Κάτι τέτοιο μας κάνει;
Η αναζήτηση βρήκε 2104 εγγραφές
Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση
- Κυρ Μαρ 17, 2024 1:20 pm
- Δ. Συζήτηση: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ
- Θέμα: Εκφράζοντας μια δίκλαδη (και όχι μόνο) συνάρτηση χωρίς κλάδους
- Απαντήσεις: 2
- Προβολές: 206
- Τρί Μαρ 05, 2024 6:10 pm
- Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
- Θέμα: Δραματικό ελάχιστο
- Απαντήσεις: 3
- Προβολές: 307
Re: Δραματικό ελάχιστο
Προτείνω την ανισότητα:
και για την ισότητα να λυθεί η εξίσωση
και για την ισότητα να λυθεί η εξίσωση
- Σάβ Μαρ 02, 2024 2:26 pm
- Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
- Θέμα: Επιτέλους ισότητα
- Απαντήσεις: 2
- Προβολές: 208
Re: Επιτέλους ισότητα
Ας το δούμε προβολικά. Έστω Y το σημείο τομής των PC, QB και YX κάθετη στην AO. Η πολική του A είναι η YX. Πραγματικά το Y ανήκει στην πολική του A και η YX είναι κάθετη στην διακεντρική του Α. Έτσι, η δέσμη, YA, YX, YQ, YC είναι αρμονική. Η ευθεία S AT είναι παράλληλη στη ακτίνα YX της δέσμης. Επομ...
- Κυρ Φεβ 11, 2024 12:27 pm
- Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
- Θέμα: Κατασκευή τριγώνου
- Απαντήσεις: 6
- Προβολές: 297
Re: Κατασκευή τριγώνου
Αφού κατασκευάσουμε το τρίγωνο ΑΕΜ, φορσέ κατασκευάζοναι η διχοτόμος ΑΔ και το Ύψος ΑΗ του τριγώνου. Τώρα το κέντρο Κ του περιγεγραμμένου κύκλου προσδιορίζεται ως εξής: 1. Η γωνία ύψους και διχοτόμου είναι ίση με την γωνία διχοτόμου και ακτίνας ΑΚ. 2. Η ΚΜ είναι κάθετη στην ΜΕ. (Για την κατασκευή πρ...
- Σάβ Ιαν 13, 2024 3:45 pm
- Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
- Θέμα: Είναι τετράγωνο;
- Απαντήσεις: 9
- Προβολές: 511
- Σάβ Ιαν 06, 2024 7:14 pm
- Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
- Θέμα: Γεωμετρικός τόπος σε τετράπλευρο
- Απαντήσεις: 2
- Προβολές: 264
Re: Γεωμετρικός τόπος σε τετράπλευρο
Εν αναμονή, άλλης, πληρέστερης, λύσης, και, για να ανοίξει συζήτηση: Έστω $x, y$ τα ύψη των τριγώνων $PAB, PCD$ αντιστοίχως. Τότε $(AB)x+(CD)y=S$ σταθερό. Για τις αποστάσεις, λοιπόν, του $ P$ από τις ευθείες $AB, CD$ ισχύει η παραπάνω σχέση που, ως γνωστό , δίνει μια ευθεία για γ τ. του $P.$ Τώρα, ό...
- Σάβ Ιαν 06, 2024 6:58 pm
- Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
- Θέμα: Γεωμετρικός τόπος σε κύκλο
- Απαντήσεις: 2
- Προβολές: 288
Re: Γεωμετρικός τόπος σε κύκλο
Έστω Ο το κέντρο του κύκλου. Στην οριακή περίπτωση, στην οποία οι εν λόγω χορδές έχουν, ως ένα άκρο ένα από τα σημεία Α και Β, τότε ο γ.τ. των μέσων τους είναι οι κύκλοι με διαμέτρους τις ακτίνες ΟΑ και ΟΒ. Στις λοιπές περιπτώσεις είναι το εσωτερικό των κύκλων αυτών. Τελικά, λοιπόν, ο ζητούμενος γ τ...
