Δίνεται τρίγωνο $ABC$ και εσωτερικό σημείο $M$ της πλευράς $BC$ του τριγώνου αυτού. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ευθεία $\ell$ διερχόμενη από το $M$ που να τέμνει την πλευρά $AB$ στο $D$ και την προέκταση της $AC$ (προς το $C$) στο $E$, ώστε $ k(BMD)+m(MEC)=(ABC)$, με $k,m$ δοθέντες θετικούς αριθμούς. ...

Το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου στο τρίγωνο $\trangle OTS $ θα βρίσκεται στη μεσοκάθετη του $ST$ δηλαδή στη διχοτόμο της γωνίας $\angle B$. Πιό συγκεκριμένα αν η διχοτόμος που ανέφερα τέμνει την $OA$ στο σημείο $F$, τότε, ο γεωμετρικός τόπος θα είναι το ευθύγραμμο τμήμα της $MT$ με $T$ το σημεί...

Χρόνια πολλά και καλά στις εορτάζουσες και τους εορτάζοντες του mathematica.
Ιδιαίτερα στους
Αλέξανδρο Συγκελάκη,
Αλέξανδρο Κουτσουρίδη

Άθροισμα ίσο με γινόμενο.png Από σημείο $D$ της πλευράς $AB$ ισοσκελούς τριγώνου $ABC$ με $AB=AC=b, $ φέρνουμε παράλληλη στην $BC$ που τέμνει την $AC$ στο $E$ και έστω $M$ τυχαίο σημείο του τμήματος $DE.$ Οι $CM, BM$ τέμνουν τις $AB, AC$ στα $P, Q$ αντίστοιχα. Να εντοπίσετε το σημείο $D$ αν $BP+CQ=...

Θα ήθελα εδώ να αναφερθώ αναφορικά με την γεωμετρική κατασκευή που ασχολήθηκα και κύρια για τους νεότερους, τον καθοριστικό ρόλο της μονάδας μέτρησης που εδώ την συμβόλισα με $1.$ Άρα η δεδομένη από τον κατασκευαστή ισότητα σε επίπεδο τμημάτων αν το πρώτο μέλος δεν το θεωρούσαμε πολλαπλασιασμένο επί...

Εύρεση σημείου σε κύκλο.png Δίδεται σταθερός κύκλος , σταθερή χορδή $BC$ και σταθερό σημείο $P$ του μικρού $\tau o\xi BC$. Να βρεθεί σημείο $S$ του μεγάλου $\tau o\xi BC$ που για το μέσο, $A$, της χορδής $PS$ η $AP$ να διχοτομεί τη γωνία , $\widehat {BAC}$ δεκτές όλες οι λύσεις . Για λόγους και μόν...

Στο σχήμα που ακολουθεί επιχείρησα μία καθαρά γεωμετρική κατασκευή του μέ βάση την κατασκευή πρώτα του
Ας δούμε βέβαια καταρχάς την περίπτωση , έστω Δηλαδή αν θέλουμε

Στο σχήμα που ακολουθεί επιχείρησα μία καθαρή γεωμετρική κατασκευή του $D,$ μέ βάση την κατασκευή πρώτα του $M.$ Ας δούμε βέβαια καταρχάς την περίπτωση ${v^2}=b$. ΚΑΤ.png

Καλημέρα. Θα πρέπει καταρχάς, $a \geqslant 0,\;x \geqslant 0.$ Αν λύσουμε ως προς $a$ καταλήγουμε στην ${a^2} - \left( {2{x^2} + 1} \right)a + {x^4} - x = 0,$ που έχει ως διακρίνουσα την $\Delta = {\left( {2x + 1} \right)^2} \geqslant 0.$ Έτσι λοιπόν θα βρούμε το $a$ συναρτήσει του $x.$ Θεωρώ ότι απ...

Για την καλησπέρα στον φίλο τον Νίκο. Θεωρούμε το εσωτερικό σημείο $D$ του $BC$ τέτοιο που $\displaystyle{\frac{{BD}}{{DC}} = \frac{n}{m}$ και το αρμονικό του συζυγές $E.}$ Κατασκευάζουμε έτσι τον Απολλώνιο κύκλο $C$ και το κέντρο του $T.$ Η τομή της μεσοκάθετης του $TC$ και του Απολλώνιου κύκλου δ...

