Να αναφέρω ότι ενώ ο φίλος Σωτήρης έκανε την απόδειξη στον $\mathbb{R}^{3}$ αυτή η απόδειξη περνάει και στην γενική περίπτωση. Είναι εύκολο να το δούμε ως εξής: Κάνοντας μια μεταφορά μπορούμε να υποθέσουμε ότι η μία ευθεία περνάει από το $0$ του χώρου. Αν πάρουμε τον μικρότερο υπόχωρο του χώρου που...

Επίτρεψε μου φίλε Darma να σου θέσω υπόψη μία ρήση από τους πραγματικούς σοφούς που δημιούργησαν τις πραγματικές πολεμικές τέχνες, ρήση που αποτελείται από δύο "ΜΑΘΗΜΑΤΑ". Μάθημα 1ο: Να έχεις απόλυτη εκτίμηση και εμπιστοσύνη στον εαυτό σου και τις δυνάμεις σου. Μάθημα 2ο: Μάθε καλά και εμπέδωσε το ...

'Εστω $V$ ένας Ευκλείδειος χώρος και $a$, $b$ δύο διάφορες ευθείες του. 'Εστω $D$ το σύνολο των αποστάσεων των σημείων της $a$ από την $b$. Να αποδειχθεί ότι οι $a$, $b$ είναι παράλληλες αν και μόνο αν το $D$ είναι φραγμένο. Καλημέρα Νίκο με μία Ευκλείδεια προσπάθεια, αφού ας πούμε ότι λόγω της Ευκ...

Αν το τρίγωνο παραμένει όμοιο προς τον εαυτό του, άρα το γίνεται μέγιστο, όταν το γίνει μέγιστο και αυτό ως γνωστόν επιτυγχάνεται όταν το είναι μέσο του «μικρού» τόξου

Το mathematica το θεωρώ οικογένεια μου και την συμμετοχή μου εδώ σημείο αναφοράς. Ήδη έχουν πλέον ταυτόχρονα δημιουργηθεί και άρρηκτοι φιλικοί δεσμοί μεταξύ ανθρώπων από το mathematica αλλά και επιστημονικές συνεργασίες. Σε αυτό το πανέμορφο εδώ κλίμα σας ευχαριστώ ειλικρινά για τις ειλικρινείς ευχέ...

Μία γρήγορη αντίληψη. $\displaystyle{\frac{{BT}}{{TS}} = \frac{{\left( {ABT} \right)}}{{\left( {ATS} \right)}} = \frac{h}{x}}$ με το $x$ να γίνεται μέγιστο, άρα ο λόγος $\displaystyle{\frac{{BT}}{{TS}}}$ ελάχιστος, όταν το $S$ είναι μέσο του μικρού τόξου $AC.$ Όπου $h$ η σταθερή απόσταση της $B$ από...

Στο τραπέζιο $BCDE$ , με κάθετες διαγωνίους , οι μη παράλληλες πλευρές του $BE , CD$ τέμνονται στο σημείο $M$ . Προεκτείνω την $CM$ κατά τμήμα : $MA=CM$ . Δείξτε ότι : $\widehat{ABD}=\widehat{CBD}$ . Το σημείο $M$, τα μέσα $L, D$ των $ED, BC$ αντίστοιχα και το σημείο τομής $K$ των διαγώνιων $BD, CE...

Επανέρχομαι για δύο λόγους: Ο πρώτος λόγος είναι ο υπολογισμός του $AS,$ όπως ζητά ο Θανάσης. Έτσι από το κατασκευασθέν τρίγωνο $PTS$ παίρνουμε εύκολα $4{\ell ^2} = {\left( {\frac{{\ell \sqrt 2 }}{2}} \right)^2} + {\left( {a - \frac{{\ell \sqrt 2 }}{2}} \right)^2} \Leftrightarrow ... \Leftrightarrow...

1. Ας επιχειρήσουμε το κατασκευαστικό μέρος. Με βάση τη πλευρά $CB$ του τετραγώνου, και εξωτερικά αυτού κατασκευάζουμε το "Απολλώνιο ημικύκλιο" λόγου $\displaystyle{\frac{MB}{MC}=2.}$ Προσδιορίζουμε επί αυτού σημείο $Q$ τέτοιο που $\angle BCQ=\frac{\pi}{4}.$ Από το σημείο $Q$ κατασκευάζουμε παράλλη...