- Σάβ Ιαν 06, 2024 6:51 pm
- Δ. Συζήτηση: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ
- Θέμα: Μια σύνθεση συναρτήσεων
- Απαντήσεις: 1
- Προβολές: 417
Re: Μια σύνθεση συναρτήσεων
Φανερά η h έχει πεδιο ορισμού το R, όπως και η g.
Τώρα, η f είναι αντιστρέψιμη, οπότε
Τώρα, η f είναι αντιστρέψιμη, οπότε
- Σάβ Δεκ 30, 2023 12:02 am
- Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
- Θέμα: Επαφές τριπλού τύπου
- Απαντήσεις: 3
- Προβολές: 225
Re: Επαφές τριπλού τύπου
Νίκο, Φίλε έτσι είναι τα πράγματα. Βλέπε
Bicentric polygon.
Poncelet's porism.
Bicentric polygon.
Poncelet's porism.
- Δευ Δεκ 25, 2023 12:33 pm
- Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
- Θέμα: Καλά Χριστούγεννα!!
- Απαντήσεις: 5
- Προβολές: 467
Re: Καλά Χριστούγεννα!!
Καλά Χριστούγεννα!
Υγεία, Ειρήνη, Ευδοκία σε όλο τον κόσμο, νυν και αεί!
Υγεία, Ειρήνη, Ευδοκία σε όλο τον κόσμο, νυν και αεί!
- Κυρ Δεκ 24, 2023 11:17 pm
- Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
- Θέμα: Εορταστικός γρίφος με αριθμούς
- Απαντήσεις: 5
- Προβολές: 486
Re: Εορταστικός γρίφος με αριθμούς
INT[cosh(8+ log(8-6))+ln9]+8
Το INT δίνει το ακέραιο μέρος.
Το INT δίνει το ακέραιο μέρος.
- Τρί Δεκ 19, 2023 12:43 pm
- Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
- Θέμα: Ιδιότητα Αρμονικού Τετραπλεύρου
- Απαντήσεις: 2
- Προβολές: 347
Re: Ιδιότητα Αρμονικού Τετραπλεύρου
Αρκεί η δέσμη, PA, PC, PD, PB να είναι αρμονική.
Προς τούτο αρκεί η σημειοσειρά A, Y, X, B να είναι αρμονική. Αυτό είναι απλό να επαληθευτεί, αφού οι αποστάσεις AX, XY, YB είναι, προφανώς, γνωστές, συναρτήσει του α, οπότε υπολογίζεται ο αντίστοιχος διπλός λόγος ίσος με 1.
Προς τούτο αρκεί η σημειοσειρά A, Y, X, B να είναι αρμονική. Αυτό είναι απλό να επαληθευτεί, αφού οι αποστάσεις AX, XY, YB είναι, προφανώς, γνωστές, συναρτήσει του α, οπότε υπολογίζεται ο αντίστοιχος διπλός λόγος ίσος με 1.
- Τρί Δεκ 19, 2023 12:33 pm
- Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
- Θέμα: Απλή αλλά όχι σχολική
- Απαντήσεις: 5
- Προβολές: 438
Re: Απλή αλλά όχι σχολική
Ισχύει για κάθε χορδή BC, όχι αναγκαστικά διάμετρο.
Κλασική άσκηση για πολικές, αρμονικές ευθείες κ.λπ.
Κλασική άσκηση για πολικές, αρμονικές ευθείες κ.λπ.
- Σάβ Σεπ 30, 2023 7:44 pm
- Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία
- Θέμα: Σταθερή προβολή
- Απαντήσεις: 1
- Προβολές: 932
Σταθερή προβολή
Να αποδειχτεί ότι, κάθε εφαπτομένη της παραβολής ορίζει στην παραβολή χορδή , η οποία έχει σταθερή προβολή στον άξονα των x.
- Πέμ Σεπ 28, 2023 7:50 pm
- Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
- Θέμα: Τρείς τεμνόμενοι κύκλοι
- Απαντήσεις: 1
- Προβολές: 474
Re: Τρείς τεμνόμενοι κύκλοι
Ας είναι $K_1, K_2$ τα κέντρα των κύκλων $C_1,C_2.$ Τα σημεία $K_2, A, E$ είναι συνευθειακά, αφού $\angle K_2EF=\angle AEF$, όπως προκύπτει από τις επόμενες ισότητες: $\angle K_2K_1F=\angle K_2EF$ $\angle K_2K_1F=\frac{1}{2}\angle AK_1F=\angle AEF$ Ομοίως είναι συνευθειακά τα σημεία $D, A,K_1.$ Τώρα...