Για την καλησπέρα στον φίλο τον Νίκο. Θεωρούμε το εσωτερικό σημείο $D$ του $BC$ τέτοιο που $\displaystyle{\frac{{BD}}{{DC}} = \frac{n}{m}$ και το αρμονικό του συζυγές $E.}$ Κατασκευάζουμε έτσι τον Απολλώνιο κύκλο $C$ και το κέντρο του $T.$ Η τομή της μεσοκάθετης του $TC$ και του Απολλώνιου κύκλου δί...

Για το 1ο ερώτημα: Στο σχήμα που ακολουθεί έχουμε $\angle CDA = \angle CBA = \frac{\pi }{4} + MBA,$ $\angle DCA = \frac{\pi }{4} + \angle DEB = \frac{\pi }{4} + \angle BAM, $ $\angle BAM < \angle MBA,$ οπότε παίρνουμε: $\angle DCA < \angle CDA \Rightarrow AD < AC \Rightarrow AT + TB < AS + SB.$ geo....

Καταρχάς και Καταρχήν εύχομαι τις καλλίτερες και απόλυτα ειλικρινείς ευχές στους εδώ συνεορτάζοντες, να χαίρονται ότι αγαπούν. Ευχαριστώ τώρα από καρδιάς τους φίλους της πλέον Άριστης Μαθηματικής παρέας mathematica, που μου ευχήθηκαν ειλικρινά με αγάπη και με εκτίμηση. Τους αντεύχομαι τα καλλίτερα ...

Πραγματική ερώτηση καλού μαθητή, που απλά το θέτω εδώ:
... Άρα κάθε σημείο της ευθείας μπορεί να θεωρηθεί και σημείο καμπής της; ....

Επιτρέψτε μου να παραμένει ως άποψη μου αυτή: Και όμως για 12οι είμαστε, αν οι Άριστοι Μαθητές μας προσεχτούν από την πολιτεία ... ναι είμαστε, πως να το κάνουμε. Και εξηγούμαι ότι την χρονιά που ήρθαμε 12οι ο Σιλουανός πρόσεξε πάρα πολύ και σε συνεχή βάση την ομάδα και επί της ουσίας για λίγο αντικ...

Γεια χαρά, με βάση το σκεπτικό ότι εδώ δεν έχουμε να χωρίσουμε και τίποτα, επιτρέψτε μου να τοποθετηθώ, όχι ως εξ αποστάσεως αλλά με την εμπειρία μου ως μέλος της επιτροπής των διαγωνισμών της ΕΜΕ επί σειρά ετών, και όχι μόνο ... Όταν λοιπόν ως αρχηγός αποστολών κτλ. έρχεσαι σε επαφή με τους καθ΄ ύλ...

Και για να μην παρεξηγηθώ τα ''παιδιά'' δεν φταίνε σε τίποτα. Προσπαθούν με πενιχρά μέσα να κάνουν ότι καλύτερο μπορούν. Επειδή σε εκτιμώ πες τα πράγματα με το όνομα τους. Είναι απόλυτα σεβαστό να μην θέλεις να έρθεις σε αντιπαράθεση με κάποιους ''φίλους '' σου. Επειδή έχω μιλήσει τελευταία με κάπο...

Για όσους γνωρίζουν το "άθλημα" η Ελληνική ομάδα επέτυχε απολύτως στην αποστολή της. Θερμά συγχαρητήρια στους διαγωνιζόμενους, στους συνοδούς τους, στους γονείς τους, και σίγουρα στους "αφανείς" συντελεστές που τα ενέπνευσαν και τα δίδαξαν. Καλή συνέχεια στα παιδιά αυτά, που μας υποχρεώνουν ως λαό ...

Για όσους γνωρίζουν το "άθλημα" η Ελληνική ομάδα επέτυχε απολύτως στην αποστολή της. Θερμά συγχαρητήρια στους διαγωνιζόμενους, στους συνοδούς τους, στους γονείς τους, και σίγουρα στους "αφανείς" συντελεστές που τα ενέπνευσαν και τα δίδαξαν. Καλή συνέχεια στα παιδιά αυτά, που μας υποχρεώνουν ως λαό ...

Επί του πιεστηρίου μία άποψη για το δεύτερο της γεωμετρίας: Αν η $QP$ τμήσει τις $AC, BC$ στα σημεία $B_1 , A_1$ αντίστοιχα, τότε οι περιγεγραμμένοι κύκλοι στα τρίγωνα $ABC, A^' \ C B^’$ που εφάπτονται στο $C$ και στα τρίγωνα $PB^' \ {P_1} {C}$ και $Q {A^’} Q_1 {C}$, οδηγούν στην λύση. Θα μπορούσατ...