Καλημέρα Γιώργο.

Αν ονομάσουμε τότε προσδιορίζουμε σημείο του κύκλου τέτοιο που
και έτσι προσδιορίζουμε το , μέσω δηλαδή του προσδιορισμού του μήκους

edit: Τοποθέτηση του συντελεστή 2.

Απλά επαναφέρω, λόγω του ότι την ανάρτηση αυτή τη θεωρώ σημαντική.

Καλημέρα στην άριστη παρέα. Ας δούμε και την άποψη: Αν $L$ η τομή των $AS, BT$, τότε τα ορθογώνια τρίγωνα $DBS, ABL$ είναι όμοια με κάθετες τις υποτείνουσες τους. Αν $M$ το μέσον του $DB$ και επειδή $T$ είναι το μέσο του ομόλογου του $M$, τότε (από την καθετότητα των υποτεινουσών που αναφέραμε), $SM...

Ας δούμε και την άποψη που ακολουθεί: Επειδή $AD\mathop = \limits^\parallel BC$ και $\displaystyle{\frac{{MB}}{{MC}} = \frac{{MA}}{{MD}} \ne1 }$ οι αντίστοιχοι Απολλώνιοι κύκλοι στα τρίγωνα $MBC,\;\,MDA$ είναι ίσοι και συμμετρικοί ως προς την κοινή μεσοκάθετη των $AB,\;DC$, άρα το κοινό τους σημείο ...

Ας το γενικεύσουμε για μη ορθή γωνία. Και μία πιο απλή από την πρώτη μου, που εκεί επιστράτευσα .... "πυροβολικό". Βέβαια έχουμε στο σχήμα που ακολουθεί $MK\parallel Ox,\;MH\parallel Oy$, οπότε $MK + MH = \frac{{OT + OS}}{2} = \frac{{OA + OB}}{2},\;ct.$ Άρα αν $HR=HM, KF=MK$, τότε στη σταθερή ευθεία...

Καρτεσιανός τόπος.pngΣτις πλευρές της ορθής γωνίας $\hat{O}$ θεωρούμε σημεία $A , B$ , ώστε : $OA=a , OB=b , (a\geq b)$ . Σημείο $S$ κινείται επί του $OB$ και σημείο $T$ στην προέκταση του $OA$ , ώστε : $AT=BS$ . Βρείτε ( περιγράψτε λεπτομερώς ) , τον γεωμετρικό τόπο του μέσου $M$ του τμήματος $ST$...

Ροδόλφο, μόλις τώρα είδα ότι έκανες ας πούμε αίτηση παραίτησης. Επίτρεψέ μου προσωπικά και off των τυπικών να μην κάνω δεκτή την παραίτηση σου . Μου είναι αδύνατο να σε θεωρήσω απόντα. Έτσι ή αλλιώς η προσφορά σου επί σειρά ετών στον Μαθηματικό στίβο είναι και πιστεύω ότι θα είναι υψηλής ποιότητας.

Καταρχάς ξεκινούμε με την άποψη ότι για μία ακόμη χρονιά τα θέματα ήταν πολύ καλά και προ πάντων τίμια (ο όρος «τίμια» έχει βαρύνουσα σημασία). Επιτρέψτε μου όμως ένα σχόλιο που κατευθύνεται προς τους δημιουργούς των θεμάτων: Όπως έχουμε αναφερθεί και στο παρελθόν ο κατασκευαστής ενός θέματος θα πρέ...

Καλημέρα.
Προτείνω την εδώ ( https://mathematica.gr/forum/viewtopic. ... 98#p326698) ακριβώς ημέτερη μέθοδο επίλυσης, αν μετονομάσουμε στα αντίστοιχα γράματα:

Επειδή είδα το πρόβλημα, μου άρεσε σκέφτηκα για άλλη λύση εκτός μετρικής Γεωμετρίας αλλά και να δούμε και άλλες μεθοδολογίες επίλυσης για το θέμα αυτό είτε εφαρμοζόμενες και σε άλλα θέματα. Οπότε και μόνο για λόγους Μαθηματικού πλουραλισμού έχουμε: Επειδή είδα το πρόβλημα, μου άρεσε, οπότε και μόνο ...