC}$ να δειχθεί ότι η ευθεία Euler του τριγώνου $\displaystyle{\vartriangle ABC}$ είναι παράλληλη προς την $...

Είναι γνωστό ότι $cot\omega =cotA+cotB+cotC$, οπότε αρκεί να δείξω $cotA+cotB+cotC=2$ Για ευκολία θέτω $a=cotA, b=cotB, c=cotC$. H υπόθεση, με ύψωση στο τετράγωνο, δίνει $a=b+c+2\sqrt{bc}$ ή $a+b+c= 2(a-\sqrt{bc})\,\,\,\,(1)$ Αλλά είναι γνωστό ότι $ab+bc+ca=1$, οπότε $a(b+c)+bc=1$. Aπαλείφουμε το $b...

Αφού και αφού το είναι μέσο του τόξου , από το αντίστροφο της σπασμένης χορδής , η είναι κάθετη στην κ.λπ. η παραλληλία είναι προφανής.

Δηλαδή, Σωτήρη Φίλε, με άλλα λόγια, η ST τέμνει την ΟΑ στον πόλο της PQ, οπότε η PQ διέρχεται από τον πόλο της ΟΑ.

Έστω $F_{1}F_{2}C$ ένα ορθογώνιο τρίγωνο με την ορθή γωνία να αντιστοιχεί στην κορυφή $F_{2}$, $E$ και $\Upsilon$ είναι συνεστιακές, με εστίες τα σημεία $F_{1}$ και $F_{2}$, έλλειψη και υπερβολή που διερχόνται από το σημείο $C$. (Εξετάζουμε μόνο τον ένα κλάδο της υπερβολής που διέρχεται από το σημε...

Γράφω κύκλο με κέντρο και ακτίνα

Το ανήκει στην κοινή χορδή των δυο κύκλων ( λόγω π.χ. αντιστροφής), και στον κύκλο διαμέτρου κ.λπ.


Άλλη λύση: το ύψος από το είναι η κοινή χορδή των δύο κύκλων ( όχι του αρχικού) που αναφέρω στην παραπάνω λύση.

Ας βάλει κάποιος σχήμα και συνεχίζω! Σαν υπόδειξη έχουμε: Οι εφαπτόμενες της έλλειψης στα $A, C$ τέμνονται στο $I$ Οι εφαπτόμενες της υπερβολής στα $B,C$ τέμνονται στο $H$ Τα σημεία $F_1, I, H$ είναι στην ίδια ευθεία (την διχοτόμο της γωνίας $CF_1A$) που τέμνεται με την $F_2C$ στο $K$. Τα σημεία $F_...

Να είσαι καλά Γιώργο!

Να ξεσκουριάζουμε!!

Έστω $f$ η γωνία των $MG, GA$. Θέτω $D=d^2+R^2$ και $B=2dR$ Είναι, από νόμο συνημιτόνων: ( στο σχήμα μου έχω το Μ πάνω αριστερά, αλλά δεν παίζει ρόλο) $ MA^2=D-Bcosf, MB^2=D-Bcos(120^o-f), MC^2=D-Bcos(120^o+f)$ Από τον τύπο του Ήρωνα, ή με οποιοδήποτε άλλο τρόπο, το τρίγωνο με πλευρές $a=MA, b=MB,c=...

KARKAR έγραψε: ↑

Σάβ Οκτ 17, 2020 6:54 pm

Έχω την ( γνήσια ) απορία , γιατί ο θεματοδότης δεν έγραψε :

viewtopic.php?f=53&t=68097#top

Nα αποδειχτεί ότι για κάθε πραγματικό ισχύει

Να βρείτε τα $a$, για τα οποία η ανίσωση $\displaystyle{\sqrt{2\pi -|x|} \left ( \cot^2 \left ( \sin x \right)-2a \cot \left ( \sin x \right) -a\right ) \leq 0}$ έχει πεπερασμένο αριθμό λύσεων. Να βείτε αυτές τις λύσεις. Με επιφύλαξη για την δακτυλογράφηση... H ανίσωση ορίζεται στο σύνολο $A=(-2\pi...

Για τους αριθμούς $\displaystyle{a_{1}, a_{2}, \dots , a_{42}}$ επαληθεύονται οι ισότητες $a_{n} = f\left (a_{n} \right)$ ,$ n=1,2, \dots , 41$. Να βρείτε την διαφορά $a_{13}-a_{10}$, αν $a_{42}=0$ και $f(x) = \left\{\begin{matrix} 7^x+4^{-\frac{6}{x+1}} -8 , \quad x \leq -4 \\ \dfrac{52}{x+4}-4 , ...

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑

Κυρ Σεπ 06, 2020 9:49 am

προφανής λύση η και προφανώς μοναδική..

...και p=1/2...

Οι ρίζες της εξίσωσης $x^3-\left( \log_{p/8} p\right) x^2 + \left | \dfrac{5}{2} \log_{4} p \ \right | x-\dfrac{15}{8} = 0$ αποτελούν τα μήκη των πλευρών ενός τριγώνου και οι ρίζες της εξίσωσης $x^3 -\dfrac{2}{3} \sqrt{p} x^2 +\dfrac{2p}{15} x- \dfrac{p}{p+14} = 0$ τα μήκη των υψών του ίδιου τριγών...

Οι ρίζες της εξίσωσης $x^3-\left( \log_{p/8} p\right) x^2 + \left | \dfrac{5}{2} \log_{4} p \ \right | x-\dfrac{15}{8} = 0$ αποτελούν τα μήκη των πλευρών ενός τριγώνου και οι ρίζες της εξίσωσης $x^3 -\dfrac{2}{3} \sqrt{p} x^2 +\dfrac{2p}{15} x- \dfrac{p}{p+14} = 0$ τα μήκη των υψών του ίδιου τριγών...

Αλέξανδρε, σαν μια πρώτη ιδέα, λύσε μου την εξίσωση:

,