- Δευ Σεπ 25, 2023 10:45 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: Κέντρα κύκλων Euler και ομοιότητα
- Απαντήσεις: 7
- Προβολές: 1489
Re: Κέντρα κύκλων Euler και ομοιότητα
Κέντρα κύκλων Euler .png Έστω $ABCD$ ένα τετράπλευρο. Αν ${{N}_{a}},\,\,{{N}_{b}},\,\,{{N}_{c}}$ και ${{N}_{d}}$ είναι τα κέντρα των κύκλων Euler των τριγώνων $BCD,\,\,CDA,\,\,DAB$ και $ABC$, αντίστοιχα, αποδείξτε ότι τα δύο τετράπλευρα $ABCD$ και ${{N}_{a}}{{N}_{b}}{{N}_{c}}{{N}_{d}}$ είναι όμοια....
- Δευ Σεπ 25, 2023 9:30 pm
- Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'
- Θέμα: Εγγεγραμμένο εξάγωνο
- Απαντήσεις: 3
- Προβολές: 726
Re: Εγγεγραμμένο εξάγωνο
Γεια σου Κύριε Κώστα. Εγγεγραμμένο εξάγωνο .png Έστω $AB\cap CD=\left\{ X \right\}$ και $DE\cap AF=\left\{ Y \right\}$. Επειδή $AXDY$ παραλληλόγραμμο θα είναι: $\widehat{YDX}=\widehat{YAX}=\widehat{FAB}=\widehat{EDC}$. Όμως $\widehat{EFC}=180{}^\circ -\widehat{EDC}=180{}^\circ -\widehat{FAB}=\wideh...
- Δευ Σεπ 25, 2023 10:08 am
- Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
- Θέμα: Ορθοκεντρικόν
- Απαντήσεις: 12
- Προβολές: 877
Re: Ορθοκεντρικόν
Ας το δούμε κι αλλιώς. Τα σημεία A, H ανήκουν στην ίδια υπερβολή με εστίες τα B, C. Επομένως, ή το H συμπιπτει με το A, οπότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο στο A, ή το H είναι το δεύτερο σημείο τομής της υπερβολής με το ύψος AH, το οποίο είναι συμμετρικό του Α, ως προς την BC και έχουμε αμβλειγώνιο τρί...
- Δευ Σεπ 25, 2023 9:11 am
- Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'
- Θέμα: Εγγεγραμμένο εξάγωνο
- Απαντήσεις: 3
- Προβολές: 726
Re: Εγγεγραμμένο εξάγωνο
Αφού παράλληλες ευθείες αποκόπτουν ίσα τόξα και αντιστρόφως, έχουμε τις ισότητες τόξων $AF+FE=BC+CD$ $FE+ED=AB+BC$ Αυτές δίνουν $AF+AB= CD+ ED$ ή $FB=CE$, άρα FE//BC. Ας το δούμε και αλλιώς με Pascal. Οι απέναντι πλευρές του εξαγώνου τέμνονται σε συνευθειακά σημεία. Αφού τα δύο ζεύγη πλευρών είναι π...
- Κυρ Σεπ 24, 2023 4:31 pm
- Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
- Θέμα: Άλλες δύο τεμνόμενες καμπύλες
- Απαντήσεις: 1
- Προβολές: 717
Re: Άλλες δύο τεμνόμενες καμπύλες
Φορσέ το πολυώνυμο $x^3-x^2-x+a$ έχει διπλή ρίζα οπότε γράφεται στην μορφή $(x-r)(x-k)^2$. Φέρνουμε το τελευταίο στην ανηγμένη του μορφή, εξισώνουμε συντελεστές ομοίων όρων και βρίσκουμε $k=1, r=-1, a=1.$ $k=-1/3, r=5/3, a=-5/27$ Έτσι ζητάμε τα ολοκληρώματα $ \int_{-1}^{1}(x^3-x^2-x+1)dx $ $ - \int_...